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Giuliana Fiorillo » 7.Applicazioni del modello energetico

Forza e energia potenziale

Abbiamo visto che nel caso di forze conservative si può definire l’energia potenziale V. Il potenziale è una funzione scalare della posizione del corpo, definita come:
$V(\mathbf{r})=V(\mathbf{r}_0)-\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{f}(\mathbf{r}')\cdot d \mathbf{r}'$
Viceversa dato il potenziale V possiamo ricavare le componenti della forza calcolandone le derivate parziali:
$dV=-\mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}=-(f_xdx+f_ydy+f_zdz)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f_x=-\frac{\partial V}{\partial x}\\f_y=-\frac{\partial V}{\partial y}\\f_z=-\frac{\partial V}{\partial z}\end{array}\right.$
In forma vettoriale si scrive:
$\mathbf{f}=-\nabla V$
Se ci limitiamo al caso unidimensionale si ha:
$f(x)=-\frac{dV}{dx}$
Cioè la forza è uguale alla derivata cambiata di segno dell’energia potenziale rispetto alla variabile posizione.

Figura 7.1. Grafico dell'energia potenziale V(x) di un sistema unidimensionale in funzione di x.

Condizioni di equilibrio (1)

Consideriamo una curva dell’energia potenziale come quella in figura; sappiamo che in presenza di un massimo o di un minimo:
$\frac{dV}{dx}=-f(x)=0$
Ne consegue che la forza agente sul corpo è nulla.
Queste sono pertanto delle posizioni di equilibrio per il corpo. In particolare quando l’energia potenziale presenta un minimo (B), ossia quando:
$\frac{d^{2}V}{dx^{2}}>0$
l’equilibrio è detto stabile (se il corpo si sposta da questa posizione, sia verso destra che verso sinistra, la forza che agisce su di lui tende a riportarlo nella sua posizione originaria);
quando l’energia potenziale presenta un massimo (C), ossia quando:
$\frac{d^{2}V}{dx^{2}}<0$
l’equilibrio è detto instabile (se il corpo si sposta da questa posizione, sia verso destra che verso sinistra, la forza che agisce su di lui tende ad allontanarlo sempre più dalla sua posizione originaria).

Figura 7.1. Grafico dell'energia potenziale V(x) di un sistema unidimensionale in funzione di x.

Condizioni di equilibrio (2)

Consideriamo il punto B in figura, intorno a tale punto la forza è attrattiva:
per $x<x_{B}$ , $\frac{dV}{dx}<0$ V è decrescente, quindi f>0, cioè è concorde in verso all’asse della x e quindi tende a riportare il corpo nella posizione B. Per $x>x_{B}$ , $\frac{dV}{dx}>0$
V è crescente, quindi f<0, cioè ha verso opposto all’asse della x e quindi di nuovo tende a riportare il corpo nella posizione B.

Consideriamo il punto C in figura, intorno a tale punto la forza è repulsiva:
per $x<x_{C}$ , $\frac{dV}{dx}>0$
V è crescente, quindi f<0, cioè è opposta in verso all’asse della x e quindi tende ad allontanare il corpo dalla posizione C. Per $x>x_{C}$ , $\frac{dV}{dx}<0$ V è decrescente, quindi f>0, cioè ha lo stesso verso dell’asse della x e quindi di nuovo tende ad allontanare il corpo dalla posizione C.

Figura 7.1. Grafico dell'energia potenziale V(x) di un sistema unidimensionale in funzione di x.

Punti di inversione

Dal grafico di V(x) si ha una descrizione qualitativa del moto. Infatti se guardiamo la fig. 2, che rappresenta l’energia potenziale di un corpo in moto lungo l’asse x ed assumiamo per esempio, per l’energia totale del sistema i valori E₁, E₂, E₃, tenendo conto che l’energia cinetica in un dato punto è data dalla differenza dell’energia totale e quella potenziale, possiamo affermare:

Se E=E₁, il corpo si può muovere tra x₁ e x₂. Per quanto detto prima, il corpo assume energia cinetica massima (velocità massima) nel punto x₀. Man mano che si avvicina a x₁ o x₂, la sua velocità diminuisce. In particolare per x=x₁ e x=x₂ il corpo si ferma e non può far altro che invertire il moto. I punti x₁e x₂ sono detti punti di inversione.
Se E=E₂, i punti di inversione del moto sono 4. Il corpo può muoversi in ciascuno dei due intervalli in cui l’energia potenziale è minore di E₂ (non esistono energie cinetiche negative).
Se E=E₃, il punto di inversione del moto è unico, a destra l’energia potenziale è sempre minore dell’energia totale, ciò fa si che il corpo possa allontanarsi indefinitamente.

Figura 7.2. Funzione energia potenziale V(x).

Esempio: il potenziale molecolare (1)

Esempio 7.1

Per una molecola biatomica la funzione energia potenziale può essere scritta, almeno in prima approssimazione, come:
$V(x)=D(-\frac{b}{x}+\frac{b^{2}}{x^{2}})$
dove x è la distanza tra i due atomi e D e b sono costanti positive.
Determinare:

la distanza di equilibrio (se esiste)
la forza agente tra i due atomi
l’energia minima per rompere il legame molecolare (portare gli atomi dalla distanza di equilibrio all’infinito)

Figura 7.3. Curva dell'energia potenziale di una molecola biatomica

Esempio: il potenziale molecolare (2)

Soluzione
Dal grafico dell’energia potenziale, vedi fig. 3, si vede che V(x) presenta un minimo e quindi ci si può aspettare di trovare un valore di x in cui i due atomi siano in equilibrio.
La distanza di equilibrio si ha quando l’energia potenziale è stazionaria, cioè quando $\frac{dV}{dx}=0$ .
Allora
$\frac{dV}{dx}=D(\frac{b}{x^{2}}-\frac{2b^{2}}{x^{3}})$ che risulta uguale a zero quando $\frac{b}{x^{2}}-\frac{2b^{2}}{x^{3}}=0$ cioè quando $bx-2b^{2}=0$
Da cui
$x_{eq} = 2b$

N.B.: Per esser sicuri che questo punto corrisponda a un minimo e non a un massimo della funzione dovremmo calcolare la derivata seconda nel punto x=x_eq e verificare che il risultato sia maggiore di zero come necessario per un punto di equilibrio stabile. Tuttavia questo calcolo è superfluo in quanto dalla figura si vede che il punto x=2b è un punto di minimo.

Figura 7.3. Curva dell'energia potenziale di una molecola biatomica

Esempio: il potenziale molecolare (3)

Per il calcolo della forza agente tra i due atomi utilizziamo la relazione che lega forza e potenziale:
$f(x)=-\frac{dV}{dx}$
da cui
$f(x)=-\frac{d}{dx}(D(-\frac{b}{x}+\frac{b^{2}}{x^{2}}))=D(\frac{2b^{2}}{x^{3}}-\frac{b}{x^{2}})$

Dalla figura precedente si vede che è possibile allontanare gli atomi a distanza infinita quando E ≥0. L’energia minima necessaria per rompere il legame molecolare corrisponde a E=0, che significa V=0 e K=0.
Allo stato di equilibrio l’energia della molecola è solo di tipo potenziale E=V(x_eq) ed è una quantità negativa.
L’energia per rompere la molecola (energia di dissociazione) è l’energia che si deve fornire alla molecola in modo tale da portare il valore dell’energia totale a zero
$V(x_{eq})+E_{dis}=0$
da cui
$E_{dis}=-V(x_{eq})=-D(-\frac{b}{x_{eq}}+\frac{b^{2}}{x_{eq}^{2}})$
Sostituendo il valore trovato per $x_{eq}$ , si ha
$E_{dis}=\frac{D}{4}$
che in accordo a quanto ci aspettavamo è una quantità positiva.

Applicazioni della conservazione dell’energia

Esercizio 7.1

Quanto più velocemente un grave viene lanciato verso l’alto, tanto più si allontana prima di ricadere.
Esiste una velocità limite, al di sopra della quale, il grave arriva tanto in alto da sfuggire all’attrazione terrestre, allontanandosi poi sempre più dalla Terra. Tale velocità è chiamata velocità di fuga.
Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare la velocità di fuga di un corpo:

dalla Terra (M_T ≈ 5.98 × 10²⁴ kg; R_T ≈ 6400 km),
dal Sole (M_S ≈ 2 × 10³⁰ kg; R_S ≈ 6.96 × 10⁵ km),
da una stella di neutroni (M_SN ≈ 2 × 10³⁰ kg; R_SN ≈ 1 × 10 km).

Suggerimento
Utilizzare la conservazione dell’energia, tenendo conto che nello stato finale il grave è a distanza infinita dal corpo con cui interagisce e la sua velocità è nulla.

Applicazioni della conservazione dell’energia

Soluzione esercizio 7.1

In virtù della conservazione dell’energia possiamo scrivere $E_{i}=E_{f}$ . Il grave lanciato alla velocità v avrà un’energia cinetica iniziale $K_{i}=\frac{1}{2}mv^2$ e un’energia potenziale iniziale $V_{i}=-\frac{GMm}{R}$ con M massa del pianeta (dell’oggetto celeste) e R il suo raggio. Una volta che il grave ha raggiunto distanza infinita, si arresta, pertanto la sua energia cinetica finale è nulla; inoltre è anche nulla la sua energia potenziale, di conseguenza è nulla l’energia totale nello stato finale. Per il principio di conservazione dell’energia, se questa è nulla in uno stato, è nulla in qualsiasi altro stato, in particolare sarà nulla nello stato iniziale; si ha così:
$E_{i}=K_{i}+V_{i}=\frac{1}{2}mv^{2}+(-\frac{GMm}{R})=0$
Risolvendo rispetto a v:
$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
Sostituendo i valori dati, si trova:

1. $v_{T}=11.2 \text{ km/s}$

2. $v_{S}=619 \text{ km/s}$

3. $v_{SN}=2 \times 10^{5} \text{ km/s}$

Applicazioni della conservazione dell’energia

Esercizio 7.2

Un punto materiale di massa 2 kg può muoversi lungo un arco di circonferenza privo di attriti (vedi figura). Inizialmente il punto è in quiete nella posizione A ad una altezza h=50 cm. Esso inizia a muoversi soggetto alla forza peso sino a raggiungere il tratto rettilineo orizzontale. A partire dalla posizione B sino a C il tratto rettilineo, lungo 1.5 m, presenta un attrito radente con coefficiente dinamico μ_d = 0.2. Dal punto C il tratto rettilineo è privo di attrito così come il secondo arco di circonferenza.
Calcolare:

la velocità (in m/s) del punto nella posizione B
il lavoro (in J) dissipato dalle forze di attrito nel tratto BC
la velocità (in m/s) del punto nella posizione C
l’altezza h_f (in cm) a cui il punto arriverà sulla seconda circonferenza

Figura 7.4. Esercizio 7.2

Applicazioni della conservazione dell’energia

Soluzione esercizio 7.2

Inizialmente sul sistema agiscono solo forze conservative. Per la conservazione dell’energia possiamo scrivere
$E_{A}=E_{B}$
Poiché il punto inizialmente è in quiete la sua energia cinetica iniziale K_A è nulla, quindi:
$mgh_{A}=\frac{1}{2}mv^{2}_{B}$
da cui
$v_B=\sqrt{2gh_{A}}$
sostituendo i valori si trova v=3.13 m/s.

Il lavoro delle forze d’attrito è dato da:
$L_{att}=\mathbf{f}_d\cdot \overrightarrow{BC} =-\mu_{d}m g l_{BC} =-\mu_{d}mgl_{BC}$
sostituendo i valori troviamo L_att=-5.88 J.

Figura 7.4. Esercizio 7.2

Applicazioni della conservazione dell’energia

Soluzione esercizio 7.2 (cont.)

Per il calcolo della velocità in C se vogliamo utilizzare la conservazione dell’energia dobbiamo tenere in conto anche le forze dissipative presenti all’interno del sistema; in presenza di forze dissipative come l’attrito l’equazione di continuità per l’energia si scrive:
$E_{f} = E_{i} + L_{att}$
cioè $\frac{1}{2}mv_{C}^{2}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2} + L_{att}$
quindi nel nostro caso abbiamo:
$v_{C}=\sqrt{\frac{2}{m}(\frac{1}{2}mv_{B}^{2}+L_{att})}=\sqrt{(2gh_{A}-2\mu_{d}gl_{BC})}$
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
$v_{C} = 1.98\text{ m/s.}$

Figura 7.4. Esercizio 7.2

Applicazioni della conservazione dell’energia

Soluzione esercizio 7.2 (cont.)

Per trovare l’altezza finale che il corpo raggiunge, ancora una volta applichiamo la conservazione dell’energia, $E_{C} = E_{f}$
tenendo conto che il punto più alto viene raggiunto quando la velocità si annulla, possiamo allora scrivere:
$\frac{1}{2}mv_{C}^{2}= mgh_{f}$
da cui
$h_{f} = \frac{v^{2}_{C}}{2g}$
sostituendo i valori trovati si ha:
$h_{f} = 0.2 \text{ m}.$

Figura 7.4. Esercizio 7.2

Applicazioni della conservazione dell’energia

Esercizio 7.3

Un blocco di 10 kg è rilasciato dal punto A ad un’altezza di 3.00 m dal suolo (vedi fig. 5). Il blocco scivola lungo il percorso senza incontrare attrito eccetto che tra i punti B e C che distano tra loro 6.00 m. Alla fine della corsa il blocco colpisce una molla di costante elastica k = 2250 N/m comprimendola di 0.300 m prima di fermarsi.
Determinare il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie scabra tra B e C.

Figura 7.5. Esercizio 7.3. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Applicazioni della conservazione dell’energia

Soluzione esercizio 7.3

Applichiamo la conservazione dell’energia nei tre tratti AB, BC e tra C e lo stato finale in cui la molla si comprime, tenendo conto che nel tratto BC siamo in presenza di una forza non conservativa.
Tratto AB
$mgh_{A}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$
Tratto BC
$\frac{1}{2}mv_{C}^{2}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2} + L_{att}$
Tratto finale
$\frac{1}{2}mv_{C}^{2}=\frac{1}{2}kx^{2}$
Con semplici passaggi algebrici si trova:
$mgh_{A} = \frac{1}{2}kx^{2} - L_{att}$ da cui $L_{att} = \frac{1}{2}kx^{2}-mgh_{A}$
Tenendo conto che $L_{att} = -\mu_{d}mgl_{BC}$ si trova $\mu_{d}=\frac{h_{A}}{l_{BC}}-\frac{kx^{2}}{2mgl_{BC}}=0.328$