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I sistemi gassosi

I sistemi gassosi rappresentano, probabilmente, quelli che meglio si prestano per mettere in evidenza i diversi concetti sviluppati per lo studio dei fenomeni termici. In particolare i gas non hanno volume proprio, tendono ad occupare tutto lo spazio a disposizione e sono piuttosto facilmente comprimibili. Pertanto per questi sistemi si ottengono abbastanza facilmente variazioni di volume e pressione con produzione di lavoro idrostatico; non a caso gran parte delle macchine termiche utilizzano sistemi gassosi nelle fasi di potenza.
Oltre all’aspetto applicativo, i gas sono particolarmente importanti perché la relativa semplicità della struttura microscopica (limitata intensità dell’interazione fra le molecole) permette anche di effettuare il legame fra i risultati dell’approccio macroscopico della termodinamica con quelli del punto di vista microscopico.

Le leggi di Volta e Gay-Lussac

Nei primi studi sperimentali sui gas, risalenti alla fine del ‘700, Volta e Gay-Lussac studiarono diversi tipi di processi:

nella trasformazione isocora (V₀=cost.), la pressione varia linearmente con la temperatura

$p~=~p_0~\left[1+\alpha_{gas}~\left(t-t_o\right)\right$

dove p₀ è la pressione di riferimento a t=0°C;

nella trasformazione isobara (p₀=cost.), il volume varia linearmente con la temperatura

$V~=~V_0~\left[1+\beta_{gas}~\left(t-t_o\right)\right]$

dove V₀ è la pressione di riferimento a t=0°C.

Le leggi di Volta e Gay/Lussac

La scala assoluta delle temperature

Il risultato sorprendente è che, per gas sufficientemente rarefatti e lontani dal punto di liquefazione, i coefficienti di dilatazione sono uguali fra loro ed indipendenti dal tipo di sostanza gassosa:

$\beta_{gas}\approx\alpha_{gas}=cte\approx\frac{1}{273,15^\circ C}$

Dal risultato precedente risulta che la scala termica deve possedere un limite inferiore t_zero=-273,15°C sotto il quale il volume risulta negativo! Pertanto si introduce la scala Kelvin traslata di un valore costante rispetto alla Celsius:

$T(K)= t(^\circ C)+273,15$

ed il limite inferiore coincide naturalmente con lo zero. In realtà l’esistenza dello zero assoluto è collegata al secondo principio della termodinamica, poiché a temperature così basse nessuna sostanza è gassosa.

L'origine della scala assoluta delle temperature

Le leggi di Boyle-Mariotte ed Avogadro

Quando un gas subisce una trasformazione isoterma (T=cost.) vale la legge di Boyle-Mariotte:

$T=\textrm{cost}~\Rightarrow~~p~\cdot~V~=\textrm{costante}$

Le leggi dei gas appena studiate sono di natura strettamente termodinamica perché fanno intervenire grandezze macroscopiche. La prima legge dei gas, che implica una connessione con il punto di vista microscopico, è quella di Avogadro. In particolare si definisce la mole come la quantità in grammi di una sostanza pari al suo peso molecolare, e si mette in relazione una grandezza macroscopica con il numero di costituenti microscopici:
1 mole corrisponde a N_A≈6,02 10²³ (numero di Avogadro) costituenti microscopici (atomi, molecole,…)
Con questa definizione Avogadro stabilì sperimentalmente che:
a parità di condizioni di pressione e temperatura una mole di gas occupa lo stesso volume indipendentemente dal tipo di sostanza gassosa.
E nelle condizioni standard p₀=1atm e T₀=273,15 K(0°C), questo volume molare vale V_m≈22,41 litri, un valore che conviene tenere a mente come ordine di grandezza quando si risolvono esercizi o problemi.

La legge di Avogadro

Il gas ideale

Le leggi precedenti sono verificate con approssimazione sempre migliore quanto più ci si avvicina alle condizioni del gas ideale. Un gas ideale è costituito da molecole che interagiscono fra loro solo in occasione degli urti, mentre non ci sono interazioni a distanza. Nei sistemi reali questa condizione si verifica per:

gas sufficientemente rarefatti (piccolo numero di molecole per unità di volume) che corrisponde ad avere pressioni non troppo alte ( fino ad alcune atmosfere)
gas lontani dal punto di liquefazione e dunque a temperature sufficientemente elevate

Il gas ideale

L’equazione di stato dei gas ideali

In queste condizioni è possibile trovare la relazione (equazione di stato) che lega fra loro, negli stati di equilibrio, le variabili termodinamiche. Partendo con n moli di gas in condizioni standard p₀ e T₀, che occupano il volume V₀=n.V_m, e procedendo come mostrato in figura, si ottiene che per un generico stato di equilibrio risulta:

$p\cdot V~=~n\cdot R\cdot T$

dove R è la costante dei gas che si esprime in funzione dei parametri delle condizioni standard:

$R=\left(\frac{V_mp_0}{T_0}\right)\approx 8,31~J/(K.mole)$

Si può riscrivere la relazione precedente facendo intervenire il numero di molecole N= n.N_A e la costante di Boltzmann (microscopica):

$k=\frac{R}{N_A}\approx 1,38~~10^{-23}~J/K$

L'equazione di stato del gas ideale

Il termometro a gas ideale

L’equazione di stato può essere sfruttata per realizzare il termometro a gas. Infatti tenendo costante il volume di un gas, si ha:

$V_0=cte\Rightarrow~T=\underbrace{\left(\frac{V_0}{nR}\right)}_{\textrm{cost.}}~p~=~A~T$

cioè la pressione del gas è proporzionale alla sua temperatura.
Tramite il serbatoio, si tiene il volume del gas costante e se ne misura la pressione, rispetto a quella atmosferica, dall’altezza della colonnina di mercurio.

Il termometro a gas ideale

Il termometro a gas ideale (segue)

Il principio della misura è abbastanza semplice anche se la realizzazione abbastanza elaborata:

si prende una cella di acqua al punto triplo (coesistenza delle tre fasi liquido, ghiaccio, vapore) e si misura la pressione di riferimento p_trip dell’apparato corrispondente alla temperatura T=273,16 K
si posiziona il corpo in contatto termico col gas (n moli) e si misura la pressione p_n da cui si ricava una prima misura di temperatura: $T_n(\textrm{K})~=~273,16~\left(\frac{p_n}{p_{t}}\right)$
si itera il procedimento riducendo il numero di moli di gas e la temperatura finale si ottiene interpolando per n→0

$T(K)~=~\lim_{n\rightarrow 0}273,16~\left(\frac{p_n}{p_t}\right)$

Come mostrato in figura la stima finale non dipende dal tipo di gas; questo è uno strumento di riferimento usato per tarare altri termometri.

Principio della misura col termometro a gas

Verifica sperimentale della legge di Boyle

Per verificare le leggi dei gas, disponiamo in laboratorio di un manometro che fornisce misure assolute di pressione e che viene letto via calcolatore. Possiamo studiare la legge di Boyle: attacchiamo lo strumento ad una siringa di plastica che contiene dell’aria e di cui possiamo variare il volume con lo stantuffo leggendone il valore nell’intervallo (2÷20)cm³. Le misure sono sufficientemente lente per permettere al gas di restare alla stessa temperatura. I punti sperimentali, riportati sul piano p-V in scala logaritmica, mostrano un andamento a potenza; ed un fit fornisce un valore dell’esponente non lontano dal valore atteso -1. Il valore ridotto può essere dovuto a causa della sotto(sovra) stima del volume nelle fasi di com(de)pressione dovute alla deformazione della membrana elastica del manometro. Per questo non conviene allontanarsi molto dalla condizione iniziale p₀≈100kPa.

Verifica della legge di Boyle

Verifiche sperimentali della legge di Gay-Lussac

Possiamo studiare anche la legge di Gay-Lussac; il gas è contenuto in un’ampolla di vetro (V=cost.) e viene immerso, all’interno di un termos, in un bagno termico di cui si misura la temperatura con il termometro. L’ampolla è raccordata al manometro per ottenere la misura della pressione. I punti sperimentali, riportati sul piano p-T, mostrano l’atteso andamento lineare; ed un fit fornisce una stima dello zero assoluto.

Verifica della legge di Gay-Lussac

L’espansione libera del gas ideale

Joule ricavò l’energia interna di un gas ideale, con l’esperienza dell’espansione libera. Un recipiente rigido è separato in due, e contiene del gas ideale in una parte mentre nell’altra è realizzato il vuoto. Il sistema, inizialmente alla temperatura T₁, è immerso in un bagno termico in un contenitore adiabatico. Togliendo la separazione, il gas si espande liberamente fino ad occupare il volume V₂=2V₁. La temperatura non varia, T₂≈T₁, e dunque il gas non scambia calore Q=0. Le pareti del contenitore sono rigide e dunque i lavoro esterno è nullo W=0. Dal primo principio abbiamo:

$\Delta U_{gas}~~=~~Q~-~W~=0\Rightarrow \underbrace{U_{gas} (n,T_1,V_1)}_{U_1}= \underbrace{U_{gas}(n,T_1,2V_1)}_{U_2}\Rightarrow U_{gas}\equiv U_{gas}(n,T)$

che mostra che l’energia interna del gas ideale può dipendere solo dalla temperatura e numero di moli.

Esperienza dell'espansione libera di Joule

L’energia interna del gas ideale

Per trovare l’espressione di U_gas, scomponiamo la generica trasformazione A→B in un tratto isocoro A→C ed uno isotermo C→B; in questo caso scriveremo:

$\Delta U_{AB}~~=~\Delta U_{AC}~+\underbrace{\Delta U_{cB}}_{=0,~T=cte}~=Q_{AC}-\underbrace{W_{AC}}_{=0,~V=cte} ~=~n~C_V~\left(T_B-T_A\right)\$

$\Rightarrow U_{gas}~=~n~C_V~T~+cte$

Dove C_V è il calore specifico a volume costante, i cui valori sperimentali sono riportati in figura.

Energia interna del gas ideale

Trasformazioni isoterma del gas ideale

Studiamo adesso con maggiore dettaglio alcune trasformazioni reversibili del gas ideale; iniziamo con l’isoterma che si realizza con buona approssimazione se il gas è in contatto con una sorgente e la trasformazione è lenta (quasi-statica). In questo caso:

$T_0=cost.~\Rightarrow~\textrm{dU}=0~\Rightarrow~dQ=dW=p.dV$

Per un tratto finito A→B, il calore e lavoro scambiati corrispondono all’area sotto l’iperbole equilatera:
$Q_{AB}=W_{AB}=\int_{V_A}^{V_B}p.dV=n~R~T_0~\int_{V_A}^{V_B}\frac{dV}{V}=n~R~T_0~\log\left(\frac{V_B}{V_A}\right)$

Trasformazione isoterma reversibile del gas ideale

Trasformazioni isocora del gas ideale

La seconda trasformazione è l’isocora reversibile; un’idealizzazione perché per essere reversibile il gas deve essere messo in contatto con infinite sorgenti la cui temperatura differisce di una quantità infinitesima dT dalla precedente:

$V_0=cost.~\Rightarrow~\textrm{dW}=0~\Rightarrow~dU=dQ$

E per una trasformazione finita A→B:

$\Delta U_{AB}=Q_{AB}=n~C_V~\left(T_B-T_A\right)=\frac{C_V}{R}{\left(p_B-p_A\right)}{V_0}$

Trasformazione isocora reversibile del gas ideale

Trasformazioni isobara del gas ideale

La terza trasformazione di grande interesse è l’isobara reversibile; questo caso è abbastanza frequente nelle applicazioni in cui il gas è in contatto meccanico libero con l’ambiente e la pressione è quella atmosferica. In questo caso:

$p_0=cost.~\Rightarrow~\left\{\begin{array}{l}Q=n~C_p~\Delta T \\ \textrm{W}=p_0~\Delta V~=n~R~\Delta T\end{array}\right.$

dove C_p è il calore specifico molare a pressione costante.
Mettendo insieme questi risultati nell’espressione del primo principio, ricaviamo:

$Q~=~\Delta U~+~W~\Rightarrow~n~C_p~\Delta T=n~C_V~\Delta T~+~n~R~\Delta T\Rightarrow~C_p~=~C_V~~+~~R$

detta relazione di Mayer. I valori sperimentali di C_p sono mostrati in figura.

Trasformazione isobara reversibile del gas ideale

Trasformazioni adiabatica del gas ideale

L’ultima trasformazione studiata è quella adiabatica, in cui il gas non scambia calore; questa situazione si incontra con buona approssimazione in diverse situazioni fisiche reali. In questo caso, con semplici manipolazioni algebriche riportate in figura, si ottengono le relazioni:

$T~V^{\gamma-1}=\textrm{cost.}~~\Leftrightarrow~~p~V^{\gamma} =\textrm{cost.}~\Leftrightarrow~~p^{1-\gamma}~T^{\gamma}=\textrm{cost.} ~~con~~\gamma=\frac{C_p}{C_V}$

Siccome γ>1, le adiabatiche sono più “ripide” delle isoterme; fisicamente perché se il gas si espande W>0, ΔU=-W<0 cioè il gas si raffredda ΔT<0.

Trasformazione adiabatica reversibile del gas ideale

Studio delle trasformazioni nel piano p-V

Desideriamo mettere in evidenza, nel piano p-V, alcune delle trasformazioni precedentemente studiate. In particolare vogliamo realizzare un apparato in grado di rappresentare contemporaneamente pressione e volume del gas. Per la pressione il problema è facile perché basta attaccare il manometro alla siringa contenente il gas e leggerlo via calcolatore col sistema ©LoggerPro. Per la misura del volume sfruttiamo l’artificio mostrato in figura, lo stantuffo della siringa è legato ad un filo che si avvolge sulla carrucola di un sensore di moto rotatorio leggibile via calcolatore. Se il filo non slitta, avvolgendolo più volte l’attrito lo blocca, c’è una correlazione univoca angolo-posizione dello stantuffo e dunque con il volume:

$\Delta h~=~R\cdot\Delta\theta~\Rightarrow~~\Delta V~=~S\cdot R\cdot\Delta\theta$

dove S è la sezione costante del volume cilindrico della siringa; e possiamo ottenere sul calcolatore anche la misura del volume.
L’unica complicazione tecnica deriva dal fatto che nel sensore Δθ>0 corrisponde a ΔV<0, pertanto si devono individuare le escursioni delle variabili (0÷θ_max) e (0÷V_max) ed il volume sarà dato da:

$V~\approx~R\cdot S\cdot \cdot\left(\theta_{max}-\theta\right)$

Realizzazione di una trasformazione “isoterma”

Realizzazione di una compressione isoterma con l'apparato di misura precedentemente descritto.

Analisi della trasformaziona isoterma

Con l’apparato precedentemente descritto possiamo studiare la trasformazione isoterma. Posizioniamo lo stantuffo nella posizione di massimo volume, facciamo partire l’acquisizione ed iniziamo a comprimere molto lentamente il gas in modo che possa restare in equilibrio termico con l’ambiente. L’operazione può essere effettuata sia in compressione che depressione; gli andamenti temporali di pressione e volume sono mostrati in figura, così come quello del piano p-V. Un fit ai dati sperimentali mostra un discreto accordo con la legge di Boyle.

Analisi della trasformazione isoterma

Realizzazione della trasformazione adiabatica

Possiamo tentare di studiare anche la trasformazione adiabatica; per questo sfrutteremo il fatto che l’aria è un cattivo conduttore e se la trasformazione è abbastanza rapida il sistema non riesce a scambiare calore (è quello che succede quando gonfiamo rapidamente con la pompa e sentiamo che si riscalda, è l’aria internamente che viene compressa in modo semi-adiabatico). Come visibile in figura gli andamenti temporali sono molto più rapidi; e la curva della trasformazione nel piano p-V è molto più ripida. L’esponente ottenuto non è troppo lontano dal valore atteso 7/5 (l’aria è un gas biatomico), tenuto conto delle diverse approssimazioni rispetto alla schematizzazione ideale dell’adiabatica reversibile.

Analisi della trasformazione adiabatica

I cicli termodinamici: motori e frigoriferi

I sistemi gassosi sono usati per realizzare le macchine termiche che si ottengono con trasformazioni cicliche (un ciclo ripetibile permette di contenere le dimensioni dei dispositivi). Alla fine di ogni ciclo ΔU=0 e dunque Q_ciclo = W_ciclo: se Q_ciclo=W_ciclo>0 (<0) complessivamente il gas assorbe (cede) calore e produce (assorbe) lavoro esterno, è un motore termico (macchina frigorifera). Se la trasformazione è reversibile, la si può rappresentare come una curva chiusa nel piano p-V e W_ciclo corrisponde all’area (con segno) racchiusa dalla curva del ciclo.

Cicli termodinamici e macchine termiche

I cicli termodinamici: motori e frigoriferi

Nell’intero processo il calore scambiato avrà contributi sia positivi che negativi:

$Q_{ciclo}~=~\underbrace{Q_{ass.}}_{>0}~+~\underbrace{Q_{ced.}}_{<0}$

Per caratterizzare le prestazioni di un motore il concetto più semplice è quello di rendimento, il rapporto fra il lavoro W (energia che si ricava) ed il calore assorbito dal sistema Q_ass >0 (il combustibile fornito):

$\eta~=~\frac{W_{ciclo}}{Q_{ass.}}=\frac{Q_{ass.}+Q_{ced.}}{Q_{ass.}}=~1-\frac{\left|Q_{ced.}\right|}{Q_{ass.}}$

e sperimentalmente risulta 0≤η<1 (Secondo Principio della Termodinamica).
Per i frigoriferi si parametrizza la prestazione del dispositivo con l’efficienza:

$\epsilon~=~\frac{Q_{ass.}}{\left|W_{ciclo}\right|}$

Caratteristiche dei cicli termodinamici

Il ciclo di Carnot

Fra i diversi cicli di un gas ideale quello concettualmente più importante, anche se di difficile realizzazione pratica, è quello di Carnot .
Nel ciclo reversibile di Carnot, n moli di gas ideale effettuano la sequenza di trasformazioni mostrate in figura (due isoterme in contatto con due sorgenti T_C>T_F e due adiabatiche) per ritornare al punto di partenza. Questo ciclo è fondamentale, perché il suo rendimento rappresenta il limite superiore teorico:

$\eta_c=\frac{W}{Q_C}=1-\frac{\left|Q_F\right|}{Q_C}=\frac{T_C-T_F}{T_C}=1-\frac{T_F}{T_C}$

e dipende soltanto dalle temperature delle sorgenti! Nel caso venga percorso in senso inverso, il ciclo è frigorifero e la sua efficienza vale:

$\epsilon_r=\frac{Q_F}{|W|}=\frac{Q_F}{|Q_F+Q_C|}=\frac{T_F}{T_C-T_F}$

e che cresce per ΔT→0 un risultato poco intuitivo (motivo per il quale il frigorifero va messo basso d’estate e alto d’inverno!).

Il ciclo di Carnot

Il ciclo di Stirling

Un altro ciclo di grande interesse, che come vedremo si riesce a realizzare anche praticamente con buona approssimazione, è quello reversibile di Stirling (due isoterme T_C>T_F e due isocore). Anche in questo caso il rendimento si calcola, con qualche accorgimento, e risulta:

$\eta_s=1-\frac{T_F}{T_C}$

uguale a quello di Carnot! Un risultato, in realtà, non casuale e che corrisponde alla tematica del secondo principio della termodinamica che esula dallo scopo del corso.

Il ciclo di Stirling

Una macchina di Stirling ad aria

La ditta ©Leybold-Heraus ha realizzato un bellissimo dispositivo per studiare sperimentalmente le macchine termiche. L’apparato, mostrato in figura, realizza con buona approssimazione un ciclo di Stirling in cui il fluido è dell’aria. La sorgente calda viene realizzata con un filamento resistivo in cui si scorre una corrente e si riscalda per effetto Joule, fino a diventare incandescente (vedi figura); mentre quella fredda è realizzata con un’intercapedine che contiene dell’acqua corrente. Il dispositivo è equipaggiato con due pistoni che si muovono sfasati di un quarto di periodo (P_w regola il volume totale del gas e P_s che sposta il gas fra le due zone calda e fredda).

La macchina di Stirling ad aria della Leybold-Heraus

Una macchina di Stirling ad aria

Le quattro fasi di funzionamento del dispositivo sono schematizzate in figura.
Uno tubicino speciale si può raccordare al manometro per avere la misura in tempo reale della pressione del gas; mentre possiamo sfruttare lo stesso artificio con il sensore di moto rotatorio, usato in precedenza, per misurare il volume del gas. In questo modo, quando la macchina gira, possiamo visualizzare il ciclo sul piano p-V.

Schema delle fasi e principio di misura del volume

Funzionamento della macchina di Stirling

Per fare funzionare il motore si applica una differenza di potenziale (12÷18)V che corrisponde ad una corrente (10÷20)A nella resistenza, si avvia manualmente la macchina che comincia a girare come mostrato nel filmato; è importante, per non danneggiare il dispositivo, verificare che l’acqua del raffreddamento scorra e che l’alimentazione sia staccata a motore ferma.

La macchina di Stirling in funzione..

Misura del rendimento della macchina di Stirling

La figura mostra il ciclo, nel piano p-V, che è solo approssimativamente quello ideale di Stirling. In particolare, come prevedibile, le trasformazioni reali non sono isocore. Tramite le opzioni del pacchetto ©LoggerPro possiamo stimare il rendimento del ciclo. Infatti il software permette di calcolare le aree (integrali) sotto le porzioni di curve che rappresentano il ciclo e dunque otteniamo per il lavoro:

$W=\left({\mathcal{S}}_{up}-{\mathcal{S}}_{dw}\right)~ \left(\frac{\Delta V}{\Delta\theta}\right) ~\textrm{con}~~\left(\frac{\Delta V}{\Delta\theta}\right)=~R.S$

per i calori scambiati:

$Q_C\propto{\mathcal{S}}_{up}~~\text{e}~~Q_F\propto {\mathcal{S}}_{dw}$

Ed infine per il rendimento:

$\eta=\frac{W}{Q_C}=\frac{Q_C-Q_F}{Q_C}= \frac{{\mathcal{S}}_{up}-{\mathcal{S}}_{dw}}{{\mathcal{S}}_{up}} =\left(10\div 15\right)\%$

secondo i valori di tensione applicata.

Visualizzazione del ciclo e stima del rendimento

Curva di potenza della macchina di Stirling

L’utilizzo più naturale di un motore è quello di fargli compiere del lavoro meccanico, ed un modo semplice consiste nel fare vincere alla macchina una resistenza dovuta a delle forze di attrito per caratterizzarne la potenza fornita in funzione della velocità angolare (la curva di potenza del motore). Si tende orizzontalmente una treccia metallica sul mandrino dell’albero motore, durante il moto l’attrito con la superficie frena la macchina che deve fornire del lavoro per restare in movimento

Il motore sul banco frenante.

Curva di potenza della macchina di Stirling

Durante il moto l’attrito con la superficie metallica provoca una differenza fra le tensioni ai capi della cinghia T₁≠T₂ dalle quali si ricava la potenza meccanica fornita dal motore; la tensione viene aumentata fino a fermare la macchina. Il filmato mostra questo modo di funzionamento.

Per rendere quantitative le misure possiamo utilizzare i sensori di forza che vengono letti, in tempo reale, via calcolatore. Alcuni grafici sono mostrati in figura; si può visualizzare direttamente il momento meccanico fornito dal motore M=(T₁-T₂).r che risulta piuttosto stabile (a parte minori variazioni legate alla periodicità del moto).
Dalla misura del periodo si ricava la velocità angolare ω e la potenza fornita P=M.ω; infine, a parità di tensione applicata, si costruire la curva di potenza P vs. ω frenando sempre più il dispositivo; e si osserva il caratteristico andamento con un massimo (la coppia massima).

La curva di potenza del motore di Stirling

La macchina di Stirling come frigorifero

Un grande pregio didattico di questo dispositivo è quello di potere essere usato anche come macchina frigorifera e di potere funzionare nei due versi di rotazione. In particolare si sostituisce il filamento elettrico con un tappo a tenuta che permette di introdurre una provetta contenente dell’acqua in cui possiamo infilare un termometro per misurare le variazioni di temperatura. Girando manualmente forniamo lavoro W e dunque possiamo spostare quantità di calore da una sorgente all’altra:

in un verso raffreddiamo la provetta e scaldiamo l’acqua dell’intercapedine come in un frigorifero
nell’altro raffreddiamo l’acqua di raffreddamento e scaldiamo quella della provetta come nelle pompe di calore

Montaggio come macchina frigorifera

La macchina di Stirling come frigorifero

La figura riporta l’andamento della temperatura della provetta in funzione del numero di giri effettuati che corrisponde al lavoro fornito alla macchina: raffreddare costa!
Notiamo che l’acqua raggiunge anche temperature sotto lo zero (circa -2°C), ben oltre le possibili incertezze dovute alla taratura del termometro. Poiché la sottrazione di calore avviene molto gradualmente, l’acqua rimane liquida a temperature sotto lo zero! Perturbando il sistema, per esempio agitando il termometro, si osserva un rialzo termico T≈0°C e si formano i cristalli di ghiaccio.