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Vincenzo Canale » 9.Dinamica dei sistemi


Introduzione

Come abbastanza evidente nell’esperienza quotidiana la schematizzazione del punto materiale non è sufficientemente appropriata in numerose situazioni. Pertanto dobbiamo affrontare lo studio dei sistemi estesi o di punti materiali.
La situazione, in linea di principio, è concettualmente semplice; si tratta di scrivere per il generico punto di massa mi la legge di Newton e risolvere il sistema:

\left\{\begin{array}{l}\vec{f}_1~=~m_1\vec{a}_1\\\vec{f}_2~=~m_2\vec{a}_2\\............... \\\vec{f}_i~=~m_i\vec{a}_i\\.............. \\\vec{f}_N~=~m_N\vec{a}_N\end{array}\right

In realtà è facile convincersi che le difficoltà matematiche crescono rapidamente non appena N supera le poche unità, per risultare insormontabili se si considerasse la struttura microscopica nel qual caso N~1023!
In molte situazioni, tuttavia, nel moto di un sistema esteso osserviamo un movimento d’insieme o medio accompagnato da un moto più complicato dei diversi punti uno rispetto all’altro. Definendo le opportune variabili dinamiche globali vedremo come sarà possibile, dalle leggi di Newton, impostare le equazioni del moto le cui soluzioni forniranno il moto con questa separazione: moto d’insieme e moto relativo fra i punti.

Il centro di massa

La prima variabile globale del sistema di punti è quella legata alla posizione; tuttavia, come risulta intuitivo, la semplice media delle posizioni non tiene conto che nel comportamento dinamico interviene la massa del punto. Pertanto definiamo il centro di massa come la media ponderata con le masse delle posizioni dei punti:

\vec{r}_C=~\frac{\sum_{i}m_i.\vec{r}_i }{\sum_{i}m_i }\Rightarrowx_C=~\frac{\sum_{i}m_i.x_i}{\sum_{i}m_i },y_C=~\frac{\sum_{i}m_i.y_i }{\sum_{i}m_i },z_C=~\frac{\sum_{i}m_i.z_i }{\sum_{i}m_i }

Il caso semplice di due punti mostra come il centro di massa può non essere un punto del sistema, e essere prossimo ai punti più pesanti (per esempio nel sistema terra-sole quasi coincide con il centro del sole Mterra/Msole~3.10-6!).

Definizione del centro di massa

Definizione del centro di massa


Il centro di massa

Il centro di massa gode delle seguenti proprietà che ne semplificano la determinazione:

  • si trova sugli eventuali assi di simmetria del sistema
  • essendo una media la si può effettuare a blocchi suddividendo il sistema e calcolando il centro di massa dei sottosistemi e poi valutando il loro centro di massa ponderandoli con la massa dei sottosistemi

Nel caso di corpi continui la somma si trasforma in un integrale contenente l’opportuna densità di massa:

\vec{r}_C=~\frac{1}{M}\int \vec{r}.dm\equiv\frac{1}{M}\int \vec{r}.\rho.d^3x

Esempi e proprietà del centro di massa

Esempi e proprietà del centro di massa


Analisi del moto del centro di massa

Consideriamo il sistema di equazioni differenziali della legge di Newton per i diversi punti del sistema ed effettuiamone la somma membro a membro, detta M la massa totale del sistema avremo:

\left\{\begin{array}{l}\vec{f}_1~=~m_1\vec{a}_1\\.............. \\\vec{f}_N~=~m_N\vec{a}_N\\\end{array}\right.\Rightarrow\sum_i\vec{f}_i=\sum_im_i\vec{a}_i=~M~\frac{\sum_im_i\vec{a}_i}{\sum_im_i}\equiv M~\vec{a}_C

dove compaiono l’accelerazione del centro di massa e la risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i punti del sistema.
Possiamo  separare in questa sommatoria il contributo delle forze dovute a punti non appartenenti al sistema (esterne) e quello di quelle fra i punti del sistema:

\sum_i\vec{f}_i=\underbrace{\sum_{i}\vec{f}^{est}_i}_{\vec{R}^{(e)}}+\sum_{i\neq j}\vec{f}_{i\rightarrow j}

Teorema del moto del centro di massa

Adesso nella somma, le forze interne si annullano a coppie in virtù del terzo principio:

\sum_{i\neq j} \vec{f}_{i\rightarrow j} \sum_{i≶j} \underbrace{\vec{f}_{i\rightarrow j} +\vec{f}_{i\rightarrow j}}_{=0} \equiv 0

\sum_{i\neq j} \vec{f}_{i\rightarrow j} \sum_{i < j} \underbrace{\vec{f}_{i\rightarrow j} +\vec{f}_{i\rightarrow j}}_{=0} \equiv 0

In questo modo scopriamo che l’equazione del moto del centro di massa è :

\vec{R}^{(e)}=M~\vec{a}_C

nota come teorema del moto del centro di massa che fornisce  la descrizione del moto medio o d’insieme del sistema determinato dalle sole forze esterne. Lanciando per aria un corpo vediamo un  moto d’insieme parabolico perché l’unica forza esterna è il peso.

Somma delle forze agenti su un sistema di punti materiali

Somma delle forze agenti su un sistema di punti materiali

Il teorema del moto del centro di massa

Il teorema del moto del centro di massa


Esempi del moto del centro di massa

Consideriamo due casi particolari di applicazione del teorema del moto del centro di massa per metterne in evidenza le caratteristiche. Riprendiamo l’esempio del corpo esteso lanciato in aria, con velocità iniziale V0 ed angolo di alzo θ0. Supponiamo che nel punto più alto della traiettoria parabolica del centro di massa il sistema esploda in due pezzi m1 e m2; ed immaginiamo di conoscere la posizione x1 di atterraggio del primo frammento. Sfruttando il moto del centro di massa, la determinazione del punto di atterraggio x2 è molto facile poiché il punto xC di atterraggio di C è noto dalle condizioni di lancio:

x_2=\frac{1}{m_2}\left[(m_1+m_2)~x_C-m_1x_1\right]~~\textrm{con}~~x_C\equiv D=~\frac{\textrm{V}_0^2\sin 2\theta_0}{g}

la via classica sarebbe molto più complicata.

Es. del proiettile che esplode

Es. del proiettile che esplode


Esempi del moto del centro di massa

Il secondo esempio invece mette in evidenza anche il limite di utilità di questo teorema; supponiamo di avere due punti di massa uguale su un piano orizzontale liscio e tenuti insieme da una molla compressa ed inizialmente il sistema è fermo. La risultante delle forze esterne è nulla, il centro di massa non accelera e, siccome inizialmente è fermo, vi rimane. Naturalmente il sistema ha una sua dinamica non banale (velocità non nulla dei punti) dovuta alle forze interne!

Es. di centro di massa fermo

Es. di centro di massa fermo


La quantità di moto e la prima equazione cardinale

Possiamo estendere la definizione della quantità di moto al caso dei sistemi:

\vec{P}_T=\sum_{i}m_i.\vec{\textrm{v}}_i=\underbrace{\left(\sum_{i}m_i\right)}_{M}~\frac{\sum_{i}m_i.\vec{\textrm{v}}_i }{\sum_{i}m_i }=~M.\vec{\textrm{V}}_C

che si esprime in funzione della massa totale e della velocità del centro di massa del sistema. Con questa definizione, il teorema del moto del centro di massa si scrive come:

\frac{d\vec{P}_T}{dt}=~\vec{R}^{(e)}

detta prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi.

Definizione della quantità di moto totale

Definizione della quantità di moto totale


Giustificazione del concetto di punto materiale

Il teorema del moto del centro di massa permette di fornire una giustificazione a posteriori del concetto di punto materiale; in effetti possiamo pensare al punto materiale come al centro di massa di un sistema in moto. Tutta la massa del corpo vi è concentrata e la sua dinamica è regolata dalle sole forze esterne come nel caso di un punto materiale in cui le forze sono solo esterne!

Relazione fra centro di massa e concetto di punto materiale

Relazione fra centro di massa e concetto di punto materiale


Quantità di moto e terzo principio della dinamica

Consideriamo il caso di due punti in interazione fra loro e non soggetti ad altre forze esterne. La loro quantità di moto totale è costante:

\vec{P}_T=~m_1.\vec{\textrm{v}}_1~+~m_2.\vec{\textrm{v}}_2=~\vec{cte}

E dunque

\frac{d\vec{P}_T}{dt}=~0~\Rightarrow~ m_1.\frac{d\vec{\textrm{v}}_1}{dt}~+~m_2.\frac{d\vec{\textrm{v}}_2}{dt}=0\Rightarrow~~\vec{f}_{2\rightarrow 1}~=~-\vec{f}_{1\rightarrow 2}

si ottiene il terzo principio della dinamica o legge di azione e reazione. In realtà la formulazione corretta del terzo principio si effettua in termini di conservazione della quantità di moto e non delle forze. Infatti anche a livello elementare si osservano delle forze, come quella elettromagnetica, che violano principio di azione e reazione ma non la conservazione della quantità di moto se si considerano tutti i contributi anche quelli non puramente meccanici.

Quantità di moto e terzo principio della dinamica

Quantità di moto e terzo principio della dinamica


Il sistema di riferimento del centro di massa

Guidati dall’idea di scomporre il moto in quello medio del suo centro di massa ed un altro relativo fra i suoi punti risulta molto utile considerare il sistema di riferimento del centro di massa, con origine in C e la direzione degli assi parallela a quella del riferimento inerziale scelto inizialmente:

{\mathcal{R}}\left(O,x,y,z;t\right)}~\textrm{e}\rightarrow{\mathcal{R}}^*\equiv~\left(C,~~x'\parallel x,~y'\parallel y,~z'\parallel z\right)

In questo nuovo riferimento le posizione e velocità si trasfromano come:

\left\{\begin{array}{l}\vec{r}_i~=\vec{r}^*_i+\vec{r}_C\\ \vec{\textrm{v}}_i=\vec{\textrm{v}}_i^*+\vec{\textrm{V}}_C\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\vec{r}^*_C=0\\ \vec{\textrm{V}}_C^*=0\end{array}\right.\Rightarrow\vec{P}_C^*=0

la quantità di moto nel riferimento del centro di massa si annulla.

Il sistema di riferimento del centro di massa

Il sistema di riferimento del centro di massa


Il teorema di Konig per l’energia cinetica

Possiamo scrivere per l’energia cinetica del sistema il teorema di Konig:

E_K^{tot}~=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i(\vec{\textrm{v}}_i^*+\vec{\textrm{V}}_C)^2=\frac{1}{2}M.\textrm{V}^2_C~+~\underbrace{\sum_{i}\frac{1}{2}m_i\textrm{v}_i^2}_{E_K^*}<br />
+\vec{\textrm{V}}_C\cdot\underbrace{\sum_{i}m_i\vec{\textrm{v}}_i^*}_{=0}=E_K^{cm}~+~E_K^*

Notare che il riferimento del centro di massa non è per forza inerziale!

Il teorema di Konig per l’energia cinetica

Il teorema di Konig per l'energia cinetica


Energetica dei sistemi

Il lavoro totale effettuato sul sistema è la somma di quelli sui singoli punti che separiamo fra quello delle forze esterne ed interne:

dW_{tot}=\sum_i\vec{f}_i\cdot d\vec{r}_i=\sum_i\vec{f}_i^{est}\cdot d\vec{r}_i+\sum_{i,j.i\neq j}dW_{ij}

Per il lavoro delle forze interne non avviene una cancellazione immediata:

dW_{ij}^{int}=~\vec{f}_{j\rightarrow~i}\cdot d\vec{r}_i~+~\vec{f}_{i\rightarrow~j}\cdot~d\vec{r}_j=\vec{f}_{i\rightarrow~j}\cdot~d\left(\vec{r}_j-\vec{r}_i\right)=f_{ij}.dr_{ij}\neq 0

a meno che il corpo non sia rigido drij=0. Il teorema dell’energia cinetica diventa:

\Delta E_K^{tot}~=~W_{est}+~W_{int}

Lavoro delle forze interne di un sistema di punti

Lavoro delle forze interne di un sistema di punti


Energetica dei sistemi

Nell’esempio in figura quando la molla si distende la forza esterna esercitata dal supporto non lavora perché dx=0, l’energia cinetica aumenta a causa del lavoro delle forza elastica fra molla e corpo ( o meglio a spese dell’energia elastica interna).
Dal teorema del centro di massa si calcola la variazione dell’energia cinetica relativa al moto medio:

\vec{F}_{est}\cdot~d\vec{r}_C=~M~\textrm{V}_C.d~\textrm{V}_C\Rightarrow\frac{1}{2}M~\textrm{V}_{C2}^2-\frac{1}{2}M~\textrm{V}_{C1}^2=\underbrace{\int_1^2\vec{F}_{est}\cdot d\vec{r}_C}_{\neq W_{est}}

Es. di lavoro delle forze interne

Es. di lavoro delle forze interne


Conservazione dell’energia nei sistemi

Estendiamo le considerazioni sulla conservazione dell’energia al caso dei sistemi; possiamo dividere i contributi alle variazioni energetiche in:

  • quello delle forze conservative esterne, per esempio il peso in numerose applicazioni
  • quello delle forze conservative interne, come nel caso di punti legati fra loro elasticamente
  • quello delle forze non conservative esterne o interne (attriti, dissipazioni, ecc …)

Scriviamo esplicitamente il teorema dell’energia cinetica applicando anche il teorema di Koenig:

\Delta\left(E_K^{cm}+E_K^*\right)~=~-\Delta E^{est}_{pot} -\Delta E_{pot}^{int}~+W_{nc}^{est}~+W_{nc}^{int}

\Rightarrow\Delta\underbrace{\left(E_K^{cm}+E^{est}_{pot}+E_K^*+E_{pot}^{int}\right)}_{E_m^{tot}}=W_{nc}^{tot}

L’energia meccanica totale si scompone in una parte relativa al moto del centro di massa ed alle forze esterne ed una parte interna legata al moto relativo dei punti ed alle interazioni interne. L’eventuale presenza delle forze non conservative provoca la variazione dell’energia totale.

Energia potenziale gravitazionale dei sistemi

Nel caso del peso l’energia potenziale gravitazionale di un sistema assume la semplice espressione:

\Delta U_{i}=~m_ig.\Delta z_i\Rightarrow\Delta U_{tot}= \sum_{i}m_ig~\Delta z_i=M~\frac{\sum_{i}m_ig ~\Delta z_i}{\sum_im_i}=~M.g.\Delta z_{C}

L’energia potenziale gravitazionale di un sistema di punti

L'energia potenziale gravitazionale di un sistema di punti


Esempio di conservazione dell’energia nei sistemi

Un esempio interessante dell’applicazione del concetto di energia al caso dei sistemi è fornito dal salto con l’asta:

  • inizialmente l’atleta di massa M corre con velocità V e possiede soltanto energia cinetica ½ MV2
  • quando l’asta si flette l’energia cinetica si trasforma in energia elastica della sbarra, un’energia interna del sistema
  • quando l’atleta ha raggiunto la  quota del salto l’energia elastica interna si è trasformata in energia potenziale gravitazionale (esterna) MgH

Finalmente dall’uguaglianza delle energie scambiate si ricava la quota del salto  in funzione della velocità iniziale dell’atleta; ed il risultato è in accordo con i risultati sportivi!


Rotazioni dei sistemi rigidi

Per il moto dei punti rispetto al centro di massa studiamo il caso più semplice dei corpi rigidi. Spesso il moto del centro di massa non è significativo; se una centrifuga ruota velocemente intorno al proprio asse, il suo centro di massa è fermo (!) ma non certo il sistema.
I moti in questione sono le rotazioni; tuttavia non si può usare l’approccio vettoriale delle traslazioni (assi ed angoli di rotazione indipendenti) perché queste operazioni non commutano! La rotazione si caratterizza con un vettore velocità angolare perché solo le rotazioni infinitesime commutano.

Rotazioni di un sistema rigido

Rotazioni di un sistema rigido


Cinematica delle rotazioni intorno ad un asse fisso

Per semplicità consideriamo solo rotazioni intorno ad un asse fisso (z); gli aspetti matematici si semplificano, e comunque è il caso di molti sistemi fisici di grande importanza concettuale e pratica. Ogni punto Pi (mi) descrive una circonferenza di raggio r⊥i nel piano ⊥ a (z). La sua posizione è individuata da variabili angolari uniche per tutto il corpo (rigido) ma collegate a quelle lineari dipendenti dal punto:

\left\{\begin{array}{l}\theta(t)\\ \omega(t)=\dot{\theta}\\ \alpha(t)=\ddot{\theta}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}r_{\perp i}\\ \textrm{v}_i=\omega .r_{\perp i}\\a_i^{(t)}=r_{\perp i}\alpha,~a_i^{(c)}=-r_{\perp i}\omega^2\end{array}\right

Cinematica delle rotazioni intorno ad un asse fisso

Cinematica delle rotazioni intorno ad un asse fisso


Concetto di momento torcente

Interessiamoci agli aspetti dinamici del moto rotatorio di un corpo rigido intorno ad un asse fisso (Δ) come per esempio una porta. Le variazioni del moto sono dovute all’effetto di interazioni ma l’esperienza insegna che non basta la sola presenza di una forza:

  • se la forza è parallela a (Δ) non ha effetti rotazionali, conta solo la componente trasversa F⊥
  • a parità di intensità F⊥ è più efficace ai fini della rotazione: (a) secondo la distanza r⊥ del punto in cui viene applicata dall’asse di rotazione, (b) secondo l’angolo φ che formano nel piano le direzioni di F⊥ e r⊥
Momento torcente delle forze rispetto ad un asse

Momento torcente delle forze rispetto ad un asse


Momento torcente delle forze

Queste proprietà sono riassunte dal momento torcente della forza rispetto all’asse (Δ):

{\mathcal{M}}_{\Delta}~=~r_\perp.F_\perp.\sin\varphi~=~r_\Delta . F_\perp~=~r_\perp.F_t

dove abbiamo introdotto la forza tangenziale Ft o il braccio rΔ la distanza fra la direzione della forza e (Δ). Al momento si dà un segno coerente con il verso scelto per la rotazione e dunque si sommano algebricamente i momenti delle varie forze agenti sul corpo.

Momento torcente delle forze rispetto ad un asse

Momento torcente delle forze rispetto ad un asse


Dinamica dei moti rotatori

Avendo definito il momento delle forze cerchiamo l’equazione del moto dei moti rotatori. Osserviamo prima di tutto che, come nel caso delle forze, quando si calcola il momento risultante rispetto ad un asse, avviene la cancellazione dei momenti delle forze interne e questo, come mostrato in figura perché le coppie di azione e reazione hanno la stessa retta di azione:

\sum_{i}\mathcal{M}_{i}=\sum_{i}\left(\mathcal{M}^{(est)}_{i}+\mathcal{M}^{(int)}_{i}\right)=\sum_{i}{\mathcal{M}}_{i}^{(est)}+\sum_{i < j}\underbrace{\left(f_{i\rightarrow j}-f_{i\rightarrow j}\right)}_{=0}.r_{ij\Delta}~\equiv {\mathcal{M}}_{\Delta}^{(est)}

Momento risultante rispetto ad un asse fisso

Momento risultante rispetto ad un asse fisso


Equazione dei moti rotatori

Per il punto (i), sul quale agisce la forza trasversa Fi, possiamo scrivere la proiezione tangenziale della legge di Newton come:

F_{it}=m_ia_{i}^{(t)}=m_ir_{\perp i}.\alpha\Rightarrow~r_{\perp i}.F_{it}=m_ir_{\perp i}^2.\alpha

che sommata su tutti i punti, tenendo conto della cancellazione dei momenti interni e dell’univocità delle variabili rotazionali, diventa:

\sum_{i}\mathcal{M}_{i}=\sum_i~r_{\perp i}.F_{it}=\underbrace{\sum_im_ir_{\perp i}^2}_{I_\Delta=cte}.\alpha\Rightarrow~~{\mathcal{M}}_{\Delta}^{(est)}= I_\Delta.\alpha

che rappresenta l’equazione cercata, analogo, per le rotazioni, del teorema del centro di massa.

Equazione dinamica dei moti rotatori rispetto ad un asse fisso

Equazione dinamica dei moti rotatori rispetto ad un asse fisso


Momento d’inerzia

La combinazione IΔ è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse (Δ); e fissato l’asse si calcola effettuando la somma od eventualmente un’integrazione nel limite di sistemi continui:

I_\Delta~=\sum_{i}m_i.r_{\perp i}^2~~\Rightarrow~I=\int r_{\perp}^2dm

Il momento d’inerzia è l’analogo della massa inerziale, esprime l’inerzia di un corpo a mettersi in rotazione intorno ad un dato asse sotto l’effetto di un momento torcente; rappresenta una caratteristica del corpo. Tuttavia per un dato corpo dipende dall’asse particolare di rotazione. Come mostrato nell’esempio in figura il momento d’inerzia dello stesso corpo ha valori molto diversi per due assi diversi, come risulta molto intuitivo se lo pensiamo come misura dell’inerzia opposta alle rotazioni intorno a quello specifico asse.

Concetto di momento d’inerzia rispetto ad un asse

Concetto di momento d'inerzia rispetto ad un asse


Momento d’inerzia (segue)

Il calcolo dei momenti d’inerzia dei corpi simmetrici omogenei è un eccellente esercizio di calcolo integrale; alcuni dei risultati più noti sono riportati sulla figura. In molti casi, per motivi di simmetria, risulta più facile valutare ICM rispetto ad un asse parallelo a (Δ) ma passante per il centro di massa. In questo caso vale il teorema di Huyghens-Steiner:

I_\Delta~=~I_{CM}~+~M.d^2

dove M è la massa totale del corpo e d la distanza fra i due assi.

Calcolo di momenti d’inerzia e teorema di Huyghens-Steiner

Calcolo di momenti d'inerzia e teorema di Huyghens-Steiner


Esempi di dinamica di moti rotatori

Vediamo come si applica la legge dei moti rotatori in alcuni semplici esempi riportati in figura:

  • sul cilindro, che può ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale incernierato lungo il suo asse di simmetria, è avvolto un filo ideale che viene tirato verticalmente con una forza Fe. Si bilanciano le forze esterne (peso, reazione del vincolo e tensione) perché il cilindro ruota soltanto; mentre la sola tensione (in modulo pari a Fe) ha un momento non nullo e provoca l’accelerazione angolare costante
  • sul cilindro, inizialmente in rotazione intorno ad un asse orizzontale incernierato lungo il suo asse di simmetria, si spinge con un freno meccanico che provoca la forza di attrito mostrata in figura. La reazione del vincolo compensa l’effetto di Fe, mentre per la rotazione l’unico momento importante è quello frenante della forza di attrito. Il moto rotatorio è uniformemente decelerato
Esempi di dinamica dei moti rotatori

Esempi di dinamica dei moti rotatori


La macchina di Atwood

Un altro esempio interessante è quello della macchina di Atwood, già studiato in precedenza, ma questa volta trattato in modo completo tenendo conto del moto di rotazione della puleggia (un cilindro in figura). Notare che per I→0 (massa del cilindro trascurabile) si ritrovano i risultati del capitolo precedente.

La macchina di Atwood

La macchina di Atwood


Il pendolo composto

L’esempio forse più importante e familiare di moto rotatorio oscillatorio è quello del pendolo composto o pendolo fisico, quello di un corpo che ruota liberamente intorno ad un asse orizzontale posto ad una distanza l dal centro di massa; spostato dalla posizione verticale di equilibrio stabile il corpo oscilla. Nella posizione individuata dall’angolo θ,  l’unico momento che contribuisce è quello della forza peso perché il braccio della reazione sul supporto è nullo.
Il momento della forza peso di un sistema si determina assumendo che tutta la massa sia concentrata nel centro di massa: {\mathcal{M}_P}~=-~m~g~l~\sin\theta

dove  il segno meno evidenzia il carattere di richiamo rispetto alla posizione di equilibrio.

Il pendolo composto

Il pendolo composto


Il pendolo composto (segue)

Pertanto scriveremo per l’equazione del moto:

-m\cdot g\cdot l\cdot \sin\theta=I~\frac{d^2\theta}{dt^2}\Rightarrow~\ddot{\theta}=-\omega^2\sin\theta~~\textrm{con}~~\omega^2=\frac{m\cdot g\cdot l}{I}

Matematicamente il caso è identico al pendolo semplice e nel caso delle piccole oscillazioni si ottiene:

\theta\ll 1~\rightarrow~\sin\theta\approx~\theta\Rightarrow~ \ddot{\theta}~=~-~\omega^2\theta\Rightarrow~ \theta(t)=~\theta_M~\cos\left(\omega.t+\varphi\right)

un moto armonico di periodo:

T=2\pi~\sqrt{\frac{I}{m~g~l}}

che coincide col pendolo semplice per un punto.

Il pendolo composto

Il pendolo composto


Lavoro nelle rotazioni

Se applichiamo, come in figura, una forza ad una sbarra che può ruotare intorno ad un estremo, possiamo calcolare il lavoro effettuato per un piccolo spostamento corrispondente ad una rotazione infinitesima dθ:

dW=\vec{F}_\perp\cdot\textrm{d}\vec{s}~=F_\perp.r_\Delta.d\theta=F_t.r_\perp.d\theta\equiv{\mathcal{M}}_\Delta.d\theta\Rightarrow~W_{1\rightarrow 2}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}{\mathcal{M}}_\Delta~d\theta

e per uno spostamento finito; otteniamo l’espressione del lavoro con le variabili naturali momento ed angolo.

Espressione del lavoro per le rotazioni

Espressione del lavoro per le rotazioni


Energia cinetica delle rotazioni

Anche l’energia cinetica di rotazione del sistema si esprime semplicemente con le variabili rotazionali:

E_K^{rot.}=\sum_i~\frac{1}{2}m_i\textrm{v}_i^2=\sum_i~\frac{1}{2}m_ir_{\perp i}^2\omega^2\Rightarrow~~E_k^{rot.}=\frac{1}{2}~I~\omega^2

Applicando il teorema di Hughens-Steiner si ottiene la versione rotatoria del primo teorema di Koenig.
Tutti i risultati (energia potenziale, conservazione dell’energia ecc…) si estendono usando le variabili rotazionali. Per esempio nel caso del pendolo composto l’energia potenziale gravitazionale, scegliendo il riferimento nella posizione di equilibrio, si scrive:

E_p^{peso}=~m.g.l~\left(1-\cos\theta\right)\stackrel{\theta\ll 1}{\rightarrow} E_p^{peso}\approx~\frac{1}{2}m.g.l.\theta^2

Energia cinetica delle rotazioni

Energia cinetica delle rotazioni


Equilibrio dei sistemi rigidi

Nel caso di un sistema rigido l’equilibrio è caratterizzato dall’assenza sia di traslazione che di rotazione intorno ad assi. Pertanto la condizione equilibrio (necessaria) di un corpo rigido è più articolata di quella del punto materiale e richiede l’annullarsi della risultante del forze ma anche del momento risultante:

\textrm{equilibrio}~\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\vec{F}^{ris}=0\\ {\mathcal{M}}_{\Delta}^{ris.}=0\end{array}\right.

Fra gli esempi più noti vi è quello della bilancia che permette la definizione operativa della massa gravitazionale!

Equilibrio dei sistemi rigidi: la bilancia

Equilibrio dei sistemi rigidi: la bilancia

Equilibrio di una scala

Equilibrio di una scala


Rotazioni nello spazio

Nel caso delle rotazioni nello spazio, fissata un’orientazione di riferimento del corpo, si deve descrivere quella generica parametrizzandola con tre rotazioni successive (angoli di Eulero) con un punto fisso O. Questo corrisponde a trasformazioni con velocità vettoriale angolare ω(t) variabile nel tempo, che si esprime in funzione delle derivate temporali degli angoli di Eulero; la scelta di questa parametrizzazione risulta evidente in alcuni problemi più avanzati come quello della trottola.

Rotazioni nello spazio, orientazione generica di un corpo

Rotazioni nello spazio, orientazione generica di un corpo


Formalismo del prodotto vettoriale

Per estendere i ragionamenti precedenti al caso generale conviene definire il prodotto vettoriale di due vettori u e v che è un vettore w ortogonale ad entrambi, il cui verso si ottiene con la regola della mano destra (u lungo il pollice, v lungo l’indice allora w=u x v è nel verso del medio) e di modulo u.v.sinΦ.
Stabilito il punto fisso O della rotazione allora possiamo definire:

  • la posizione dei singoli punti del corpo rispetto ad O e la loro velocità si esprime come:

\vec{\textrm{v}}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i

  • il vettore momento, rispetto al polo O, di una forza applicata in un punto:

\vec{\mathcal{M}}_O=\vec{r}\times\vec{F}

e la precedente definizione di momento rispetto all’asse corrisponde alla componente del vettore momento lungo l’asse in questione.

Prodotto vettoriale e grandezze cinematiche e dinamiche associate

Prodotto vettoriale e grandezze cinematiche e dinamiche associate


Momento angolare

In analogia con la quantità di moto, definiamo il momento della quantità di moto (momento angolare) rispetto ad un polo O di un punto materiale e successivamente quello totale del sistema:

\vec{l}_i=\vec{r}_i\times~m_i\vec{\textrm{v}}_i\Rightarrow\vec{L}_O=\sum_{i}\vec{r}_i\times~m_i\vec{\textrm{v}}_i\equiv\underbrace{\mathcal{I}}_{matrice}~\vec{\omega}

che si esprime linearmente in funzione della velocità angolare (notare l’analogia con la quantità di moto totale, la massa e la velocità del centro di massa).

Concetto generale di momento angolare

Concetto generale di momento angolare


Seconda equazione cardinale

Effettuando la derivata rispetto al tempo del momento angolare totale si ottiene, tenendo conto della cancellazione dei momenti delle forze interne come riportato in figura:

\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\sum_{i}=-\vec{\textrm{v}}_O\times\sum_{i}m_i\vec{\textrm{v}}_i+ \sum_{i}\vec{\mathcal{M}_{Oi}}^{est.}+\underbrace{\sum_{i}\vec{\mathcal{M}_{Oi}}^{int.}}_{=0\vec{f}_{i\rightarrow~j}\parallel\vec{r}_{ij}}=-\vec{\textrm{v}}_O\times\vec{P}_T +~\vec{\mathcal{M}}_{O}^{ris.}

dove nel caso più generale si è preso in considerazione un possibile movimento del polo O.
Nel caso di polo fermo o centro di massa fermo o coincidenti si ottiene:

\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{\mathcal{M}}_{O}^{ris.}

detta seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi.

La seconda equazione cardinale della dinamica

La seconda equazione cardinale della dinamica


Moti roto-traslatori

Le due equazioni cardinali caratterizzano il moto generico di un sistema di punti:

\left\{\begin{array}{l}\frac{d\vec{P}_T}{dt}=\vec{F}^{est.}_{ris.}\\ \frac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{\mathcal{M}}^{est.}_{ris.}\end{array}\right.

in particolare per un corpo rigido la soluzione è univoca perché sono 6 relazioni per 6 gradi di libertà (centro di massa ed angoli di orientazione) del sistema.

Moto roto-traslatorio ed equazioni cardinali

Moto roto-traslatorio ed equazioni cardinali


Moti roto-traslatori

Alcune proprietà del momento angolare totale, con polo il centro di massa C, permettono di separare il moto in una traslazione di C (prima equazione) ed una rotazione con polo C (seconda equazione). Il secondo risultato non è banale perché  il riferimento del centro di massa non è per forza inerziale!

Moto roto-traslatorio e riferimento del centro di massa

Moto roto-traslatorio e riferimento del centro di massa


Moto di rotolamento

I casi più semplici sono quelli in cui le velocità dei punti del corpo sono sempre complanari; fra questi riveste un’importanza particolare quello di puro rotolamento. Consideriamo il cilindro di raggio R che rotola sul piano orizzontale; in un tempo Δt il cilindro avrà ruotato di un angolo Δθ intorno al suo asse, ed il centro di massa si è spostato di Δx. Si ha puro rotolamento (o rotolamento senza strisciare) se:

\Delta x=~R.\Delta \theta ~\textrm{e~per~}\Delta t\rightarrow 0~~\textrm{V}_C~=~R.\omega

Come mostrato il punto di contatto è, istante per istante, fermo! Per capirlo intuitivamente pensiamo un cilindro con n lati, se rotola senza strisciare lo spigolo è fermo; il caso reale si ottiene per n→∞.

Moto di puro rotolamento

Moto di puro rotolamento


Energetica del moto di rotolamento

L’immobilità del punto di contatto ha una conseguenza molto importante dal punto di vista energetico. Sul cilindro agiscono il peso, la reazione del piano e la forza di attrito statico poiché il punto di contatto è fermo. Queste forze non compiono lavoro durante il moto: (a) peso e reazione sono perpendicolari allo spostamento, mentre dWs=fs.dx=0 perché il punto di contatto è fermo (dx=0). Il sistema non dissipa energia ed il cilindro dovrebbe continuare a rotolare indefinitamente con velocità costante. In realtà nei sistemi reali esiste comunque una perdita di energia dovuta al cosiddetto attrito volvente. L’origine del fenomeno risiede nella non perfetta elasticità del piano che al passaggio del corpo viene prima compresso e poi non si distende completamente dissipando dell’energia. Come esempio in cui il fenomeno è esaltato possiamo pensare ad una boccia che rotola sulla sabbia, la deformazione in questo caso è permanente!
Nella maggior parte dei casi di interesse pratico l’effetto dell’attrito volvente è comunque molto più piccolo di quello dell’attrito radente, nel filmato si osserva che, a parità di spinta, rotolando si percorre un tratto molto più lungo. Questo spiega l’importanza tecnologica dei cuscinetti a sfera, in numerose applicazioni, per ridurre gli attriti.

Dissipazioni energetiche nel moto di rotolamento

Dissipazioni energetiche nel moto di rotolamento

Evidenza della differenza fra attrito radente e volvente

Evidenza della differenza fra attrito radente e volvente


Rotolamento lungo il piano inclinato

Un esempio molto frequente è quello di un corpo che scende rotolando senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale, come nel caso del cilindro della figura. Le equazioni cardinali forniscono le relazioni:

\left\{\begin{array}{lcl}f_s~R &=& I_C~\dot{\alpha_c}\\m.g\sin\theta - f_s &=& m~a_C \end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}a_c&=&\left(\frac{ mR^2}{mR^2+I_C}\right)~g.\sin\theta\\f_s&=&\left(\frac{I_C}{mR^2+I_C}\right)~ g.\sin\theta\end{array}\right

dove abbiamo estesa la condizione di puro rotolamento alle accelerazioni aC=R.αC.
L’accelerazione è minore di g.sinθ del corpo che scivola senza attrito lungo il piano inclinato; partendo da fermo, dopo un tratto Δx abbiamo:

\frac{1}{2}~m~v_C^2~+~\frac{1}{2}~I_C~\omega_c^2~=~m~g~\sin \theta~\Delta x

dove per l’energia cinetica abbiamo usato il teorema di Koenig. L’energia gravitazionale contribuisce all’aumento di entrambi i termini e dunque l’accelerazione di traslazione diminuisce rispetto al caso in cui il corpo non rotola.
La riduzione dipende solo dalle caratteristiche del momento d’inerzia del solido che rotola (cilindro, anello, sfera, ecc…) e viene riportata in figura; come mostrato dal filmato è la sfera che vince la gara sul piano inclinato!

Rotolamento lungo il piano inclinato

Rotolamento lungo il piano inclinato

 Gare di rotolamento sul piano inclinato

Gare di rotolamento sul piano inclinato


Studio del rotolamento lungo il piano inclinato

Per studiare il rotolamento lungo il piano inclinato si usa una guida triangolare squadrata di alluminio di spigolo d=15mm e di lunghezza L=100cm. Sulla guida, disposta in modo simmetrico rispetto al piano orizzontale, si può adagiare una pallina di raggio r=7,5mm che percorre rotolando una traiettoria rettilinea inclinata rispetto all’orizzontale. I punti di contatto con la guida sono due e l’asse istantaneo di rotazione ΔΩ si trova alla distanza δ dal centro di massa; δ(≠r) si può calcolare in funzione dell’angolo α=π/2, del raggio della pallina r e della dimensione dello spigolo d:

d\geq~r~\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)~\Rightarrow~\delta=r~\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=r~\frac{\sqrt{2}}{2}

Questa distanza serve per il calcolo del fattore di riduzione dell’accelerazione che diventa:

\left(\frac{a_c}{g\sin\theta}\right)=\left(\frac{m\delta^2}{m\delta^2+\frac{2}{5}mr^2}\right)=\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{5}}\right)=\frac{5}{9}

Apparato sperimentale ed accelerazione prevista

Apparato sperimentale ed accelerazione prevista


Idea “originale” della misura

Due foto-traguardi permettono di misurare i tempi di transito della pallina come nella prima esperienza. Tuttavia avevamo osservato che il valore dell’accelerazione dipendeva sensibilmente dalla velocità iniziale, inevitabile, del moto. Useremo una tecnica alternativa che, per esempio, viene sfruttata nelle misure accurate di caduta libera. Si lancia la pallina dal basso verso l’alto (sali-scendi) perché non è difficile mostrare che, assumendo il moto uniformemente accelerato, l’accelerazione si esprime in funzione della distanza fra i sensori e delle differenze dei tempi di transito. In questo modo la misura è indipendente dall’istante iniziale del moto o in modo equivalente dalla sua velocità iniziale!

Schematizzazione ed idea della misura

Schematizzazione ed idea della misura


Misura dei tempi rotolamento

La distanza fra i sensori (X2-X1) deve essere sufficientemente grande affinché l’errore commesso con il righello (±1mm) sia percentualmente piccolo; tuttavia nemmeno troppo piccolo da rendere difficile il lancio perché si rischia di fare cadere la pallina oltre la guida.
Volendo verificare la dipendenza dall’angolo di inclinazione ne possiamo stimarne il seno che è la variabile naturale del problema dalle misure di distanza:

\sin\theta=\frac{H-h}{L}

anche in questo caso è inutile superare sinθ~0,25 perché i lanci diventano abbastanza difficili da realizzare e non si deve superare il limite oltre il quale la pallina striscia oltre che rotolare. Un esempio di lancio è riportato nel filmato. La sequenza di misura dei tempi è schematizzata in figura, i foto traguardi sono interfacciati con il PC che mostra i tempi delle transizioni fra gli stati ostruito 1 e libero 0 dei sensori. La figura mostra alcune sequenze di lancio con l’individuazione degli intervalli di tempo Δt2 e Δt1 rilevanti per la misura. Abbiamo riportato anche l’elaborazione del dato con la formula dell’accelerazione che evidenzia il grande vantaggio di questa tecnica; malgrado gli intervalli di tempo siano diversi, per esempio lanci più o meno lunghi, il valore dell’accelerazione praticamente non cambia!

Misure temporali per la stima dell’accelerazione di rotolamento

Misure temporali per la stima dell'accelerazione di rotolamento

Esempio di presa dati

Esempio di presa dati


Analisi del rotolamento lungo il piano inclinato

La possibilità di misurare direttamente l’accelerazione in modo semplice ad ogni lancio permette di effettuare un’analisi statistica dei dati sperimentali. Fissato un angolo di inclinazione, si ripetono le misure e si può costruire un istogramma come mostrato in figura per due valori di sinθ. Dall’istogramma si possono ricavare il valore medio come migliore stima e la deviazione standard come stima dell’incertezza alla quale va aggiunto il contributo di incertezza dovuto alla distanza fra i sensori.
Un aspetto delicato, che rischia di introdurre un effetto sistematico rilevante, è quello della corretta orientazione della guida rispetto al piano orizzontale. Come mostrato in figura, se la guida è spostata di un angolo β, si modifica la distanza effettiva fra l’asse di rotazione ed il centro di massa. Il calcolo è abbastanza laborioso ed il risultato riportato in figura, si noti il limite naturale β=π/2 per il quale si ritrova il fattore di riduzione classico della sfera 5/7. Per ottimizzare l’orientazione si può usare una livella.

Analisi delle misure sul moto di  rotolamento

Analisi delle misure sul moto di rotolamento


Risultati del rotolamento lungo il piano inclinato

Le misure di accelerazione in funzione di sinθ evidenziano un andamento rettilineo; un fit lineare con il fattore di riduzione atteso 5/9 fornisce una stima dell’accelerazione di gravità in buon accordo col valore noto.

Stima dell’accelerazione di gravità e possibile effetto dell’inclinazione

Stima dell'accelerazione di gravità e possibile effetto dell'inclinazione


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