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Gianfranco Grossi » 5.Meccanica: lavoro, energia e trasferimento di energia


Il sistema e l’ambiente

Per analizzare alcuni fenomeni che avvengono in natura, conviene introdurre alcune grandezze di tipo energetico che si basano non più sul concetto di punto materiale ma su quello di sistema.
Un sistema è una piccola regione dell’Universo che viene presa in considerazione ignorando ciò che avviene al suo esterno. Può essere rappresentato da:

  • un singolo corpo materiale, eventualmente puntiforme
  • un insieme di corpi materiali
  • una regione dello spazio
  • un corpo che può variare in forma e dimenzioni

Il resto dell’Universo che contorna il sistema viene definito ambiente circostante il sistema ed è separato da esso attraverso una superficie immaginaria denominata contorno del sistema.

Individuato un sistema, si possono avere interazioni tra oggetti appartenenti tutti al sistema, in tal caso si parla di forze interne al sistema, mentre le interazioni tra sistema e ambiente avvengono attraverso forze che agiscono sul sistema attraverso il suo contorno e che si dicono pertanto forze esterne al sistema.

Il lavoro svolto da una forza costante -1

Consideriamo un corpo, identificabile col sistema, che sotto l’azione di una forza costante F compie uno spostamento Δr lungo una linea retta formante un angolo θ con la direzione di F, come mostrato nella figura 5.1. Si dice che la forza compie lavoro in quanto sposta il corpo.

Nel caso di una forza costante, il lavoro W svolto dalla forza è definito dalla

W = F Δr cos θ

Il lavoro è una grandezza scalare le cui dimensioni sono

[W] = [F] [L] = M L T-2 L = M L2 T-2

L’unità di misura del lavoro nel SI è il joule (J), definito dalla

1 J = 1 N x 1 m

Figura 5.1. Spostamento determinato da una forza costante (figura 6.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.1. Spostamento determinato da una forza costante (figura 6.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.2. Il lavoro è nullo per forze verticali e spostamenti orizzontali (figura 6.2 in Jewett & Serway).

Figura 5.2. Il lavoro è nullo per forze verticali e spostamenti orizzontali (figura 6.2 in Jewett & Serway).


Il lavoro svolto da una forza costante -2

Dalla definizione deriva che il lavoro è uguale a zero se è nullo lo spostamento, o la forza o il cos θ, cioè θ uguale a 90°. Il segno del lavoro dipende dalla direzione di F e di Δr attraverso il cos θ.

Se sul corpo agiscono più forze, il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti dalle singole forze. Nell’esempio mostrato nella figura 5.2, le forze n e mg non compiono lavoro perché il cos θ è nullo per entrambe.

Tenendo conto della definizione di prodotto scalare di due vettori si ha che

W = F · Δr = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz

Figura 5.1. Spostamento determinato da una forza costante (figura 6.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.1. Spostamento determinato da una forza costante (figura 6.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.2. Il lavoro è nullo per forze verticali e spostamenti orizzontali (figura 6.2 in Jewett & Serway).

Figura 5.2. Il lavoro è nullo per forze verticali e spostamenti orizzontali (figura 6.2 in Jewett & Serway).


Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale -1

Esaminiamo il lavoro compiuto su un corpo da una particolare forza costante, la forza gravitazionale Fg agente su di esso. La figura 5.3 mostra un corpo, schematizzabile come una particella di massa m, che viene gettato in aria con una velocità iniziale v0. Mentre sale, il corpo rallenta a causa della forza Fg che agisce su di esso, fino a fermarsi dopo un percorso pari a d.

Essendo la forza costante, per il lavoro svolto durante lo spostamento d vale la relazione

Wg = Fg d cos θ = m g d cos θ

Per un corpo che sale, la forza Fg è diretta in verso opposto a quello dello spostamento d, come mostrato in figura. L’angolo θ vale quindi 180° per cui

Wg = m g d cos (180°) = m g d (-1) = -m g d

Figura 5.3. Un corpo che sale e scende di una quota d soggetto alla forza gravitazionale.

Figura 5.3. Un corpo che sale e scende di una quota d soggetto alla forza gravitazionale.


Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale -2

Dopo che il corpo ha raggiunto la massima altezza, ricomincia a cadere e l’angolo θ diventa 0°. Pertanto nel percorso in discesa il lavoro svolto dalla Fg sarà

Wg = m g d cos (0°) = m g d (+1) = m g d

Si può dimostrare che queste due equazioni, che esprimono il lavoro, negativo in salita e positivo in discesa, della forza gravitazionale su un corpo di massa m durante uno spostamento verticale di modulo pari a d, si applicano a qualsiasi caso in cui un corpo sale o scende di una quota d per effetto della forza gravitazionale, indipendentemente dal percorso seguito.

Figura 5.3. Un corpo che sale e scende di una quota d soggetto alla forza gravitazionale.

Figura 5.3. Un corpo che sale e scende di una quota d soggetto alla forza gravitazionale.


Il lavoro svolto da una forza variabile -1

Consideriamo un corpo che si sposta lungo l’asse x dalla posizione xi a xf sotto l’azione di una forza di modulo Fx variabile lungo l’asse x, come indicato nella figura 5.4.

Se gli spostamenti Δx sono abbastanza piccoli da poter considerare Fx costante durante tali spostamenti, si può applicare la definizione di lavoro valida per una forza costante, da cui

Wx ≅ Fx Δx

che rappresenta l’area ΔA nella figura 5.4.a. Il lavoro totale svolto sotto l’azione della forza Fx nello spostare il corpo da xi a xf sarà allora

W ≅ ΣFxΔx

Figura 5.4. Lavoro svolto da una forza variabile (figura 6.7 in Jewett & Serway).

Figura 5.4. Lavoro svolto da una forza variabile (figura 6.7 in Jewett & Serway).


Il lavoro svolto da una forza variabile -2

Se gli spostamenti Δx tendono a zero, il valore della sommatoria tende a un valore finito uguale all’area delimitata dalla curva Fx e dall’asse x, come mostrato nella figura 5.4.b. Tenendo conto della definizione di integrale definito tra i limiti d’integrazione xi e xf, si ha

W = ∫ xi xf Fx dx

Se sul corpo agiscono più forze di risultante Σ Fx si avrà

Wtot = ΣW = ∫xi xf (ΣFx) dx

e, più in generale

Wtot = ΣW = ∫xi xfF) dr

Figura 5.4. Lavoro svolto da una forza variabile (figura 6.7 in Jewett & Serway).

Figura 5.4. Lavoro svolto da una forza variabile (figura 6.7 in Jewett & Serway).


Il lavoro svolto dalla forza elastica -1

Un tipico sistema fisico in cui la forza non è costante ma varia con la posizione è quello rappresentato nella figura 5.5, dove un blocco, su una superficie orizzontale liscia, è soggetto alla forza elastica Fm esercitata da una molla.
Se la molla è tirata (figura 5.5.a), o compressa (figura 5.5.c), rispetto alla sua posizione di riposo (figura 5.5.b), esercita sul blocco una forza elastica, data da

Fm = – k x

nota come legge di Hooke, dove k è la costante elastica della molla e ne misura la rigidità, maggiore è k più rigida è la molla. Nel SI la costante k si misura in newton al metro (N/m). Il segno – sta a indicare che la forza esercitata dalla molla è sempre diretta in verso opposto a quello dello spostamento del blocco dalla posizione di riposo (x = 0).

Figura 5.5. Lavoro svolto da una forza elastica (figura 6.8 in Jewett & Serway).

Figura 5.5. Lavoro svolto da una forza elastica (figura 6.8 in Jewett & Serway).


Il lavoro svolto dalla forza elastica -2

La forza esercitata dalla molla è una forza variabile, perché dipende dalla posizione del suo estremo libero. Se spostiamo il blocco da una posizione iniziale xi a una posizione finale xf, svolgiamo un lavoro sul blocco, mentre la molla svolge un lavoro opposto che vale

W = ∫ xi xf Fm dx = ∫ xi xf (- k x) dx = – k ∫ xi xf x dx

= – ½ k [x2] xi xf = ½ k xi2 – ½ k xf2

Il lavoro risulta di segno positivo se xi2 > xf2, negativo se xi2 < xf2.

Figura 5.5. Lavoro svolto da una forza elastica (figura 6.8 in Jewett & Serway).

Figura 5.5. Lavoro svolto da una forza elastica (figura 6.8 in Jewett & Serway).


La potenza -1

Nella definizione di lavoro non compare il tempo, nel senso che una forza compie lo stesso lavoro qualunque sia il tempo che il corpo su cui agisce impiega a percorrere un dato percorso. Se però si vuole confrontare la capacità di compiere lavoro, per esempio da parte di due motori, si deve considerare la quantità di lavoro compiuta nell’unità di tempo.
Si definisce potenza media (Pmed) di una forza il rapporto tra la quantità di lavoro compiuto nell’intervallo di tempo Δt e l’intervallo di tempo impiegato

Pmed = W / Δt

La potenza istantanea (P) è il valore limite della potenza media quando Δt tende a zero

P = dW / dt

Le dimensioni della potenza sono

[P] = L2 M T-3

L’unità di misura nel SI è il watt (W) definito dalla

1 W = 1 J / 1 s

La potenza -2

Se si considera un lavoro infinitesimo dW = F · dr si può esprimere la potenza tramite la

P = dW / dt = F · dr / dt = F · v

Questa relazione indica che P è la potenza di una macchina che compie lavoro esercitando una forza F e muovendo il punto di applicazione della forza con velocità v.

L’energia cinetica

Se un corpo, assimilabile a una massa puntiforme m, si sposta di un tratto Δx sotto l’azione di una forza risultante ΣF, il lavoro svolto dalla forza vale

Wtot = ∫ xi xf ΣF dx

Per la seconda legge di Newton

ΣF = ma = m dv/dt

da cui

Wtot = ∫ xi xf ΣF dx = ∫ xi xf m (dv/dt) dx =

= ∫ xi xf m (dv/dx) (dx/dt) dx = ∫ vi vf m v dv = ½ mvf2 –  ½ mvi2

Se definiamo energia cinetica di un corpo di massa m che si muove con velocità v la grandezza

K ≡  ½ m v2

risulterà

Wtot = Kf – Ki = ΔK

Questa relazione è nota come teorema dell’energia cinetica.

Un’applicazione del teorema dell’energia cinetica -1

Come esempio di applicazione del teorema dell’energia cinetica si consideri la situazione rappresentata in figura 5.6. Un blocco di massa 1,6 kg, tenuto a 1,0 m sopra l’estremità libera di una molla di costante elastica k = 1,0 x 103 N/m, è lasciato cadere dalla quiete verticalmente sulla molla. Si vuole conoscere la compressione massima della molla.

Il moto del blocco si svolge lungo l’asse y; assumendo come sua origine la posizione dell’estremità libera della molla, il blocco parte da una posizione iniziale yi = h = 1,0 m e si ferma in una posizione finale yf = -d corrispondente alla compressione massima della molla.

Le forze che agiscono sul blocco sono la forza gravitazionale e la forza elastica ed entrambe compiono lavoro sul blocco. Il lavoro totale dalla posizione yi alla yf vale

Wtot = m g Δy cos180° – ½ k d2 = m g (-d – h) (-1) – ½ k d2 =

= m g (d + h) – ½ kd2 = (1,6 kg) (9,8 m/s2) (1,0 m + d) – ½ (1,0 x 103 N/m) d2 =

= -500 d2 + 15,7 d + 15,7

Figura 5.6. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).

Figura 5.6. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).


Un’applicazione del teorema dell’energia cinetica -2

Tenendo conto che il blocco ha velocità iniziale e finale nulle, applicando il teorema dell’energia cinetica il lavoro totale risulterà essere nullo, da cui

-500 d2 + 15,7 d + 15,7 = 0

Delle due soluzioni, d1 = 0,19 m e d2 = -0,16 m, solo quella positiva è accettabile, avendo imposto yf = -d al di sotto dell’origine dell’asse y.

Figura 5.6. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).

Figura 5.6. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).


La conservazione dell’energia

Un sistema che interagisce con l’ambiente attraverso l’azione di una forza si dice sistema non isolato.
Il teorema dell’energia cinetica mette in relazione l’interazione dell’ambiente con il sistema, misurata attraverso il lavoro svolto dalla forza, con la variazione di una grandezza correlata al sistema, la sua energia cinetica. Il lavoro ha quindi l’effetto di trasferire energia tra il sistema e l’ambiente. Se il lavoro compiuto dalla forza è positivo, l’energia è trasferita al sistema, mentre se il lavoro è negativo, l’energia è trasferita dal sistema all’ambiente.

In alcuni casi, anche se c’è interazione tra l’ambiente e il sistema, evidenziata da una forza che compie lavoro, la velocità del sistema e quindi la sua energia cinetica rimane costante. Esaminiamo il caso di un corpo che si muove su una superficie in presenza di attrito, il lavoro svolto da tale forza può riscaldare la superficie, ma non variare la sua velocità. Se si associa alla temperatura di un sistema una forma di energia denominata energia interna (Eint) il lavoro svolto dal corpo misura l’energia trasferita alla superficie sotto forma di energia interna piuttosto che energia cinetica.

Esistono quindi altri modi, oltre al lavoro meccanico, di trasferire energia tra un sistema e l’ambiente. Senza descrivere questi metodi, si può enunciare un principio generale sull’energia di un sistema: l’energia non si può creare né distruggere, l’energia si conserva; se quindi l’energia di un sistema è variata, tale variazione è stata trasferita all’ambiente.

In formule

ΔEsistema = Σ T

dove Esistema rappresenta l’energia totale del sistema e T quella trasferita attraverso il contorno del sistema.

L’energia interna e l’attrito

Consideriamo un sistema formato da un blocco che si muove su una superficie per un tratto d e sul quale agiscono varie forze, tra le quali l’attrito dinamico fd che possiamo ritenere costante lungo tutto il percorso.
Il teorema dell’energia cinetica si può scrivere nella forma

ΣWtot – fd d = ΔK

dove fd d rappresenta il lavoro svolto dalla forza di attrito.

Se ora consideriamo come sistema il blocco e la superficie sulla quale esso si muove, quando il blocco rallenta per effetto della sola forza d’attrito non c’è altro lavoro svolto, per cui l’espressione precedente diventa

- fd d = ΔK

che, sostituita nell’espressione matematica del principio di conservazione dell’energia con ΔEsistema = ΔEint, fornisce la

ΔK + ΔEint = – fd d + ΔK = 0

da cui

ΔEint = fd d

In sintesi, in un sistema una forza di attrito trasforma l’energia cinetica in energia interna, e, per un sistema nel quale agisce la sola forza di attrito, l’aumento di energia interna è uguale alla diminuzione dell’energia cinetica.

Le forze conservative e l’energia potenziale

Per alcuni tipi di forze il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalla posizione iniziale e finale. Quando ciò accade, se il corpo su cui agisce la forza torna nella posizione di partenza dopo aver percorso una traiettoria chiusa, il lavoro svolto dalla forza è nullo. Le forze che godono di tale proprietà sono dette forze conservative. Esempi di forze conservative sono la forza gravitazionale e la forza elastica. Consideriamo il sistema costituito da un libro e dalla Terra che interagiscono tramite la forza gravitazionale. Sollevando il libro di una quota Δy = yb – ya, come mostrato nella figura 5.7, si farà lavoro sul sistema, ma sia la variazione dell’energia cinetica (il libro è fermo nella posizione iniziale e finale) sia quella della energia interna (la temperatura del libro non cambia) saranno nulle. Tale lavoro vale

W = (- m g) · Δr = [- m (- g j)] · [(yb – ya) j] = m g yb – m g ya

e si può esprimere come variazione dell’energia potenziale (o di posizione)

Ug ≡ m g y

che assume il nome di energia potenziale gravitazionale. Risulterà allora W = Δ Ug

cioè il lavoro svolto sul sistema in questa situazione appare come una variazione di energia potenziale gravitazionale del sistema.

Figura 5.7. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).

Figura 5.7. Un blocco cade su una molla (figura 6.13 in Jewett & Serway).


L’energia potenziale elastica

Un altro esempio di forza conservativa è rappresentato dalla forza che una molla esercita su un blocco ad essa collegato. Tale forza segue la legge di Hooke e svolge, tra la posizione iniziale xi e finale xf, un lavoro pari a

W = ½ k xi2 – ½ k xf2

che dipende solo dalla posizione del blocco e si può esprimere come variazione dell’energia potenziale elastica

Um ≡ ½ k x2

Consideriamo la figura 5.8.a, che mostra una molla non deformata su una superficie orizzontale priva di attrito. Quando il blocco è spinto contro la molla (figura 5.8.b) e la comprime di una lunghezza x, l’energia potenziale elastica immagazzinata dalla molla è ½ k x2. Quando il blocco viene lasciato, la molla ritorna alla sua lunghezza originale (figura 5.8.c), applicando al blocco una forza che fa assumere al blocco energia cinetica pari a ½ mv2.

Figura 5.8. Un blocco spinto contro una molla (figura 7.6 in Jewett & Serway).

Figura 5.8. Un blocco spinto contro una molla (figura 7.6 in Jewett & Serway).


La conservazione dell’energia meccanica -1

Consideriamo di nuovo il sistema libro-Terra della figura 5.7. Per effetto del suo sollevamento dalla quota ya alla quota yb il libro ha immagazzinato energia potenziale pari a m g yb – m g ya. Se ora lasciamo cadere il libro, il lavoro svolto dalla forza di gravità sul libro è

W = (m g) · Δr = (- m g j) · (yb – ya) j = m g yb – m g ya = Ugi – Ugf

uguale alla variazione della sua energia cinetica, da cui

ΔK = Ugi – Ugf = – ΔUg

che si può scrivere come

ΔK + ΔUg = 0 → (Kf – Ki) + (Ugf – Ugi) = 0

cioè

Kf + Ugf = Ki + Ugi

La conservazione dell’energia meccanica -2

In generale, si definisce energia meccanica del sistema la somma della sua energia cinetica e potenziale.

Emecc ≡ K + U

Quindi l’equazione appena trovata si può scrivere

Emecc ≡  K + U = costante

e rappresenta il principio di conservazione dell’energia meccanica in un sistema isolato, un sistema per il quale non avviene nessun trasferimento di energia attraverso il contorno, nel quale agiscono forze conservative.

La conservazione dell’energia -1

Le forze il cui lavoro dipende dal percorso si dicono forze non conservative e per tali forze non è possibile definire una funzione, analoga all’energia potenziale, che rappresenti il lavoro compiuto per muovere il corpo da una posizione a un’altra, in quanto esso dipende dal percorso seguito tra le due posizioni. Un tipico esempio di forza non conservativa è la forza di attrito. Consideriamo un libro che viene spostato con velocità costante su un tavolo tra due punti A e B, come mostrato in figura 5.9. E’ evidente che per spostare il libro lungo il percorso rettilineo (in blu) si compie un lavoro contro la forza di attrito dinamico minore che per spostarlo lungo il percorso semicircolare (in rosso), più lungo del rettilineo.

Figura 5.9. Lavoro svolto d una forza non conservativa (figura 7.7 in Jewett & Serway).

Figura 5.9. Lavoro svolto d una forza non conservativa (figura 7.7 in Jewett & Serway).


La conservazione dell’energia -2

Come abbiamo visto, l’effetto di una forza di attrito fd è di trasformare energia cinetica di un sistema in energia interna. Se un’energia potenziale è associata col sistema, vale la relazione

- Fd d = ΔK + ΔU = ΔEmecc = – ΔEint

che si può scrivere

ΔK + ΔU + ΔEint = ΔEsistema = 0

Questa equazione è equivalente alla

K + U + Eint = costante

che esprime il principio di conservazione dell’energia totale (cinetica, potenziale e interna) in un sistema isolato, sia che agiscano forze conservative che non conservative.

Figura 5.9. Lavoro svolto d una forza non conservativa (figura 7.7 in Jewett & Serway).

Figura 5.9. Lavoro svolto d una forza non conservativa (figura 7.7 in Jewett & Serway).


La quantità di moto -1

Consideriamo un sistema formato da due corpi puntiformi di massa m1 e m2 che si muovono con velocità v1 e v2, come mostrato nella figura 5.10. Se consideriamo il sistema isolato, le uniche forze che possono agire sui due corpi sono le loro interazioni mutue che per la terza legge di Newton soddisfano la relazione vettoriale

F21 + F12 = 0

Se applichiamo la seconda legge di Newton, l’espressione precedente diventa

m1 a1 + m2 a2 = 0

Considerando la definizione di accelerazione, si avrà

m1 dv1/dt + m2 dv2 / dt = 0

Se le masse m1 e m2 sono costanti, vale anche la

d(m1v1)/dt + d(m2v2)/dt = d (m1v1 + m2v2)/dt = 0

Figura 5.10. Corpi puntiformi interagenti  (figura 8.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.10. Corpi puntiformi interagenti (figura 8.1 in Jewett & Serway).


La quantità di moto -2

Definendo quantità di moto p di un corpo puntiforme di massa m che si muove con velocità v la grandezza vettoriale

p ≡ m v

si avrà

d (p1 + p2)/dt = 0 → p1 + p2 = ptot = costante

noto come principio di conservazione della quantità di moto che si può enunciare come: la quantità di moto totale di un sistema isolato risulta costante.

Figura 5.10. Corpi puntiformi interagenti  (figura 8.1 in Jewett & Serway).

Figura 5.10. Corpi puntiformi interagenti (figura 8.1 in Jewett & Serway).


L’impulso di una forza -1

Applichiamo la seconda legge di Newton a un corpo puntiforme di quantità di moto p su cui agisce una forza risultante Σ F. Si avrà l’espressione generale

ΣF = dp/dt

che vale anche nel caso in cui la massa del corpo sia variabile col tempo. Da questa espressione deriva la

dp = ΣF dt

e considerando un intervallo di tempo finito Δt = tf – ti si avrà

Δp = pf pi = ∫  ti tf ΣF dt

L’impulso di una forza -2

L’integrale della forza rispetto all’intervallo di tempo durante il quale essa agisce si chiama impulso della forza (I). L’impulso della forza risultante ΣF è un vettore definito dalla

I ≡  ∫ ti tf ΣF dt

per cui la relazione precedente, equivalente alla seconda legge di Newton, si può scrivere nella forma

I = Δp

nota come teorema dell’impulso. Se la forza risultante è esterna al sistema, si avrà

I ≡ ∫ ti tf ΣFest dt = Δptot

che mostra come l’impulso indichi un’interazione tra il sistema e il suo ambiente che fa variare la quantità di moto.

Esercizio 5.1.a

5.1) Un blocco di 4,0 kg, inizialmente fermo, è tirato verso destra da una forza costante orizzontale di modulo F = 8,0 N, come mostrato in figura 5.11.a. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie è 0,15.

1. Trovale la velocità del blocco dopo che si è spostato di 3,0 m.

Poiché il blocco descrive un percorso rettilineo, lo spostamento Δx del blocco e la distanza percorsa d sono uguali. Applicando il teorema dell’energia cinetica si ha

ΔK = ΣW = F d – fd d = F d – μd n d = F d – μd mg d

da cui

ΔK = (4,0 N)(3,0 m) – (0,15) (4,0 kg)(9,80 m/s2)(3,0 m) = 6,36 J

ΔK = ½ m vf2 – ½ m vi2 = 6,36 J →

vf = [(2/m)(ΔK + ½ m vi2]1/2 = [(2/4,0 kg-1)(6,36 J + 0]1/2 = 1,78 m/s

2. Se la forza F forma un angolo θ con l’orizzontale, come mostrato nella figura 5.11.b, dopo uno spostamento uguale al precedente, quanto deve valere θ perché il blocco si muova con la velocità più elevata possibile?

Il lavoro fatto dalla forza F vale W = F Δx cos θ = F d cos θ

Figura 5.11. Un blocco è tirato su una superficie scabra (figura 6.17 in Jewett & Serway).

Figura 5.11. Un blocco è tirato su una superficie scabra (figura 6.17 in Jewett & Serway).


Esercizio 5.1.b

Il blocco si muove lungo l’orizzontale, per cui è nulla la componente lungo l’asse y della forza risultante che vale

ΔFy = n + F sen θ – m g = 0

da cui

n = mg – F sen θ

Poiché Ki = 0, il teorema dell’energia cinetica vale

ΔK = Kf – ki = Kf = ΣW = F d cosθ – μd n d = F d cosθ – μd (mg – F sen θ) d

Massimizzare la velocità rispetto all’angolo θ equivale a massimizzare l’energia cinetica finale, per cui vale la

d(Kf) / dθ = 0  → d[F d cos θ - μd (m g - F sen θ) d] / dt = – F d sen θ + μd F d cosθ = 0

→ sen θ + μd cos θ = 0 → tan θ = μd

Per μd = 0,15 si ha

θ= arctan (μd ) = arctn (0,15) = 8,53°

Esercizio 5.2 a

5.2) Un corpo sferico di 5,0 kg, fermo a un’altezza h uguale a 20,0 m rispetto al suolo, per effetto della forza di gravità e trascurando la resistenza dell’aria, inizia a muoversi verso il basso, come mostrato nella figura 5.12.

1. Determinare la velocità del corpo quando si trova a una quota y pari 7,0 m rispetto al suolo.
Il sistema corpo-Terra è isolato, perché, avendo trascurato la resistenza dell’aria, il corpo e la Terra non subiscono nessuna forza dall’ambiente; si può quindi applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica. Quando il corpo è fermo a quota h, il sistema possiede solo energia potenziale gravitazionale Ugi, essendo nulla la sua energia cinetica Ki. Mentre il corpo cade, l’energia meccanica totale rimane costante ed è uguale alla sua energia potenziale iniziale.

Emecc ≡ Ki + Ugi = 0 + Ugi = kf + Ugf

0 + m g h = ½ m vf2 + m g y → vf2 = 2 g (h – y)

→ vf = [2 g (h – y)]1/2 = [2 · 9,80 m/s2 · (20,0 m – 7,0 m)]1/2 = 16 m/s

Figura 5.12. Un palla in caduta libera (figura 7.4 in Jewett & Serway).

Figura 5.12. Un palla in caduta libera (figura 7.4 in Jewett & Serway).


Esercizio 5.2 b

2. Determinare la velocità del corpo in y se essa possiede in h una velocità iniziale di 12 m/s.
In questo caso, l’energia cinetica iniziale non è nulla e vale la

Emecc ≡ Ki + Ugi = kf + Ugf

½ m vi2 + m g h = ½ m vf2 + m g → vf2 = vi2 + 2 g (h – y)

→ vf = [vi2 + 2 g (h – y)]1/2 = [144 m2/s2 + 2 · 9,80 m/s2 · (20,0 m – 7,0 m)]1/2 = 20 m/s

Figura 5.12. Un palla in caduta libera (figura 7.4 in Jewett & Serway).

Figura 5.12. Un palla in caduta libera (figura 7.4 in Jewett & Serway).


Esercizio 5.3

5.3) Una cassa di 2,0 Kg, ferma alla sommità di una rampa assimilabile a un piano inclinato lungo 1,0 m e inclinato di 30,0°, scivola giù incontrando una forza di attrito costante pari a 5,8 N. Determinare la velocità della cassa quando raggiunge il fondo della rampa. Il sistema cassa-Terra-rampa è un sistema isolato sul quale agisce una forza non conservativa rappresentata dalla forza di attrito Fd. Vale allora la

- Fd d = ΔK + ΔU = ΔEmecc

dove

ΔK = Kf – Ki = ½ m vf2 – 0

ΔU = Ugf – Ugi = 0 – m g yi

da cui

- Fd d = ½ m vf2 – 0 + 0 – m g yi = ½ m vf2 – m g yi

→ Vf2 = 2 g yi – 2 Fd d / m → Vf = (2 g yi – 2 Fd d / m)1/2

e sostituendo i dati si avrà

vf = (2 · 9,8 m/s2 · 1,0 m · sen30,0° – 2 · 5,8 N · 1,0 m / 2,0 Kg)1/2 = 2 m/s

Figura 5.13. Una cassa scivola lungo una rampa scabra  (figura 7.8 in Jewett & Serway).

Figura 5.13. Una cassa scivola lungo una rampa scabra (figura 7.8 in Jewett & Serway).


Esercizio 5.4.a

5.4) Un blocco di massa 0,8 kg, che si muove su un piano orizzontale con velocità iniziale vA pari a 1,2 m/s, urta contro una molla di costante elastica k uguale a 50,0 N/m, come mostrato nella figura 5.14.

1. Calcolare la massima compressione della molla dopo l’urto, assumendo la superficie sulla quale si muove il blocco priva di attrito,
Il sistema blocco-molla può essere considerato come isolato, non essendoci forze che agiscono al di fuori del sistema. Prima dell’urto, quando il blocco è in A, l’energia meccanica del sistema è uguale alla sola energia cinetica del blocco, essendo nulla l’energia potenziale elastica. Dopo l’urto, quando la molla è totalmente compressa, il blocco si trova fermo nel punto C, mentre la molla ha immagazzinato la sua massima energia potenziale.
Non agendo forze non conservative, l’energia meccanica del sistema si conserva, quindi vale la

Ki + Umi = Kf + Umf → ½ m vA2 + 0 = 0 + ½ k xmax2

da cui

xmax = (m/k)1/2 vA = (0,8 kg / 50,0 N/m)1/2 · (1,2 m/s) = 0,152 m

Figura 5.14. Un blocco urta contro una molla (figura 7.10 in Jewett & Serway).

Figura 5.14. Un blocco urta contro una molla (figura 7.10 in Jewett & Serway).


Esercizio 5.4.b

2. Se invece tra blocco e superficie agisce una forza di attrito costante fd con coefficiente di attrito μd pari a 0,5 e la velocità al momento dell’urto del blocco con la molla è uguale proprio a vA, qual è la compressione massima della molla?In questo caso, considerando il sistema blocco-superficie-molla ed essendoci attrito tra blocco e superficie, non si conserva l’energia meccanica, ma vale la

ΔEmecc = (Kf + Umf) – (Ki + Umi) = (0 + ½ k xmax2) – (½ m vA2 + 0) = fdxmax

Ricordando che fd = μd n = μd m g, si ha

½ k xmax2 – ½ m vA2 = μd m g xmax

da cui

½ k xmax2 – μd m g xmax – ½ m vA2 = 0

Esercizio 5.4.c

Sostituendo i valori numerici

½ (50,0 N/m) xmax2 – 0,5 · (0,8 kg) · (9,8 m/s2) · xmax – ½ (0,8 kg) · (1,2 m/s)2 = 0

equazione che ha due soluzioni

xmax,1 = -0,249 m e xmax,2 = 0,092 m

La prima soluzione però si scarta, perché il blocco si trova a destra dell’origine quando si ferma.

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