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Massimo Capaccioli » 6.La struttura delle stelle - Parte Prima

Contenuto della lezione

In questa lezione:

studieremo le prime due equazioni sulla struttura stellare (l’equilibrio idrostatico e la conservazione della massa);
analizzeremo le ipotesi di equilibrio idrostatico e simmetria sferica;
incontreremo e utilizzeremo il Teorema del Viriale classico;
determineremo la pressione minima e la temperatura al centro del Sole.

Qualche domanda per iniziare

Quali sono i processi fisici che determinano la struttura delle stelle?

Le stelle sono tenute insieme dalla propria gravità: ogni elemento di massa dell’astro esercita un’attrazione su tutti gli altri elementi [perché?]. Se questa fosse l’unica forza in gioco le stelle collasserebbero sotto il proprio peso.

La pressione interna (per lo più di origine termica) si oppone al collasso gravitazionale.

Essendo gravità e pressione le forze principali che determinano la struttura delle stelle, queste devono essere bilanciate. Ma quanto precisamente? E per quanto tempo?

Le stelle irradiano energia nello spazio, perdendo quindi energia. Pertanto, se le proprietà termiche sono costanti, deve esistere una sorgente continua di energia.

Una robusta teoria della struttura stellare deve descrivere:

l’origine di questa energia
il modo in cui questa si trasporta verso la superficie.

Ipotesi preliminari (e temporanee)

Iniziamo con due assunzioni fondamentali.

le proprietà fisiche delle stelle sono costanti nel tempo:
$\frac{\partial}{\partial t} \equiv 0\,$
le stelle sono sfere simmetriche intorno al loro centro:
$\frac{\partial}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \phi} \equiv 0 \,$

Per il momento utilizzeremo entrambe queste ipotesi per derivare le equazioni della struttura delle stelle. Più avanti riconsidereremo queste due assunzioni.

Quattro equazioni fondamentali

Le equazioni che descrivono la struttura di modelli di stelle considerate come sistemi isolati, stazionari e a simmetria sferica, sono quattro:

La simmetria sferica implica che tutte le grandezze fisiche dipendono solo dalla distanza $r$ dal centro della stella.

Equazione dell’equilibrio idrostatico: ad ogni raggio $r$ , le forze di pressione bilanciano la gravità.
Conservazione della massa: ad ogni raggio $r$ , data la stazionarietà, $\partial \rho( t) / \partial t = 0\,$ .
Conservazione dell’energia: ad ogni raggio $r$ , la variazione del flusso di energia è uguale al tasso di produzione locale di energia.
Equazione del trasporto: descrive la relazione fra il flusso di energia e il gradiente locale di temperatura.

Tre equazioni supplementari

Alle precedenti vanno aggiunte tre ulteriori equazioni:

l’equazione di stato della materia stellare: la relazione che determina la pressione in funzione dei parametri di stato come densità e temperatura;
l’opacità: l’equazione che descrive come il flusso di radiazione viene attenuato nel suo viaggio attraverso il materiale stellare;
il tasso di produzione dell’energia nucleare nel cuore della stella: produzione di energia necessaria a compensare le perdite radiative attraverso la superficie della stella.

Equazione del supporto idrostatico

Elemento di materia all’equilibrio idrostatico. Il bilanciamento fra gravità e pressione interna è noto come equilibrio idrostatico (Archimede, III a.C.: Sui corpi galleggianti).

Consideriamo le forze che agiscono radialmente su un elemento di massa $\delta m = \rho(r ) \delta S \delta r\, ,$ dove $\delta \rho$ è la densità al raggio $r$ .

Forza verso l’esterno: pressione esercitata dal materiale stellare sulla superficie inferiore dell’elemento di massa: $P(r ) \delta S\,$ .
Forza verso l’interno: pressione esercitata dal materiale stellare sulla superficie superiore, cui si aggiunge il peso dovuto all’attrazione gravitazionale da parte del materiale contenuto nella sfera di raggio $r$ (Domanda: perché solo quello?):

$P(r + \delta r) \delta S + \frac{G M(r)}{r^2} \delta m = P(r + \delta r) \delta S + \frac{G M(r)}{r^2}\, \rho (r ) \delta S \delta r \,$

Elemento di materia all'equilibrio idrostatico. Fonte: M. Capaccioli

Equazione del supporto idrostatico

Imponendo la condizione di equilibrio, otteniamo:

$P (r + \delta r) \delta S + \frac{G M(r)}{r^2}\, \rho (r ) \delta S \delta r = P(r) \delta S\,$ ,

da cui,

$P (r + \delta r) - P ( r) = - \frac{G M(r)}{r^2}\, \rho (r ) \delta S \delta r \,$ .

Al primo membro, appare il gradiente della pressione $P \,$ . Infatti, nel limite per piccoli spessori, $\frac{P(r - \delta r) - P(r )}{\delta r} = \frac{dP}{dR} \,$ .

Domanda: perché appare ora un differenziale esatto?

Si ottiene quindi l’equazione dell’equilibrio idrostatico:

$\frac{dP}{dr} = - \frac{G M(r)}{r^2}\, \rho (r ) \,$ .

Equazione della conservazione della massa

Si consideri un sottile guscio sferico, al raggio $r$ e di spessore $\delta r \,$ .

Naturalmente, la massa $M(r)$ della stella è determinata dalla sua densità. La massa del dato guscio sferico è:

$\delta M = \delta V \rho(r ) = 4 \pi r^2 \rho(r ) \,$ .

Nel limite di spessori nulli, otteniamo l’equazione di conservazione della massa:

$\frac{dM(r )}{dr} = 4 \pi r^2 \, \rho (r ) \,$ .

Guscio sferico elementare a distanza r dal centro della stella. Fonte: M. Capaccioli

Esercizio: calcolo della massa dalla densità

Consideriamo una sfera di gas di raggio $R$ e profilo di densità $\rho(r ) = \rho_0 \, (R/r)^2 \,$ .

Calcoliamo la massa totale della sfera e la sua densità media a un dato valore del raggio.

Al raggio $r$ , abbiamo:

$\frac{dM_r}{dr} = 4 \pi r^2 \rho = 4 \pi \rho_0 R^2\,$ ,

da cui:

$M_R = \int_0^R 4 \pi \rho_0 R^2 dr = 4 \pi \rho_0 R^3 = 3 \rho_0 V_R\,$ ,

dove $V_R$ è il volume totale della sfera.

Per calcolare la massa media, partiamo dalla massa al raggio $r\, \,: M_r = 4 \pi \rho_0 r^3 (\frac{R}{r})^2 \,$

da cui otteniamo: $\bar{\rho} = 3 \rho(r )\,$ .

La diminuzione di densità è compensata quindi dall’aumento di volume.

Applicazione: la pressione al centro del Sole

Otteniamo una stima della pressione al centro del Sole, assumendo un profilo di densità costante.

Il valore della densità media è: $\rho = \bar{\rho}_e = \frac{3 M_e}{4 \pi R_e^3} = 1410 \, {\rm kg/m}^3 \,$ .

Possiamo riscrivere l’equazione dell’equilibrio idrostatico come segue:

$\int_0^{R_e} dP(r) = - \int_0^{R_e} \frac{GM\rho}{r^2} dr \, .$

Con semplici passaggi:

$P(R_e)_e - (P_0)_e = - \int_0^{R_e} \frac{GM\rho}{r^2} dr = - G \frac{4}{3}\pi \bar{\rho}_e^2 \, \int_0^{R_e} r dr = -\frac{2}{3} G \pi \bar{\rho}_e^2 R_e^2 \,$ .

Assumendo che la pressione esterna, $P(R_e)_e \,$ , sia nulla, otteniamo il nostro risultato: $(P_0)_e = \frac{2}{3} G \pi \bar{\rho}_e^2 R_e^2 = 1.34 \times 10^{10} \, {\rm Pa} \,$ .

Questa valore è in effetti una rozza sottostima: la pressione al centro del Sole è infatti circa sei ordini di grandezza maggiore.

Accuratezza dell’ipotesi idrostatica

Abbiamo ipotizzato che all’interno della stella la forza di gravità e la pressione siano bilanciate. Quanto è accurata questa ipotesi?

Si consideri la situazione in cui la forze verso l’intero non sia uguale a quella verso l’esterno. La forza risultante agente sull’elemento di volume darà luogo a una accelerazione $a( r) \,$ :

$P(r + \delta r) \delta S + \frac{G M(r )}{r^2} \rho(r ) \delta S \delta r - P(r ) \delta s =(\rho(r ) \delta s \delta r) \times a(r )$

Da questo segue immediatamente che: $\frac{d P}{dr} + \frac{G M(r )}{r^2} \rho(r ) = \rho(r ) a(r ) \,$ .

Ricordando che l’accelerazione di gravità è data da $g(r) = \frac{GM(r)}{r^2}\,$ ,otteniamo la forma generalizzata dell’equazione dell’equilibrio idrostatico:

$\frac{d P}{dr} + g(r ) \rho(r ) = \rho(r ) a(r ) \,$ .

Accuratezza dell’ipotesi idrostatica

Assumiamo quindi che la forza risultante sul generico elemento di massa non sia nulla, ma piuttosto una frazione piccola, $\beta << 1$ dell’accelerazione di gravità:

$\beta \rho(r ) g(r ) = \rho (r ) a(r ) \,$ .

C’è quindi un’accelerazione verso l’interno , $a = \beta g \,$ . (Si può ripetere il ragionamento che segue per $\beta$ negativo, ossia per un’accelerazione verso l’esterno).

Assumendo che il moto inizi da fermo, lo spostamento in un dato intervallo di tempo, $\Delta t\,$ , è dato da:

$\Delta d = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \beta g (\Delta t)^2 \,$ ,

ossia:

$\Delta t = \sqrt{\frac{2 \Delta d}{\beta g}} \, \hspace {3cm} (1)\,$ .

Per intendere il significato di questo risultato si svolgano i due esercizi proposti di seguito.

Esercizi per gli studenti

Stimare la scala temporale (in funzione del parametro $\beta$ ) necessaria perché il raggio del Sole cambi in modo apprezzabile.
Per il Sole, $R_e = 7 \times 10^8 \, {\rm m}$ e $g_e = 2.5 \times 10^2 \, [\rm m/s}^2]\,$ .
I dati geologici ci dicono che il flusso di energia dal Sole non è variato in modo apprezzabile nell’ultimo miliardo di anni. Trovare un limite superiore per il parametro $\beta\,$ .

Domanda: Cosa implica il risultato ottenuto sull’assunzione di equilibrio idrostatico?

Scala temporale dinamica

Utilizzando il risultato precedente, possiamo valutare il tempo necessario affinché la stella collassi su se stessa, in assenza di pressione interna.

Ponendo $\Delta d = R_e$ nell’equazione (1), si ottiene:

$\Delta t = \frac{1}{\sqrt{\beta}}\left(\frac{2R_e^3}{GM}\right)^{1/3}\,$ ,

dove l’accelerazione di gravità alla superfice della stella è stata riscritta in forma esplicita.

Nell’ipotesi di assenza di pressione ( $\beta = 1$ ), otteniamo il cosiddetto tempo dinamico (cioè il tempo di caduta libera):

$t_d = \sqrt{\frac{2 R_e^3}{G M}}\,$ .

Problema: assumendo una massa di $2\times 10^{33} {\rm g\, cm}^{-3}$ e un raggio di $7\times 10^8 {\rm km} \,$ , verificare che per il Sole $t_d \simeq 38 {\rm h}\,$ .

Accuratezza dell’ipotesi di simmetria sferica

Come dimostra l’osservazione della macchie solari (da Galilei in poi), le stelle ruotano. Che effetto ha questa rotazione su oggetti che abbiamo assunto essere perfette sfere gassose?

Dovremmo tenere in considerazione eventuali scostamenti dalla perfetta simmetria sferica?

Consideriamo una stella di massa $M$ , raggio $r$ e velocità angolare $\omega\,$ .

Un elemento di massa posto all’equatore è soggetto a una forza centrifuga pari a:

$\delta r \omega^2 \, .$

Se la forza gravitazionale domina sulla forza centrifuga, non ci sarà uno scostamento apprezzabile dalla simmetria sferica. Questa considerazione si traduce in una condizione sulla velocità angolare:

$\omega^2 \ll \frac{G M}{r^3} \hspace{1cm}(2) \,$ .

Nota: $\omega^2$ ha le dimensioni di una forza mareale.

Stella in rotazione con velocità angolare Ω. Fonte: M. Capaccioli

Accuratezza dell’ipotesi di simmetria sferica

Valutiamo ora l’accuratezza di questa ipotesi (2) nel caso del Sole.

Se confrontiamo le espressioni ricavate qui sopra per la velocità angolare e il tempo dinamico, possiamo scrivere: $\omega^2 = \frac{2}{t_d^2}\,$ .

Data la relazione fra periodo e velocità angolare, $\omega = 2 \pi / P\,$ , si può immediatamente ottenere:

$P = \pi sqrt{2} \, t_d\,$ .

Pertanto, per una stella a simmetria sferica deve valere la condizione $\text{[math]}$ .

Esercizio: verificare che per il Sole tale condizione è effettivamente soddisfatta, sapendo che il periodo di rotazione è $3\imes 10 ^6 {\rm s}\,$ , ossia circa un mese.

Nota: la maggior parte delle stelle ruota lentamente, e l’ipotesi di simmetria sferica è un’ottima approssimazione per la loro struttura. Ma ci sono anche rotatori molto veloci o addirittura velocissimi.

Accuratezza dell’ipotesi di simmetria sferica

Limite inferiore per la velocità equatoriale per stelle giganti. i è l'angolo fra l'asse di rotazione e la linea di vista. Domanda: perché si usa la quantità seni?

Pressione minima al centro delle stelle

Sino a qui abbiamo ricavato solo due delle equazioni della struttura stellare, e non abbiamo ancora alcuna informazione sulla natura del materiale di cui una stella è costituita.

Nonostante ciò siamo già in grado di ricavare una stima del valore minimo della pressione al centro di un astro.

Domande per lo studente

Perché, in linea di principio, dovrebbe esserci un valore minimo? Date le conoscenza acquisite finora, si cerchi di capire da cosa potrebbe dipendere questo valore?

Se dividiamo le prime due equazioni della struttura stellare, otteniamo immediatamente:

$P_c - P_s = \int_0^{M_s} \frac{GM}{4 \pi r^4} d M \,$ .

Integrando, e sostituendo raggio della stella, $r_s \,$ , nell’integrando:

$\text{[math]}$

Pressione minima al centro delle stelle

Se assumiamo che la pressione sia nulla in superficie (Domanda: è questa ipotesi ragionevole?), otteniamo il limite inferiore per la pressione centrale in una stella:

$\text{[math]}$

Nel caso del Sole, questo valore è pari a circa $4.5 \times 10^{13} \, {\rm Pa} \,$ .

Questo valore è troppo elevato per un gas ordinario. E allora? Vedremo in seguito che le stelle non sono costituite da gas ordinario ma da un plasma, che comunque si comporta il più delle volte in modo ragionevolmente simile a un gas perfetto.

Il teorema del viriale

Consideriamo nuovamente la relazione ottenuta dividendo le prime due equazioni della struttura stellare:

$\frac{dP(r )}{dM} = - \frac{G M}{4 \pi r^4} \,$ .

Moltiplicando i due termini dell’equazione per $4 \pi r^3$ e integrando sull’intera stella, otteniamo:

$3 \, \int_{P_c}^{P_s} V dP = - \int_0^{M_s} \frac{GM}{r} dM \,$ ,

dove $V$ è il volume al raggio $r$ .

Integrando per parti il termine a sinistra, e imponendo le ovvie condizioni al contorno ( $V_c = 0\,, P_s =0\,$ ), otteniamo:

$3 \int_0^{V_s} P \, dV - \int_0^{M_s} \frac{G M}{r} dM = 0 \,$ .

Il secondo termine in questa equazione è il potenziale gravitazionale totale, $\Omega \,$ , della stella. Possiamo quindi scrivere il teorema del Viriale come segue:

$3 \int_0^{V_s} P \, dV + \Omega= 0\,$ .

Il teorema del viriale

Esercizio: dimostrare che la quantità $\Omega$ equivale all’energia rilasciata dalla formazione della stella, assemblando le sue componenti disperse all’infinito.

Il teorema del Viriale ha numerosi applicazioni in astrofisica, non limitate allo studio della struttura stellare. Vedremo nel seguito che esso lega l’energia termica di una stella all’energia gravitazionale.

Temperatura media minima di una stella

Abbiamo visto che il termine di pressione, $P\,$ , gioca un ruolo importante nell’equazione dell’equilibrio idrostatico e nel teorema del Viriale. Abbiamo inoltre derivato un valore minimo per la pressione al centro del Sole.

La pressione è dovuta a due contributi: uno da parte del gas ( $P_g \,$ ) e l’altro dalla radiazione ( $P_r \,$ ).

Nella sezione seguente mostreremo che all’interno del Sole la pressione di radiazione è trascurabile rispetto alla pressione del gas. A questo scopo, è necessario prima stimare il valore minimo della temperatura media di una generica stella.

Temperatura media minima di una stella

Ricordiamo il termine dell’energia potenziale gravitazionale:

$- \Omega = \int_0^{M_s} \frac{G M}{r} d M \,$ .

Otteniamo un limite inferiore al termine di destra notando che all’interno della stella $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Possiamo inoltre riscrivere il teorema del Viriale usando il fatto che $dM = \rho dV \,$ :

$- \Omega = 3 \int_0^{V_s} P dV = 3 \int_0^{V_s} \frac{P}{\rho} dM \,$ .

Temperatura media minima di una stella

Come detto sopra, vi sono due contributi al termine di pressione: $P = P_g + P_r \,$ .

Assumiamo per il momento che le stelle siano composte di un gas ideale e che la pressione di radiazione sia trascurabile. Quindi la pressione totale è data da:

$P = n k T = \frac{k \rho T}{m} \,$ ,