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Gianfranco Grossi » 1.Grandezze fisiche e loro misura


Lo scopo della fisica

Molto sinteticamente si può dire che è scienza ogni disciplina basata su fatti sperimentali, scienza esatta ogni scienza in grado di controllare il fenomeno osservato. Quindi la Biologia è scienza, la Medicina è scienza, la Fisica è scienza esatta, ma l’Astrologia non è scienza e non è esatta.

Lo scopo della Fisica è descrivere (cioè fornire risposte su come avvengono) i fenomeni naturali.

Tale descrizione avviene attraverso la formulazione delle leggi della Fisica, cioè di relazioni che permettano la determinazione, anche numerica, delle grandezze fisiche che caratterizzano il fenomeno descritto.

Le leggi della Fisica, una volta determinate, si suppone che siano valide in tutto l’universo e per sempre, dall’origine dei tempi, oggi e nel futuro.

Le leggi della Fisica vanno considerate precarie, nel senso che si può sempre incontrare un fenomeno che non viene spiegato dalla teoria. Occorre quindi rigettare la teoria e costruirne una più completa.

Le lezioni di questo corso si basano sul libro: R. A. Serway & J. W. Jewett – Principi di Fisica, Volume I, Quarta edizione. EdiSES, Napoli, 2007, che sarà indicato nel testo come “Serway & Jewett “.

Copertina del libro di testo consigliato.

Copertina del libro di testo consigliato.


Le grandezze fisiche e la loro misura

La definizione di una grandezza fisica si dice operativa quando fornisce, insieme alle sue caratteristiche, anche il modo di misurare tale grandezza.

Misurare una grandezza fisica significa associarle un valore numerico che indica quante volte essa è minore o maggiore di una grandezza ad essa omogenea, assunta come campione di riferimento, a cui si attribuisce il valore unitario.

Grandezze fisiche si dicono omogenee quando possono essere misurate attraverso le stesse operazioni.

La misura di una grandezza si dice diretta quando si effettua per confronto con una grandezza ad essa omogenea scelta come campione di riferimento, come mostrato in figura 1.1.

La misura di una grandezza si dice indiretta quando il suo valore è ottenuto dalla misura di altre grandezze, legate ad essa da una legge fisica.

Figura 1.1. Misura diretta della lunghezza AB tramite confronto con il campione C.

Figura 1.1. Misura diretta della lunghezza AB tramite confronto con il campione C.


Le dimensioni di una grandezza

Una grandezza fisica è detta fondamentale quando la sua definizione non dipende dalla definizione di altre grandezze e quindi la sua misura è effettuata per confronto con un campione di riferimento.

Una grandezza fisica si dice derivata quando la sua definizione dipende dalla definizione di altre grandezze (fondamentali o derivate a loro volta).

Le leggi fisiche, attraverso le quali sono definite le grandezze derivate, forniscono la relazione che lega ogni grandezza a quelle scelte come fondamentali.

Ogni grandezza derivata può quindi esprimersi come prodotto di fattori ciascuno dei quali è una potenza di esponente opportuno (positivo, negativo, nullo, intero o frazionario) di una delle grandezze fondamentali. Se indichiamo con L una generica lunghezza, con T un tempo e con M una massa, le grandezze derivate che si basano solo su queste tre grandezze fondamentali si possono esprimere mediante il prodotto

La Tb Mc

Si dice allora che gli esponenti a, b e c sono le dimensioni di tale grandezza ordinatamente rispetto alle lunghezze, ai tempi e alle masse ed il prodotto suindicato si dice equazione dimensionale della grandezza fisica.

Ad esempio, la superficie S ha le dimensioni di una lunghezza L al quadrato; in simboli: [S] = L2

La velocità v ha le dimensioni di una lunghezza L divisa un tempo T; in simboli: [v] = L T-1

L’analisi dimensionale

L’analisi dimensionale utilizza il fatto che le dimensioni di una grandezza fisica possono essere trattate come grandezze algebriche. Per esempio, le grandezze possono essere sommate o sottratte tra loro solamente se hanno le stesse dimensioni. Inoltre, i termini di ciascun membro di una equazione debbono avere le stesse dimensioni.

Il controllo dimensionale di una relazione tra grandezze fisiche espressa tramite un’equazione è una condizione necessaria ma non sufficiente per verificare la sua correttezza.

Un esempio di controllo dimensionale è mostrato in figura 1.2, dove le dimensioni delle grandezze fisiche indicate sono: spazio [s] = L; velocità [v] = L/T; accelerazione [a] = L/T2.

Figura 1.2. Esempio di controllo dimensionale di un’equazione fisica.

Figura 1.2. Esempio di controllo dimensionale di un'equazione fisica.


I sistemi di unità di misura

La scelta delle grandezze fisiche fondamentali e quella dei campioni che le rappresentano sono arbitrarie. Operare ltale scelta significa stabilire un sistema di unità di misura.

Nel 1971 sono state selezionate sette grandezze fisiche come fondamentali che costituiscono la base del Sistema Internazionale di Unità (SI) rappresentate in tabella 1.1.

Tabella 1.1. Grandezze fisiche fondamentali nel Sistema Internazionale di Unità.

Tabella 1.1. Grandezze fisiche fondamentali nel Sistema Internazionale di Unità.


L’unità di lunghezza: il metro

L’unità di misura per le lunghezze nel SI è il metro il cui simbolo è m.

Esso fu adottato per la prima volta come unità fondamentale in un sistema di unità di misura dalla Repubblica Francese nel 1792, definendolo come la decimilionesima parte della distanza fra il polo nord e l’equatore e realizzando un metro campione come distanza fra due incisioni su una barra di metallo.

L’esigenza di una maggiore precisione portò nel 1983 ad una nuova definizione: il metro è la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/(299 792 458) secondi, avendo assunto come valore della velocità della luce nel vuoto 299 792 458 m/s

Tabella 1.2. Valori approssimati di alcune lunghezze.

Tabella 1.2. Valori approssimati di alcune lunghezze.


L’unità di tempo: il secondo

La durata di un intervallo di tempo (tempo trascorso tra due avvenimenti) può essere misurato scegliendo come riferimento un fenomeno periodico, cioè che si ripeta sempre nello stesso modo.

Se si assume come fenomeno periodico di riferimento la durata del giorno solare medio, il cui valore è mediato su quelli che assume durante l’anno ed è costituito da 86 400 secondi, l’unità di misura dell’intervallo di tempo è il secondo solare medio il cui simbolo è s.

In analogia a quanto fu fatto per il metro, nel 1967 la sua definizione è cambiata in: il secondo è la durata corrispondente a 9 192 631 770 oscillazioni della radiazione emessa da un atomo di cesio 133 nella transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale.

Tabella 1.3. Valori approssimati di alcuni intervalli di tempo.

Tabella 1.3. Valori approssimati di alcuni intervalli di tempo.


L’unità di massa: il chilogrammo

Il campione di unità di misura della massa nel SI è il chilogrammo che rappresenta la massa di un blocco cilindrico di platino-iridio, conservato al Bureau des Poids et Mesures di Sèvres, nei pressi di Parigi e il cui simbolo è kg.

Figura 1.3. Campione internazionale di 1 kg dell’unità di misura della massa.

Figura 1.3. Campione internazionale di 1 kg dell'unità di misura della massa.

Tabella 1.4.Valori approssimati delle masse di alcuni corpi.

Tabella 1.4.Valori approssimati delle masse di alcuni corpi.


I multipli

Quando si ha a che fare con misure di grandezze molto grandi o molto piccole, si usano i multipli e sottomultipli elencati nelle tabelle 1.5 e 1.6.

Tabella 1.5. Multipli nel SI.

Tabella 1.5. Multipli nel SI.


I sottomultipli

Tabella 1.6. Sottomultipli nel SI.

Tabella 1.6. Sottomultipli nel SI.


La notazione scientifica

Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli si utilizza la notazione scientifica, che utilizza le potenze di 10. Esempi di questa notazione:

2 430 000 000 m = 2,43 · 109 m ; 0, 000 000 375 kg = 3,75 · 10-7 kg

Per esprimere in modo compatto grandezze fisiche grandi o piccole, generalmente si utilizza la notazione seguente:

numero a una, due o tre cifre seguito da multiplo o sottomultiplo (di tre in tre) dell’unità di misura.

Esempio:

57.800 g = 5,78 x 104 g = 5,78 x (101 x 103) g = 57,8 kg

0,0047 g = 4,7 x 10-3 g = 4,7 mg

0,00047 g = 4,7 x 10-4 g = 4,7 x (102 x 10-6) g = 470 mg

Per confrontare tra loro valori di grandezze fisiche molto grandi o molto piccoli, può essere conveniente esprimere tali valori tramite il loro ordine di grandezza, cioè la sola potenza di 10 che meglio approssima il valore reale.

Esempio: Atomo di idrogeno: raggio dell’atomo = 0,53 · 10-10 m ≈ 10-10 m, raggio del nucleo =1,5 · 10-15 m ≈ 10-15 m

Rapporto tra i raggi: 10-10/10-15 = 105 =>  l’atomo di idrogeno è 100 000 volte più grande del suo nucleo

I fattori di conversione

Per convertire le unità di misura dal SI a un altro sistema e viceversa, si moltiplica il valore della grandezza per il rapporto tra l’unità di partenza e quella di arrivo (fattore di conversione).

Esempi di conversione in unità del SI:

35 cm = 35 · 10-2 m

7 kg = 7 · 103 g

72 km/h = (72 · 103 m)/(3600 s) = 20 m/s

Alcuni dei più usati fattori di conversione in unità del SI sono riportati nella tabella.

Tabella 1.7. Qualche fattore di conversione in unità del SI.

Tabella 1.7. Qualche fattore di conversione in unità del SI.


Le grandezze scalari e vettoriali

Col nome di grandezze scalari o semplicemente scalari s’indicano quelle grandezze fisiche completamente definite dal numero che ne esprime la misura.

Tali sono i tempi, le masse, le temperature, ecc.

Per contro, alcune grandezze fisiche sono completamente definite solo quando, oltre al valore numerico, se ne assegni anche la direzione e il verso.

Tali grandezze prendono il nome di grandezze vettoriali o più semplicemente vettori.

Se un punto materiale si sposta dalla posizione A alla posizione B lungo un cammino arbitrario, rappresentato nella figura 1.4 dalla linea tratteggiata, il suo spostamento è un vettore rappresentato dalla freccia orientata da A a B.

Gli spostamenti, le velocità, le accelerazioni, le forze, ecc. sono grandezze vettoriali.

Figura 1.4. Rappresentazione vettoriale dello spostamento (figura 1.6 in Jewett & Serway).

Figura 1.4. Rappresentazione vettoriale dello spostamento (figura 1.6 in Jewett & Serway).


I vettori

Un vettore è rappresentato graficamente mediante un segmento orientato, avente direzione e verso coincidenti con quelli del vettore e lunghezza proporzionale al numero che ne misura l’intensità e che prende il nome di modulo del vettore.

I vettori possono essere simbolicamente rappresentati in più modi: attraverso una lettera minuscola in grassetto (a), o con coppie di lettere maiuscole indicanti gli estremi sormontate da una freccia (AB) o sottolineate (AB), come indicato nella figura 1.5.

Figura 1.5. Differenti simbolismi per raffigurare le grandezze vettoriali.

Figura 1.5. Differenti simbolismi per raffigurare le grandezze vettoriali.


Il vettore opposto e il prodotto vettore-scalare

Due vettori a e b sono equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso, uguali se hanno anche la stessa unità di misura. Non è quindi necessario che abbiano origine nello stesso punto, il che permette di traslare un vettore parallelamente a se stesso senza alterarlo.

L’opposto di un vettore a è definito come quel vettore –a che ha lo stesso modulo, la stessa direzione ma verso opposto, come mostrato in figura 1.6, a sinistra.

Se un vettore a viene moltiplicato per uno scalare n, il prodotto vettore-scalare na è un vettore che ha modulo uguale a na, direzione uguale a quella del vettore a e verso concorde con quello del vettore a se n è positivo, discorde se n è negativo, come mostrato in figura 1.6, a destra.

Figura 1.6. Rappresentazione del vettore opposto e del prodotto vettore-scalare.

Figura 1.6. Rappresentazione del vettore opposto e del prodotto vettore-scalare.


Le operazioni con vettori: addizione e sottrazione

La somma (o risultante) di due vettori è un vettore

s = a + b

che non coincide con la consueta somma algebrica tra due numeri.

Esistono due metodi per calcolarla:

  • regola del parallelogramma: il vettore a + b è quella diagonale del parallelogramma avente come lati a e b che parte dai punti iniziali di tali vettori (a sinistra nella figura 1.7);
  • metodo punta-coda: fatta coincidere la coda del vettore b con la punta del vettore a, il vettore a + b avrà la coda coincidente con la coda di a e la punta coincidente con la punta di b (a destra nella figura 1.7).

La somma vettoriale gode della proprietà commutativa: a + b = b + a e della proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c).

La differenza tra due vettori d = a – b si ottiene sommando il vettore a con –b, vettore opposto di b. Graficamente, fatta coincidere la punta del vettore b con la punta del vettore a, si traccia una freccia dalla coda di b alla coda di a (figura 1.8).

Figura 1.7. Rappresentazione grafica di due metodi per sommare i vettori.

Figura 1.7. Rappresentazione grafica di due metodi per sommare i vettori.

Figura 1.8. Rappresentazione grafica della differenza di due vettori.

Figura 1.8. Rappresentazione grafica della differenza di due vettori.


Le operazioni con vettori: prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori a e b, rappresentati in figura 1.9, è una grandezza scalare s uguale al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo da essi formato:

s = a · b = a · b · cos θ = a · cos θ · b = b · cos θ · a

Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa

a · b = b · a

e della proprietà distributiva della moltiplicazione

a · (b + c) = a · b + a · c

Nel caso particolare di b = a si ha

a · a = a2

Per particolari valori dell’angolo θ si avrà

θ = 0° => a · b = a · b · cos 0° = a · b · (+1) = a · b

θ = 90° => a · b = a · b · cos 90° = a · b · (0) = 0

θ = 180° => a · b = a · b · cos 180° = a · b · (-1) = – a · b

Figura 1.9. Rappresentazione grafica del prodotto scalare di due vettori.

Figura 1.9. Rappresentazione grafica del prodotto scalare di due vettori.


Le operazioni con vettori: prodotto vettoriale

Il prodotto tra due vettori a e b che dà come risultato un vettore si chiama prodotto vettoriale

c = a x b

Il vettore c , risultato del prodotto vettoriale, ha

  • modulo: c = a b sen Φ
  • direzione: perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b
  • verso: fornito tramite la regola della mano destra illustrata in figura 1.10.

Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa

a x b = – b x a

In figura 1.10 è rappresentato il vettore c (= a x b), in figura 1.10.b il vettore opposto c’ (= b x a).

Nel caso particolare di b = a si ha

a x a = 0

Figura 1.10. Rappresentazione grafica del prodotto vettoriale di due vettori.

Figura 1.10. Rappresentazione grafica del prodotto vettoriale di due vettori.


Le componenti di un vettore

Se consideriamo un vettore collocato in un sistema di coordinate ortogonali, si definiscono componenti del vettore lungo gli assi le sua proiezioni sugli assi che si ottengono tracciando le perpendicolari agli assi dai due estremi del vettore.

Nella figura 1.11, ax è la componente del vettore a sull’asse x, mentre ay è la componente lungo l’asse y.

Le relazioni tra i moduli del vettore e delle sue componenti, tenendo conto anche della figura 1.12, sono

ax= a cos θ

ay= a sin θ

a = (ax2 + ay2) ½

tan θ = ay / ax

Figura.1.11. Rappresentazione grafica delle componenti di un vettore.

Figura.1.11. Rappresentazione grafica delle componenti di un vettore.

Figura.1.12. Rappresentazione di un vettore e delle sue componenti.

Figura.1.12. Rappresentazione di un vettore e delle sue componenti.


I versori

I vettori si possono esprimere in termini di versori. Un versore è un vettore adimensionale di lunghezza unitaria che specifica una data direzione orientata.

In un sistema cartesiano, i versori che puntano nelle direzioni dei tre assi orientati sono rappresentati dai simboli î, ĵ e o dai simboli ux, uy e uz, come mostrato in figura 1.13.

Un vettore A che giace nel piano xy ha come componenti i vettori Axi e Ayj, dove Ax e Ay sono i moduli delle componenti di A lungo gli assi, come mostrato in figura 1.14.

Figura 1.13. Versori î,  ĵ  e kˆ lungo gli assi x, y e z (figura 1.16.a in Jewett & Serway).

Figura 1.13. Versori î, ĵ e kˆ lungo gli assi x, y e z (figura 1.16.a in Jewett & Serway).

Figura 1.14. Componenti di un vettore (figura 1.16.b in Jewett & Serway).

Figura 1.14. Componenti di un vettore (figura 1.16.b in Jewett & Serway).


Il prodotto di vettori tramite le componenti

Calcolo del prodotto scalare di due vettori tramite le loro componenti:

a · b = (ax ux + ay uy + az uz) · ( bx ux + by uy + az uz ) = ax bx + ay by + az bz

in quanto valgono le relazioni:

ux · ux = uy · uy = uz · uz = 1

ux · uy = uy · uz = uz · ux = 0

Calcolo del prodotto vettoriale di due vettori tramite le loro componenti:

a x b = (ax ux + ay uy + az uz) · ( bx ux + by uy + az uz ) =

= (ay bz – az by) ux + (az bx -ax bz) uy + (ax by – ay bx) uz

in quanto valgono le relazioni:

ux x ux = uy x uy = uz x uz = 0

ux x uy = uz

uy x uz = ux

uz x ux = uy

Esercizi 1.1-1.3

1.1) Note le dimensioni della grandezza velocità ([v] = L/T) e della grandezza accelerazione ([a] = L/T2), dimostrare che l’equazione vf = vi + at è dimensionalmente corretta. Sostituendo le dimensioni alle grandezze si ha:

L/T = L/T + L/T2·T = L/T + L/T

che rappresenta una relazione dimensionalmente corretta.

1.2) Note le dimensioni della grandezza lavoro meccanico (W = F · s => [W] = M · L/T2 · L) e della grandezza energia cinetica (K = ½ mv2=> [K] = M · L2/T2), dimostrare che la relazione che esprime il teorema dell’energia cinetica

W = Kf – Ki

è dimensionalmente corretta. Sostituendo le dimensioni alle grandezze si ha:

M · L2/T2 = M · L/T2 · L + M · L/T2 · L = M · L2/T2 + M · L2/T2

che rappresenta una relazione dimensionalmente corretta.

1.3) Quali dimensioni devono avere le costanti A e k perché l’equazione s = A cos (kt) sia dimensionalmente corretta. Il primo membro ha le dimensioni di una lunghezza, l’argomento di una funzione trigonometrica deve essere adimensionale, quindi:

[A] = L; [k] = T

Esercizi 1.4-1.6

1.4) Un terreno ha un’area di 1 miglio quadrato, corrispondenti a 640 acri. Determinare il numero di metri quadrati corrispondenti a un acro.

1 miglio = 1 609 m => 1 miglio quadrato = (1 609)2 m2 = 2 588 881 m2 = 640 acri

=> 1 acro = (2 588 881 / 640) m2 = 4046,85 m2

1.5) La massa del Sole è pari a 1,98 · 1030 kg e la massa dell’atomo di idrogeno, del quale il Sole è prevalentemente composto, è uguale a 1,67 · 10-24 g. Quanti atomi di idrogeno ci sono nel Sole?

Numero atomi di idrogeno = massa Sole/ massa atomo di idrogeno = (1,98 · 1030 kg) / (1,67 · 10-24 g) =

= (1,98 · 1030 kg) / (1,67 · 10-24 · 10-3 kg) = (1,98 / 1,67) · 1030 / 10-27 = 1,19 · 1030 · 1027 ≈ 1057

1.6) Per coprire interamente la superficie di una parete di area pari a 25 m2 occorre 1 gallone di vernice. Si calcoli lo spessore della vernice che ricopre la parete.

Assumendo che la vernice abbia la forma di un parallelepipedo rettangolo, si ha

volume vernice = superficie parete · spessore vernice => spessore vernice = volume vernice / superficie parete

=> spessore vernice = 1 gal / 25 m2 = 3,786 10-3 m3 / 25 m2 = 0,01512 10-3 m = 15,12 10-6 m = 15,12 μm

Esercizio 1.7

1.7) Due vettori a e b hanno come componenti: ax = -8,7 cm, ay = 15,0 cm, bx = 13,2 cm e by = -6,6 cm. Se a b + 3c = 0, quali sono le componenti del vettore c?

Rappresentando nella relazione su indicata i vettori tramite le loro componenti espresse con i versori i e j si ha

(ax i + ay j) – (bx i + by j) + 3 (cx i + cy j) = 0

[(-8,7 cm) i + (15,0 cm) j] – [(13,2 cm) i + (-6,6 cm) j] + 3 [(cx i + cy j] = 0

[(-8,7 cm) – (13,2 cm) + 3 cx] i + [(15,0 cm) + (-6,6 cm) + 3 cy] j = 0

[(-8,7 cm) – (13,2 cm) + 3 cx] = 0 => cx = 7,3 cm

[(15,0 cm) + (-6,6 cm) + 3 cy] = 0=>  cy = -2,8 cm

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