Home

Federica EU

1/22

Giuliana Fiorillo » 6.Energia e lavoro

Il modello energetico

La cinematica e la dinamica del punto materiale, che abbiamo trattato nelle lezioni precedenti, sono basate sul modello del punto materiale, che ci ha permesso di introdurre una serie di modelli analitici con i quali descrivere ad esempio il moto di un corpo.
Alcuni problemi di meccanica sono però troppo complessi per essere risolti con questo modello e necessitano di un nuovo approccio basato sul concetto di energia. Questo nuovo metodo si estende ben oltre la meccanica e può essere applicato anche a molte altre discipline.
Il nostro modello prevede i seguenti elementi fondamentali:

Il sistema, che è la regione di Universo che intendiamo studiare; potrebbe essere una particella o un insieme di particelle, o un insieme di corpi, etc.
Il contorno del sistema, ossia la superficie (anche immaginaria) che divide l’Universo in sistema e ambiente circostante.
L’ambiente, ossia il resto dell’Universo che interagisce col sistema.

Figura 6.1. Sistema e ambiente.

Energia e trasferimenti di energia

È molto importante identificare correttamente il sistema e l’ambiente circostante, trascurando tutto il resto dell’Universo che non ha interazioni col sistema in esame. Se il sistema non interagisce con l’ambiente (o se si includono nel sistema tutti i corpi interagenti), esso risulta isolato. In questo caso l’energia totale del sistema si conserva.
Questo principio di conservazione, come quelli già citati della quantità di moto e del momento angolare, fornisce uno strumento fondamentale nella risoluzione di problemi fisici complessi. Ciò dipende dal fatto che ad ogni principio di conservazione corrisponde una particolare proprietà di simmetria e di invarianza del sistema in oggetto.
Poiché l’Universo è chiaramente un sistema isolato, l’energia totale si conserva e potremo osservare unicamente trasferimenti di energia da una regione all’altra. In altre parole l’energia non si crea e non si distrugge, essa però può trasformarsi da una forma ad un’altra e ciò avviene tramite i trasferimenti di energia.
In questa lezione considereremo le diverse forme di energia meccanica e studieremo i trasferimenti di energia che avvengono tramite l’azione di forze.
Per semplicità cominceremo col considerare sistemi composti da una singola particella. Successivamente estenderemo il metodo a sistemi di più particelle.

Lavoro di una forza costante (1)

Abbiamo visto che l’azione di una forza produce in generale una variazione dello stato di moto.
Se una forza costante f agisce sul punto materiale tra le posizioni A e B, si definisce lavoro svolto dalla forza tra A e B il prodotto scalare tra la forza f e lo spostamento Δr subito dal corpo:
$L=\mathbf{f}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathbf{f}\cdot (\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A)=\mathbf{f}\cdot \Delta \mathbf{r}$
Se θ è l’angolo tra i vettori f e Δr , il lavoro si esprime come
$L=f\Delta r\cos \theta$
Per θ>0 il lavoro è positivo ed è detto lavoro motore
Per θ<0 il lavoro è negativo ed è detto lavoro resistente

È la componente della forza lungo lo spostamento che compie il lavoro, quindi se la forza è perpendicolare alla traiettoria essa non compie lavoro.

Figura 6.2. Lavoro di una forza costante.

Lavoro della forza peso

Esempio 6.1
Come esempio di forza costante consideriamo la forza peso: una persona sollevi una scatola di massa m ad un’altezza h dal suolo e poi cammini orizzontalmente per una distanza d. Quale sarà il lavoro svolto dalla persona sulla scatola e quale quello svolto dalla forza di gravità?
Supponiamo che la persona applichi una forza di modulo uguale al peso della scatola:
$\mathbf{f}=mg\mathbf{j}$
Poiché lo spostamento verticale è parallelo alla forza che compie lavoro, questo è positivo e pari a
$L=\mathbf{f}\cdot \Delta \mathbf{r}=(mg\mathbf{j}) \cdot (h\mathbf{j}) =mgh$
Il lavoro svolto dalla forza di gravità è opposto a quello svolto dalla persona
$L= (-mg\mathbf{j}) \cdot (h\mathbf{j}) =-mgh$
Durante lo spostamento orizzontale il lavoro svolto da entrambe le forze è nullo.

Figura 6.2b. Lavoro della forza peso. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Lavoro elementare

Nel caso di una forza qualsiasi, ossia dipendente dalla posizione, possiamo suddividere lo spostamento in una somma di spostamenti Δr_i tali che la forza sia ragionevolmente costante lungo ciascuno di essi
$L_{AB}\approx \sum_i \mathbf{f}(\mathbf{r}_i)\cdot \Delta \mathbf{r}_i$
Per calcolare il lavoro considereremo il limite dell’espressione precedente per spostamenti tendenti a zero.

Definiamo il lavoro elementare svolto dalla forza lungo lo spostamento infinitesimo dr il prodotto scalare tra la forza f(r,t) e lo spostamento dr subito dal corpo:
$\delta L=\mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}$

Lavoro di una forza variabile (1)

Il lavoro complessivo svolto da f tra A e B sarà la somma dei lavori elementari, ossia l’integrale di linea
$L_{AB}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}}\delta L=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}$
Esso dipende dalla particolare curva $\gamma$ seguita e non solo dalle posizioni iniziale A e finale B.
Per calcolare il lavoro è possibile esprimere il prodotto scalare attraverso le componenti cartesiane di f e dr
$\begin{array}{rl}L_{AB}=&\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}}(f_xdx+f_ydy+f_zdz)=\\=&{}_{\gamma}\int_{x_A}^{x_B}f_x\,dx+{}_{\gamma}\int_{y_A}^{y_B}f_y\,dy+{}_{\gamma}\int_{z_A}^{z_B}f_z\,dz \end{array}$
In generale tutti gli integrali precedenti dipendono dalla curva $\gamma$ .
I casi in cui il lavoro risulta indipendente dalla traiettoria corrispondono a forze particolari dette conservative.

Figura 6.3. Lavoro di una forza variabile.

Lavoro di una forza variabile (2)

Figura 6.4. Il lavoro svolto dalla forza variabile F_x è l'area sotto la curva in figura. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Lavoro della forza elastica

Esempio 6.2
Come esempio di forza variabile consideriamo la forza esercitata da una molla su un blocco quando questo si muove da $x_i=-x_m$ a $x_f=0$ :
la forza esercitata dalla molla segue la legge di Hooke
$\mathbf{f}=-kx\mathbf{i}$
Il lavoro svolto dalla molla per spostare il blocco da $x_i$ a $x_f$ è
$L=\int_{x_i}^{x_f}f_x\,dx=\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx=\frac{1}{2}kx_i^2-\frac{1}{2}kx_f^2$
e nel nostro caso particolare
$L=\int_{-x_m}^{0}(-kx)dx=\frac{1}{2}kx_m^2$
ossia il lavoro svolto da una molla inizialmente compressa (o analogamente allungata) mentre essa si riporta alla lunghezza naturale è un lavoro motore; invece il lavoro svolto dalla lunghezza di riposo ad una maggiore o minore è un lavoro resistente.

Figura 6.5b: Il lavoro svolto dalla molla mentre il blocco si sposta da -x_m a 0 è uguale all’area del triangolo in figura.

Figura 6.5a. Una molla compressa spinge un blocco.

Figura 6.5b.

Lavoro della risultante delle forze

Se più forze agiscono contemporaneamente, per il principio di indipendenza delle azioni simultanee il lavoro svolto dalla risultante delle forze è la somma dei lavori delle singole forze

$L_{AB}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}} \mathbf{F}\cdot d \mathbf{r}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}} \sum_i \mathbf{f}_i\cdot d \mathbf{r}=\sum_i \int_{\stackrel \frown{A\gamma B}} \mathbf{f}_i\cdot d \mathbf{r}=\sum_i L^i_{AB}$

La dimensione del lavoro è $\left[ L^2MT^{-2}\right]$ e la sua unità di misura nel SI è il joule, $1\text{ J}=1\text{ N m}=1\text{ kg m}^2\text{ s}^{-2}$

Energia cinetica

Se m è la massa del punto materiale sul quale agisce la forza risultante F, per il secondo principio della dinamica possiamo scrivere (assumendo m=cost.)
$\begin{array}{rl}\delta L=&\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{d}{dt}(m\mathbf{v})\cdot \mathbf{v} dt=\\=& \frac{d }{dt}(\frac{1}{2}m \mathbf{v}\cdot \mathbf{v})\,dt=d(\frac{1}{2}m v^2)\end{array}$
Ossia il lavoro svolto dalla risultante delle forze è un differenziale esatto
$\delta L=dK$
La quantità $K=\frac{1}{2}m v^2$ è una nuova grandezza fisica scalare avente le stesse dimensioni del lavoro detta energia cinetica.
La sua unità di misura è il joule.

Teorema delle forze vive

Quello espresso sopra in forma differenziale è il Teorema delle forze vive, in base al quale il lavoro elementare svolto su una particella dalla risultante delle forze è uguale alla variazione dell’energia cinetica.
In forma integrale il teorema si scrive
$L_{AB}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}}\delta L=\int_{A}^{B} dK=K_B-K_A$
il lavoro svolto su una particella dalla risultante delle forze è uguale alla variazione dell’energia cinetica tra la posizione iniziale e quella finale.
Per un lavoro motore l’energia cinetica aumenta (viene trasferita energia al corpo, ossia dall’ambiente al sistema).
Per un lavoro resistente l’energia cinetica diminuisce (viene trasferita energia dal corpo, ossia dal sistema all’ambiente).
Note le velocità iniziale e finale è possibile determinare il lavoro senza conoscere la traiettoria.
Viceversa, se si conosce la traiettoria e la velocità iniziale, non è necessario risolvere le equazioni del moto per determinare la velocità in qualsiasi altro istante.

Forze conservative

Si è detto che in generale il lavoro svolto da una forza f dipende dalla traiettoria. Esistono tuttavia alcune forze, le forze conservative, per le quali il lavoro dipende soltanto dagli estremi del percorso.
$L_{AB}=\int_{A}^{B} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}$
In questo caso possiamo definire in ogni punto P la funzione (del punto)
$V_P=-\int_{P_0}^{P} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}+V_{P_0}$
dove $V_{P_0}$ è una costante arbitraria. Con questa definizione il lavoro svolto tra A e B può calcolarsi come somma degli integrali tra A e P₀ e tra P₀e B. Risulta
$\begin{array}{rl}L_{AB}=&\int_{A}^{P_0} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}+\int_{P_0}^{B} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}=-\int_{P_0}^{A} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}+\int_{P_0}^{B} \mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}=\\=&(V_A-V_{P_0})-(V_B-V_{P_0})=V_A-V_B=-\Delta V\end{array}$
Ossia il lavoro elementare svolto dalla forza f è pari alla variazione della funzione V cambiata di segno.
$\delta L=-dV$
È evidente che se gli estremi del percorso coincidono, ossia se il percorso è una linea chiusa, il lavoro svolto da una forza conservativa è nullo.

Energia potenziale

La funzione V, le cui dimensioni sono uguali a quelle dell’energia cinetica, è detta energia potenziale
$V(\mathbf{r})-V(\mathbf{r}_0)=-\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{f}(\mathbf{r}')\cdot d \mathbf{r}'$
Essa è definita a meno di una costante arbitraria $V(\mathbf{r}_0)$ , fissata la quale essa è univocamente definita in ogni punto per il quale transita la particella (ossia è funzione della sua posizione).
Nota la funzione analitica dell’energia potenziale, è possibile ricavare l’espressione della forza
$dV(\mathbf{r})=-\mathbf{f}\cdot d \mathbf{r}=-(f_xdx+f_ydy+f_zdz) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f_x=-\frac{\partial V}{\partial x} \\ f_y=-\frac{\partial V}{\partial y} \\ f_z=-\frac{\partial V}{\partial z}\end{array}\right.$

Energia potenziale della forza peso

La forza peso è approssimativamente indipendente dalla posizione e, in quanto tale, è conservativa, ossia il lavoro da essa svolto è indipendente dal percorso seguito. Questa affermazione è facilmente verificabile scegliendo un sistema di riferimento tale che l’asse z sia coincidente con la verticale e diretto verso l’alto, gli assi x e y siano orizzontali. In questo sistema la forza è
$\mathbf{f}\equiv (0,0,-mg)$
e il lavoro elementare si esprime tramite il prodotto scalare
$\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}= -mg\,dz$
per cui
$L_{AB}=\int_{A}^{B} -mg\,dz=-mg(z_B-z_A)=mgz_A-mgz_B$
Il lavoro quindi dipende unicamente dalle quote iniziale e finale, ossia la forza peso è conservativa.
Essendo il lavoro uguale e opposto alla variazione di energia potenziale, quest’ultima dipende dalla differenza di quota. Convenzionalmente possiamo fissare a zero l’energia potenziale dei punti a quota zero:
$V(z)=-\int_{0}^{z} -mg\,dz'+V(0)=mgz$

Energia potenziale elastica

Abbiamo visto che il lavoro svolto da una molla ideale lungo l’asse x è
$L=\int_{x_i}^{x_f}f_x\,dx=\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx=\frac{1}{2}kx_i^2-\frac{1}{2}kx_f^2$
Quindi come nel caso precedente il lavoro della forza elastica dipende solo dalle posizioni iniziale e finale.
La forza elastica è conservativa e l’energia potenziale corrispondente si ottiene dall’espressione
$V(x)=-\int_{0}^{x} -kx\,dx'+V(0)=\frac{1}{2}k x^2$
dove abbiamo posto uguale a zero l’energia potenziale della molla non deformata.
L’energia potenziale della molla dipende dalla deformazione ma non dal suo segno.

Energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale e quella elettrostatica danno luogo a campi centrali a simmetria sferica, ossia d’intensità dipendenti unicamente dalla distanza dalla sorgente
$\mathbf{f}=f(r)\mathbf{u}_r$
Lo spostamento elementare può essere espresso come
$d\mathbf{r}=d(r\mathbf{u}_r)=dr\,\mathbf{u}_r+r\,d\mathbf{u}_r$
dove il primo termine è parallelo a f ed il secondo è ad essa perpendicolare, per cui il lavoro è
$\delta L=\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}=f(r)\,dr \Rightarrow L_{AB}=\int_{A}^{B}\delta L=\int_{A}^{B}f(r)dr=V(r_A)-V(r_B)$
con $f(r)=-\frac{dV}{dr}$
Quindi la forza centrale a simmetria sferica è conservativa.
Nel caso della forza gravitazionale
$f(r)=-G\frac{m_1m_2}{r^2}$
l’energia potenziale si ottiene dal calcolo dell’integrale
$V(r_A)-V(r_B)=\int_{A}^{B}-G\frac{m_1m_2}{r^2}dr=Gm_1m_2\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right)$
ossia, assumendo l’energia potenziale gravitazionale nulla a distanza infinita dalla sorgente,
$V(r)=-\frac{Gm_1m_2}{r}$

Lavoro delle forze non conservative

Come esempio di forza non conservativa consideriamo il caso della forza d’attrito dinamico, data da
$\mathbf{f}_d=-\mu_d R_n\mathbf{u}_v$
dove R_n è la reazione normale del piano e u_v il versore della velocità.
Poiché
$d\mathbf{r}=\mathbf{v}dt=v\mathbf{u}_v\,dt$
il lavoro svolto dalla forza di attrito su un percorso $\gamma$ è
$L_{AB}=\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}}\mathbf{f}_d\cdot d\mathbf{r}=-\mu_d R_n\int_{\stackrel \frown {A\gamma B}}v\,dt=-\mu_d R_nl_{AB}^\gamma$
ossia il lavoro dipende dalla lunghezza del percorso $l_{AB}^\gamma$ e quindi la forza di attrito radente non è conservativa. Essa compie un lavoro negativo quindi resistente, tramite il quale viene trasferita energia dal sistema all’ambiente circostante, in questo caso la superficie di contatto.

Conservazione dell’energia meccanica (1)

Riassumendo quanto abbiamo visto nelle slides precedenti, possiamo dire che il lavoro elementare svolto dall’ambiente su un sistema assimilabile ad un punto materiale si può esprimere come somma dei lavori elementari svolti da tutte le forze agenti sul sistema e, per il teorema delle forze vive, esso è uguale alla variazione di energia cinetica
$\delta L=dK$
Se le forze agenti sul sistema sono tutte conservative
$\delta L=\sum_i(-dV_i)=-d\left(\sum_iV_i\right)=-dV$
In tal caso dunque possiamo scrivere
$dK=-dV \Rightarrow d(K+V) =dE_M=0$

La grandezza

$E_M=K+\sum_iV_i=K+V$

chiamata energia meccanica, risulta costante se tutte le forze agenti sono conservative.

Se sul sistema agiscono anche forze non conservative, si potrà scrivere in generale
$\delta L=dK= \delta L^{c}+\delta L^{nc}=-dV+\delta L^{nc}\Rightarrow dE_M=\delta L^{nc}$
equazione che esplicita l’eventuale variazione di energia meccanica dovuta al lavoro delle forze non conservative.

Conservazione dell’energia meccanica (2)

L’utilità della legge della conservazione dell’energia meccanica risulta evidente quando si cerchi di determinare lo stato finale di un sistema indipendentemente dalla conoscenza delle sue configurazioni intermedie.
Per un corpo in caduta libera ad esempio, da una quota iniziale h fino a quota zero, la variazione di energia cinetica è
$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv^2_f-0$
Il corpo è soggetto solo alla forza peso, la cui corrispondente variazione di energia potenziale è $\Delta V=V_f-V_i=0-mgh$
Per cui
$\Delta (K+ V)=\frac{1}{2}mv^2_f-mgh$
Dalla conservazione dell’energia meccanica si ottiene facilmente la velocità finale del corpo
$\Delta E_M=0\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2_f=mgh \Rightarrow v_f=\sqrt{2gh}$
In assenza di attrito, le equazioni precedenti sono valide anche per un corpo che scivoli lungo un piano inclinato o lungo una superficie liscia di qualsiasi forma. Infatti in questi casi la reazione normale del piano, essendo perpendicolare allo spostamento, non compie lavoro e l’unica forza che fa lavoro è quella gravitazionale.
Nell’esempio considerato, l’energia meccanica totale rimane costante in ogni istante del moto ma si ripartisce differentemente tra energia cinetica ed energia potenziale, quest’ultima essendo massima nello stato iniziale e nulla in quello finale. Viceversa, l’energia cinetica iniziale è nulla e quella finale è pari all’energia meccanica.
La caratteristica dell’energia è appunto quella di potersi trasformare da una forma all’altra.

Conservazione dell’energia meccanica (3)

Nel caso dell’oscillatore armonico, un punto materiale di massa m si muove sotto l’azione di una forza elastica.
La sua energia meccanica in un istante generico è data da
$E_M=K+V=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$
Poiché la posizione e la velocità sono funzioni armoniche elementari con pulsazione $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$x(t)=A\cos (\omega_0 t);\;\;\; v(t)=-A\omega_0\sin (\omega_0 t)$
l’energia meccanica sarà la somma di due termini oscillanti con la stessa frequenza
$E_M=\frac{1}{2}kA^2(\sin^2 (\omega_0 t)+\cos^2 (\omega_0 t))=\frac{1}{2}kA^2$
L’energia oscilla continuamente tra la forma potenziale e quella cinetica. In media energia potenziale e cinetica sono uguali e la loro somma è costante.

Figura 6.6. Energia meccanica in un oscillatore armonico. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Trasferimenti di energia

La trasformazione dell’energia da una forma all’altra avviene per mezzo del lavoro svolto dalle forze agenti sul sistema. Se il sistema è isolato, non interagisce con l’ambiente circostante e tutte le trasformazioni sono dovute all’azione di forze interne al sistema. Se all’interno di un sistema isolato agiscono forze non conservative, esse degradano parte dell’energia meccanica (che diminuisce), trasformandola in un’altra forma di energia, detta energia interna. Un esempio è fornito dalle forze di attrito le quali tipicamente convertono parte dell’energia meccanica in energia termica, che si manifesta in un innalzamento della temperatura delle superfici di contatto.
Sperimentalmente si osserva che vale il Principio di conservazione dell’energia: in un sistema isolato la somma di tutte le forme di energia è costante.
Come si è detto all’inizio di questa lezione, è essenziale ai fini della modellizzazione individuare i corpi che includiamo nel sistema e quelli che consideriamo nell’ambiente esterno. Tutti gli scambi di energia tra il sistema e l’ambiente avverranno attraverso la superficie di contorno.
Indichiamo con H l’energia scambiata tra il sistema e l’ambiente, la conservazione dell’energia si estende ad un sistema non isolato tramite l’equazione di continuità per l’energia
$\Delta E=\sum H$
I meccanismi di trasferimento di energia non si riducono al lavoro, che abbiamo considerato in questa lezione. Altri meccanismi sono: il calore, le onde meccaniche, quelle elettromagnetiche, il trasferimento di materia e la trasmissione elettrica.

Potenza

L’energia scambiata attraverso il contorno di un sistema per unità di tempo è detta potenza. Se una macchina capace di fornire (o sottrarre) energia ad un sistema compie su di esso un lavoro ΔL nell’intervallo di tempo Δt , si definisce potenza media il rapporto
$\mathcal{P}_m=\frac{\Delta L}{\Delta t}$
La potenza istantanea è il limite per $\Delta t \to 0$
$\mathcal{P}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta L}{\Delta t}=\frac{\delta L}{dt}$
Per una forza che agisce su un punto materiale la potenza si può anche esprimere come
$\mathcal{P}=\frac{\delta L}{dt}=\frac{\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{f}\cdot \mathbf{v}$

Le dimensioni della potenza sono $\left[L^2MT^{-3}\right]$ e la sua unità di misura è il watt, $1\text{ W}=1\text{ J}\cdot \text{s}^{-1}$ .
Il chilowattora (kWh) è l’energia trasferita attraverso il contorno in un’ora da una macchina che sviluppa una potenza di un kW:
$1\text{ kWh}=(10^3\text{ W})(3600\text{ s})=3.6\, 10^6\text{J}$