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Vincenzo Canale » 8.I moti relativi


Introduzione

Per applicare i Principi della Dinamica allo studio del moto dobbiamo scegliere un sistema di riferimento inerziale. In numerose applicazioni un riferimento con gli assi solidali rispetto alla superficie terrestre ne costituisce una buona approssimazione; e per questo Newton riuscì a formulare le leggi del moto correttamente. Tuttavia esistono casi in cui l’approssimazione non è più adeguata come per esempio i moti su grande  scala o su tempi confrontabili con i periodi di rivoluzione terrestri (giorno o anno); o anche può essere più comodo usare un riferimento in moto (per esempio da un treno).

Desideriamo trovare come si formula la meccanica in un sistema R’(O’,x’,y’,z’,t) in moto rispetto al sistema inerziale R(O,x,y,z,t) (per convenzione). Istante per istante il nuovo sistema avrà sia l’origine O’ che le direzioni degli assi cartesiani (x’,y’,z’) diverse rispetto a (x,y,z) di R. Mentre, nell’ambito della meccanica classica e molto ben verificato sperimentalmente per velocità molto più piccole della luce, il tempo è lo stesso t=t’. L’aspetto cruciale è che, solidale con R’, esiste un nuovo osservatore diverso da R; questo costituisce la vera differenza fra cambiamento di riferimento e diversa scelta del sistema di assi descrivibile con le trasformazioni delle coordinate dei vettori.

Cambiamento di sistema di riferimento R’(O’,x’,y’,z’,t) in moto rispetto a R(O,x,y,z,t)

Cambiamento di sistema di riferimento R'(O',x',y',z',t) in moto rispetto a R(O,x,y,z,t)


Trasformazione della posizione

La descrizione del punto P nei due sistemi di riferimento è schematizzata nella figura. Il punto mobile P è individuato rispettivamente in R e R’ dai vettori:

\vec{OP}=~\vec{r}=~x\cdot\vec{\imath}+~y\cdot\vec{\jmath}+~z\cdot\vec{k}

\vec{O'P}=~\vec{r'}=~x'\cdot\vec{\imath}'+~y'\cdot\vec{\jmath}'+~z'\cdot\vec{k}'

e risulta istante per istante:
\vec{r}~=~\vec{r}_{O'}~+~\v{r'}

che può essere resa esplicitata con le coordinate:
\left\{\begin{array}{l}x~=~x_{O'}+~x'\\y~=~y_{O'}+~y'\\z~=~z_{O'}+~z'\end{array}\right.

E rappresenta la legge di trasformazione delle coordinate nel passaggio da un riferimento all’altro.

Legge di trasformazione della posizione

Legge di trasformazione della posizione


Trasformazione della velocità

Per descrivere la trasformazione delle velocità effettuiamo la derivata rispetto al tempo della relazione precedente:

\frac{\textrm{d}\vec{r}}{\textrm{dt}}~=~\frac{\textrm{d}\vec{r}_{O'}}{\textrm{dt}}~+~\frac{\textrm{d}\vec{r'}}{\textrm{dt}}~\Rightarrow~~\vec{v}~=~\vec{v}_{o'}~+\frac{\textrm{d}\vec{r'}}{\textrm{dt}}

Il secondo termine del lato destro dell’uguaglianza non è banalmente la velocità v’ nel nuovo riferimento perché i versori di R’ variano:

\frac{\textrm{d}\vec{r'}}{\textrm{dt}}~=~\frac{\textrm{d}x'}{\textrm{dt}}\vec{\imath}'+~x'\frac{\textrm{d}\vec{\imath}'}{\textrm{dt}}+~\frac{\textrm{d}y'}{\textrm{dt}}\vec{\jmath}'+~y'\frac{\textrm{d}\vec{\jmath}'}{\textrm{dt}}+~\frac{\textrm{d}z'}{\textrm{dt}}\vec{k}'+~z'\frac{\textrm{d}\vec{k}'}{\textrm{dt}}

Un versore che cambia nel tempo ruota con velocità angolare ω:
\frac{\textrm{d}\vec{u}}{\textrm{dt}}~=~\vec{\omega}\times\vec{u}

e si ottiene dunque la legge di trasformazione delle velocità:

\vec{v}=~\vec{v}'+~\underbrace {\vec{v}_{O'}+~\vec{\omega}\times\vec{r}}'_{\vec{v}_T}

Il primo termine è la velocità in R’ gli altri sono la velocità di trascinamento.

Derivazione temporale di un versore

Derivazione temporale di un versore


Trasformazione delle accelerazioni

Per ricavare la legge di trasformazione delle accelerazioni dobbiamo derivare rispetto al tempo la precedente relazione per le velocità:

\vec{a}~= \frac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{dt}}=~\frac{\textrm{d}\vec{v}'}{\textrm{dt}}~+~\frac{\textrm{d}\vec{v}_{O'}}{\textrm{dt}}+~\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}[\vec{\omega}\times\vec{r}']

L’operazione è abbastanza complicata perchè, oltre alle derivate delle coordinate x’,y’, z’, si devono effettuare anche quelle dei versori di R’; e si ottiene

\frac{\textrm{d}\vec{v}_{O'}}{\textrm{dt}}={\vec{a}}_{O'}
\frac{\textrm{d}\vec{v}'}{\textrm{dt}}=\vec{a}'~+~\omega\times\vec{v}'

\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\vec{\omega}\times\vec{r}'= \frac{\textrm{d}\vec{\omega}}{\textrm{dt}}\times\vec{r}'~+~<br> \vec{\omega}\times\vec{v}'~+~\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}'\right)

Supponiamo la velocità angolare costante e raggruppiamo i vari termini per scrivere la legge di trasformazione delle accelerazioni come:

\vec{a}=\vec{a'}+\underbrace{\vec{a}_{O'}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})}_{\vec{a}_t}+\underbrace{2\cdot\vec{\omega}\times\vec{v}'}_{\vec{a}_c }
Il primo termine è l’accelerazione in R‘, i due successivi sono detti di trascinamento e l’ultimo è l’accelerazione complementare o di Coriolis.

Trasformazione delle accelerazioni

L’accelerazione di trascinamento corrisponde a quella che avrebbe in R un punto P fermo in R’:

  • \textbf{a}_{O'} corrisponde al moto accelerato di traslazione del riferimento (gli assi dei due sistemi restano paralleli)
  • il secondo termine è dovuto al moto rotatorio di R’ e si scrive come

\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})=(\omega\cdot\underbrace{r'\sin\widehat{(\vec{\omega},\vec{r'})}}_{r_\bot})\vec{\omega}\times\vec{u}_{\bot(\overrightarrow \omega  ,\vec{r'})}= -\omega\cdot r'_\bot\cdot\omega~\vec{u}_\bot=-\omega^2~\vec{r'}_{\bot\

dove compare il vettore distanza del punto P all’asse di rotazione (si riconosce la forma tipica dell’accelerazione centripeta).
L’ultimo termine della trasformazione è l’accelerazione complementare o di Coriolis:

\vec{a}_{Coriolis}~=~2\cdot\vec{\omega}\times\vec{v}'

è quello meno intuitivo anche se come vedremo è all’origine di fenomeni particolarmente rilevanti (circolazione atmosferica, ecc…). Da notare che esso è presente soltanto se il punto si muove in R’ (\textbf{v}' \neq 0) e che risulta perpendicolare a \textbf{v}' con conseguenze, molto importanti dal punto di vista energetico.

Componenti dell’accelerazione di trascinamento

Componenti dell'accelerazione di trascinamento


Le trasformazioni di Galileo

Riscriviamo le regole di trasformazione per le grandezze cinematiche nel passaggio da R(O,x,y,z,t) a R’(O’,x’,y’,z’,t) in moto:

\vec{r}~=~\vec{r}_{O'}~+~\vec{r'},~~\vec{v}=~\vec{v}'+~\underbrace {\vec{v}_{O'}+~\vec{\omega}\times\vec{r}}'_{\vec{v}_T},~~\vec{a}=\vec{a'}+\underbrace{\vec{a}_{O'}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})}_{\vec{a}_t}+\underbrace{2\cdot\vec{\omega}\times\vec{v}'}_{\vec{a}_c }

Se R(O,x,y,z,t) è un sistema inerziale in cui valgono le leggi di Newton, quando usiamo R’(O’,x’,y’,z’,t) in moto che cosa succede alle leggi? Nel secondo Principio compare l’accelerazione, le trasformazioni citate suggeriscono che ci saranno dei cambiamenti nel caso di moto accelerato fra i sistemi. Iniziamo con il caso semplice, ma fondamentale, in cui R’(O’,x’,y’,z’,t) si muove rispetto a R(Ox,y,z,t) di moto rettilineo uniforme (velocità vettoriale costante V). Gli assi restano paralleli (x//x’, y//y’, z//z’) e l’origine O’ si muove con velocità V (Vx, Vy, Vz) ; scegliendo l’istante iniziale t=0 quando le origini coincidono, le leggi di trasformazione diventano:

\left\{\begin{array}{l}x=x'+V_x\cdot t\\y=y'+V_y\cdot t\\z=z'+V_z\cdot t\end{array}\right., \\\ \left\{\begin{array}{l}v_x=v'_x+V_x\\v_y=v'_y+V_y\\v_z=v'_z+V_z\end{array}\right., \\\ \left\{\begin{array}{l}a_x=a'_x\\a_y=a'_y\\a_z=a'_z\end{array}\right.

L’invarianza Galileana

Nelle trasformazioni precedenti, dette di Galileo, le coordinate dipendono linearmente dal tempo, le velocità cambiano per una costante e le accelerazioni sono uguali. Se R(O,x,y,z,t) è inerziale, un punto isolato si muove con velocità costante v, in R’ la velocità sarà diversa v’ = v – V≠ v ma sempre costante e dunque R’(O’,x,y,z,t) è inerziale. Da qui l’importanza della trasformazione di Galileo, e la giustificazione, nello studio del moto, dell’uso dei sistemi terrestri che sono, per brevi durate e su piccola scala, approssimativamente inerziali (in moto rettilineo uniforme rispetto a quello di Copernico). Dunque in R’(O’,x’,y’,z’,t) la dinamica viene descritta dalle stesse leggi di Newton; questa proprietà, specifica del moto rettilineo uniforme di R’ rispetto a R , è detta invarianza galileana o principio di relatività. Per invarianza sotto una trasformazione si intende che la forma delle leggi non cambia con le grandezze trasformate: in~{\mathcal{R}}~\vec{f} = m.\vec{a} \Rightarrow in~{\mathcal{R}'}~\vec{f}' = m'.\vec{a}'con le grandezze trasformate. Per la trasformazione di Galileo:

  • a= a’
  • m=m’ perché la massa si misura (terzo principio) dal rapporto delle accelerazioni dei corpi interagenti
  • f=f’ perché le interazioni fondamentali sono conservative e l’energia potenziale dipende dalla distanza relativa (invariante)
L’invarianza galileana

L'invarianza galileana


L’invarianza Galileana

Per avere invarianza la trasformazione deve conservare le relazioni fra le grandezze anche se i valori numerici possono cambiare; è impossibile evidenziare con esperimenti il moto assoluto di un riferimento inerziale ma solo quello relativo fra due di essi! Questo risultato è ben verificato dall’esperienza; citiamo due esempi molto belli e abbastanza comuni:

  • il primo, di Galilei, è quello dell’osservatore che, trovandosi nella stiva di una nave che procede sul mare calmo a velocità costante non riesce a realizzare nessun esperimento (un pendolo, caduta di gravi, ecc..) che gli permette di capire se la nave si muove o no. Questo avviene, per esempio, quando siamo su un traghetto di treni in un giorno di mare calmo, restando nel vagone non percepiamo se la nave è ferma o si trova in mare
  • l’altro è quello del treno fermo in stazione al quale se ne avvicina lentamente un altro sul binario contiguo. Stando sul primo treno, si è convinti di essere in moto, questa apparente illusione è un’esperienza profonda di Fisica classica

L’invarianza galileana è intrinseca nella meccanica classica, ma viene assunta come principio (da verificare sperimentalmente) anche in altri campi della Fisica; in particolare applicandolo all’elettromagnetismo si è giunti alla teoria della Relatività ristretta.

Principio di relatività galileana

Principio di relatività galileana


Descrizione del moto in sistemi non inerziali

La situazione è molto diversa se R’ è animato di un moto vario rispetto a R (considerato inerziale). Le leggi di trasformazione sono più complesse; consideriamo l’accelerazione, moltiplichiamo per m i membri ed usiamo f = m.a valida in R:

m\vec{a}=m\vec{a'}+m\vec{a}_t+m\vec{a}_c\Rightarrow~~m\vec{a}'=~\vec{f}~-m\vec{a}_t~-m\vec{a}_c~\Rightarrow ~~\vec{f}\neq m\vec{a}'~~\textrm{in~R'}

Non c’è invarianza perché la forma della legge è diversa; un osservatore in R’ può scrivere una relazione tipo secondo principio introducendo le due forze aggiuntive di trascinamento e complementare (o di Coriolis):
\vec{f}_t=- m\vec{a}_t;~~\vec{f}_c=-m\vec{a}_c e ricavare:   m\vec{a}'= \vec{f}+\vec{f}_t+\vec{f}_c

simile alla legge di Newton. Queste forze sono osservate in R’ e non in R che è inerziale; per questo sono dette forze apparenti o fittizie anche se il loro effetto è ben reale in R’ come sperimentiamo quando ci troviamo in una macchina in curva e siamo tirati verso l’esterno dalla forza centrifuga! L’origine di queste forze risiede nel moto accelerato di R’ rispetto a R; in particolare queste forze sono proporzionali alla massa inerziale del corpo e vengono più propriamente dette forze d’inerzia.

Legge di Newton in riferimenti non inerziali

Legge di Newton in riferimenti non inerziali


La forza d’inerzia di trascinamento

Per descrivere correttamente alcuni esempi dobbiamo analizzare con maggiore dettaglio la struttura delle forze d’inerzia. La forza di trascinamento ha due termini legati al moto accelerato di traslazione o rotazione di R’ rispetto a R:

\vec{f}_t=\underbrace{-m\vec{a}_{O'}}_{traslazione}\underbrace{-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r'})}_{rotazione}=\vec{f}_{trasl.}~+~\vec{f}_{cent.}

Il primo è legato al moto dell’origine di R’, il secondo è la ben nota forza centrifuga dovuta alla rotazione di R’ \vec{f}_{cent}=+m\omega^2~\vec{r'}_\bot.

Forze d’inerzia di trascinamento

Forze d'inerzia di trascinamento


La forza d’inerzia di Coriolis

Dalla forma dell’accelerazione complementare si ricava forza di Coriolis, \vec{f}_{Cori.}= -2m\cdot\vec{\omega}\times\vec{v}' ,
che ha una struttura più complessa; si osserva soltanto per corpi in moto in R’ ed è sempre ortogonale alla velocità; non compiendo lavoro, tende solo a deviare il corpo.

Analogamente alle forza d’inerzia, anche la gravità è proporzionale alla massa; questa proprietà avrà conseguenze interessanti sulla percezione della gravità nei riferimenti accelerati. Questa analogia è molto profonda; l’uguaglianza fra massa gravitazionale ed inerziale e l’interpretazione della gravità come effetto geometrico inerziale sono la base della teoria della Relatività Generale che descrive l’universo su grande scala.

Forza d’inerzia di Coriolis

Forza d'inerzia di Coriolis


Sistemi in moto accelerato di traslazione

Vediamo di applicare i risultati precedentemente ottenuti ad alcuni casi molto semplici ma frequenti nell’esperienza quotidiana. Per il caso in cui il sistema di riferimento mobile R’ è in moto di traslazione consideriamo un treno (R’) che accelera uniformemente lungo l’asse x (a0=cte) rispetto al suolo. All’interno del vagone si osserva che la posizione di equilibrio, di un pendolo semplice di massa m, si sposta di un certo angolo θ rispetto alla verticale. Le forze agenti sono il peso mg e la tensione T; ecco come si interpreta coerentemente l’effetto nei due sistemi R e R’.
L’osservatore al suolo, in R, scriverà la legge di Newton per imporre che la massa si sta muovendo con accelerazione a0:
~m~\vec{g}~+~\vec{T}~=~m\vec{a}_0~~\Rightarrow~~\left\{\begin{array}{lcl}T\sin\theta&=&ma_0\\T\cos\theta-mg&=&0\end{array}\right.~~\Rightarrow~~\tan\theta=\frac{a_0}{g}

L’osservatore nel vagone, in R’, vede il pendolo in equilibrio sotto l’azione delle forze mg, T e della forza d’inerzia di traslazione ftr= – m aO:
~m~\vec{g}~+~\vec{T}~+~\vec{f}_{tras.}=0~~\Rightarrow~~\left\{\begin{array}{lcl}T\sin\theta-ma_0&=&0\\T\cos\theta-mg&=&0\end{array}\right.~~\Rightarrow~~\tan\theta=\frac{a_0}{g}

E vediamo che ottengono lo stesso risultato!

Moto accelerato di traslazione

Moto accelerato di traslazione


Sistemi in moto accelerato di rotazione

Per la forza centrifuga consideriamo il pendolo conico in cui l’osservatore in R’ ruota. Alla velocità angolare ω il cavo si inclina di un angolo θ rispetto alla verticale per l’azione del peso mg e della tensione T. L’osservatore in R al suolo scrive (secondo principio) che la forza risultante produce l’accelerazione centripeta ac = -ω2r:

m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}_c~~\Rightarrow~~\left\{\begin{array}{lcl}T\sin\theta&=&m\omega^2r_\perp\\T\cos\theta-mg&=&0\end{array}\right.~~\Rightarrow~~\tan\theta=\frac{\omega^2r_\perp}{g}

L’osservatore che ruota si trova in equilibrio sotto l’azione di mg , T e della forza centrifuga fcent.= – mω2r’ (notare r’= r):

m\textbf{g}+\textbf{T}+\textbf{\ensuremath{f_{cent.}}}=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcc}T\sin\theta-m\omega^{2}~r_{\perp}& = & 0\\ T\cos\theta-mg & = &0\end{array}\right.\Rightarrow\tan\theta=\frac{\omega^{2}r_{\perp}}{g}

Esempi di forza centrifuga

Esempi di forza centrifuga


Dipendenza della gravità dalla latitudine

Questo spiega la dipendenza dell’accelerazione g dalla latitudine λ, come composizione della gravità e della forza centrifuga della rotazione terrestre:

g(\lambda)=\sqrt{g_0^2+\left(\frac{4\pi^2 R_T\cos\lambda}{T^2}\right)^2-2g_0\left(\frac{4\pi^2 R_T}{T^2}\right)\cos^2\lambda}\approx g_0\left(1-\frac{4\pi^2R_T}{g_0T^2}\cos^2\lambda\right)

con RT raggio e T periodo di rivoluzione terrestri.

Dipendenza di g dalla latitudine

Dipendenza di g dalla latitudine


Effetti inerziali sulla gravità

L’ultimo esempio ci ha mostrato un effetto delle forze d’inerzia sulla gravità, senza entrare nelle speculazioni teoriche che sono oltre lo scopo del corso vogliamo descrivere alcuni esempi particolarmente significativi:

Il moto accelerato di traslazione corrisponde anche al caso di un ascensore che si muove con accelerazione verticale ±a0. Come mostrato in figura l’osservatore nell’ascensore (esperienza abbastanza comune) risente l’effetto di una gravità diversa g‘= g -/+ a0. Se l’ascensore è in caduta libera allora a0 = +g e dunque g’=0, l’osservatore si trova in assenza di gravità. Se un razzo, molto distante dai corpi celesti, avesse un moto rettilineo con a0 = +g, allora un osservatore nel velivolo osserverebbe nello spazio circostante l’equivalente di un campo gravitazionale costante.

Gravità effettiva

Gravità effettiva


Effetti inerziali sulla gravità

Nel caso di un satellite in orbita con velocità angolare ω, l’osservatore inerziale considera come forza centripeta la sola attrazione gravitazionale (caduta libera). Un’astronauta, nel satellite, sente anche la forza centrifuga che compensa il peso (“assenza di gravità“). Questo stato è fisiologicamente dannoso; nelle astronavi future per possibili lunghe permanenze nello spazio si prevede di creare una gravità artificiale con effetti centrifughi (rotazione del velivolo).

L’”assenza” di gravità per un osservatore in orbita

L'"assenza" di gravità per un osservatore in orbita


La forza di Coriolis

Nella trasformazione delle accelerazioni il termine complementare provoca della forza di Coriolis fCorio.= -2 m ω x v’. Sulla figura abbiamo una pallina che viene lanciata, dal centro di una piattaforma rotante, orizzontalmente in direzione radiale verso l’esterno:

  • l’osservatore al suolo vede un moto orizzontale rettilineo uniforme e la pallina raggiunge B
  • per l’osservatore rotante B è spostato rispetto al punto B’ solidale con la piattaforma ed in linea con la direzione di lancio; per spiegare la deviazione serve la forza laterale di Coriolis
La forza di Coriolis

La forza di Coriolis


La forza di Coriolis

La forza di Coriolis gioca un ruolo cruciale in molti problemi di dinamica terrestre

  • la deviazione dalla verticale dei corpi in caduta libera
  • la direzione degli alisei nei due emisferi; le masse d’aria, provenienti da nord (sud) per colmare la depressione equatoriale dovuta al moto ascensionale di aria calda, sono deviate verso ovest (est) e creano venti da nord-est (sud-ovest)
  • in generale la circolazione atmosferica su grande scala; il verso di rotazione dei venti nelle zone di bassa pressione (cicloni) ed alta pressione (anti-cicloni), è creato dalle forze di pressione e di Coriolis
  • lo spostamento della corrente atlantica del Golfo che devia verso destra dalla direzione iniziale sud-nord e punta verso l’Europa
Esempi della forza di Coriolis sulla dinamica terrestre

Esempi della forza di Coriolis sulla dinamica terrestre


Il pendolo di Foucault

Per evidenziare il moto rotatorio della terra si usa il pendolo di Foucault; prendiamo l’equazione del pendolo e facciamo il prodotto scalare per r x mg

(\vec{r}\times m\vec{g})\cdot m\frac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{dt}}=\underbrace{(\vec{r}\times m\vec{g})\cdot m\vec{g}}_{=0\vec{g}\equiv\vec{g}}+\underbrace{(\vec{r}\times m\vec{g})\cdot\vec{T}}_{=0~\vec{r}\parallel\vec{T}}<br> ~~\Rightarrow~~ \frac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{dt}}\cdot(\vec{r}\times\vec{g})=0

\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}[\vec{v}\cdot(\vec{r}\times\vec{g})]=\underbrace{\frac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{dt}}\cdot(\vec{r}\times\vec{g})}_{0}+\underbrace{\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{g})}_{0}+\underbrace{\vec{v}\cdot(\vec{r}\times \frac{\textrm{d}\vec{g}}{\textrm{dt}})}_{0}=0~~\Rightarrow~~\vec{v}\cdot(\vec{r}\times\vec{g})\equiv \vec{0}~( se~\vec{v}_0=0)

I vettori v, r e g sono sempre complanari e dunque il moto avviene in un piano fisso rispetto al sistema inerziale scelto. Il risultato è evidenziato nel filmato, montando un pendolo su uno sgabello rotante. Ruotando lo sgabello, notiamo che il piano di oscillazione è fisso mentre un osservatore solidale con la piattaforma lo vedrebbe ruotare.

Piano di oscillazione costante del pendolo semplice

Piano di oscillazione costante del pendolo semplice

Messa in evidenza della costanza del piano di oscillazione del pendolo

Messa in evidenza della costanza del piano di oscillazione del pendolo


Il pendolo di Foucault

Come schematizzato in figura, al polo, un osservatore terrestre vedrebbe ruotare il piano del pendolo in un giorno mentre nel sistema di Copernico è fisso. Lontano dai poli l’effetto rimane, come mostra il pendolo di Foucault, ma il risultato è meno intuitivo. Mettiamoci alla latitudine λ nell’emisfero nord, prendiamo un riferimento terrestre con origine O al suolo, con l’asse z verticale quello y verso nord e quello x verso est. In questa base la velocità angolare ΩT ha componenti (0, ΩTsinλ,ΩTcosλ) e le forze agenti sono la tensione T, il peso P e la forza di Coriolis fC. Per piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio O(0,0,0) il moto è quasi orizzontale v≈(vx,vy,0), ed i moduli di tensione e peso sono approssimativamente uguali |T|≈|P|=mg. Per piccoli spostamenti (x,y) le componenti delle forze sono:

\vec{P}\left\{\begin{array}{c}\textrm{P}_x= 0 \\ \textrm{P}_y= 0 \\ \textrm{P}_z=~m~g\end{array}\right.;<br> ~~\vec{T}\left\{\begin{array}{l}\textrm{T}_x\approx -mg\cdot(x/l)\\ \textrm{T}_y\approx -mg\cdot(y/l)\\\textrm{T}_z\approx mg\end{array}\right.;<br> ~~\vec{f}_{Cori}\left\{\begin{array}{l}<br> f_{cx}=~2m~\Omega_T~\dot{y}~\sin\lambda\\ f_{cy}=-2m~\Omega_T~\dot{x}~\sin\lambda\\<br> f_{cz}=~2m~\Omega_T~\dot{x}~\cos\lambda<br> \end{array}\right.

Schematizzazione del pendolo di Foucault

Schematizzazione del pendolo di Foucault


Il pendolo di Foucault

Ponendo ω02= g/l, possiamo scrivere la seconda legge di Newton nel piano (x-y):

\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}= -\omega_0^2~x+ ~2\Omega_T~\dot{y}~\sin\lambda \\ \ddot{y}= -\omega_0^2~y -~2 \Omega_T~\dot{x}~\sin\lambda\\ \end{array}\right.

Il sistema differenziale è più semplice con la variabile complessa z(t)= x(t) + i y(t) (con i2=-1):

\begin{array}{l}\ddot{z} +\imath2\Omega_T\sin\lambda\dot{z}+\omega_0^2z=0 \\ \textrm{ponendo}z(t)=e^{\zeta t} \Rightarrow \\ \zeta^2+\imath2\Omega_T\sin\lambda\zeta+\omega_0^2\zeta=0 \Rightarrow \zeta\approx \imath\Omega_T\sin\lambda\pm\imath\omega_0 \Rightarrow \\ z(t)=e^{\imath\Omega_T\sin\lambdat} \left[Ae^{\imath\omega_0 t}+Be^{\imath\omega_0 t}\right]\end{array}

visto che in genere ω0 >> ΩT , e le costanti A e B dipendono dalle condizioni iniziali. Il fattore tra parentesi corrisponde geometricamente ad un’ellisse nel piano (x-y) percorsa con periodo T0=2π/ω0. Il risultato importante è nel fattore moltiplicativo di modulo unitario che equivale ad una rotazione nel piano (x,y). Alla latitudine λ la traiettoria ellittica (o il piano di oscillazione del pendolo) ruota con velocità angolare o periodo:

\Omega=\Omega_T\sin\lambda~~\textrm{o equivalentemente con periodo}~~~T_\lambda=\frac{\textrm{1~giorno}}{\sin\lambda}

Rotazione della traiettoria ellittica del pendolo di Foucault

Rotazione della traiettoria ellittica del pendolo di Foucault


Realizzazione del pendolo di Foucault

Nell’esperienza di Foucault a Parigi (λ≈ 49°) nel 1851 il piano di oscillazione ruota in T≈ 31h 47min. Fra un passaggio e l’altro il pendolo (L≈67m, periodo T0≈16,4s per le piccole oscillazioni con un’ampiezza orizzontale a≈3m e θ≈3°) lasciava una traccia sulla sabbia disposta su un cerchio di raggio a; la distanza fra due passaggi successivi era apprezzabile visivamente: \delta~=~a~\Omega_T~\sin\lambda~T_0~\approx~2,7~mm

Un pendolo di Foucault è stato realizzato nel Dipartimento di Scienze Fisiche della Federico II dal prof. Filippo Esposito (vedi video pendolo di Foucault) con parametri: L≈12m , T0≈6,9s, a≈95cm e θ≈4,5°. Per evitare lo smorzamento dovuto all’attrito è stato realizzato un sistema forzante ad elettrocalamita in fase con le oscillazioni.
Il problema maggiore di questo dispositivo è quello di disaccoppiare la rotazione dovuta alla forza di Coriolis da altre dovute ad effetti come:

  • le orbite ellittiche di un pendolo sferico ruotano a causa della non esatta armonicità della forza, per questo si devono limitare al massimo le oscillazioni trasversali
  • delle oscillazioni trasversali si eccitano in ogni caso a causa dell’imperfezione del vincolo di sospensione, per ovviare le quali si usa la tecnica dell’anello di Charon
Il pendolo di Foucault del Dipartimento di Scienze Fisiche della Federico II

Il pendolo di Foucault del Dipartimento di Scienze Fisiche della Federico II


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