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Vincenzo Canale » 7.Fenomeni oscillatori


Introduzione

I fenomeni oscillatori sono fra i più importanti in Fisica sia dal punto di vista concettuale che da quello applicativo. Partiremo dal più familiare degli esempi quello di un corpo che oscilla appeso ad una molla per studiare le caratteristiche delle forze elastiche. L’argomento si presta anche a numerose verifiche sperimentali in laboratorio; e con l’avvento dei sensori si possono realizzare interessanti misure quantitative. Discuteremo anche alcuni fenomeni molto importanti come la oscillazioni forzate con il fenomeno della risonanza e i sistemi di oscillatori accoppiati con i battimenti. Rispetto alle trattazioni più tradizionali mostreremo anche una realizzazione sperimentale di questi fenomeni con sistemi di grande impatto didattico per gli studenti del primo anno.

Le forze elastiche e la legge di Hooke

I fenomeni oscillatori sono dovuti alla presenza delle forze elastiche il cui prototipo è quella esercitata da una molla che viene allungata o compressa. Come verificheremo sperimentalmente, quando una molla, di lunghezza a riposo L0, viene portata a lunghezza L essa esercita una forza di richiamo proporzionale al suo allungamento ΔL=L-L0 (legge di Hooke):
F_{el}\propto~\Delta L\Rightarrow~F_{el}=~-~K.\Delta L

Il significato del segno meno è che si oppone all’allungamento inteso in senso algebrico (ΔL<0 è una compressione). Il coefficiente K è detto costante elastica della molla, nel SI si misura in N/m, e ne esprime quantitativamente la rigidità.

Le forze elastiche e legge di Hooke

Le forze elastiche e legge di Hooke


Composizione di forze elastiche

In diverse situazioni può capitare di utilizzare due molle di costanti K1 e K2 che possono essere disposte:

  • in serie, allora l’allungamento complessivo è la somma e le forze esercitate sono uguali ed il sistema equivale ad una molla di costante

\left\{\begin{array}{l}\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2\\F_e=F_1=F_2\end{array}\right.\Rightarrow\frac{1}{K_s}=\frac{1}{K_1}+\frac{1}{K_2}

  • in parallelo, allungamenti uguali e la forza complessiva è la somma, e dunque

\left\{\begin{array}{l}\Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2\\F_e=F_1+F_2\end{array}\right.\Rightarrow\ K_1=K_1+K_2

Composizione di molle in serie e parallelo

Composizione di molle in serie e parallelo


Verifica sperimentale della legge di Hooke

Possiamo effettuare in laboratorio una verifica della legge di Hooke per le forze elastiche; useremo delle molle metalliche di cui misureremo la costante elastica K. Come mostrato in figura l’idea è quella di appendere dei pesi di massa crescente alla molla e misurarne l’allungamento; una volta raggiunta la situazione di equilibrio possiamo ricavare la forza elastica numericamente pari al peso:
m.\vec{g}~+~\vec{F}_{el.}~=0\Rightarrow F_{el.}\equiv~m.g
Contemporaneamente si può determinare anche l’allungamento Δx della molla rispetto alla posizione di riposo.

Metodo di verifica della legge di Hooke

Metodo di verifica della legge di Hooke


Verifica sperimentale della legge di Hooke

Si riportano graficamente i punti sperimentali (mig,Δxi).
Le masse sono misurate con una bilancia elettronica con incertezza molto piccola (δm=±0,1g); l’allungamento si misura con la riga con incertezza ±(1÷2)mm (conviene misurare gli allungamenti rispetto alla posizione della molla verticale per assorbire l’effetto della massa propria della molla).
I dati mostrano un andamento rettilineo che conferma la legge di Hooke e con un fit lineare possiamo stimare la costante elastica K come riportato in figura.
La procedura può essere ripetuta per due molle “uguali” disposte in serie e parallelo ed i risultati sperimentali sono in accordo con le previsioni.

Verifica della legge di Hooke

Verifica della legge di Hooke

Misure in serie e parallelo

Misure in serie e parallelo


L’oscillatore armonico

Consideriamo una molla unidimensionale disposta orizzontalmente, con un estremo vincolato mentre all’altro vi è un corpo di massa m. Il piano è liscio, il peso mg è bilanciato da N e la risultante coincide con la forza elastica Fel. Scegliendo l’asse x lungo la direzione della molla e mettendo l’origine O nella posizione di riposo della molla, possiamo scrivere la legge di Newton:
\vec{F}_{el}=m.\vec{a}~\Rightarrow~m~\ddot{x}(t)~=~-K~x(t) \Rightarrow~\ddot{x}~=~\omega^2x~~~\textrm{con~~}\omega^2=\frac{K}{m}

un’equazione differenziale la cui soluzione è il moto armonico:
x(t)=~X_M~\cos\left(\omega.t+\varphi\right)

L’oscillatore armonico

L'oscillatore armonico


L’oscillatore armonico

Il moto è periodico con un periodo indipendente dall’ampiezza di oscillazione (isocronia):
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}

Mentre le costanti  XM e φ si ricavano dalle condizioni iniziali x(0)=x0 e v(0)=v0:

X_M=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{\textrm{v}_0}{\omega}\right)^2} ~~e~~\varphi=\arcta \left(\frac{\omega.x_0}{\textrm{v}_0}\right)

La velocità e l’accelerazione sono:
\begin{array}{l} \textrm{v}(t)=-\omega. X_M~\sin\left(\omega.t+\varphi\right)\\ a(t)=-\omega^2X_M~\cos\left(\omega.t+\varphi\right)\end{array}


Composizione di moti armonici

Nel moto circolare uniforme di un punto P, con velocità angolare ω e raggio R, le proiezioni sugli assi sono dei moti armonici di uguale frequenza. Usando l’angolo θ(t)=ω.t+θ0 si ottiene:
\left\{\begin{array}{l}x(t)=R~\cos\theta\\y(t)=R~\sin\theta\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x(t)=R~\cos\left(\omega.t+\theta_0\right)\\y(t)=R~\sin\left(\omega.t+\theta_0\right)\end{array}\right.
Più in generale possiamo studiare la traiettoria di un punto materiale le cui proiezioni sugli assi sono dei moti armonici di stessa pulsazione ω, ma con ampiezze e fasi diverse:

\left\{\begin{array}{l}x(t)=A~\cos\left(\omega.t+\varphi_1\right)\\y(t)=B~\cos\left(\omega.t+\varphi_2\right)\end{array}\right.~~\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2

la traiettoria è un’ellisse (retta se Δφ=0,π o circonferenza A=B=R e Δω=π/2.):
\left(\frac{x}{A}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2-2\cos\Delta\varphi.\left(\frac{x}{A}\right).\left(\frac{y}{B}\right)=\sin^2\Delta\varphi

Composizione di moti armonici di uguale pulsazione

Composizione di moti armonici di uguale pulsazione


Composizione di moti armonici

Se invece i moti, lungo le due proiezioni, hanno ω1≠ ω2. allora si devono distinguere i due casi:

  • per ω12 = n1/n2 il moto è periodico e si ottengono le figure di Lissajou (esempi in figura)
  • per  ω12 irrazionale il moto non è periodico e la traiettoria riempie tutto lo spazio a disposizione
Composizione di moti con pulsazioni diverse (figure di Lissajou)

Composizione di moti con pulsazioni diverse (figure di Lissajou)


Energia dell’oscillatore armonico

La forza elastica è una forza conservativa infatti il lavoro effettuato per spostarsi da xA→ xB vale:
W_{A\rightarrow B}^{ela.}=-\int_{x_A}^{x_B}K.x~dx=-\frac{1}{2}K\left(x_B^2-x_A^2\right)=-\left(\frac{1}{2}K.x_B^2-\frac{1}{2}K.x_A^2\right)
e possiamo identificare l’energia potenziale elastica Epot= ½k.x2+cte rappresentata da un arco di parabola.
La legge di conservazione dell’energia meccanica assume una forma abbastanza semplice in questo caso tenendo conto della forma esplicita di x(t) e v(t):

 

E_m=\frac{1}{2}m~\textrm{v}^2+\frac{1}{2}K~x^2=\frac{1}{2}\underbrace{m~\omega^2}_{=K}X_M^2\sin^2(\omega.t+\varphi)+\frac{1}{2}K~X_M^2\cos^2(\omega.t+\varphi)\Rightarrow \E_m=\frac{1}{2}K~X_M^2=cost.

Energia dell’oscillatore armonico e sua conservazione

Energia dell'oscillatore armonico e sua conservazione


Piccole oscillazioni dei sistemi unidimensionali

Per un sistema conservativo unidimensionale con energia potenziale Ep(x), le piccole oscillazioni intorno ad una posizione di equilibrio stabile sono armoniche. Infatti effettuando uno sviluppo di Taylor nell’intorno di x0:
E_p(x)=\underbrace{E_0}_{cost.}+\underbrace{\frac{dE_p}{dx}}_{=0~equilibrio}+\frac{1}{2}\underbrace{\frac{d^2E_p}{dx^2}}_{\mathcal{K}>0~minimo}.(x-x_0)^2+o[(x-x_0)^3]\Rightarrow E_p(x)\approx\frac{1}{2}\mathcal{K}.(x-x_0)^2

Il risultato ottenuto per i pendolo è in realtà molto più generale, da cui la rilevanza del moto armonico.

Piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile

Piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile


Studio sperimentale dell’oscillatore armonico

Per lo studio sperimentale dell’oscillatore armonico useremo una molla metallica (K~6N/m) alla quale appendiamo dei pesi m; non disponendo di un piano liscio studieremo un sistema verticale come mostrato in figura.

La seconda legge di Newton fornisce:

m\ddot{x}=~mg~-~Kx~\Rightarrow~\ddot{x}+~\omega^2~x=g\

La soluzione dell’equazione differenziale non omogenea si ottiene sommando al moto armonico una soluzione particolare che in questo caso è molto semplice x0≡mg/K:
x(t)=~\underbrace{\left(\frac{mg}{K}\right)}_{x_0}~+~x_M~\cos(\omega.t+\varphi)
A parte un allungamento costante dovuto alla forza di gravità, che possiamo riassorbire nella definizione dell’origine delle coordinate, il moto è sempre armonico con le stesse caratteristiche dinamiche (pulsazione e periodo).

Schema, apparato e tracciati nello studio del moto armonico

Schema, apparato e tracciati nello studio del moto armonico


Messa in evidenza del moto armonico

Un sensore di moto, a sonar, permette la misura della posizione e velocità del corpo; la molla è appesa un dinamometro che misura la forza elastica esercitata dalla molla sul peso (questo è vero nel caso statico e con buona approssimazione per frequenze non troppo alte).

I tracciati temporali dei sensori evidenziano il tipo di moto, in particolare si osserva bene:

  • lo sfasamento fra velocità e posizione
  • la dipendenza lineare, in opposizione di fase, fra posizione e forza elastica
Messa in evidenza delle oscillazioni armoniche

Messa in evidenza delle oscillazioni armoniche


Misura del periodo dell’oscillatore armonico

Per realizzare le misure della parte dinamica possiamo sfruttare la correlazione fra la forza elastica e lo spostamento ed usare i tracciati temporali del dinamometro. Una prima verifica interessante è quella dell’isocronia delle oscillazioni armoniche; per una dato peso appeso possiamo farlo oscillare con ampiezze diverse e verificare che il periodo non cambia.

Successivamente vogliamo verificare la legge che lega il periodo del moto alle caratteristiche dinamiche del sistema (K e m). Come mostrato in figura si varia la massa ottenendo tracciati con periodo diverso (notare lo spostamento dell’offset del dinamometro). Il periodo si determina:

  • individuando graficamente sul tracciato un intervallo Δtn= n.T (n creste) e poi si ricava T=Δt/n, il vantaggio rispetto a prendere un solo periodo è che l’incertezza di lettura δt non cambia molto ma ΔT==δt/n si riduce
  • effettuando un fit al tracciato con una sinusoide ≡ A.cos(B.t+C)+D e dal parametro B≡ω=2π/T si ricava il periodo con incertezza ridotta
Tracciati del dinamometro per diverse masse appese e misura del periodo

Tracciati del dinamometro per diverse masse appese e misura del periodo


Analisi del periodo dell’oscillatore armonico

In vista dell’analisi successiva conviene esplorare un intervallo ampio di masse (20÷500)g; le misure sono riportate come punti sperimentali (mi ,Ti ) con i relativi errori su un grafico. Come previsto l’andamento osservato non è lineare.

Grafico delle misure di periodo in funzione della massa appesa

Grafico delle misure di periodo in funzione della massa appesa


Analisi del periodo dell’oscillatore armonico

Per determinare la relazione fra il periodo e le caratteristiche dinamiche del sistema, individuiamo l’andamento suggerito dai dati. Riportando il grafico precedente in scale logaritmiche, osserviamo che i punti si dispongono con buona approssimazione lungo una retta. Questo ci permette di ipotizzare un andamento a potenza; effettuando un fit con la forma T=A.mB otteniamo il risultato mostrato in figura con B~0,5 qualitativamente in accordo con la previsione teorica della radice quadrata. Forzando il fit con B=0,5 osserviamo che la discrepanza maggiore si osserva a piccole masse che sono confrontabili con quella la massa della molla (decine di grammi).

Analisi del periodo in funzione della massa in scala logaritmica

Analisi del periodo in funzione della massa in scala logaritmica


Effetto della massa della molla

L’effetto della massa della molla si ricava dalla sua energia cinetica, che possiamo stimare sommando i contributi di tutti gli elementi δm=μ.dξcon velocità vξ≈(ξ/L).v (molla sufficientemente rigida):
K_{m}=\frac{1}{2}\dot{x}^2~\frac{\mu}{x}~\int\xi^2d\xi~=~\frac{1}{6}m_0\dot{x}^2~\Rightarrow~K_{tot}=\frac{1}{2}\left(m+\frac{m_0}{3}\right)\dot{x}^2
che corrisponde ad aggiungere il termine m0/3 alla massa dell’oscillatore e dunque il periodo è:
T~=~2\pi~\sqrt{\frac{m+m_0/3}{K}}
Un fit con questa nuova relazione fornisce i parametri K e m0 in buon accordo con le misure statiche indipendenti m0≈20g e K≈10N/m.


L’oscillatore smorzato

Sulla scala di tempo di qualche periodo possiamo trascurare gli effetti dissipativi; mentre se si lascia il sistema per un tempo lungo, esso viene smorzato per effetto della resistenza dell’aria prevalentemente. Per capire il tipo di resistenza stimiamo il numero di Reynolds con

d~2 cm, v~ (XM ω)~10-1m/s, (ρ/η)aria ≈1,5.10-5m2/s e dunque NR ~150. Pertanto possiamo pensare, in prima approssimazione, ad una forza di resistenza di tipo viscoso FR=-β.V; la seconda legge di Newton porta all’equazione:
m~\ddot{x}= -K.x~\beta.\dot{x}\Rightarrow~\ddot{x}~+\Gamma.\dot{x}~+\omega^2x=0

con ω02 =K/m e Γ=β/m=1/τ.


L’oscillatore smorzato

La soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti dipende dal valore dei coefficienti ω e τ. Per le condizioni iniziali x(0)=XM e v0=0 si ottengono i seguenti casi:

  • se 1-4 ω02 τ2 >0 (regime sovrasmorzato)

x(t)=x_1~\exp\left(-\frac{1+\sqrt{1-4\omega_0^2\tau^2}}{2\tau}~t \right)~+~x_2~\exp\left(-\frac{1-\sqrt{1-4\omega_0^2\tau^2}}{2\tau}~t \right)

  • se 1-4 ω02 τ2 =0 (regime critico)

x(t)=x_M~\exp\left(-\frac{t}{2\tau}\right)~\left(1~+\frac{t}{2\tau}\right)

  • se 1-4 ω02 τ2 <0 (regime sottosmorzato)

x(t)=x_0~\exp\left(-\frac{t}{2\tau}\right)~\cos\left(\omega^* t +\varphi\right) con ω*2= ω02 -4/τ2.

L’oscillatore smorzato ed i regimi di moto

L'oscillatore smorzato ed i regimi di moto


Messa in evidenza delle oscillazioni smorzate

I diversi regimi vengono realizzati a secondo delle esigenze, per esempio gli ammortizzatori delle automobili lavorano in quello sovrasmorzato o critico. Nella nostra realizzazione sperimentale abbiamo il caso del regime sottosmorzato perché gli effetti della resistenza del mezzo sono piccoli. Per esaltare il fenomeno possiamo aggiungere al sistema un disco di plastica di diametro variabile per aumentare la superficie trasversa e l’effetto della resistenza dell’aria.

Messa in evidenza delle oscillazioni smorzate

Messa in evidenza delle oscillazioni smorzate


Analisi delle oscillazioni smorzate

La costante di tempo di smorzamento τ=m/β cresce con la massa e dunque possiamo tentare diverse combinazioni del raggio R del disco di plastica e del peso m appeso alla molla per realizzare diverse costanti temporali di smorzamento come mostrato sulla figura dove sono riportati i risultati dei fit con l’andamento sotto smorzato:

  • la dipendenza dalla massa sembra ben verificata con τ12≈m1/m2
  • la dipendenza dalla geometria invece τ12≈(R2/R1)1,7 sembra indicare che forse siamo al limite fra regime viscoso e regime turbolento
Misure di smorzamento per diverse configurazioni

Misure di smorzamento per diverse configurazioni


L’oscillatore forzato

Le oscillazioni forzate conducono al fenomeno fondamentale della risonanza fondamentale in Fisica. Supponiamo di avere un oscillatore armonico unidimensionale smorzato al quale viene applicata una forza esterna, lungo l’asse della molla, che dipende dal tempo come F=F0cos(ω.t):
m\ddot{x}=-Kx-\beta\dot{x}+F_0\cos\left(\omega. t\right)~\Rightarrow~ \ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x=\left(\frac{F_0}{m}\right)~\cos\left(\omega.t\right)
dove abbiamo usato le definizioni di ω0 e Γ.

La soluzione sarà la sovrapposizione di quella del caso omogeneo (smorzata) e, intuitivamente, di una sinusoide di pulsazione ω di ampiezza e fase dipendenti da ω:

x(t)=x_M(\omega)~\cos\left[\omega.t+\varphi\left(\omega\right)\right]

Schematizzazione e soluzione dell’oscillatore forzato

Schematizzazione e soluzione dell'oscillatore forzato


L’oscillatore forzato (segue)

Effettuando la sostituzione precedente si ottiene:

\left\{\begin{array}{l}<br /> x_M\left(\omega\right)=~\left(\frac{F_0}{K}\right)<br /> \frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2~+~\omega^2\Gamma^2}}\\\varphi\left(\omega\right)=\arctan\left(\frac{-\omega\Gamma}{(\omega_0^2-\omega^2)}\right)\end{array}\right.

L’ampiezza possiede un andamento risonante, con un picco pronunciato quando la frequenza della forza eccitatrice è prossima a quella caratteristica del sistema ω≈ω0. Questo fenomeno è piuttosto noto, come sanno tutti quelli che vanno in altalena(!), l’effetto forzante si massimizza se la sollecitazione arriva con la giusta frequenza.
In corrispondenza della risonanza ω≈ω0 (a parte casi particolari) l’ampiezza e lo sfasamento valgono:
X_M=\left(\frac{F_0}{K}\right)\frac{\omega_0}{\Gamma}~~e~~\varphi_r=-\frac{\pi}{2}


Il fattore di merito

Le perdite di energia Γ≠0 impediscono la divergenza dell’ampiezza di oscillazione. La curva risonante è caratterizzata dai parametri ω0 (posizione del picco) e Γ la larghezza infatti, dette ω1 e ω2 le pulsazioni in cui l’ampiezza si riduce di 1/√2 dal massimo, risulta Δω=ω21=Γ.

Nel qualificare una curva risonante si usa il parametro adimensionale, detto fattore di merito o di qualità:

Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}=\frac{\omega_0}{\Gamma}

Il fattore di merito

Il fattore di merito


Il fattore di merito (segue)

Al crescere di Q la curva si stringe ed il picco si alza; se scriviamo F0=K.δ, dove δ sarebbe l’allungamento prodotto da una forza costante, otteniamo per l’ampiezza risonante:

X_M=\frac{K\delta}{m\omega_0\Gamma}~\Rightarrow~\left(\frac{X_M}{\delta}\right)=\left(\frac{K}{m}\right)\left(\frac{1}{\omega_0\Gamma}\right)=\frac{\omega_0}{\Gamma}=Q

Q è il fattore di amplificazione fra l’allungamento alla risonanza e quello dovuto ad una forza statica. Q corrisponde anche al rapporto fra l’energia immagazzinata nell’oscillatore e quella dissipata in un ciclo ed è la definizione più generale applicabile a tutti i fenomeni risonanti.

Caratterizzazione delle risonanza con il fattore di merito Q

Caratterizzazione delle risonanza con il fattore di merito Q


Schema di realizzazione di un oscillatore forzato

Sistemi risonanti elementari si realizzano facilmente in elettromagnetismo o acustica ma sono meno intuitivi. Nel caso meccanico si può ottenere  l’effetto indirettamente; il trucco consiste nel fare muovere in modo sinusoidale l’altro estremo della molla a cui è appeso il corpo. Infatti:

  • OO’=D cos(ω.t) è la posizione dell’estremo della molla
  • x(t)=OA è la posizione della massa appesa all’estremo della molla
  • l(t)=OA-OO’=x(t)-D cos(ω.t) è lunghezza istantanea della molla

Detta  l0 è quella a riposo della molla ed  applicando il secondo principio della dinamica si ottiene:
m\ddot{x}=-K\left(l\left(t\right)-l_0\right)-\beta\dot{x} \Rightarrow~m\ddot{x}+\beta\dot{x}+Kx=\underbrace{KD}_{F_0} \cos(\omega.t)
che corrisponde ad un oscillatore forzato con F0=K.D.

Schema di realizzazione di un oscillatore forzato

Schema di realizzazione di un oscillatore forzato


Realizzazione di un oscillatore forzato

Come mostrato in figura, il moto sinusoidale si ottiene, con buona approssimazione (è la correlazione fra moto circolare uniforme e moto armonico), con un motorino elettrico che gira a velocità costante e attaccando il filo di sospensione della molle leggermente fuori dall’asse del motore.

All’oscillatore viene aggiunto un disco di plastica per aumentare lo smorzamento. Variando la tensione di alimentazione del motorino V0=(9÷13)V si cambia la frequenza di eccitazione in modo da osservare il fenomeno della risonanza.

Apparato per lo studio della risonanza

Apparato per lo studio della risonanza


Messa in evidenza della curva di risonanza

Messa in evidenza dell’andamento risonante

Messa in evidenza dell'andamento risonante


Analisi della curva di risonanza

Per analizzare quantitativamente il fenomeno dobbiamo effettuare le misure di ampiezza per le diverse frequenze di eccitazione; dobbiamo usare il sensore di posizione perché l’estremo della molla è connesso al sistema forzante. In figura sono mostrati alcuni tracciati di posizione e velocità per le diverse pulsazioni che si misurano direttamente dal grafico come nell’analisi del periodo; è abbastanza evidente la condizione di risonanza.
I punti sperimentali (ωi,Ai) sono riportati graficamente per due diverse configurazioni corrispondenti a due dischi frenanti di diverso diametro D=21cm e 27cm, per lo smorzamento maggiore la curva risulta più larga e meno piccata. Un fit ispirato alla previsione teorica fornisce i parametri della curva, in particolare anche la frequenza di risonanza si abbassa per il disco maggiore perché aumenta in modo apprezzabile la massa complessiva dell’oscillatore.
Dai risultati del fit si ottengono i fattori di merito Q≈16 e Q≈23 rispettivamente per D=27 e 21cm.

Tracciati della posizione e velocità dell’oscillatore forzato

Tracciati della posizione e velocità dell'oscillatore forzato

Curve di risonanza per le due diverse configurazioni del disco frenante

Curve di risonanza per le due diverse configurazioni del disco frenante


La risonanza

La presenza delle dissipazioni impedisce all’ampiezza di divergere, tuttavia se lo smorzamento è molto debole l’ampiezza può crescere notevolmente fino a provocare danni notevoli al sistema, come sanno gli ingegneri che progettano grosse strutture tipo ponti, viadotti, torri, ecc…
Possiamo realizzare questo tipo di configurazione rimuovendo il disco frenante di plastica, in questo caso la frequenza di risonanza del nostro sistema si alza un pò; ma come ben visibile dal tracciato e soprattutto dal filmato l’ampiezza cresce notevolmente fino a distruggere il sistema.

Filmato di risonanza distruttiva

Filmato di risonanza distruttiva

Tracciato alla risonanza in caso di smorzamento molto ridotto

Tracciato alla risonanza in caso di smorzamento molto ridotto


Gli oscillatori accoppiati

Negli oscillatori accoppiati la dinamica di un oscillatore è influenzata dalle condizioni dell’altro. Consideriamo il caso lineare simmetrico di due molle orizzontali uguali (K1=K2=K) fissate ad un estremo e con un peso attaccato all’altro (m1=m2=m), i due pesi sono connessi da una molla di costante K12. Il piano è liscio e misuriamo le posizioni x1 e x2 a partire da quelle di equilibrio. Oltre al contributo della propria forza elastica Fi=-K.xi ci sarà il contributo dovuto alla terza molla Fa=± K12.(x1-x2); la legge di Newton fornisce:
\begin{array}{l}m\ddot{x}_1=-K~x_1-K_{12}~(x_1-x_2) \\ m\ddot{x}_2=-K~x_2+K_{12}~(x_1-x_2) \end{array} \Rightarrow \begin{array}{l} m\left(\ddot{x}_1+\ddot{x}_2\right)=-K(x_1+x_2) \\ m\left(\ddot{x}_1-\ddot{x}_2\right)=-\left(K+2K_{12}\right)(x_1-x_2) \end{array}

Conviene effettuare la somma e la differenza delle due equazioni:

\Rightarrow \begin{array}{l} m\left(\ddot{x}_1+\ddot{x}_2\right)=-K(x_1+x_2)\\m\left(\ddot{x}_1-\ddot{x}_2\right)=-\left(K+2K_{12}\right)(x_1-x_2) \end{array}

Un sistema lineare di oscillatori accoppiati

Un sistema lineare di oscillatori accoppiati


Moto degli oscillatori accoppiati

Nelle nuove variabili u=x1+x2 e v=x1-x2 il sistema corrisponde a due oscillatori indipendenti:
\left\{\begin{array}{l}\ddot{u}=-\omega^2_1u \\ \ddot{v}=-\omega^2_2v \end{array}\right. ~~con~~\left\{\begin{array}{l} \omega_1^2=\frac{K}{m}\\ \omega_2^2=\frac{K+2K_{12}}{m}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\\ v(t)=A_2\cos(\omega_2t+\varphi \end{array}\right.
I moti di u(t) e v(t) sono i modi normali del sistema con le pulsazioni caratteristiche ω1 e ω2. La soluzione riportata nelle variabili originarie x1 e x2 diventa:
\left\{ \begin{array}{l} x_1(t)=\frac{1}{2}\left[~A_1\cos\left(\omega_1t+\varphi_1\right)+A_2\cos\left(\omega_2t+\varphi_2\right)\right] \\ x_2(t)=\frac{1}{2}\left[~A_1\cos\left(\omega_1t+\varphi_1\right)-A_2\cos\left(\omega_2t+\varphi_2\right)\right]\end{array}\right.

dove A1, A2, δ1, e δ2 dipendono dalle condizioni iniziali.

Il moto generico degli oscillatori accoppiati

Il moto generico degli oscillatori accoppiati


I modi normali

Vediamo come si ottengono i moti dei modi normali:

  • modo normale ω12=K/m, si ottiene x10=x20=xM, v10=v20=0 e dunque A1=2XM, A2=0 e φ12 =0, la soluzione è

\left\{\begin{array}{l}x_1(t)=~x_M\cos\left(\omega_1 t\right) \\ x_2(t)=~x_M\cos\left(\omega_1 t\right) \end{array}\right.

Gli oscillatori sono in fase x1(t)=x2(t), la molla di accoppiamento non si allunga nè si comprime:

  • modo normale ω12=(K+2K12)/m, si realizza x10=-x20=xM, v10=v20=0 e dunque A1=0, A2=2X e φ12 =0, la soluzione è

\left\{\begin{array}{l}x_1(t)=~x_M\cos\left(\omega_2 t\right) \\ x_2(t)=-x_M\cos\left(\omega_2 t\right) \end{array}\right.
Gli oscillatori sono in opposizione di fase x1(t)=-x2(t); la molla di accoppiamento si allunga e comprime aggiungendo rigidità alla costante K.

I modi normali del sistema di oscillatori accoppiati

I modi normali del sistema di oscillatori accoppiati


Il moto con i battimenti

Il moto con i battimenti, si ottiene con le condizioni iniziali x10=xM, x20=0 e v10=v20=0. Si ricava A1=2XM=A2 e φ12=0 e la soluzione si può scrivere come:
\left\{\begin{array}{l} x_1(t)=x_M\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right) =x_M\cos\left(\omega^* t\right)\cos\left(\omega_{m} t\right) \\ x_2(t)=x_M\sin\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2} t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right) =x_M\sin\left(\omega^* t\right)\sin\left(\omega_{m} t\right) \end{array} \right.

dove abbiamo definito:
\left\{\begin{array}{l}\omega_{m} =\frac{\omega_2+\omega_1}{2}  \\ \omega^*=\frac{\omega_2-\omega_1}{2}\end{array}\right.
Come riportato nella figura il moto di ciascun oscillatore è un moto armonico di pulsazione ωm la cui ampiezza variabile è modulata con una sinusoide di pulsazione minore ω*.
Il moto dei due oscillatori è sfasato di π/2, la massima ampiezza di oscillazione del primo corrisponde alla minima dell’altro. È il fenomeno dei battimenti che si osserva in molti campi della Fisica, l’energia viene trasferita con continuità da un oscillatore all’altro.

Il moto con i battimenti

Il moto con i battimenti


Realizzazione di oscillatori accoppiati

Per realizzare un sistema di oscillatori accoppiati useremo due molle di costante elastica K ed una massa m appesa lungo la verticale ad ognuna di esse. L’accoppiamento fra gli oscillatori si ottiene collegandoli con una catenella metallica sufficientemente lunga in modo da potere considerare gli spostamenti praticamente verticali.
Per la catenella l è la lunghezza, mc la massa e μ=mc/l la sua massa lineare; se i due oscillatori sono in x1 e x2 si trova (inestensibilità e O1M≈O2M) come si divide la catenella fra i rami l1 e l2:
\left\{\begin{array}{rcl} l_1~=~\frac{l}{2}~+~\frac{x_2-x_1}{2} \\ l_2~=~\frac{l}{2}~+~\frac{x_1-x_2}{2} \end{array}\right.

l0=l/2 è la lunghezza della configurazione simmetrica. Su ogni corpo, oltre la forza di richiamo, c’è un extra-peso Fi=μ.(li-l0)g corrispondente alla diversa lunghezza rispetto alla configurazione simmetrica. La legge di Newton fornisce:
\left\{\begin{array}{l} m\ddot{x}_1=-Kx_1+\mu(l_1-l_0)g \\ m\ddot{x}_2=-Kx_2+\mu(l_2-l_0)g \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} m\ddot{x}_1=-Kx_1-\frac{\mu g}{2}(x_1-x_2) \\ m\ddot{x}_2=-Kx_2+\frac{\mu g}{2}(x_1-x_2) \end{array}\right.
equivalente al caso precedente con K12=μ g/2.

Realizzazione di un sistema di oscillatori accoppiati

Realizzazione di un sistema di oscillatori accoppiati


Analisi degli oscillatori accoppiati

Le pulsazioni dei due modi normali sono:
\left\{\begin{array}{l} \omega_1=\sqrt{\frac{K}{m}} \\ \omega_2=\sqrt{\frac{K+\mu g}{m}} \end{array}\right.

Nell’apparato usiamo masse m≈200g e molle con K≈6,7 N/m appese ai sensori di forza per evidenziare il moto tramite la legge di Hooke. Per potere applicare i risultati ottenuti è importante usare molle con costanti elastiche quasi uguali.

Apparato per lo studio degli oscillatori accoppiati

Apparato per lo studio degli oscillatori accoppiati


Messa in evidenza dei battimenti

Messa in evidenza del moto con i battimenti

Messa in evidenza del moto con i battimenti


Analisi degli oscillatori accoppiati

La scelta della catenella dipende dal moto che si vuole realizzare:

  • per distinguere i modi normali si devono separare bene le pulsazioni ω1≠ω2 e dunque realizzare un accoppiamento forte μg~K; usiamo una catenella pesante (l≈102cm e mc≈0,480kg) per la quale μ≈0,471 kg/m, K12≈2,30N/m, ω1≈3,90 rad/s (T1≈1,61s), ω2≈5,06 rad/s (T2≈1,24s)
  • nel realizzare il moto con i battimenti è preferibile un accoppiamento debole μg«K in modo che ω12m>>ω*; usiamo una catenella leggera (l≈71cm e mc≈0,022kg) per la quale μ≈0,026 kg/m, K12≈0,12N/m, ωm≈5,67 rad/s (Tm=1,11s), ω*≈0,051 rad/s (T*≈123s)

Le misure risultano in accordo con le previsioni teoriche per i vari tipi di moto.

Il moto dei modi normali

Il moto dei modi normali

Moto con i battimenti

Moto con i battimenti


Accoppiamento non lineare

Un ulteriore esempio di moti accoppiati si incontra nelle oscillazioni verticali di una molla; quello che succede è che la molla oscilla verticalmente ma comincia anche ad oscillare come un pendolo e si vedono dei battimenti con trasferimento di energia dal moto verticale a quello pendolare. Questa situazione, piuttosto facile da osservare come ci si rende conto nell’esperienza sull’oscillatore armonico, è piuttosto difficile da descrivere quantitativamente perché fa intervenire accoppiamenti non lineari. Tuttavia possiamo capire qualitativamente perché si osservano i battimenti; la lunghezza del pendolo è confrontabile con l’allungamento x(t)~L(t) e dunque:
K.L(t)\sim m.g~\Rightarrow~\frac{K}{m}\sim\frac{g}{L(t)} \Rightarrow \omega_{vert.}\sim\omega_{pend.}

Le pulsazioni dei due moti sono simili e dunque in caso di accoppiamento si vedranno i battimenti. Un modo per disaccoppiare i moti è quello di separare le pulsazioni; questo si può fare allungando, con un filo, significativamente la lunghezza del pendolo.

Accoppiamento e disaccoppiamento dei moti

Accoppiamento e disaccoppiamento dei moti

Accoppiamento verticale-pendolare

Accoppiamento verticale-pendolare


Ancora sul fenomeno dei battimenti

Il fenomeno dei battimenti è in realtà abbastanza generale e si osserva ogni qualvolta si compongono dei moti con frequenze abbastanza vicine. Un esempio interessante è fornito dal nostro oscillatore quando lo smorzamento è molto debole (Τ~0) e viene forzato fuori dalla risonanza ω≠ω0. In questo caso la soluzione è la sovrapposizione del moto forzato e di quello libero che si smorza molto lentamente. Imponendo le condizioni iniziali x0=0, v0=0 e F=K.δ cosω.t si ottiene:
x(t)\approx 2\delta\left(\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}\right) \sin\left(\frac{\omega_0-\omega}{2}t\right) \sin\left(\frac{\omega_0+\omega}{2}t\right)

che rappresenta un moto con i battimenti.

La figura mostra il tracciato osservato per l’oscillatore senza disco di plastica per una tensione di alimentazione del motorino lontana dalla risonanza; l’effetto è ben visibile nel filmato.

Tracciato per il moto con battimenti dell’oscillatore forzato

Tracciato per il moto con battimenti dell'oscillatore forzato

Filmato del moto con battimenti dell’oscillatore forzato

Filmato del moto con battimenti dell'oscillatore forzato


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