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Vincenzo Canale » 6. Energetica del punto materiale

Quantità di moto e teorema dell’impulso

La legge di Newton collega la forza, la massa e l’accelerazione che sono grandezze intuitive. Tuttavia, come spesso accade in Fisica, queste variabili non sono sempre le più adatte per la descrizione dinamica. Si definisce la quantità di moto del punto materiale:
$\vec{p}~=~m~\vec{\textrm{v}}$
ed il secondo principio si formula in modo più generale come: $\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum_{i} \vec{f}_i$
In modo analogo il terzo principio si può scrivere come:

$\frac{d\vec{p}_1}{dt}=-\frac{d\vec{p}_2}{dt}~~\Rightarrow~~\vec{p}_1+\vec{p}_2~=~m_1\vec{\textrm{v}}_1~+m_2\vec{\textrm{v}}_2=cost.$

cioè la legge di conservazione della quantità di moto per due punti in interazione.

Riprendendo la relazione precedente possiamo scrivere: $d\vec{p}=~\vec{f}\cdot dt~\Rightarrow~\Delta\vec{p}~=~\int_{1}^{2}\vec{f}\cdot dt$

L’applicazione della forza per un tempo finito provoca una variazione di quantità di moto (teorema dell’impulso). In molti casi non si conosce bene la forza agente sul punto mentre si misura bene la variazione di quantità di moto, la relazione precedente permette di stimare la forza media che ha agito sul corpo:
$<\vec{f}>=~\frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f}\cdot dt\Rightarrow <\vec{f}>=~\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$

Lavoro di una forza

Il teorema dell’impulso esprime l’effetto dinamico di una forza che agisce per un intervallo di tempo; ci si può chiedere se esiste una formulazione analoga quando la forza agisce per un intervallo spaziale. Come mostrato in figura ci aspettiamo che se la forza tira o spinge nel verso concorde (opposto) dello spostamento avrà un effetto accelerante (frenante). Per formalizzare questa idea dovremo trovare una composizione matematica dei vettori F e Δx con queste proprietà; questa operazione esiste ed è il prodotto scalare di due vettori:
$\left(\vec{u},\vec{v}\right)\rightarrow~\vec{u}\cdot\vec{v}~=~\left|u\right|.\left|v\right|.\cos\theta$
dove θ è l’angolo fra le due direzioni.
Con questa operazione possiamo definire il lavoro W della forza F per uno spostamento Δx
$W=~\vec{F}\cdot\Delta\vec{x}~=~F.\Delta x.\cos\theta~\left\{\begin{array}{l}>0~se|\theta<\pi/2\\=0~se~\theta=\pi/2\\<0~se~\theta>\pi/2\end{array}\right.$
e notiamo che possiede le caratteristiche volute con il prodotto delle intensità e l’effetto dell’orientazione relativa. Intuitivamente ci aspettiamo che se W>0 (<0) il punto accelera (frena) mentre per W=0 la forza ha solo un effetto deviante . Le dimensioni fisiche del lavoro sono [W]=[F].[L] e l’unità di misura è ii Joule: 1J=1N.m

Concetto di lavoro e prodotto scalare di vettori

Lavoro di una forza

La definizione del lavoro W si generalizza al caso di un percorso generico e di una forza variabile, è il lavoro della forza lungo una curva C per andare dal punto A al punto B. Questo percorso curvilineo coincide spesso con la traiettoria di un punto materiale ma non necessariamente. La tecnica matematica è consolidata, si suddivide la curva in N tratti approssimativamente rettilinei sui quali la forza è con buona approssimazione costante e si sommano i diversi contributi:
$dW_j=\vec{f}_j\cdot d\vec{r}_j\Rightarrow~W=\sum_{j=1}^{j=N}\vec{f}_j\cdot d\vec{r}_j$

Passando al limite per una suddivisione infinita si ottiene un integrale:
$W_{A\rightarrow B}=\int_{A}^{B}\vec{f}\cdot d\vec{r}$
detto curvilineo perché viene effettuato seguendo la curva C che porta A→B.

Lavoro di una forza lungo un percorso

Calcolo esplicito del lavoro di una forza

In generale il vettore forza dipende dal punto f=f(x,y,z). Il calcolo effettivo del lavoro si effettua sfruttando l’espressione del prodotto scalare in funzione delle coordinate dei vettori:
$\vec{u}\cdot\vec{v}=~u.v.\cos\theta=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

e dunque il lavoro si calcola come: $W_{A\rightarrow B}=\int_{A}^{B}\left[f_x(x,y,z)dx+f_y(x,y,z)dy+f_z(x,y,z)dz\right]$

Questo mostra che in generale il lavoro di una forza dipende dal percorso che si segue per andare dal punto A al punto B. Le proprietà di linearità dell’integrazione assicurano che, se sul punto agiscono più forze, il lavoro complessivo sarà la somma:
$\vec{f}=\sum_i\vec{f}_i\Rightarrow~W=\sum_j~W_j$

Il lavoro della forza peso

Iniziamo gli esempi del calcolo del lavoro di alcune forze comuni con il caso del peso; per un corpo di massa m in prossimità della superficie terrestre la forza peso è una costante vettoriale di coordinate P(0,0,-mg) avendo scelto, come consuetudine, l’asse z lungo la verticale ascendente. Il lavoro del peso da A → B risulta:
$W^{peso}_{A\rightarrow B}=\int_{A}^{B}m\vec{g}\cdot d\vec{r}=m\vec{g}\cdot \int_{A}^{B}d\vec{r}=m\vec{g}\cdot\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)=-m.g.(z_B-z_A)$
Il risultato è molto semplice, ai fini del lavoro del peso conta solo lo spostamento verticale del corpo.
Questo risultato si generalizza al caso di una qualsiasi forza costante (come vettore):
$\vec{f}=\vec{cte}\Rightarrow W^{cost}_{A\rightarrow B}=\int_{A}^{B}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\vec{f}\cdot\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)$

Lavoro della forza peso

Il lavoro delle forze vincolari

Il secondo caso molto importante nelle applicazioni è quello delle reazioni vincolari. Nel caso di vincolo liscio la forza N è normale al vincolo (superficie o curva) e dunque se come percorso si resta sul vincolo il lavoro è nullo:
$\vec{N}\perp d\vec{r}\Rightarrow W^{norm.}_{A\rightarrow B}=\int_{A}^{B}\vec{N}\cdot d\vec{r}=0$
Il significato fisico di questo risultato è immediato, per un vincolo liscio la reazione serve solo a mantenere il punto vincolato e non produce accelerazione nel senso di variazione della velocità ma solo di variazione della sua direzione. Questo risultato sarà molto utile in numerose applicazioni dove l’effettivo calcolo della reazione normale può essere molto complicato ma sarà sufficiente sfruttare l’annullarsi del suo lavoro.

Lavoro della reazione vincolare normale

Il lavoro della tensione dei fili

Gli esempi precedenti potrebbero fare pensare che il lavoro di una forza sia specifico del tipo di forza (nullo, ecc…) in realtà lo stesso tipo di forza può produrre lavori diversi a secondo della situazione. Un ottimo esempio in tal senso è la tensione dei fili ideali:

quando esercita il ruolo di vincolo la tensione T è perpendicolare allo spostamento e dunque il suo lavoro è nullo. Questo succede per esempio nel caso del pendolo conico o del pendolo semplice in cui T serve a mantenere il punto su una traiettoria circolare
quando esercita un’azione di trazione invece la tensione T compie del lavoro che può essere sia positivo che negativo; un esempio in tal senso è quello della macchina di Atwood

Lavoro della tensione dei fili

Il lavoro delle forze dissipative

Negli esempi precedenti del peso e della tensione, il lavoro di queste forze poteva essere sia positivo che negativo a secondo del particolare tipo di percorso del problema in esame. Esistono invece delle forze, dette dissipative, che effettuano sempre un lavoro W<0. Sono delle forze sempre opposte allo spostamento e che come vedremo tendono a frenare il moto.

Il lavoro delle forze dissipative

Fra gli effetti frenanti abbiamo visto:

le forze di resistenza del mezzo F_R dipendenti dalla velocità:

$\vec{F}_R=-F_R(\textrm{v})~\hat{\textrm{v}} \Rightarrow~W_{A\rightarrow}^{resist.}=\int_{A}^{B}\vec{F}_R\cdot d\vec{r}=-\int_{A}^{B}F_R(\textrm{v})ds<0$
dove compare l’integrazione lungo l’ascissa curvilinea

la forza di attrito dinamico F_d in modulo costante ma sempre opposta alla velocità:

$\vec{F}_d=~\mu_d.N~\hat{\textrm{v}}\Rightarrow~W_{A\rightarrow}^{attrito}=\int_{A}^{B}\vec{F}_d\cdot d\vec{r}=-\mu_d\int_{A}^{B}N.ds<0$
È interessante notare che la forza di attrito statico, benchè si opponga al moto, non effettua lavoro perché il punto è fermo: $dW_{stat}=F_s\cdot\underbrace{dx}_{=0}=0$ vedremo che questa risultato conduce ad un’interessante proprietà nel moto di rotolamento.

Lavoro delle forze dissipative

Il teorema dell’energia cinetica

Cerchiamo di quantificare su basi matematiche l’idea intuitiva che un W> 0 provochi un aumento di velocità. Per iniziare prendiamo il caso del moto rettilineo di un punto materiale di massa m lungo l’asse x soggetto ad una forza F(x). Possiamo riscrivere il lavoro sul tratto dx sfruttando la seconda legge di Newton:
$dW=F(x)~dx=~m~a~dx~=~m\frac{d\textrm{v}}{dt}~dx~=~m\textrm{v}d\textrm{v}$
che integrato sul tratto finito x_A→ x_B fornisce la relazione:
$W_{A\rightarrow~B}=\int_{x_A}^{x_B}F(x)~dx=m\int_{A}^{B}\textrm{v}d\textrm{v}=\frac{1}{2}m\left(\textrm{v}_B^2-\textrm{v}_A^2\right)$
La combinazione scalare E_k=½ m v² è detta energia cinetica del punto materiale, come risulta dalla relazione precedente questa nuova grandezza dinamica cambia quando le forze agenti sul corpo compiono del lavoro. La relazione precedente si generalizza facilmente al caso tridimensionale:
$W_{A\rightarrow~B}^{\mathcal{C}}=\int_{A}^{B}\vec{F}.d\vec{r}=\frac{1}{2}m\vec{\textrm{v}}_B^2-\frac{1}{2}m\vec{\textrm{v}}_A^2=~E_{kB}-E_{kA}=~\Delta E_k$ che costituisce il teorema dell’energia cinetica o delle forze vive.

Il teorema dell'energia cinetica

Applicazione del teorema dell’energia cinetica

Il teorema dell’energia cinetica non aggiunge nuovo contenuto fisico rispetto alla seconda legge di Newton, anzi fornisce meno informazioni (il modulo della velocità) rispetto alla soluzione dell’equazione del moto; tuttavia in diverse occasioni è molto utile perché, stimando indipendentemente il lavoro delle forze, fornisce la velocità senza risolvere equazioni differenziali.

Vediamo alcuni esempi:

nella caduta libera, con velocità iniziale nulla, dopo una quota h si può scrivere: $\frac{1}{2}m~\textrm{v}^2-"0"~=~W_{peso}=~m.g.h~\Rightarrow~\textrm{v}^2=~2.g.h$

ottenendo lo stesso risultato della soluzione con l’equazione del moto;

se adesso il corpo scivola lungo una guida liscia di forma qualsiasi sempre per un dislivello h potremo sempre scrivere:

$\frac{1}{2}m~\textrm{v}^2-"0"~=~W_{peso}+\underbrace{W_{norm.}}_{=0}=~m.g.h~\Rightarrow~\textrm{v}^2=~2.g.h$
ottenendo lo stesso indipendentemente dalla forma geometrica della guida.

Applicazione del teorema dell'energia cinetica

Applicazione del teorema dell’energia cinetica

Naturalmente questa non è tutta l’informazione sul moto, per esempio si ignora il tempo impiegato; infatti la soluzione al problema della brachistocrona mostra che la guida liscia più veloce fra due punti non allineati con la verticale è un arco di cicloide (come le piste da sci o gli scivoli di emergenza) e non la retta!

Il problema della brachistocrona

Le forze conservative e l’energia potenziale

Come abbiamo visto una forza generica f(x,y,z) dipende dal punto e per questo si parla più propriamente di un campo di forze; questo significa che il lavoro per andare A→B dipende dal percorso seguito ed in particolare se si ritorna su A il lavoro può essere non nullo. Esistono tuttavia alcune forze, dette conservative, in cui il lavoro su un qualsiasi percorso chiuso è nullo; è facile mostrare che questo è equivalente a dire che il lavoro per andare A→B non dipende dal percorso scelto:
$W_{A\rightarrow A}=\oint \vec{f}_c\cdot d\vec{r}=0~\Leftrightarrow~W_{A\rightarrow B}^{(1)}=W_{A\rightarrow B}^{(2)}=W_{A\rightarrow B}^{(3)}=....=W_{A\rightarrow B}=$
la ragione di questa terminologia si chiarirà nel seguito. Non dipendendo dal percorso questo lavoro è una funzione dei soli punti A e B, inoltre date le proprietà lineari dell’integrazione si può mostrare che lo si può esprimere come la differenza di una funzione, detta energia potenziale e caratteristica del tipo di forza, dipendente dal punto spaziale:
$W_{A\rightarrow B}=~-\left(E_{pot}(B)-E_{pot}(A)\right)~=~-\Delta E_{pot}$
la presenza del segno meno si chiarirà in seguito. La definizione di E_pot contiene una certa arbitrarietà, infatti aggiungendo una costante a piacere il lavoro non cambia.

Forze conservative ed energia potenziale

Esempi di energia potenziale

Riprendendo gli esempi precedenti possiamo individuare un certo numero di forze conservative e ricavare l’espressione dell’energia potenziale:

la forza peso è conservativa poiché il lavoro dipende solo dalle quote dei punti di partenza ed arrivo: $W^{peso}_{A\rightarrow B}=-m.g.(z_B-z_A)=~-\left(m.g.z_B~-~m.g.z_A\right)$ con l’energia potenziale gravitazionale E_pot= m.g.z+cte dove la costante può essere fissata a piacere a secondo del problema
la forza normale ha lavoro nullo e dunque se ne potrebbe dedurre una E_pot= cte nello spazio

Energia potenziale gravitazionale

Esempi di energia potenziale

La forza tipica dei fenomeni oscillatori, che studieremo in dettaglio nel prossimo capitolo, è quella elastica che si osserva per esempio nelle molle unidimensionali che quando vengono allungate di x reagiscono con una forza di richiamo F_el.=-k .x. in questo caso il lavoro vale: $W_{A\rightarrow B}^{ela.}=-\int_{x_A}^{x_B}k.x~dx=-\frac{1}{2}k\left(x_B^2-x_A^2\right)=-\left(\frac{1}{2}k.x_B^2-\frac{1}{2}k.x_A^2\right)$

e possiamo identificare l’energia potenziale elastica E_pot= ½k.x²+cte

Energia potenziale elastica

La conservazione dell’energia meccanica

Nel caso delle forze conservative possiamo combinare il teorema dell’energia cinetica con l’espressione del lavoro in funzione dell’energia potenziale:
$\left\{\begin{array}{l}W_{A\rightarrow B}=~\Delta E_k\\W_{A\rightarrow B}^{cons}=~-\Delta E_{pot}\end{array}\right.\Rightarrow\frac{1}{2}m\textrm{v}_B^2-\frac{1}{2}m\textrm{v}_A^2=-\left(E_{pot}(B)-E_{pot}(A)\right)$

$\Rightarrow\frac{1}{2}m\textrm{v}_B^2+E_{pot}(B)=\frac{1}{2}m\textrm{v}_A^2+E_{pot}(A)$

La grandezza, detta energia meccanica totale, $E_{m}=\frac{1}{2}m\textrm{v}^2+E_{pot}=E_k+E_{pot}$ è costante e si conserva durante il moto. Questo rappresenta un primo esempio di una delle leggi più importanti della Fisica, quella della conservazione dell’energia.Lanciamo un corpo di massa m verso l’alto con velocità iniziale v₀ da una quota che assumeremo come zero dell’energia potenziale gravitazionale; la legge di conservazione dell’energia meccanica si scrive: $E_m=\frac{1}{2}m\textrm{v}^2_0+0~=\frac{1}{2}m\textrm{v}^2_h~+~m.g.h~=~0+m.g.h_{max}=...=cost$

In partenza E_m è solo cinetica, nel punto di massima quota è tutta potenziale, durante il moto vi è un continuo trasformarsi di energia cinetica in potenziale e viceversa ma la loro somma rimane costante.

Es. di conservazione dell'energia meccanica per il peso

Le forze non conservative

Esistono anche forze non conservative, come quelle dissipative che hanno un verso sempre opposto alla velocità e per le quali il lavoro è sempre negativo; e dunque:
$W_{A\rightarrow A}=\oint \vec{f}_{nc}\cdot d\vec{r}<0\neq 0$

In generale saremo in presenza di forze conservative e non conservative, pertanto potremo scrivere il nostro teorema dell’energia cinetica separando i due contributi per evidenziare l’effetto delle forze non conservative:
$\Delta E_k=~W_{con.}+~W_{nc}=~-\Delta E_{pot}~+~W_{nc}\Rightarrow \Delta E_{m}~=~W_{nc}$
Le forze non conservative cambiano l’energia meccanica; nei casi più frequenti W_nc<0 l’energia meccanica si dissipa; può succedere che W_nc>0 e ΔE_m>0 come per esempio nelle esplosioni a causa di processi chimici.
Vedremo che la legge di conservazione dell’energia potrà essere ristabilita introducendo tutte le altre forme di energia interna (termica), chimica, ecc… Le interazioni fondamentali sono tutte conservative.

Forze non conservative ed energia meccanica

Le forze non conservative

In particolare si deve tenere in considerazione di tutte le caratteristiche di una forza quando si vuole studiare il suo carattere conservativo; per esempio la forza di attrito dinamico è costante in modulo F_d=µ_d.N ma non in direzione e dunque non è conservativa come le forze costanti come vettori (peso).

La forza di attrito dinamico costante in modulo non è conservativa

Sistemi conservativi unidimensionali

Nel caso dei sistemi conservativi unidimensionali, l’energia potenziale è funzione di una sola variabile E_pot(x); dalla sua espressione si ricavano molte informazioni sul tipo di moto. La forza agente sul punto è:
$F(x).dx=dW=-dE_{pot}\Rightarrow~F(x)=~-\frac{dE_{pot}}{dx}$
Le posizioni di equilibrio del sistema corrispondono a F(x_eq)=0 e dunque corrispondono agli estremi dell’energia potenziale. In particolare:

per i minimi, posizione di equilibrio stabile, la forza nell’intorno di x_eq è di richiamo F(x_eq+Δx)≈ – (cte>0) Δx
per i massimi, posizione di equilibrio instabile, la forza nell’intorno di x_eq è repulsiva F(x_eq+Δx)≈ + (cte>0) Δx

Energia potenziale e condizioni di equilibrio

Sistemi conservativi unidimensionali

Una volta riportato il grafico di E_pot(x) possiamo analizzare le caratteristiche del moto fissando un valore dell’energia meccanica E_m che corrisponde ad una retta parallela all’asse delle ascisse. Tenendo conto che E_m= E_k + E_pot(x) e E_k>0 si può condurre l’analisi mostrata in figura ed individuare le regioni permesse e quelle vietate per il moto, il tipo qualitativo di moto, i punti con velocità nulla, massima ecc…
Un modo intuitivo di “visualizzare” il moto è quello di pensare ad una pallina che scivola su una rotaia corrispondente alla curva di E_pot(x) ed una sbarretta che le impedisce di superare la “quota” E_m!

Analisi grafica dei sistemi conservativi unidimensionali

Verifica del teorema dell’energia cinetica

Nel caso di oscillazioni di grande ampiezza θ₀ il moto del pendolo semplice non è facile da descrivere matematicamente ma il teorema dell’energia cinetica ci permette di trovare semplicemente la relazione fra l’ampiezza massima θ₀ e la velocità V₀ massima quando il pendolo transita per la posizione di equilibrio. Detta L la lunghezza abbiamo:
$\frac{1}{2}m\textrm{V}^2-0~=~m~g~L~(1-\cos\theta_0)~\Rightarrow~\textrm{V}^2~=~2~g~L~(1-\cos\theta_0)$

La velocità massima del pendolo

Verifica del teorema dell’energia cinetica

Possiamo effettuare un’interessante verifica sperimentale di questa relazione con il nostro precedente apparato. Fissata L≈60cm, variamo θ₀ e ricaviamo V₀ dal tempo di attraversamento della pallina nel foto traguardo assumendo che il fascetto sia attraversato per d≡D; e riportiamo graficamente V vs (1-cosθ₀) le variabili naturali del problema. L’incertezza su V è dominata da quella su d dovuta all’accuratezza con cui realizziamo d≈D e non una corda d<D (usando D si sovrastimaV₀); mentre per l’altra variabile Δ (1-cosθ₀)= sinθ₀ Δθ₀ ( Δθ₀ ≈ 2^o). La curva non è rettilinea mentre lo diventa in scala logaritmica ed un fit a potenza indica un esponente B≈0,5; fissando un andamento con la radice quadrata si ricava una stima di g compatibile con il valore noto.

Verifica sperimentale del teorema dell'energia cinetica

Potenza

Strettamente connesso alla tematica dell’energia vi è il concetto di potenza. Il lavoro fornito dalla forza esprime le variazioni di energia, ma molte volte è utile sapere in quanto tempo si riesce a fornire un dato lavoro: nel linguaggio comune una macchina “potente” effettua il lavoro in “poco tempo”.
Possiamo formalizzare questa idea intuitiva definendo la potenza media fornita dalla forza come il lavoro ΔW diviso l’intervallo Δt di durata dell’azione:
$<\mathcal{P}>~=~\frac{\Delta W}{\Delta t}$

Naturalmente il concetto si estende alla potenza istantanea che si ottiene per Δt→0:
$\mathcal{P}~=~\frac{d W}{d t}~=~\vec{f}\cdot\vec{\textrm{v}}$

Le dimensioni fisiche della potenza sono [P]=[W][T]-1 e l’unità di misura nel SI è il Watt: 1W=1J/s.
In molte situazioni i dispositivi svengono caratterizzati con la potenza P che riescono a fornire e dunque spesso il lavoro effettuato viene indicato come: W=P. Δt
Per questo l’unità di misura che spesso si usa per l’energia è il kW.h (chilowattora) nel quale si usa un ordine di grandezza di potenze usuali (kW) per un tempo anche questo standardizzato (l ora). Il fattore di conversione è banale 1kW.h=3,6 MJ.