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Gianfranco Grossi » 6.Meccanica dei fluidi


I fluidi: densità

I fluidi, cioè i corpi liquidi e gassosi, hanno una struttura corpuscolare che si ripercuote a livello macroscopico in modificazioni di forma e volume, e che può quindi influenzare il loro moto. A tale scopo, conviene introdurre delle grandezze fisiche che rispecchino proprietà che in un fluido possono variare da punto a punto, quali la densità e la pressione.

La densità (ρ) di una sostanza è definita come la sua massa per unità di volume

ρ ≡ Δm/ΔV

Le sue dimensioni sono

[ρ ] = M L3

e nel SI si misura in kg/m3.

In tabella 6.1 sono riportate, per valori crescenti, le densità di alcune sostanze. Si noti che la densità dell’acqua vale 1000 kg/m3, mentre i gas hanno densità che valgono circa 1/1000 di quelle dei liquidi e dei solidi.

Tabella 6.1. Densità di alcune sostanze.

Tabella 6.1. Densità di alcune sostanze.


I fluidi: pressione

Consideriamo all’interno di un fluido un volumetto ΔV di fluido stesso. Su di esso agiscono forze che si possono classificare in forze di volume e forze di superficie. Le forze di volume sono quelle proporzionali al volume, quindi alla massa, come la forza di gravitazione. Le forze di superficie si esercitano sulle facce di ogni volumetto di fluido e sono dovute all’interazione con le molecole di fluido circostanti; sperimentalmente si trova che esse sono proporzionali alla superficie del volumetto di fluido su cui agiscono e dirette verso l’interno dell’elemento di volume. Se indichiamo con FN ogni loro componente normale alle superfici del volumetto di fluido, denominata forza di pressione, e con A l’area della superficie medesima, si definisce pressione (P) la grandezza

P ≡ FN / A

La pressione è quindi una forza per area unitaria. Le sue dimensioni sono

[P] = [F] [A] = M L T-2 L-2 = M L-1 T-2

e nel SI si misura in N/m2 che prende il nome di pascal (Pa)

1 Pa ≡ 1 N/m2

L’atmosfera, in quanto dotata di massa, è soggetta alla forza di gravità e quindi esercita una pressione sulla superficie della Terra dovuta al suo peso. Indicando con P0 la pressione atmosferica, il suo valore sul livello del mare è

P0 = 1,013 x 105 Pa

Questo valore di pressione è spesso usato come unità pratica di pressione e prende il nome di atmosfera (atm).

I fluidi: viscosità -1

Le forze di superficie possono avere anche una componente FT tangente alla superficie del volumetto di fluido e anch’essa proporzionale alla sua area A tramite la

FT ≡ τ A

Essa trae origine dall’attrito interno che contrasta il moto di scorrimento di uno strato di fluido sull’altro. Il coefficiente di proporzionalità τ definisce lo sforzo di taglio; il suo valore dipende dalle caratteristiche del fluido e dalla velocità relativa di scorrimento degli strati. Esso è nullo quando il fluido è in quiete.

Figura 6.1. Andamento della velocità in funzione della profondità in un fluido viscoso.

Figura 6.1. Andamento della velocità in funzione della profondità in un fluido viscoso.


I fluidi: viscosità -2

Le forze di attrito che si sviluppano tra due strati adiacenti di fluido in movimento possono essere evidenziate con un esperimento del tipo di quello schematizzate nella figura 6.1. Un fluido è posto tra due piastre parallele distanti l; la piastra inferiore è ferma, la superiore di area A viene mantenuta in moto rettilineo e uniforme da una forza costante F, parallela alla lastra ed equilibrata dalla forza FT uguale e contraria. Lo strato di fluido aderente alla lastra superiore si muove con la stessa velocità v della lastra, mentre lo strato a contatto con la lastra inferiore rimane fermo. Gli strati intermedi scorrono gli uni sugli altri e questo scorrimento è la causa dell’insorgenza delle forze di attrito. Sperimentalmente si trova che

FT = η A v l-1

dove il coefficiente di proporzionalità η è caratteristico del fluido in esame e prende il nome di coefficiente di viscosità. Le sue dimensioni sono

[η] = L-1 M T-1

e nel SI si misura in m-1 kg s-1

Figura 6.1. Andamento della velocità in funzione della profondità in un fluido viscoso.

Figura 6.1. Andamento della velocità in funzione della profondità in un fluido viscoso.


L’idrostatica: legge di Stevino -1

Consideriamo un liquido di densità ρ in quiete in un recipiente aperto all’atmosfera, come schematizzato nella figura 6.2. Al suo interno identifichiamo una massa M di liquido contenuta in un cilindro circolare retto di sezione A ed altezza h, la cui superficie superiore coincide con la superficie del liquido esposta all’atmosfera. Il fluido esterno al cilindro esercita sulle sue superfici delle forze: quelle orizzontali si annullano in quanto uguali ed opposte, quelle verticali possono essere esplicitate come una forza Fs che agisce sulla superficie superiore e una forza Fi su quella inferiore. Queste forze, che devono tener conto della pressione atmosferica P0 e del peso del cilindro di fluido valgono

Fs = – P0 A j

Fi = – M g + P A j

avendo indicato con P la pressione nel liquido alla profondità h.

Figura 6.2. La variazione di pressione con la profondità in un fluido.

Figura 6.2. La variazione di pressione con la profondità in un fluido.


L’idrostatica: legge di Stevino -2

Poiché il cilindro è fermo, tenendo conto della definizione di densità, si ha

Fs = Fi → – P0 A j = – M g + P A j → P A j = ρ A h g – P0 A j

da cui, semplificando, si ottiene il valore della pressione alla profondità h

P = P0 + ρ g h

cioè la pressione in un punto di un fluido in quiete dipende solo dalla profondità di quel punto. Questa relazione esprime la legge di Stevino, il termine ρ g h assume il nome di pressione idrostatica e rappresenta il peso di una colonna di fluido di sezione unitaria ed altezza h.

Figura 6.2. La variazione di pressione con la profondità in un fluido.

Figura 6.2. La variazione di pressione con la profondità in un fluido.


L’idrostatica: leggi di Pascal e di Archimede -1

Sulla base del fatto che la pressione in un dato fluido dipende solo dalla profondità, si ricava la legge di Pascal: la pressione che si esercita in un punto della superficie limite di un fluido confinato si trasmette inalterata a tutti gli altri punti di tale superficie, in direzione normale alla superficie stessa.

Un corpo immerso in un fluido è soggetto a forze di pressione esercitate dal fluido che lo circonda in modo analogo a quanto precedentemente osservato per un volume di liquido a forma di cilindro immerso nel liquido stesso. Supponiamo che il corpo immerso sia un solido a forma di parallelepipedo in quiete nel fluido, come mostrato nella figura 6.3.

Figura 6.3. Forze agenti su un corpo immerso (figura 15.8 in Jewett & Serway).

Figura 6.3. Forze agenti su un corpo immerso (figura 15.8 in Jewett & Serway).


L’idrostatica: leggi di Pascal e di Archimede -2

Le forze che agiscono sulle facce orizzontali si fanno equilibrio, mentre la risultante delle forze esercitate sulle facce verticali vale

B = Fi Fs = Pi A j – Ps A j = A (Pi – Ps) j = A ρf g h j

avendo indicato con Fi ed Fs le forze di pressione che agiscono sulle facce inferiore e superiore di area A, con ρf la densità del fluido e con h l’altezza del parallelepipedo. Il prodotto A h ρf rappresenta la massa del fluido spostato dal corpo immerso e quindi A h ρf g è uguale al suo peso Fg. Essendo il corpo in quiete rispetto al fluido, vale la relazione vettoriale

B = – Fg

che esprime la legge di Archimede: un solido immerso in un fluido riceve una spinta (di galleggiamento) dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato.

Figura 6.3. Forze agenti su un corpo immerso (figura 15.8 in Jewett & Serway).

Figura 6.3. Forze agenti su un corpo immerso (figura 15.8 in Jewett & Serway).


L’idrostatica: galleggiamento -1

Per la legge di Archimede, un corpo completamente immerso in un fluido è soggetto a una spinta di galleggiamento B che si oppone al suo peso Fg ma non necessariamente lo equilibra. Se Vc è il volume e ρc la densità del corpo, la forza risultante che agisce su di esso vale

R = B Fg = ρf Vc g j – ρc Vc g j = ( ρf – ρc ) Vc g j

ed il suo segno dipende dalle densità  ρf e  ρc. Per  ρf > ρf la risultante è positiva, cioè diretta verso l’alto, pertanto la spinta di galleggiamento è maggiore del peso del corpo, che quindi accelera verso l’alto, come mostrato nella figura 6.4.a. Per ρf<  ρc la risultante è diretta verso il basso, cioè la spinta di galleggiamento è minore del peso del corpo, che quindi accelera verso il basso, come mostrato nella figura 6.4.b.

Figura 6.4. Corpi completamente immersi in un fluido (figura 15.8 in Jewett & Serway).

Figura 6.4. Corpi completamente immersi in un fluido (figura 15.8 in Jewett & Serway).


L’idrostatica: galleggiamento -2

Se il corpo è in quiete e solo parzialmente immerso in un fluido, come mostrato nella figura 6.5, su di esso agiscono la forza di gravità Fg e la spinta di galleggiamento B che si equilibrano, cioè

Fg = B →  ρc Vc g = ρfVf g → ρc / ρf = Vf / Vc

Il rapporto Vf / Vc rappresenta la frazione di volume del corpo immerso nel fluido; per la condizione di equilibrio dinamico, esso è uguale al rapporto fra la densità del corpo ρc e quella del fluido ρf.

Figura 6.5. Un corpo parzialmente immerso in un fluido.

Figura 6.5. Un corpo parzialmente immerso in un fluido.


La fluidodinamica -1

Per descrivere il movimento dei fluidi è necessario introdurre condizioni semplificative, la più drastica delle quali è fare l’ipotesi di moto stazionario. Questa condizione si verifica quando tutte la particelle del fluido che passano in un dato punto in istanti successivi seguono la stessa traiettoria con la stessa velocità. Il percorso della particella è denominato linea di corrente, come mostrato nella figura 6.6. Le altre condizioni riguardano la non viscosità del fluido, la sua incompressibilità, il fatto cioè che cambiamenti di pressione non producono cambiamenti di densità, e l’irrotazionalità del suo moto, vale a dire assenza di vortici. Un fluido che soddisfa queste condizioni viene spesso definito fluido ideale.

Figura 6.6. Linee di corrente di una particella in moto (figura 15.15 in Jewett & Serway).

Figura 6.6. Linee di corrente di una particella in moto (figura 15.15 in Jewett & Serway).


La fluidodinamica -2

Per un fluido ideale esiste una relazione tra la sua velocità e la sezione del condotto nel quale scorre. Con riferimento alla figura 6.7, siano A1 e A2 le aree di due sezioni rette del condotto dove un volume ΔV di fluido entra con velocità v1 relativa alla sezione di area A1 e v2 per la sezione di area A2. Durante l’intervallo di tempo Δt l’elemento di fluido descrive una distanza Δx = v Δt per cui si ha

ΔV = A Δx = A v Δt = A1 v1 Δt = A2 v2 Δt

quando si applica alle sezioni 1 e 2. Semplificando si ottiene la cosiddetta equazione di continuità

A1 v1 = A2 v2 → A v = costante

ossia il prodotto dell’area e della velocità del fluido è costante in tutti i punti del tubo. Tale prodotto, che ha le dimensioni di un volume su tempo, è chiamato portata.

Figura 6.7. Un fluido in moto stazionario (figura 15.16 in Jewett & Serway).

Figura 6.7. Un fluido in moto stazionario (figura 15.16 in Jewett & Serway).


La fluidodinamica: teorema di Bernoulli – 1

Consideriamo un fluido ideale che si muova di moto stazionario in un condotto, schematizzato nella figura 6.8, e siano P1 e P2, v1 e v2, h1 e h2 i valori della pressione, velocità e quota del fluido che attraversa le due sezioni di area A1 e A2.

Applichiamo il teorema dell’energia cinetica al tratto di fluido in questione. Le forze di superficie che compiono lavoro sono quelle agenti su A1 e A2 e il loro lavoro vale

ΔWS = Fs1 x1 – Fs2 x2 = (P1 A1) (v1 Δt) – (P2 A2) (v2 Δt)

dove il segno meno tiene conto del verso del moto (da 1 a 2). Il lavoro svolto dalle forze di volume (la forza di gravità) è dato dalla variazione di energia potenziale, cambiata di segno, della massa Δm di fluido che va ad occupare il volume ΔV (= A1 x1 = A1 v1 Δt = A2 x2 = A2 v2 Δt), cioè

ΔWV = Δm g h1 – Δm g h2 = (ρ1 A1 v1 Δt) g h1 – (ρ2 A2 v2 Δt) g h2

Figura 6.8. Un fluido scorre con regime laminare in un tubo di sezione variabile.

Figura 6.8. Un fluido scorre con regime laminare in un tubo di sezione variabile.


La fluidodinamica: teorema di Bernoulli – 2

La variazione di energia cinetica dell’elemento di massa Δm vale

ΔK = ½ (ρ2 A2 v2 Δt) v22 – ½ (ρ1 A1 v1 Δt) v12

Applicando il teorema dell’energia cinetica

ΔWS + ΔWV = ΔK →

P1 A1 v1 Δt – P2 A2 v2 Δt + (ρ1 A1 v1 Δt) g h1 – (ρ2 A2 v2 Δt) g h2 =

= ½ (ρ2 A2 v2 Δt) v22 – ½ (ρ1 A1 v1 Δt) v12

Figura 6.8. Un fluido scorre con regime laminare in un tubo di sezione variabile.

Figura 6.8. Un fluido scorre con regime laminare in un tubo di sezione variabile.


La fluidodinamica: teorema di Bernoulli – 3

Separando tra loro i termini che si riferiscono alla stessa sezione, si ha

P1 A1 v1 Δt + (ρ1 A1 v1 Δt) g h1 + ½ (ρ1 A1 v1 Δt) v12 = P2 A2 v2 Δt + (ρ2 A2 v2 Δt) g h2 + ½ (ρ2 A2 v2 Δt) v22

e dividendo per Δt A1 v1 = Δt A2 v2 si ha infine l’equazione

P1 + ρ1 g h1 + ½ ρ1 v12 = P2 + ρ2 g h2 + ½ ρ2 v22

che è nota come teorema di Bernouilli, spesso espresso nella forma

P + ρ g h + ½ ρ v2 = costante

cioè per un fluido ideale in moto laminare in un condotto la somma della pressione P, dell’energia cinetica per unità di volume ½ ρ v2 e della pressione idrostatica ρ g h si mantiene costante.

Quando il fluido è fermo, l’equazione che esprime il teorema di Bernouilli diventa

P1 – P2 = ρ2 g h2 – ρ1 g h1 = ρ g h

in accordo con la legge di Stevino.

Un’applicazione della dinamica dei fluidi -1

Consideriamo un aereo in moto. Nella figura 6.9 sono schematizzate le linee di corrente dell’aria che fluisce attorno alla sua ala, in moto da sinistra verso destra. La forma dell’ala è tale da modificare il profilo delle linee di corrente e quindi la velocità dell’aria, che passa da v1 a v2, esercitando una forza che deflette verso il basso le linee di corrente.
Per la terza legge di Newton, l’aria reagisce esercitando sull’ala una forza (F) uguale e opposta. Questa forza si può scomporre in una componente orizzontale (R), denominata resistenza aereodinamica, e una verticale (P), la portanza.

La resistenza è composta fondamentalmente da tre termini:

  • la resistenza di attrito, dovuta alla viscosità del fluido (aria);
  • la resistenza di pressione, dovuta alla differenza di pressione agente sulla parte anteriore e posteriore dell’aereo in moto;
  • la resistenza indotta, dovuta al meccanismo di generazione della portanza.
Figura 6.9. Un’ala di aereo in moto (figura 15.19 in Jewett & Serway, modificata).

Figura 6.9. Un'ala di aereo in moto (figura 15.19 in Jewett & Serway, modificata).


Un’applicazione della dinamica dei fluidi -2

La portanza generata dalle ali e da altri parti della struttura, quando un aereo vola mantenendo un assetto orizzontale, ne controbilancia il peso.

Applicando il teorema di Bernouilli si può verificare che sia la resistenza che la portanza dipendono da vari fattori, quali la densità dell’aria, il quadrato della velocità relativa della corrente d’aria, la superficie alare, la sua curvatura e l’angolo con cui il profilo dell’ala è posto rispetto alla direzione della corrente (angolo d’attacco o incidenza).

Figura 6.9. Un’ala di aereo in moto (figura 15.19 in Jewett & Serway, modificata).

Figura 6.9. Un'ala di aereo in moto (figura 15.19 in Jewett & Serway, modificata).


Esercizio 6.1.a

6.1) Un’applicazione della legge di Pascal si ha nella pressa idraulica, schematizzata nella figura 6.10. Quando una forza F1 è applicata ad un pistone di area A1, la pressione si trasmette attraverso il fluido ad un pistone di area A2 attraverso la forza F2. Poiché la pressione sui due pistoni è la stessa

P = F1 / A1 = F2 / A2

si ha

F1 / F2 = A1 / A2

Se il rapporto tra le aree è molto piccolo, si può ottenere una forza elevata (F2) applicandone una di bassa intensità (F1).

Consideriamo ora una pressa idraulica utilizzata come sollevatore per auto, avente un pistone di raggio 5,0 cm e l’altro di raggio 15,0 cm.

1. Se un’auto che pesa 13 300 N è posta sul pistone più grande, quale forza deve essere esercitata sul più piccolo per poterla sollevare?

F1 = (A1 / A2) F2 = [π (5,0 x 10-2 m)2 / π (15,0 x 10-2 m)2] (1,33 x 104 N) = 1,48 x 105 N

Figura 6.10. Schema di una leva idraulica (figura 15.5 in Jewett & Serway).

Figura 6.10. Schema di una leva idraulica (figura 15.5 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.1.b

2. Quale pressione produrrà questa forza?

P = F1 / A1 = (1,48 x 105 N) / [π (5,0 x 10-2 m)2] = 1,88 x 105 Pa

3. Considerando la pressa idraulica come un sistema non isolato, verificare se il trasferimento di energia in entrata è uguale, in valore assoluto, al trasferimento di energia in uscita.

L’energia in ingresso e in uscita è data dal lavoro svolto dalle forze che si esercitano sui due pistoni; bisogna quindi ricavare lo spostamento lungo il quale esse agiscono. Poiché il fluido è supposto incomprimibile, il volume di liquido compresso dai due pistoni deve essere uguale. Facendo riferimento alla figura 6.10, si ha quindi

V1 = V2 → A1 Δx1 = A2 Δx2 →  A1 / A2 = Δx1 /Δx2

Calcolando il rapporto del lavoro in ingresso e di quello in uscita, troviamo

W1 / W2 = (F1 Δx1) / (F2 Δx2) = (F1 / F2) (Δx1 / Δx2) = (A1 / A2) (A2 / A1) = 1

quindi il lavoro fornito è uguale al lavoro prodotto, come deve essere affinché si conservi l’energia meccanica.

Esercizio 6.2 a

6.2) Consideriamo una diga, rappresentata schematicamente nella figura 6.11. Se con w indichiamo la sua lunghezza e l’acqua arriva a un’altezza H, determinare la forza esercitata dall’acqua sulla diga.

Poiché la pressione esercitata dall’acqua sulla diga varia con la profondità, non possiamo trovare la forza moltiplicando semplicemente la pressione per l’area della diga. Dobbiamo quindi calcolare la forza dF agente su una striscia orizzontale della superficie della diga a profondità h e integrarla su l’altezza H.

Figura 6.11. Diga soggetta alla pressione dell’acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).

Figura 6.11. Diga soggetta alla pressione dell'acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.2 b

Applicando la legge di Stevino e non considerando la pressione atmosferica, in quanto agisce sia sulla superficie dell’acqua che sul lato esterno della diga, la pressione esercitata dall’acqua sulla diga a una profondità h è data dalla

P = ρ g h =  ρ g (H – y)

Per la definizione di pressione, si ha

dF = P dA

Poiché dA = w dy si ha

dF = P dA =  ρ g (H – y) w dy

Quindi la forza totale esercitata dall’acqua sulla diga è data dalla

F = ∫0H dF =  ∫0H ρ g (H – y) w dy = ½ ρ g w H2

Figura 6.11. Diga soggetta alla pressione dell’acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).

Figura 6.11. Diga soggetta alla pressione dell'acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.3 a

6.3) Consideriamo un corpo costituito da due materiali di differente densità. Il primo materiale, a forma di sfera e di densità ρ1, è contenuto all’interno di un cubo formato dal secondo materiale di densità ρ2. Il corpo galleggia in acqua, come mostrato nella figura 6.12, emergendo per 1/9 della sua altezza.
Note le densità ρ1 e ρacqua e sapendo che la misura del diametro D della sfera è uguale a quella del lato L del cubo, calcolare la densità ρ2.

Il corpo galleggia sull’acqua, quindi la risultante delle forze applicate su di esso deve essere nulla. La forza peso Fg e la spinta di galleggiamento B si equilibrano, per cui applicando la legge di Archimede

B = Fg → macqua spostata g = mcorpo g

Figura 6.12. Un corpo parzialmente immerso in acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).

Figura 6.12. Un corpo parzialmente immerso in acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.3 b

Tenendo conto della definizione di densità, si ha

Vacqua spostata ρacqua = V1 ρ1 + V2 ρ2

Nel caso in esame, i volumi indicati nella relazione precedente valgono

Vacqua spostata = 8/9 L3

V1 = 4/3 π (D/2)3

V2 = L3 – 4/3 π (D/2)3

Sapendo che D = L l’equazione precedente diventa

8/9 L3 ρacqua = 4/3 π (L/2)3 ρ1 + [L3 - 4/3 π (L/2)3] ρ2

da cui, semplificando

8/3 ρacqua = π/2 ρ1 + (6 -π)/2 ρ2 → ρ2 = [2/(6 - π)] (8/3 ρacqua - π/2ρ1)

Figura 6.12. Un corpo parzialmente immerso in acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).

Figura 6.12. Un corpo parzialmente immerso in acqua (figura 15.6 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.4.a

6.4) Consideriamo un serbatoio chiuso contenente del liquido di densità ρ e con una piccola apertura posta a quota y1 rispetto al fondo del serbatoio, come mostrato nella figura 6.13. Sia P la pressione dell’aria sopra il liquido.

1. Determinare la velocità del liquido in uscita dall’apertura inferiore quando la superficie esposta all’aria è a quota h da esso. Poiché A1 « A2 si può considerare trascurabile la velocità v2 in corrispondenza della superficie superiore del liquido. Applicando l’equazione di Bernouilli tra i punti 1 e 2 si ha P0 + ρ g y1 + ½ ρ v12 = P + ρ g y2

Tenendo conto che y2 – y1 = h si ha

v1 = [2(P – P0) / ρ + 2 g h]1/2

Se il serbatoio non è chiuso in alto, si ha P = P0 da cui

v1 = (2 g h)1/2

che esprime anche la velocità di un corpo in caduta libera da un’altezza h. Questo risultato è noto come teorema di Torricelli, secondo il quale la velocità di efflusso di un liquido da una piccola apertura alla base di un recipiente è quella di un corpo che cada liberante nel vuoto da un’altezza pari a quella del livello libero del liquido nel recipiente.

Figura 6.13. Liquido che esce da un serbatoio forato (figura 15.18 in Jewett & Serway).

Figura 6.13. Liquido che esce da un serbatoio forato (figura 15.18 in Jewett & Serway).


Esercizio 6.4.b

2. Supponiamo che l’altezza della piccola apertura nella parete del serbatoio possa variare. Considerando il serbatoio aperto in alto e appoggiato su un piano orizzontale, determinare il valore di tale altezza che farebbe arrivare il liquido che fuoriesce sul piano nel punto più lontano possibile dal serbatoio.

Tenendo conto che P1 = P2 = P0 e che comunque si può ritenere trascurabile la velocità v2, l’equazione di Bernouilli diventa

P0 + ρ g y1 + ½ ρ v12 = P0 + ρ g y2

da cui

v1 = [2 g (y2 - y1)]1/2

Esercizio 6.4.c

Applicando le relazioni valide per il moto di un proiettile e tenendo conto che la velocità iniziale v1 ha direzione orizzontale, si può calcolare l’istante di tempo in cui il liquido arriva sul piano orizzontale ponendo yf = 0 nella relazione

Yf = yi + vyi t – ½ g t2 → 0 = y1 + vyi t – ½ g t2 → t = (2 y1 / g)1/2

La posizione orizzontale raggiunta dal liquido sul tavolo, tenendo conto che vxi = v1 = [2 g (y2 - y1)]1/2, è allora data dalla

Xf = xi + vxi t →  xf = 0 + [2 g (y2 - y1)]1/2 (2 y1 / g)1/2 = 2 (y2 y1 – y12)1/2

Per trovare il massimo valore della xf bisogna derivare uguagliare a zero la sua derivata rispetto a y1, cioè

dxf / dy1 = ½ [2 (y2 y1 – y12)-1/2] (y2 – 2 y1) = 0 → y1 = ½ y2

cioè il foro dovrebbe trovarsi a metà strada tra il fondo del serbatoio e la superficie superiore del liquido.

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