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Giuliana Fiorillo » 1.Introduzione al metodo scientifico: le grandezze fisiche

Introduzione al metodo scientifico

La fisica nasce come filosofia della Natura ossia un tentativo per spiegare ogni fenomeno nell’ambito di una visione generale della Natura. Si deve a Galileo l’introduzione del METODO SCIENTIFICO, che oggi è alla base di tutte le discipline sperimentali. La Fisica diventa dunque una scienza fondamentale, a causa della sua generalità e del vastissimo campo di indagine, dalle particelle elementari alla struttura dell’Universo.
Il principio del metodo scientifico è l’osservazione sperimentale, dalla quale discende la comprensione del fenomeno fisico e la sua descrizione in termini di un MODELLO. L’aspetto più importante consiste nell’eseguire esperimenti mirati, nei quali il ruolo dell’osservatore è essenziale nelle varie fasi:

progettazione
analisi
schematizzazione
modellizzazione

La realizzazione degli esperimenti procede attraverso la MISURAZIONE delle grandezze fisiche, che consente di associare a ciascuna di esse un numero ed una misura della sua attendibilità (errore). Conseguentemente, sono assicurate la riproducibilità delle misure e la definizione del loro campo di validità.

Figura 1.1a. Il modello cosmologico standard in una rappresentazione pittorica (W. Hu & M. White, Feb. 2004, Scientific American Magazine)

Figura 1.1b. L'acceleratore di particelle LHC del CERN di Ginevra

Modelli e teorie

Le relazioni tra le grandezze fisiche sono rappresentate attraverso relazioni analitiche.

Un MODELLO MATEMATICO è il risultato della schematizzazione dei processi osservati.

Da esso è possibile formulare una TEORIA, ossia uno schema più ampio che inquadra tutti i processi studiati, spiega e interpreta i fenomeni osservati tramite leggi fisiche.

Queste a loro volta possono essere verificate sperimentalmente ed il loro potere predittivo ne determina il CAMPO DI VALIDITA’.

I modelli sono una schematizzazione della realtà che realizza una descrizione semplificata del fenomeno in studio:

modelli geometrici (utilizzano una costruzione geometrica rappresentativa della situazione reale)
modelli semplificati (trascurano i dettagli inessenziali)
modelli analitici (sfruttano analogie formali tra diverse situazioni)
modelli strutturali (utilizzano rappresentazioni mentali schematiche per sistemi complessi)

Figura 1.2. Metodo scientifico: schema di modellizzazione e formulazione di una teoria (foto Cern).

Leggi fisiche

Esempi di leggi fisiche:

legge di dilatazione termica lineare l=l₀(1+αθ)
dove $l_0$ è la lunghezza a 0°C, θ è la temperatura e α è il coefficiente di dilatazione termica lineare, che dipende dal materiale.
La legge è valida solo per piccoli intervalli di temperatura, nei quali $\alpha$ può essere considerata costante;
legge di Hooke F=Kδ
che descrive il comportamento di un materiale elastico in termini della deformazione $\delta$ subita in corrispondenza di una forza applicata F, è valida solo per una molla ideale, ossia priva di massa, ed in assenza di attrito;
legge del moto uniforme s(t)=vt
è vera solo per v=cost. e in questo caso è utilizzabile per la definizione di velocità

La legge del moto uniforme è un esempio di modello semplificato in quanto essa rappresenta un caso limite non raggiungibile sperimentalmente. Esso costituisce una schematizzazione delle situazioni reali per piccoli intervalli di tempo e per piccole velocità.

Figura 1.3. Esempio di legge fisica: il moto uniforme.

Modello del punto materiale

Il MODELLO che utilizzeremo estensivamente in seguito nello studio della cinematica è quello del punto materiale, che assume che

le dimensioni reali del sistema che si descrive non hanno conseguenze nell’analisi e che
i processi che intervengono all’interno del sistema non hanno effetti nell’analisi

Il sistema è allora schematizzabile con una particella dotata di massa ma di estensione nulla (la sua posizione coincide dunque con un punto nello spazio).

Grandezze fisiche

Le grandezze fisiche sono quelle che possiamo definire in modo operativo, ossia concetti che possiamo associare in modo oggettivo e riproducibile ad un valore numerico.

La DEFINIZIONE OPERATIVA di una grandezza fisica richiede la precisazione di un metodo di misurazione tramite il quale essa è espressa dal rapporto con un’altra grandezza ad essa omogenea detta unità di misura (scelta arbitrariamente).

L’operazione di misura può essere

diretta (richiede il confronto con un campione)
indiretta (utilizza le relazioni analitiche tra grandezze fisiche)
strumentale (utilizza strumenti precedentemente tarati)

Le grandezze fisiche possono essere fondamentali o derivate. Il legame tra le une e le altre è indipendente dalle unità di misura. Dipende invece dalla natura delle grandezze.

Le grandezze fondamentali in meccanica sono massa M, lunghezza L e tempo T. Quelle derivate possono esprimersi in funzione delle grandezze fondamentali.

Figura 1.4. Una barra di Platino può essere usata come campione dell'unità di misura della Lunghezza (immagine tratta da Wikimedia)

Dimensioni delle grandezze fisiche

Ciò che caratterizza la natura della grandezza fisica è la DIMENSIONE, ossia un insieme di proprietà che possono essere misurate mediante un rapporto reciproco. Le grandezze omogenee, ossia confrontabili direttamente con una stessa grandezza, scelta come unità, hanno la stessa dimensione e possono essere tra loro sommate.

Grandezze fisiche diverse possono essere combinate tra loro tramite rapporti, prodotti ed elevamento a potenza.

In meccanica, la dimensione di qualsiasi grandezza fisica può essere espressa come prodotto delle dimensioni fondamentali [M], [L] e [T], ciascuna elevata a un esponente razionale:

$\left[G\right]=\left[M\right]^\alpha \left[L\right]^\beta \left[T\right]^\theta$

Ad esempio la distanza d tra due oggetti ha la dimensione di una lunghezza. Questo concetto si esprime tramite una equazione dimensionale

$\left[d\right]=\left[M\right]^0 \left[L\right]^1 \left[T\right]^0$

Per le equazioni dimensionali valgono le regole algebriche ordinarie. Un’area A è sempre proporzionale al prodotto di due lunghezze (come può essere verificato sperimentalmente), quindi è una grandezza derivata di dimensioni

$\left[A\right]=\left[L\right]\cdot \left[L\right]=\left[L\right]^2$

Dalla legge del moto uniforme possiamo derivare le dimensioni della velocità: $\left[v\right]=\left[\frac{s}{t}\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}=\frac{\left[L\right]}{\left[T\right]}=\left[L\right]\left[T\right]^{-1}$

Equazioni dimensionali (1)

Le equazioni dimensionali permettono la verifica della correttezza di una espressione che mette in relazione diverse grandezze fisiche. È sufficiente ricordare che i termini di ciascun membro di un’equazione devono essere dimensionalmente omogenei.

Esempio 1.1

Dimostrare che l’equazione che rappresenta la posizione di una particella in oscillazione (legge del moto armonico)

$y=A\sin{\omega t}$

è dimensionalmente corretta se ω ha le dimensioni dell’inverso di un tempo e A quelle di una lunghezza.

Figura 1.5. Legge del moto armonico

Equazioni dimensionali (2)

Soluzione Esempio 1.1

$y=A\sin{\omega t}$

y esprime una posizione [y]=[L], per cui

$\left[L\right]=\left[A\sin{\omega t}\right]=\left[A\right]\left[\sin{\omega t}\right]=\left[A\right]$

perché la funzione seno restituisce un numero (adimensionale).

L’argomento di una funzione trigonometrica è un angolo, ossia una grandezza adimensionale ottenuta come rapporto di due lunghezze (la lunghezza dell’arco ed il raggio di curvatura)

$\left[\omega t\right]=\left[\omega\right]\left[t\right]=\frac{\left[L\right]} {\left[L\right]}=\left[L\right]^0 \rightarrow \left[\omega\right]=\frac{\left[L\right]^0} {\left[t\right]}=\left[T\right]^{-1}$

Figura 1.6. Legge del moto armonico

Unità di misura

Le unità di misura (UDM) di una grandezza fisica sono definite per convenzione in relazione a qualche standard.

Il risultato di una misura è espresso come rapporto quantitativo tra la grandezza e la sua UDM.

$G= \gamma \left[G\right]$

dove [G] in questo caso è l’UDM e può essere trattata come la dimensione della grandezza.

I campioni delle grandezze fondamentali devono essere invariabili, riproducibili e facilmente accessibili in modo da poter essere universalmente utilizzati. Un sistema di unità di misura è completamente definito dalla scelta (arbitraria) delle grandezze fondamentali e dalla definizione delle UDM.

Nel sistema internazionale (SI) adottato dalla Conferenza Internazionale Pesi e Misure del 1971 le grandezze fondamentali sono 7: lunghezza, massa, tempo, temperatura, intensità di corrente, intensità luminosa e quantità di sostanza.

Per ciascuna UDM è possibile utilizzare prefissi convenzionali per alcuni dei multipli e sottomultipli.

Tabella 1.1. Le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale e le loro unità di misura

Tabella 1.2. Multipli e sottomultipli

S.I.: unità fondamentali in Meccanica

Il chilogrammo è la massa del blocco di platino-iridio conservata al B.I.P.M. di Sevres (Parigi)

Il metro è definito come la lunghezza di un campione di platino-iridio conservato al B.I.P.M. di Sevres (Parigi), pari a circa (1/10 000 000) della distanza tra il polo Nord e l’Equatore lungo il meridiano terrestre; dal 1983, la precisione richiesta alla definizione del campione ha reso necessaria una nuova definizione (derivata) del metro come: la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 secondi

Il secondo è definito come 9 192 631 770 periodi di una particolare transizione del ¹³³Cs

Figura 1.7. Prototipo internazionale di chilogrammo (BIPM/Sevres)

Conversione di unità di misura

Due differenti UDM della stessa grandezza fisica possono essere messe in relazione tramite fattori di conversione. Per esempio, il sistema britannico di UDM per la lunghezza utilizza il pollice (inch), il piede (foot, 1ft=12 in) e la iarda (yard, 1yd=3 ft):

$1\text{ in} = 2,54 \text{ cm}$

allora (2,54 cm/in) è il fattore di conversione (tra due rappresentazioni, espresse con differenti unità, della grandezza fisica lunghezza) ed è esso stesso senza dimensioni e uguale a uno.

Pertanto una lughezza D=1 ft=12 in sarà uguale a $D=12 \text{ in} \times 2,54 \frac{\text{cm}}{\text{in} }= 30,48 \text{ cm}= 0,3048 \text{ m}$

Analogamente, se un’auto viaggia alla velocità di 75 miglia orarie (1 mi=5280 ft), possiamo convertire questo valore nelle unità del SI (m/s): poiché

$1 \text{ mi}=5280 \text{ ft}\times 0,3048 \frac{\text{m}}{\text{ft}}= 1 609 \text{ m},$

$1 \text{ km}=1000 \text{ m}$

si ha

$v=75\frac{\text{mi}}{\text{h}}=75\frac{\text{mi}}{\text{h}}\times 1609 \frac{\text{m}}{\text{mi}}=120675\frac{\text{m}}{\text{h}} \times \frac{1\text{ km}}{1000\text{ m}} = 120,675 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

Figura 1.8. Il tachimetro di un'automobile per il mercato americano mostra la velocità in MPH (miglia per ora) e in km/h (immagine tratta da: Dolorean)

Errori di misura e cifre significative

I numeri che esprimono i valori di una grandezza fisica sono il risultato di processi di misura e sono quindi in genere affetti da incertezze sperimentali. L’incertezza deriva da

la qualità dello strumento (sensibilità, portata)
il metodo di misura

La stima della incertezza di misura è detta errore. Esso può essere di tipo sistematico o casuale:

errori sistematici: connessi all’accuratezza della misura, se individuati possono essere corretti
errori casuali: connessi alla precisione della misura, possono essere stimati mediante misure ripetute (dispersione dei valori attorno al valore medio)

Il risultato di una misura è espresso da un numero e dal suo errore, entrambi espressi nella stessa unità di misura

$\bar{x}\pm\Delta x$

Il numero di cifre significative nel risultato di una misura è quello corrispondente alla precisione della misura stessa ed è un’indicazione indiretta dell’entità dell’errore (rappresentazione implicita).

In pratica, si utilizza un numero di cifre decimali pari a quello dell’errore e per quest’ultimo si usano al massimo 1 o 2 cifre significative.

Nei calcoli il risultato deve essere arrotondato al numero di cifre significative del dato meno preciso.

Misure ripetute

Nel caso di n misure ripetute

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ media aritmetica

$\Delta x =\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ errore quadratico medio

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$ scarto quadratico medio

Nella figura, σ è la misura della dispersione dei valori (deviazione standard)

Figura 1.9. Istogramma dei valori di un insieme di misure ripetute.

Notazione scientifica e ordini di grandezza

Per esprimere in modo sintetico numeri molto grandi o molto piccoli le cifre significative sono evidenziate utilizzando la notazione scientifica:

Il numero è scritto come il prodotto di un numero a 1, 2 o 3 cifre, una potenza di dieci e l’unità di misura (o multipli o sottomultipli di essa)

ad esempio
$\begin{array}{l}384 000 000 \text{ m} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ m} = 3,84 \cdot 10^5 \text{ km}\\0,0000000078 \text{ s}= 7,8 \cdot 10 ^{-9}\text{ s}=7,8 \text{ ns}\end{array}$

L’ordine di grandezza di una data quantità è la sola potenza di 10 del numero che descrive quella grandezza.

La tabella 1.3 riporta gli ordini di grandezza di alcune grandezze fisiche.

Tabella 1.3. Alcuni ordini di grandezza

Grandezze vettoriali e scalari

Le grandezze fisiche completamente definite dal numero che ne rappresenta la misura (con la sua unità di misura ed eventualmente il segno) sono dette scalari.

Esistono tuttavia grandezze fisiche la cui completa definizione richiede maggiori informazioni. Per molte di queste, come per lo spostamento, è necessario specificare intensità, direzione e verso. Queste sono dette grandezze vettoriali rappresentate da vettori.

Se ad esempio un corpo si muove lungo un percorso arbitrario da una posizione nello spazio che chiameremo A ed un’altra che chiameremo B, il cambiamento di posizione è indipendente dal percorso e dipende solo dalle posizioni iniziale e finale.

In questo caso, lo spostamento del corpo può essere rappresentato tramite un segmento orientato dal punto A al punto B. La lunghezza del segmento è la DISTANZA tra i due punti, la direzione e il verso del segmento sono quelli dello spostamento.

In generale le grandezze vettoriali sono indicate con una lettera in grassetto v, o con una lettera sormontata da una freccia $\vec{v}$ .

Nel caso della rappresentazione grafica con segmenti orientati (come in figura) si utilizza la notazione geometrica AB o $\overrightarrow{AB}$ .

Figura 1.10. Definizione di spostamento

Proprietà dei vettori (1)

Tutti i segmenti orientati di pari lunghezza, direzione e verso sono equivalenti, ossia il vettore è indipendente dalla sua origine e di conseguenza può essere trasportato parallelamente a se stesso.
La lunghezza del vettore è detta modulo. Il modulo del vettore a si indica con a o con $|\vec{a}|$ .
Due vettori sono uguali se hanno uguali modulo, direzione e verso
Due vettori sono opposti se hanno uguale direzione e modulo, ma versi opposti
Il vettore nullo ha modulo nullo e direzione indefinita

Figura 1.11. Trasporto parallelo di un vettore

Proprietà dei vettori (2)

Le regole di composizione di vettori sono illustrate in figura

vettore somma di due vettori c=a+b
vettore differenza di due vettori d=a-b

il prodotto di un vettore v per uno scalare k è un vettore a=kv, verso uguale o opposto a v a seconda del segno di k

Il rapporto tra un vettore ed il suo modulo è per definizione un vettore adimensionale di modulo unitario che ha la stessa direzione e verso del vettore. Esso è detto versore:

$\text{\bf u}_{a}=\frac{\text{\bf a}}{a}$

$\text{\bf a}=a\text{\bf u}_a$

Un versore rappresenta una direzione orientata.

Figura 1.12. Scomposizione di un vettore lungo due direzioni arbitrarie

Scomposizione dei vettori

Utilizzando le regole di composizione tra vettori è possibile esprimere qualsiasi vettore come somma di due vettori componenti ad esso complanari.

In un piano contenente il vettore consideriamo due rette orientate qualsiasi di versori u₁ e u₂ avente un punto in comune e in tale punto tracciamo il vettore v. I vettori componenti si ottengono facilmente costruendo il parallelogramma avente v come diagonale (si veda la figura).

$\text{\bf v}=\text{\bf v}_1+\text{\bf v}_2=v_1\text{\bf u}_1 + v_2\text{\bf u}_2$

v₁ e v₂ sono detti i componenti di v. Le loro parti scalari sono dette le componenti di v lungo le direzioni u₁ e u₂.

Se le direzioni u₁ e u₂ sono tra loro perpendicolari le componenti sono dette ortogonali.

Un qualsiasi vettore può essere scomposto lungo tre direzioni non complanari a piacere.

Figura 1.13. Scomposizione di un vettore lungo gli assi di una terna cartesiana ortogonale

Rappresentazione cartesiana ortogonale

Per descrivere la posizione di un punto nello spazio è necessario utilizzare un sistema di coordinate, ossia:

un punto di riferimento detto origine
tre direzioni orientate dette assi
una scala di misura lungo ciascun asse.

Un sistema molto utilizzato è il sistema di coordinate cartesiano ortogonale i cui versori sono indicati con i, j, k e formano una terna levogira.

La scomposizione del vettore v lungo i, j, k ci consente di esprimerlo tramite i suoi componenti:

$\text{\bf v}=\text{\bf v}_x+\text{\bf v}_y+\text{\bf v}_z=v_x\text{\bf i} + v_y\text{\bf j}+v_z\text{\bf k}$

Dove
$\left\{\begin{array}{l}v_x=v \cos{\alpha}\\v_y=v \cos{\beta}\\v_z=v \cos{\gamma}\end{array}\right.$
$v=\sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}$

Figura 1.14. Somma di vettori tramite le componenti cartesiane

Operazioni con i vettori

Con l’aiuto della rappresentazione cartesiana ortogonale è possibile calcolare il vettore somma ed il vettore differenza di due vettori a e b tramite le relazioni

$\begin{array}{l}{\bf a} + {\bf b}=(a_x{\bf i} + a_y{\bf j}+a_z{\bf k})+ (b_x{\bf i} + b_y{\bf j}+b_z{\bf k})= \\ = (a_x+b_x){\bf i}+(a_y+b_y){\bf j}+(a_z+b_z){\bf k} \\ \\ {\bf a}-{\bf b}=(a_x{\bf i} + a_y{\bf j}+a_z{\bf k})-(b_x{\bf i} + b_y{\bf j}+b_z{\bf k})=\\= (a_x-b_x){\bf i}+(a_y-b_y){\bf j}+(a_z-b_z){\bf k}$

Figura 1.15. Somma di vettori tramite le componenti cartesiane

Prodotto interno tra vettori

Si definisce prodotto interno o scalare tra due vettori a e b la grandezza (scalare) che si ottiene dal prodotto tra il modulo di a il modulo di b ed il coseno dell’angolo tra essi compreso

$\text{\bf a} \cdot \text{\bf b}=ab\cos{\phi}$

Utilizzando la rappresentazione cartesiana dei vettori è possibile esprimere il prodotto scalare in termini delle componenti cartesiane:

$\text{\bf a} \cdot \text{\bf b}=(a_x\text{\bf i} + a_y\text{\bf j}+a_z\text{\bf k})\cdot (b_x\text{\bf i} + b_y\text{\bf j}+b_z\text{\bf k})$

E tenendo conto che

$\text{\bf i}\cdot \text{\bf j}=\text{\bf j}\cdot \text{\bf k}=\text{\bf k}\cdot \text{\bf i}=0 \text{ e }\text{\bf i}\cdot \text{\bf i}=\text{\bf j}\cdot \text{\bf j}=\text{\bf k}\cdot \text{\bf k}=1$

Si ottiene

$\text{\bf a} \cdot \text{\bf b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

Un caso particolare di quest’espressione è

$\text{\bf v} \cdot \text{\bf v}=v^2=v^2_x+v^2_y+v^2_z$

Prodotto esterno tra vettori

Il prodotto esterno o vettoriale tra due vettori a e b è per definizione il vettore

$\text{\bf c}= \text{\bf a} \times \text{\bf b}$

con modulo

$c=ab\sin{\phi}$

direzione perpendicolare al piano individuato da a e b e verso tale che a, b, c formino una terna levogira (ossia, disponendosi lungo c, a deve ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a b).

In base alla definizione è immediato verificare che
$\text{\bf i}\times\text{\bf j}=\text{\bf k}; \text{ \bf j}\times \text{\bf k}=<br /> \text{\bf i};\text{ \bf k}\times \text{\bf i}=\text{\bf j}$
$\text{\bf i}\times\text{\bf i}=\text{\bf j}\times \text{\bf j}=\text{\bf k}\times<br /> \text{\bf k}=0$

Esercizio 1.1

Si dimostri che la rappresentazione cartesiana di c si ottiene dal determinante simbolico

$\text{\bf c}=\text{\bf a}\times\text{\bf b}=\left|\begin{array}{ccc}\text{\bf i} & \text{\bf j} & \text{\bf k} \\a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\end{array}\right|=(a_yb_z-a_zb_y)\text{\bf i} +(a_zb_x-a_xb_z)\text{\bf j}+(a_xb_y-a_yb_x)\text{\bf k}$