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Gianfranco Grossi » 3.Cinematica: vettori posizione, velocità e accelerazione nel moto in due dimensioni


Il moto bidimensionale: posizione

In natura la maggior parte dei corpi non si muovono lungo una linea, ma su un piano o nello spazio. E’ possibile estendere i concetti introdotti per il moto unidimensionale a quello bi- o tridimensionale ridefinendo in forma vettoriale le grandezze cinematiche già introdotte per il moto unidimensionale.

Un punto materiale che si muove su un piano, al quale si può associare un sistema di coordinate (x, y), può essere localizzato attraverso il vettore posizione r definito come quel vettore tracciato dall’origine del sistema di riferimento alla posizione P che il punto occupa nell’istante considerato.

Figura 3.1. Vettore posizione r e sue componenti rx e ry.

Figura 3.1. Vettore posizione r e sue componenti rx e ry.


Il moto bidimensionale: spostamento

Se il punto P ha coordinate generiche x e y, tenendo conto delle componenti di un vettore lungo gli assi, il vettore posizione mostrato in figura 3.1 può essere scritto nella forma

r = rx + ry =  x i + y j

Quando un punto materiale si muove su un piano da una posizione A, occupata nell’istante ti e individuata dal vettore posizione ri, a una posizione B, occupata nell’istante tf e individuata dal vettore posizione rf, come mostrato in figura 3.2, indipendentemente dalla sua traiettoria il vettore spostamento Δr nell’intervallo di tempo Δt è dato dall’espressione

Δr = rf – ri

Figura 3.2. Vettore spostamento Δr (figura 3.1 in Jewett & Serway).

Figura 3.2. Vettore spostamento Δr (figura 3.1 in Jewett & Serway).


Il moto bidimensionale: velocità

La velocità media vmed del punto materiale durante l’intervallo di tempo Δt è un vettore diretto lungo Δr e definito dall’espressione

vmed = (rf – ri) / (tf – ti) = Δr/Δt

quindi indipendente dalla traiettoria percorsa tra la posizione A e la posizione B.

Se si considerano intervalli di tempo sempre più piccoli, cioè una posizione finale B molto vicina a quella iniziale A, come mostrato in figura 3.3, la direzione del vettore spostamento Δr tende a quella della tangente alla traiettoria nel punto A, rappresentata dalla linea verde nella figura 3.3.

Si definisce allora la velocità istantanea v del punto materiale il vettore ottenuto derivando il vettore posizione rispetto al tempo

v = dr/dt = dx/dt i + dy/dt j = vx i + vy j

Il modulo del vettore velocità istantanea prende il nome di velocità scalare, mentre la sua direzione in ogni punto della traiettoria è quella della retta tangente alla traiettoria in quel punto.

Figura 3.3. Direzione dei vettori velocità media e istantanea. (figura 3.2 in Jewett & Serway).

Figura 3.3. Direzione dei vettori velocità media e istantanea. (figura 3.2 in Jewett & Serway).


Il moto bidimensionale: accelerazione

Quando un punto materiale si muove dalla posizione iniziale A alla posizione finale B, come indicato in figura 3.4, i vettori velocità istantanea possono essere rappresentati da vi e vf.
L’accelerazione media amed del punto materiale durante l’intervallo di tempo Δt è un vettore diretto lungo Δv, ottenuto dal diagramma vettoriale, come indicato in alto a destra nella figura 3.4, e definito dall’espressione

amed = (vf – vi) / (tf – ti) = Δv/Δt

Se si considerano intervalli di tempo sempre più piccoli, l’accelerazione istantanea a è definita come il vettore ottenuto derivando il vettore velocità rispetto al tempo

a = dv/dt = d2x/dt2 i + d2y/dt2 j = ax i + ay j

Bisogna tener presente che la variazione del vettore velocità rispetto al tempo può indicare una variazione del suo modulo, della sua direzione o di entrambi.

Figura 3.4. Velocità istantanee e loro variazione (figura 3.3 in Jewett & Serway).

Figura 3.4. Velocità istantanee e loro variazione (figura 3.3 in Jewett & Serway).


Il moto bidimensionale con accelerazione costante

Consideriamo un moto in due  dimensioni con accelerazione a costante. Alle componenti vx e vy del vettore velocità si possono applicare le equazioni della cinematica trovate per il moto unidimensionale uniformemente vario

vxf = vxi + axt         vxf = vyi + ayt

da cui

vf =  vxf i + vyf j =        (vxi + axt) i + (vyi + ayt) j

= (vxi i + vji j) + (ax i + ay j) t        ⇒      vf = vi + a t

In modo analogo si può ricavare per il vettore posizione la relazione        rf = ri + vi t + ½ a t2
Le componenti x e y dei vettori vf e rf sono illustrate in figura 3.5.
Si può notare che il moto bidimensionale con accelerazione costante si può scomporre in due moti indipendenti che si svolgono lungo gli assi x e y con accelerazioni costanti rispettivamente uguali alle componenti ax e  ay.

Figura 3.5. Rappresentazione della velocità e della posizione (figura 3.4 in Jewett & Serway).

Figura 3.5. Rappresentazione della velocità e della posizione (figura 3.4 in Jewett & Serway).


Il moto di un proiettile

Il moto di un punto materiale che si muove su un piano verticale con velocità iniziale vi e accelerazione di gravità g diretta verso il basso è detto moto di un proiettile. In queste condizioni, assumendo come piano xy quello sul quale si svolge il moto e la sua origine come posizione iniziale, la traiettoria descritta dal punto materiale è una parabola e si possono applicare le equazioni del moto bidimensionale con accelerazione costante, assumendo ay = -g e ax = 0 se si trascura la resistenza dell’aria. Indicato con Θ i l’angolo formato dal vettore vi con l’asse x, si avranno le relazioni

vxi =  vi cos Θi e    vyi =  vi sen Θi

che, sostituite nell’espressioni precedenti, danno

vxf = vxi =  vi cos Θi = costante

vyf = vyi – g t = vi sen Θi – g t

xf = xi + vxi t = 0 + (vi cos Θi) t

yf = yi + vyi t – ½ g t2 = (vi sen Θi) t – ½ g t2

Figura 3.6. Traiettoria parabolica di un proiettile (figura 3.5 in Jewett & Serway).

Figura 3.6. Traiettoria parabolica di un proiettile (figura 3.5 in Jewett & Serway).


Il moto di un proiettile: altezza massima

Due sono i punti della traiettoria del proiettile interessanti da analizzare: il punto più alto e il punto di atterraggio, indicati rispettivamente con A e B nella figura 3.7. L’ordinata di A è l’altezza massima raggiunta dal proiettile, indicata con h, e la distanza OB, indicata con R, è detta gittata. Le coordinate di questi due punti sul piano x y sono quindi (R/2, h) per A e (R, 0) per B.
Per determinare h e R in funzione dei parametri del moto vi, Θi e g, si osservi che la componente y della velocità si annulla nel punto A, il più alto della traiettoria, raggiunti un un tempo tA, per cui dall’equazione

vyA = vi sen Θi – g tA = 0

si ha

tA = (vi sen Θi) / g

Figura 3.7. Massima altezza h e gittata R del proiettile (figura 3.7 in Jewett & Serway).

Figura 3.7. Massima altezza h e gittata R del proiettile (figura 3.7 in Jewett & Serway).


Il moto di un proiettile: gittata

Se nell’espressione che indica l’ordinata del proiettile in volo

yf =  yi + (vi sen Θi) t – ½ g t2

si sostituisce l’ordinata del punto iniziale, la massima altezza h e il tempo necessario per raggiungerla tA, si avrà

h  =  0 + (vi sen Θi) t – ½ g tA2

da cui

h = (vi sen Θi) [(vi sen Θi) / g] – ½ g [(vi sen Θi) / g]2 = (vi2 sen2Θi) / 2g

In modo analogo, calcolando l’ascissa del punto B tramite l’espressione dell’ascissa del proiettile

xf = xi + vxi t

sostituendo xf con R e tB con 2tA, si avrà per la gittata R la relazione

R = (vi cos Θi) 2 tC = (vi cos Θi) 2 (vi sen Θi) / g

= 2 (vi2 sen Θi cos Θi) / g = (vi2 sen 2Θi) / g

Figura 3.8. Traiettorie paraboliche con una vi di 50 m/s (figura 3.8 in Jewett & Serway).

Figura 3.8. Traiettorie paraboliche con una vi di 50 m/s (figura 3.8 in Jewett & Serway).


Il moto del proiettile: un caso particolare

Consideriamo un corpo che cade verticalmente da una posizione di riposo (Vx0 = 0) posta a una altezza h dal piano orizzontale. L’equazioni cinematiche saranno

x = x0 = 0           y = h – ½ g t2

Tale corpo cadendo descriverà una traiettoria verticale,  in rosso in figura 3.8.
Se lo stesso corpo cade dalla stessa posizione ma lanciato con velocità orizzontale vx0 l’equazioni cinematiche diventano

x = x0 + vx0 t          y = h – ½ g t2

In questo caso la sua traiettoria sarà parabolica indicata in nero in figura.

Se si ricava il tempo che il corpo impiega a descrivere l’altezza h e che si ricava ponendo    y = 0    nell’espressione che fornisce l’ordinata, si avrà

y = h – ½ g t2 ⇒    0 = h – ½ g t2 ⇒    t = (2h/g)1/2

cioè i due corpi, pur avendo differenti velocità iniziali, se cadono dalla stessa altezza impiegano lo stesso tempo per raggiungere il suolo.

Figura 3.8. Confronto del moto in caduta libera con velocità iniziale nulla od orizzontale.

Figura 3.8. Confronto del moto in caduta libera con velocità iniziale nulla od orizzontale.


Il moto circolare uniforme

Un punto materiale è in moto circolare uniforme se si muove su una circonferenza o su un arco di questa con velocità costante in modulo. La direzione del vettore velocità v, dovendo essere tangente alla traiettoria, cambia continuamente, per cui il punto materiale è soggetto a una accelerazione a, diretta necessariamente verso il centro della circonferenza, come mostrato in figura 3.9, altrimenti ci sarebbe una variazione anche del modulo della velocità. Per questo motivo essa prende il nome di accelerazione centripeta. Per calcolare a, si consideri la relazione per l’accelerazione media:

amed = (vf vi) / (tf – ti) = Δv/Δt

Nella figura 3.10 il vettore Δv forma con i vettori vi e vf un triangolo simile a quello formato dai vettori Δr, ri e rf, in quanto gli angoli ΔΘ sono uguali per motivi geometrici. Si può quindi scrivere: |Δv|/v = |Δr|/r  ⇒   |Δv| = v (|Δr|/r )

dove v è il modulo dei vettori uguali vi e vf e r quello di ri e rf. Il modulo di amed diventa allora: |amed| = v (|Δr|/r) / Δt = v / r · (|Δr|/Δt)

Quando le posizione A e B si avvicinano, Δt tende a zero; il rapporto |Δr|/Δt tende alla velocità v e l’accelerazione media tende all’accelerazione istantanea con modulo

ac = v2/ r

Figura 3.9. Velocità e accelerazione per un moto circolare uniforme.

Figura 3.9. Velocità e accelerazione per un moto circolare uniforme.

Figura 3.10. Variazione del vettore velocità v (figura 3.11 in Jewett & Serway).

Figura 3.10. Variazione del vettore velocità v (figura 3.11 in Jewett & Serway).


Il moto circolare uniforme: velocità angolare

Consideriamo un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme. L’angolo (misurato in radianti) descritto dal raggio vettore nell’unità di tempo si chiama velocità angolare ω e si misura in rad s-1

ω = ΔΘ/Δt            [ω] = rad s-1

Poiché la particella si muove su una circonferenza, il modulo della sua velocità sarà anche uguale al rapporto tra l’arco descritto Ds e il tempo impiegato a descriverlo

ν = Δs/Δt

Poiché in una circonferenza tra arco sotteso, angolo al centro e raggio vale la relazione Δs = ΔΘ · r

tra velocità angolare ω e moduli della velocità lineare ν e dell’accelerazione centripeta ac varranno le relazioni

ω = v/r        ac = v2/r = (ω r)2 / r  = ω2 r

Se definiamo periodo T del moto il tempo impiegato a percorrere l’intera circonferenza, vale la relazione

T = 2π r/ν = 2π/ω

Si definisce frequenza ν del moto il numero di giri fatti per unità di tempo; essa risulta quindi uguale all’inverso del periodo T e si misura in s-1, unità di misura che assume anche il nome di hertz (Hz)

ν = 1/T = ω/2π         [ν] = s-1 = Hz

Il moto armonico semplice

Sia P (figura 3.11)  un punto mobile in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio A e sia M la sua proiezione ortogonale sul diametro della circonferenza stessa. Mentre P descrive la circonferenza, il punto M percorre avanti e indietro il diametro.

Questo tipo di movimento periodico rappresenta un tipo fondamentale di oscillazione e prende il nome di moto armonico semplice. Esso è particolarmente importante per il gran numero di fenomeni fisici in cui esso interviene, fenomeni macroscopici, quali, ad esempio, il moto di un oggetto collegato ad una molla, il moto di un pendolo e le vibrazioni della corda di uno strumento musicale, ma anche microscopici, quali le oscillazioni delle molecole di un solido attorno alle posizioni di equilibrio.

Per trovare l’equazione oraria del movimento, incominciamo a contare il tempo dall’istante in cui il punto M si trova nel centro O della circonferenza; l’angolo descritto dal raggio vettore A nell’intervallo di tempo t vale ωt, essendo ω la velocità angolare. Detta x la distanza di M da O, la legge del moto è

x (t) = A sen ωt

La x è definita elongazione, mentre le costanti A e ω prendono il nome di ampiezza e pulsazione del moto armonico; il periodo T e la frequenza ν coincidono con il periodo e la frequenza del moto circolare uniforme.

Figura 3.11. La proiezione M del punto P si muove di moto armonico sul diametro.

Figura 3.11. La proiezione M del punto P si muove di moto armonico sul diametro.


Il moto armonico semplice: velocità e accelerazione

Il diagramma orario di un moto armonico che segue la legge del moto appena trovata è rappresentato nella figura 3.12.a.

Considerando ancora la corrispondenza tra il moto circolare uniforme descritto dal punto P e il moto armonico del punto M, è possibile trovare le altre grandezze cinematiche.

La velocità istantanea del punto M è la proiezione sul diametro della velocità vP del punto P. Essendo vP perpendicolare al raggio vettore A e di modulo ωA, si avrà

vx = vP cos ωt = ωA cos ωt

Analogamente, l’accelerazione è la proiezione sul diametro di quella del punto P che è l’accelerazione centripeta diretta secondo PO e di modulo ω2A. E’ dunque

ax = – ω2A sen ωt = – ω2 (A sen ωt) = – ω2 x

Nel moto armonico, l’accelerazione è quindi proporzionale alla distanza dal centro del moto ed è diretta sempre verso questo ultimo punto.

Figura 3.12. Rappresentazione grafica della (a) posizione, (b) velocità e (c) accelerazione.

Figura 3.12. Rappresentazione grafica della (a) posizione, (b) velocità e (c) accelerazione.


L’accelerazione tangenziale e radiale

Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curva con velocità che cambia sia in modulo che in  direzione (necessariamente in quanto tangente alla traiettoria), come rappresentato in figura. Per definizione, il vettore accelerazione a varia in direzione e modulo in ogni punto della curva e può essere scomposto in due vettori, come mostrato in figura nelle posizioni A, B e C: la componente radiale ar diretta come il raggio di curvatura (raggio delle circonferenze mostrate in figura) nel punto considerato verso l’interno della curva, e la componente tangenziale at, tangente alla curva quindi perpendicolare alla componente radiale.  Il vettore accelerazione può quindi essere scritto come

a = ar + at

L’accelerazione radiale è dovuta alla variazione della direzione del vettore velocità, il suo modulo è dato dalla

ar = ac = v2/r

L’accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità, il suo modulo è dato dalla

at = d|v| / dt

Figura 3.13. Componenti tangenziale e radiale dell’accelerazione (figura 3.12 in Jewett & Serway).

Figura 3.13. Componenti tangenziale e radiale dell'accelerazione (figura 3.12 in Jewett & Serway).


I moti relativi  – 1

Per ricavare le equazioni cinematiche trovate fino ad ora, abbiamo dovuto fissare un arbitrario sistema di riferimento rispetto al quale individuare, in funzione del tempo, la posizione del punto mobile e determinare quindi le altre grandezze cinematiche.

Immaginiamo ora che il moto di un punto materiale, o di un corpo che si comporti come tale, sia analizzato da due osservatori differenti, uno dei quali in moto con velocità costante rispetto all’altro. Ciascun osservatore può definire un proprio sistema di coordinate, con un’origine fissa rispetto a sé o all’altro osservatore. Le origini dei due sistemi di coordinate saranno comunque in moto con velocità costante l’una rispetto all’altra.

Vediamo come sono correlate le grandezze cinematiche misurate da un osservatore (rispetto cioè al suo sistema di riferimento) con quelle dell’altro.

Consideriamo, come esempio, due automobili A e B, che procedono lungo una strada rettilinea esattamente alla stessa velocità di 80 km/h. Per un primo osservatore, fermo sul ciglio della strada, la velocità della macchina B misura 80 km/h, mentre per un secondo osservatore, che viaggia nella macchina A, la macchina B risulta essere ferma, quindi con velocità pari a zero. Lo stesso punto mobile (macchina B) ha quindi velocità diverse in base al sistema di riferimento in cui esse vengono misurate.

I moti relativi  – 2

Cerchiamo ora delle espressioni che ci permettano di calcolare le misure effettuate da un osservatore da quelle ricavate dall’altro osservatore.

In figura 3.14 è rappresentato un punto mobile P il cui moto è analizzato sia da un osservatore posto nell’origine O del sistema di riferimento S di assi x e y, sia da un osservatore posto nell’origine O’ del sistema di riferimento S’ di assi x e y’, che si muove con velocità vOO’ rispetto al sistema S.

Se scegliamo come istante iniziale quello in cui le due origini coincidono, lo spostamento SS’ al tempo t vale vOO’ t.

Se indichiamo con rPO e rPO’ i vettori posizione del punto P nei due sistemi di riferimento, dalla figura si può osservare che vale la relazione

rPO = rPO’ + vOO’ t

in quanto i tre vettori formano un triangolo come quello per la somma vettoriale di due vettori.

Figura 3.14. Vettori posizione di P per due sistemi di riferimento (figura 3.14 in Jewett & Serway).

Figura 3.14. Vettori posizione di P per due sistemi di riferimento (figura 3.14 in Jewett & Serway).


La velocità relativa

Per trovare l’espressione della velocità del punto mobile P è sufficiente utilizzare la definizione

v = dr/dt = d (rPO) / dt = d (rPO’ + vOO t) / dt  ⇒  vPO = vPO‘ + vOO’

Questa espressione mette in relazione la velocità vPO del punto materiale misurata dall’osservatore O nel sistema di riferimento S con la velocità vPO’ misurata dall’osservatore O’ nel sistema di riferimento S’ e la velocità relativa vOO’ dei due sistemi di riferimento.
Nel caso di moto unidimensionale, la relazione vettoriale si riduce all’espressione scalare

vPO = vPO’ + vOO’

o all’analoga espressa in funzione dell’osservatore O’

vPO’ = vPO – vOO’

La velocità vPO’ si chiama velocità relativa in quanto rappresenta la velocità di una particella misurata da un osservatore (O’) che si muove rispetto ad un altro osservatore (O) fermo.

Nell’esempio fatto delle due automobili A e B che procedono entrambi con velocità pari a 80 km/h, la velocità vPO misurata dall’osservatore O posto sul ciglio della strada e quella vOO’ dell’osservatore O’ che si trova sulla macchina B avranno i valori

vPO = 80 km/h          vOO’ = 80 km/h       ⇒     vPO’ = vPO – vOO’ = 80 km/h – 80 km/h = 0

che conferma quanto già ricavato in modo intuitivo.

Esercizio 3.1.a

3.1) Una lepre attraversa di corsa una piazza alla quale è associato, per comodità, un sistema di assi cartesiani. Il percorso della lepre è tale che le componenti della sua posizione rispetto all’origine del sistema di riferimento sono date, in funzione del tempo, dalle relazioni

x (t) = -0,31 t2 + 7,2 t + 28          y (t) = 0,22 t2 – 9,1 t + 30

con le unità di misura dei coefficienti numerici tali che, se il tempo è espresso in secondi, le coordinate x e y della posizione risultano in metri.

1.   Per t = 15 s calcolare il vettore posizione r della lepre sia nella notazione con i versori, sia esplicitando ampiezza e direzione di r.

x (15) = -0,31 (15)2 + 7,2 (15) + 28 = 66 m               y (15) = 0,22 (15)2 – 9,1 (15) + 30 = -57 m

r (t) = x (t) i + y (t) j ⇒     r (15) = (66 m) i – (57 m) j

r = (x2 + y2)1/2 ⇒      r (15) = [(66 m)2 + (-57 m)2]1/2 = 87 m

Θ = arctan (y/x)             ⇒      Θ = arctan (-57 m / 66 m) = 139° e -41°

dati i segni delle componenti del vettore r, il valore 139° deve essere scartato ed accettato quello di -41°.

Esercizio 3.1.b

2.    Sempre per t = 15 s, calcolare il vettore velocità v della lepre sia nella notazione con i versori, sia esplicitando ampiezza e direzione di v.

v (t) = dr/dt = dx/dt i + dy/dt j = vx i + vy j

vx(t) = dx/dt = d(-0,31 t2 + 7,2 t + 28)/dt=0,62 t + 7,2  ⇒  vx (15) = -0,62 (15) + 7,2 = -2,1 m/s

vy = dy/dt = d(0,22 t2 – 9,1 t +30) / dt = 0,44 t – 9,1   ⇒   vy (15) = 0,44 (15) – 9,1 = -2,5 m

v (15) = vx i + vy j = (-2,1 m/s) i + (-2,5 m/s) j

v = (vx2 + vy2)1/2 ⇒      v (15) = [(-2,1 m/s)2 + (-2,5 m/s)2]1/2 = 3,3 m/s

Θ = arctan (vy/vx)       ⇒      Θ = arctan (-2,5 m/s / -2,1 m/s) = 50° e – 130°

dati i segni delle componenti del vettore v, il valore 50° deve essere scartato ed accettato quello di 130°.

Esercizio 3.1.c

3. Sempre per t = 15 s, trovare il vettore accelerazione a della lepre, sia nella notazione con i versori, sia esplicitando ampiezza e direzione di a.

a (t) = dv/dt = d2x/dt2 i + d2y/dt2 j = ax i + ay j

ax = d2x/dt2 = d2(-0,31 t2 + 7,2 t + 28) / dt2 = -0,62 m/s2

ay = d2y/dt2 = d2(0,22 t2 – 9,1 t +30) / dt2 = 0,44 m/s2

a (15) = (-0,62 m/s2) i + (0,44 m/s2) j

a = (ax2 + ay2)1/2 ⇒       a(15) = [(-0,62 m/s2)2 + (0,44 m/s2)2]1/2 = 0,76 m/s2

Θ = arctan (ay/ax)       ⇒      Θ = arctan (0,44 m/s2 / -0,62 m/s2) = -35° e 145°

dati i segni delle componenti del vettore a, il valore -35° deve essere scartato ed accettato quello di 145°.

Esercizio 3.2

3.2) Un giocatore di tennis, distante 12,6 m dalla rete che è alta 0,33 m, lancia la palla con una velocità iniziale inclinata di 3,00°rispetto all’orizzontale. Calcolare la velocità con cui la palla lascia la racchetta, se essa supera la rete all’apice della sua traiettoria. Se si schematizza il moto della palla in quello di un proiettile, all’apice della sua traiettoria, quando cioè essa supera la rete, la palla avrà la componente y della sua velocità finale uguale a zero, quindi varrà l’espressione

vyf = (vi sen 3,00°) – g t = 0     ⇒     t = (vi sen 3,00°) / g

che fornisce l’istante di tempo in cui la palla passa sulla rete.

Perché la palla superi la rete la sua altezza da terra (yf) deve essere almeno pari a 0,33 m, cioè:

yf = (vi sen 3,00°) t – ½ g t2 = 0,33 m

Sostituendo in questa espressione il tempo trovato, si avrà

(vi sen 3,00°) · (vi sen 3,00°) / g – ½ g [(vi sen 3,00°) / g]2 = 0,33 m
(vi sen 3,00°)2 /g – ½ (vi sen 3,00°)2 /g = 0,33 m
½ (vi sen 3,00°)2 /g = 0,33 m

da cui si può ricavare la velocità iniziale della palla da tennis

vi = [ 2 · 0,33 m · g]1/2 / sen 3,00°= 48,6 m/s

Esercizio 3.3

3.3) Noti il raggio della Luna (RL = 3,48 · 108 m) e il tempo di rotazione medio attorno alla Terra (T = 27,3 d), calcolare:

1.  La velocità media orbitale della luna.

Per un moto circolare uniforme, nel quale può essere schematizzato il moto della Luna attorno alla Terra, il modulo della velocità vale:

v = ΔX/Δt = 2πRL/T = 2π(3,48 · 108 m) / [(27,3 d) (24 h/d) (3600 s/h)] = 1,02 · 103 m/s

2.  Il modulo dell’accelerazione centripeta.

a = v2/r = (1,02 · 103 m/s)2 / (3,48 · 108 m) = 2,72 · 103 m/s2

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