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Gianfranco Grossi » 2.Cinematica: posizione, spostamento, velocità e accelerazione nel moto unidimensionale


La meccanica

La meccanica, dal greco mηχανική, è quel ramo della fisica che studia l’interazione tra corpi fisici, cioè il loro comportamento quando sono soggetti a forze o a spostamenti.

In queste lezioni sarà affrontata la sola meccanica classica, che suole essere suddivisa in tre capitoli principali, dei quali i primi due studiano l’uno, la cinematica, i metodi per la descrizione del moto in sé stesso, prescindendo dalle cause che lo producono, e l’altro, la statica, i metodi per semplificare la descrizione dell’equilibrio dei corpi. Solo nel terzo capitolo, la dinamica, la meccanica affronta in pieno il suo problema, mettendo a confronto gli effetti (moto dei corpi) con le cause che li producono (forze).

Ai principi della dinamica si è giunti essenzialmente per opera di Galileo Galilei (1564 – 1642) e di Isaac Newton (1642 – 1727), elaborando dati derivanti dalla osservazione e dall’esperimento. In questo ambito, il primo formulò le leggi che governano il moto degli oggetti in caduta libera, il moto di un corpo su un piano inclinato e affrontò il concetto di moto relativo; il secondo sviluppò i concetti fondamentali e le leggi della meccanica.

Fig. 2.1. A sinistra Galileo Galilei, a destra Isaac Newton.

Fig. 2.1. A sinistra Galileo Galilei, a destra Isaac Newton.


La cinematica

Per studiare l’interazione tra corpi fisici, allo scopo di procurarsi gli strumenti concettuali necessari per descriverne le caratteristiche, è necessario analizzare il loro moto usando i concetti di spazio e tempo, prescindendo, almeno in una prima fase, dalle cause che lo determinano.

La cinematica si occupa appunto della descrizione del moto dei corpi, dove, per descrizione, si intende l’impostare delle equazioni matematiche che lo rappresentino.

Se consideriamo la Luna che descrive approssimativamente un’orbita circolare attorno Terra, analogamente un elettrone descrive in certe circostanze un’orbita circolare quando si muove in un campo magnetico. Ebbene, la cinematica di tali moti, così come quella di qualunque altro moto circolare uniforme, è la stessa: le relazioni matematiche che descrivono i due fenomeni possono essere identiche. Tuttavia, le leggi fisiche che portano la Luna o l’elettrone a muoversi di moto circolare uniforme sono completamente diverse.

In generale, tutti i corpi si muovono in modo più o meno osservabile. Date le differenti caratteristiche dei corpi (massa, forma, volume, rigidità, ecc.) e delle interazioni tra loro, il loro moto e quindi il suo studio può essere anche molto complicato. Occorre quindi procedere per gradi: iniziare dai moti più semplici per procedere poi verso quelli più complessi.

Il moto di un punto materiale

Se si considera il caso di un corpo di dimensioni piccole in confronto a quelle dello spazio in cui si svolge il suo movimento, e quindi tale da poterne trascurare la forma e le particolarità strutturali, si parla di moto di un punto materiale. Il moto di un corpo esteso può essere assimilato a quello di un punto materiale se tutte le sue parti si muovono rigidamente nella stessa direzione e alla stessa velocità. Per studiare il moto di un punto materiale e, in generale, quello di un qualunque corpo, è necessario conoscerne la posizione nello spazio occupata in un determinato istante di tempo. In generale, si chiama traiettoria il luogo dei punti del piano o dello spazio corrispondenti alle posizioni occupate da un punto materiale o dal baricentro di un corpo in moto in istanti di tempo successivi. Nella meccanica classica, la traiettoria è in generale una curva continua e derivabile che può essere descritta attraverso le tre equazioni parametriche:

x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)

che forniscono le coordinate del punto in moto in funzione del tempo. Eliminando il parametro t dalle suddette equazioni si possono scrivere le equazioni cartesiane della traiettoria.

Fig. 2.2. Esempio tridimensionale di traiettoria parabolica.

Fig. 2.2. Esempio tridimensionale di traiettoria parabolica.


Il moto unidimensionale

Per introdurre i parametri che caratterizzano il moto di un corpo, si può cominciare ad esaminare un moto molto semplice, quale quello di un punto materiale che si muove lungo una linea, denominato moto unidimensionale.

Quando il moto avviene lungo una traiettoria prestabilita (cioè una strada, una rotaia, una guida, ecc.), è sufficiente dare istante per istante il valore della distanza, misurata lungo la traiettoria, del punto mobile da un qualsiasi punto prefissato della traiettoria.

Se si assegna alla traiettoria anche un verso di percorrenza, come mostrato in figura 2.3, la posizione occupata dal punto materiale è allora completamente determinata.

Per analizzare il moto su una traiettoria prestabilita si associa un valore numerico alla lunghezza dell’arco che separa la posizione P dall’origine O, presa positiva se P segue O in base al verso positivo, negativa se P precede O. Si fissa cioè lungo la traiettoria un sistema di ascisse curvilinee. Ad ogni valore del tempo t corrisponde così un determinato valore s (positivo o negativo) dell’ascissa della particella.

L’ascissa s è dunque una funzione del tempo, il che si indica con la notazione

s = s(t)

che prende il nome di equazione oraria del moto.

Fig. 2.3. Posizione di P individuata mediante un sistema di ascisse.

Fig. 2.3. Posizione di P individuata mediante un sistema di ascisse.


Il moto rettilineo

Se il punto materiale si muove su una linea retta, il suo moto si dice rettilineo e si può assimilare la linea lungo la quale si muove il corpo a un asse orientato, dotato di origine, quale l’asse x. Il verso positivo dell’asse è nella direzione dei numeri crescenti, la direzione opposta è il verso negativo. Il moto rettilineo rappresenta il moto di molti sistemi fisici. La posizione che il punto materiale occupa, rispetto ad un punto assunto come origine, con il passare del tempo sarà data dal valore che l’ascissa x assume per i vari istanti considerati, come indicato in tabella 2.1. L’equazione oraria del moto assume, nel caso di un moto rettilineo, l’espressione:

x = x(t)

e la sua rappresentazione grafica in un sistema di riferimento di coordinate (x, t) prende il nome di diagramma orario, o grafico spazio-tempo. Lo spostamento, cioè la variazione della posizione tra due istanti successivi, sarà quindi fornito dall’espressione:

Δx = xf – xi = x(tf) – x(ti)

dove il simbolo Δ rappresenta la variazione di valore di una grandezza, ottenuta sottraendo il valore iniziale di quella grandezza al suo valore finale; tale differenza deve tener conto anche dei segni delle ascisse x.

Tabella 2.1. Posizione e tempo a cui essa viene occupata.

Tabella 2.1. Posizione e tempo a cui essa viene occupata.


La velocità scalare media per un moto rettilineo

L’idea intuitiva di maggiore o minore rapidità del moto si precisa nel concetto fisico di velocità.

Per un punto materiale in moto rettilineo, che si sposta di un tratto _x in un intervallo di tempo _t, la velocità scalare media è definita dalla

vx,med = Δx/Δt = (xf – xi) / (tf – ti)

Le dimensioni della velocità nel SI sono date dalla

[v] = L / T → m/s

A volte si può trovare la velocità espressa anche in km/h.

In generale, la velocità scalare media dipende dall’intervallo di tempo che si considera, ma non dal particolare percorso in quanto è proporzionale allo spostamento.

In figura 2.4 (fig. 2.1.a in Jewett & Serway), come esempio di moto rettilineo, è mostrata una macchina, il cui moto può essere assimilato a quello di una punto materiale, che va avanti e indietro lungo l’asse x. Le posizioni occupate dalla macchina ogni 10 secondi sono indicate in figura dalle lettere A, B, C, D, E ed F.

Fig. 2.4. Rappresentazione del moto rettilineo di una macchina.

Fig. 2.4. Rappresentazione del moto rettilineo di una macchina.


La velocità scalare media: grafico spazio-tempo

La figura 2.5 mostra in un grafico spazio-tempo le sei posizioni mostrate nella figura precedente (A, B, C, D, E, F,), i cui valori dell’ascissa x e del tempo t corrispondente sono riportati nella tabella 2.2. La curva colorata che raccorda le sei posizioni indica un possibile andamento grafico della funzione x (t). Altri andamenti, purché passino per i sei punti, sono ugualmente possibili.

Tabella 2.2. Posizione, ascissa e tempo a cui essa viene occupata.

Tabella 2.2. Posizione, ascissa e tempo a cui essa viene occupata.

Fig. 2.5. Grafico spazio-tempo del moto della macchina (fig. 2.1.b in Jewett & Serway).

Fig. 2.5. Grafico spazio-tempo del moto della macchina (fig. 2.1.b in Jewett & Serway).


La velocità scalare media: grafico velocità-tempo

La figura 2.6 mostra la rappresentazione grafica velocità- tempo del moto della macchina in esame.

Se assumiamo la velocità costante durante gli incrementi di tempo Dtn nei quali è stato suddiviso l’incremento di tempo Dt, lo spostamento Dxn è dato da

Δxn =  vn Δtn

e lo spostamento totale è quindi dato dalla

Δx  =  Σn Δxn =  Σn vn Δtn

Questa sommatoria è un’approssimazione, avendo considerato costante la velocità negli incrementi di tempo Δtn.

Se facciamo tendere a zero questi incrementi di tempo, lo spostamento totale sarà dato dalla relazione

Δx  =  limΔt→0Σn Δxn = limΔt→0 Σn vn Δtn

Quindi lo spostamento della particella durante l’intervallo di tempo da ti a tf è uguale all’area sotto la curva fra i punti iniziale e finale del grafico velocità-tempo.

Fig. 2.6. Rappresentazione grafica velocità-tempo del moto della macchina (fig. 2.1.c in Jewett & Serway).

Fig. 2.6. Rappresentazione grafica velocità-tempo del moto della macchina (fig. 2.1.c in Jewett & Serway).


Il calcolo della velocità scalare media

In figura 2.7 un esempio di grafico spazio-tempo del moto di un punto materiale da cui si possono ricavare le velocità scalari medie e tramite la relazione

vx,med = Δx/Δt = (xf – xi) / (tf – ti)

I valori degli spostamenti e dei relativi intervalli di tempo valgono

Δx1 = [6 – (–2)] m = 8 m

Δt1 = Δy = (7 – 3) s = 4 s

vx,med = <v1> = 8 m / 4 s = 2 m/s

Δx2 = [3 – (–2)] m = 5 m

Δt2 = Δy = (6 – 3) s = 3 s

vx,med = <v2> = 5 m / 3 s = 1,67 m/s

Fig. 2.7. Grafico spazio-tempo dal quale si può ricavare i valori della velocità scalare media.

Fig. 2.7. Grafico spazio-tempo dal quale si può ricavare i valori della velocità scalare media.


La velocità scalare istantanea

Se consideriamo ancora il moto della macchina, nella figura 2.8 è riportato il grafico spazio-tempo con due linee blu che rappresentano le velocità medie su due intervalli di tempo, una positiva (da A a B) ed una negativa (da A a E). Entrambe le velocità non rappresentano in modo corretto la velocità istantanea nel punto A.

Nella figura 2.9 sono rappresentate le velocità medie quando il punto B si avvicina ad A, cioè quando l’intervallo di tempo tB – tA tende a zero. Le pendenze delle linee blu si avvicinano a quella della linea verde, che è la retta tangente alla curva nel punto A.

Quindi la velocità scalare istantanea vx è data dall’espressione

vx ≡  limΔt→0Δx/Δt  =  dx/dt

La velocità scalare istantanea può essere positiva, nulla o negativa quando la pendenza della retta tangente alla curva assume tali valori.

Fig. 2.8. Grafico spazio-tempo (fig. 2.2.a in Jewett & Serway).

Fig. 2.8. Grafico spazio-tempo (fig. 2.2.a in Jewett & Serway).

Fig. 2.9. Ingrandimento della figura 2.7 (figura 2.2.b in Jewett & Serway).

Fig. 2.9. Ingrandimento della figura 2.7 (figura 2.2.b in Jewett & Serway).


Il calcolo della velocità scalare istantanea

In figura 2.10 un esempio di grafico spazio-tempo del moto di una particella rappresentato dall’equazione oraria

x = 3 t2

da cui si può ricavare la velocità scalare istantanea tramite la relazione

vx = dx/dt

Come prima cosa, si calcola la derivata dell’equazione oraria

dx/dt = d(3 t2) / dt = 6 t

Questa espressione fornisce il valore della velocità scalare istantanea per ogni istante t. Per calcolare il suo valore nel momento desiderato, basta sostituire alla variabile t il valore 3,0 s

vx = 6 · (3,0 s) = 18 m/s

Dalla figura 2.9 si può osservare che il valore della velocità istantanea trovato per t = 3,0 s è uguale alla pendenza della retta tangente alla curva in questo punto, come deve essere per il significato geometrico della derivata a una curva.

Fig. 2.10 Grafico spazio-tempo per l’equazione oraria x = 3 t2 (fig. 2.4 in Jewett & Serway).

Fig. 2.10 Grafico spazio-tempo per l'equazione oraria x = 3 t2 (fig. 2.4 in Jewett & Serway).


L’accelerazione scalare

Per un punto materiale che, muovendosi lungo l’asse x, abbia velocità vxi all’istante ti e vxf all’istante tf, si definisce accelerazione scalare media nell’intervallo di tempo Δt = tf – ti la grandezza

ax,med = (vxf – vxi) / (tf – ti) = Δvx/Δt

le cui dimensioni nel SI sono fornite dalla

[a] = L / T2 → m/s2

Analogamente alla velocità, si definisce accelerazione scalare istantanea il limite dell’accelerazione scalare media quando Δt tende a zero:

ax = lim Δx ->0 Δvx/ Δt = dvx/dt = d/dt (dx/dt) = d2x/dt2

quindi l’accelerazione è uguale alla derivata seconda della posizione rispetto al tempo.

Se si conosce l’equazione oraria del moto x = x(t) è possibile conoscere istante per istante l’accelerazione eseguendo la derivata seconda rispetto al tempo dell’equazione oraria.

Il calcolo dell’accelerazione scalare – 1

Come esempio di calcolo dell’accelerazione media, consideriamo un punto materiale che si muove lungo l’asse x con una velocità che dipende dal tempo secondo l’espressione

vx = 40 – 5 t2

dove 40 ha le dimensioni nel SI uguali a m/s e 5 uguali a m/s3 e la cui rappresentazione grafica è mostrata in figura 2.11.

Per tale moto, troviamo l’accelerazione media tra i punti A e B.

vxA = 40 – 5 tA2 = 40 m/s – 5 m/s3 (0 s)2 = 40 m/s
vxB = 40 – 5 tB2 = 40 m/s – 5 m/s3 (2,0 s)2 = 20 m/s

quindi l’accelerazione media nell’intervallo Δt = tB – tA sarà

ax,med = (vxB – vxA) / (tB – tA) = (20 m/s – 40 m/s) / (2,0 s – 0 s) = – 10 m/s2

Fig. 2.11. Grafico velocità-tempo per la relazione vx = 40 – 5 t2 (figura 2.10 in Jewett & Serway).

Fig. 2.11. Grafico velocità-tempo per la relazione vx = 40 – 5 t2 (figura 2.10 in Jewett & Serway).


Il calcolo dell’accelerazione scalare – 2

Come esempio di calcolo dell’accelerazione istantanea, consideriamo un punto materiale che si muove lungo l’asse x con una velocità che dipende dal tempo secondo l’espressione

vx = 40 – 5 t2

e troviamo l’accelerazione istantanea per t = 2,0 s.

ax = dvx/dt = d/dt (40 – 5 t2) = – 10 t

dove 10 ha le dimensioni di m/s3. Per t = 2,0 s si avrà

ax(t = 2,0 s) = – 10 m/s3 · (2,0 s) = – 20 m/s2

che corrisponde alla pendenza della retta tangente alla curva rappresentata nella figura 2.11 nel punto t = 2,0 s.

Il moto uniforme

Si dice moto uniforme quello di un punto materiale che in ogni istante di tempo ha accelerazione nulla e velocità costante, uguale alla velocità media calcolata in qualsiasi intervallo di tempo.

Se la traiettoria è una retta, il moto si dice moto rettilineo e uniforme.

Per un moto lungo l’asse x vale l’espressione

vx = vx,med = (xf – xi) / (tf – ti)     →     xf = xi + vx (tf – ti)

Se vx > 0 il moto si dice progressivo, se vx < 0 il moto si dice retrogrado.

Se poniamo ti = 0 e indichiamo tf con t, si avrà

xf = xi + vx t

In figura 2.12, i punti rossi rappresentano il diagramma orario di una particella con velocità fornita dalla

vx,R = (8 m – 5 m) / (2 s – 1 s) = 3 m/s

i neri con velocità

vx,N = (4 m – 3 m) / (2 s – 1 s) = 1 m/s

Figura 2.12. Grafici spazio-tempo per particelle in moto lungo l’asse x con velocità costante.

Figura 2.12. Grafici spazio-tempo per particelle in moto lungo l'asse x con velocità costante.


Il moto vario

Si dice moto vario il moto di un punto materiale che ha un’accelerazione diversa da zero.

Se la traiettoria è una retta, allora il moto si dice moto rettilineo e vario.

Per un moto rettilineo vario valgono, per accelerazione, velocità e posizione, le espressioni

ax = dvx/dt = d2x/dt2

vx = dx/dt

x = x(t)

Se è nota l’accelerazione e si vuole determinare la velocità tra l’intervallo di tempo ti = 0 e tf = t, vale la relazione

ax dt = dvx ⇒  ∫0t ax (t) dt = ∫0v vx dv  ⇒  vx(t) = vx0 + ∫0t ax (t) dt

Se è nota la velocità e si vuole determinare la posizione per un generico istante t, avendo assunto ti = 0, si ha la relazione

vx dt = dx ⇒ x(t) = x0 +∫0t vx (t) dt

Il moto uniformemente vario

Si dice uniformemente vario (o uniformemente accelerato) il moto di un punto materiale la cui accelerazione rimanga costante nel tempo (ma diversa da zero).

Le relazioni ricavate per il moto vario, nel caso di un moto rettilineo con accelerazione costante, diventano le equazioni cinematiche:

xf = xi + ½(vxi + vxf) t

xf = xi + vxi t + ½ ax t2

vxf = vxi + ax t

vxf2 = vxi2 + 2 ax (xf – xi)

Queste relazioni tra accelerazione, velocità, posizione e tempo, le cui rappresentazioni grafiche sono riportate in figura 2.13, sono utilizzate per risolvere problemi riguardanti il moto unidimensionale di una particella con accelerazione costante.

Fig. 2.13. x, v3 e ax per un moto uniformemente vario (fig. 2.12 in Jewett & Serway).

Fig. 2.13. x, v3 e ax per un moto uniformemente vario (fig. 2.12 in Jewett & Serway).


Il moto verticale dei gravi

Un caso particolarmente notevole di moto rettilineo uniformemente vario è offerto dal moto verticale dei corpi sotto l’azione del loro peso. L’esperienza quotidiana sembrerebbe indicare moti diversi per corpi differenti in caduta libera; questa diversità è dovuta esclusivamente alla presenza perturbatrice dell’atmosfera che offre al moto del corpo una resistenza che dipende fortemente dalla forma dei corpi.

Si può invece verificare che tutti i corpi, qualunque sia la loro natura e la loro forma, cadono nel vuoto con la stessa accelerazione costante, detta accelerazione di gravità.

La figura 2.14 (fig. 2.14 in Jewett & Serway), mostra una mela e una piuma che, rilasciati in quiete in una camera sotto vuoto, cadono nello stesso modo. Le frecce viola indicano la loro accelerazione costante (g = 9,80 m/s2) e le frecce rosse la loro velocità che aumenta linearmente nel tempo (essendo costante l’accelerazione).

Poiché il moto è in direzione verticale verso il basso, si assume come traiettoria l’asse y invece dell’asse x e come accelerazione ay = – g = – 9,80 m/s2

Figura 2.14. Mela e piuma cadono con la accelerazione g (figura 2.14 in Jewett & Serway).

Figura 2.14. Mela e piuma cadono con la accelerazione g (figura 2.14 in Jewett & Serway).


Esercizio 2.1

2.1) Un corpo viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale vyi di 12 m/s. Trascurando la resistenza dell’aria, determinare:

1. Il tempo che il corpo impiega a raggiungere il punto di massima altezza.

Nel punto di massima altezza il corpo si ferma per un istante (vx = 0) , per cui:

vyf = vyi + ay t   ⇒   0 = vyi – g t   ⇒  t = vyi / g = 12 m/s / 9,80 m/s2 = 1,225 s

2. L’altezza massima a cui il corpo giunge.

vyf2 = vyi2 + 2 ay (yf – yi)   ⇒  0 = vyi2 – 2 g ymax

ymax = vyi2 / 2g = (12 m/s)2 / 2 · (9,80 m/s2) = 7,35 m

Esercizio 2.2

2.2) Una ragazza lancia un mazzo di chiavi a un’amica affacciata a una finestra a un’altezza di 400 cm. Le chiavi vengono afferrate dopo 1.5 s. (yf = 400 cm    t = 1.5 s). Determinare:

1.    La velocità delle chiavi all’istante del lancio.

yf = yi + vyi t + ½ ay t2 ⇒  4,00 m = 0 + vyi · (1,5 s) + ½ · (– 9,80 m/s2) · (1,5 s)2

⇒   vyi = [4,00 + ½ · 9,80 · (1,5)2] / 1,5 = 10,00 m/s

2.    La velocità delle chiavi nell’istante prima di essere afferrate.

vf = vi + ay t   ⇒    vf = 10 m/s + (– 9,80 m/s2) · (1,5 s) = – 4,68 m/s

Esercizio 2.3

2.3) Un aereo atterra alla velocità di 100 m/s e, per fermarsi, può decelerare al massimo di -5 m/s2.
(vxi = 100 m/s            vxf = 0             ax = –5 m/s2).

1. All’istante in cui tocca il suolo, qual è il minimo intervallo di tempo per fermarsi?

Applicando le relazioni del moto uniformemente vario, supponendo ax costante:

vxf = vxi + ax t ⇒ 0 = 100 m/s + (– 5 m/s2) · t  ⇒  t = (100 m/s) / (5 m/s2) = 20 s

2. Può questo aereo atterrare in una pista lunga 0.800 km?

Calcoliamo lo spazio necessario all’aereo per frenare

vxf2 = vxi2 + 2 ax (xf – xi) ⇒ 0 = (100 m/s)2 + 2 (–5 m/s2) (xf – 0) ⇒ 10000 = 10 xf ⇒ xf = 1000 m

quindi l’aereo non può atterrare in una pista lunga 0,800 km.

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