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Giuliana Fiorillo » 9.Meccanica del corpo rigido

Il moto del corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema di punti le cui distanze reciproche sono fisse.
Si tratta chiaramente di un MODELLO IDEALE perché nella realtà i corpi subiscono sempre deformazioni ed inoltre hanno un certo grado di elasticità (ossia la capacità di recuperare la forma originaria quando la sollecitazione esterna è terminata).

I moti del corpo rigido possono essere composti a partire da quelli elementari del centro di massa nel sistema di riferimento del laboratorio (moti di traslazione) e da quelli dei punti del corpo nel sistema del centro di massa. Poiché la distanza di tutti i punti del sistema rigido dal centro di massa non cambia, questi moti sono necessariamente circolari (moti di rotazione).
Il moto complessivo del corpo è determinato dall’azione delle forze esterne, caratterizzate da una risultante F e da un momento risultante M. Inoltre la variazione di energia cinetica è determinata dal lavoro delle sole forze esterne perché, essendo le mutue distanze tra i punti costanti, le forze interne non compiono lavoro.

Figura 9.1. Un corpo rigido in moto rototraslatorio. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Moto di traslazione

Nei moti traslatori tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità v, che coincide con quella del centro di massa
$\mathbf{v}=\mathbf{v}_{C}$
L’equazione del moto del centro di massa (prima equazione cardinale) è
$\mathbf{F}=m\mathbf{a}_{C}$
dove m è la massa del corpo. Il momento angolare è dato da
$\mathbf{L}_{O}=m\mathbf{r}_{C}\times \mathbf{v}_{C}$
e non risulta indipendente da Q
La seconda equazione cardinale è dunque inutile ai fini della determinazione del moto del corpo.

Il corpo rigido in rotazione

Nel seguito ci limiteremo allo studio dei moti di rotazione del corpo rigido, assumendo inoltre che l’asse di rotazione sia fisso.
I punti descrivono circonferenze su piani diversi, tutte centrate sullo stesso asse detto asse di rotazione (asse z in figura).
Per la rigidità del corpo, ad ogni istante tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità angolare ω. La velocità di ciascun punto dipende dalla distanza dall’asse di rotazione
$v_i=\omega R_i$
Il vettore parallelo all’asse di rotazione, modulo pari alla velocità angolare e verso ad essa concorde è detto vettore velocità angolare ω. Se il modulo varia nel tempo è non nullo il vettore accelerazione angolare α=dω/dt e i punti hanno accelerazione
$\mathbf{a}_i=R_i\alpha \mathbf{u}_t + R_i\omega^2\mathbf{u}_n$

Figura 9.2a. Rotazione attorno ad un asse fisso. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Figura 9.2b. Rotazione attorno ad un asse fisso. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Momento angolare

La seconda equazione cardinale
$\dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{M}$
determina la dinamica del moto rotatorio.
Il calcolo del momento angolare di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso può essere fatto rispetto ad un polo qualunque ma risulta più conveniente scegliere come polo un punto dell’asse. Il momento angolare del punto i-esimo è
$\mathbf{l}_i= \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{v}_i$
con modulo
$l_i=m_i r_iR_i \omega$
Calcoliamo ora la componente sull’asse di rotazione, ossia il momento angolare assiale (si veda la figura)
$l_{iz}=m_i r_i\sin \theta_i R_i \omega=m_i R^2_i \omega$
La componente del momento angolare totale lungo l’asse di rotazione z si ottiene sommando su tutti i punti del corpo:
$L_z=\sum_i l_{iz}=\left(\sum_i m_i R^2_i\right) \omega$

Figura 9.3. Momento angolare di un corpo rigido costituito da due sferette ed un'asta leggera.

Momento di inerzia

Il momento angolare assiale L_z è proporzionale alla velocità di rotazione e dipende solo dalla forma del corpo e dalla posizione dell’asse di rotazione ma non dipende dalla scelta del polo:
$L_z=I_z\omega$
Il coefficiente I_z è detto momento di inerzia del corpo rispetto all’asse z
$I_z=(\sum_i m_i R^2_i)$

Se l’asse di rotazione è un asse di simmetria del sistema (ossia la distribuzione della massa è simmetrica rispetto a questa direzione) si può dimostrare che il momento angolare risulta diretto parallelamente all’asse stesso
$\mathbf{L}=I_z\omega \mathbf{k}$
In questo caso le equazioni del moto sono date da
$\mathbf{M}=\dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=I_z\dfrac{d\omega \mathbf{k} }{dt}=I_z\alpha \mathbf{k}$
ossia
$\alpha=\dfrac{M}{I_z}$
Nello studio delle rotazioni rigide il momento di inerzia ha un ruolo analogo a quello della massa nella legge di Newton. A parità di sollecitazione (momento), l’accelerazione angolare è inversamente proporzionale al momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione.

Corpi continui

Nel caso di una distribuzione di massa continua, si introduce la funzione densità di massa
$\rho (x,y,z)=\dfrac{dm}{dV}$
dalla quale è possibile ricavare le proprietà dinamiche del corpo
$\begin{array}{l} m=\int \, dm=\int \rho \, dV \\I_z=\int R^2 \, dm=\int \rho (x^2+y^2)\, dV\end{array}$

Ad esempio per un cilindro pieno uniforme come quello in figura, il momento di inerzia rispetto all’asse z è
$I_z=\int \rho r^2\, dV=\int_0^R \rho r^2(2\pi rL)\, dr=\frac{1}{2}\pi \rho L R^4$
Poiché il cilindro è uniforme la densità è pari al rapporto tra massa totale e volume, quindi
$I_z=\frac{1}{2}\pi \frac{m}{\pi R^2L} L R^4= \frac{1}{2}mR^2$

Figura 9.4. Un cilindro pieno uniforme. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Teorema di Huygens-Steiner

I momenti di inerzia di corpi rigidi omogenei (con densità costante) di forme simmetriche rispetto ad assi passanti per il centro di massa sono tabulati.
Il momento di inerzia rispetto ad un qualunque altro asse parallelo ad un asse di simmetria può allora essere calcolato tramite il Teorema di Huygens-Steiner (o degli assi paralleli), del quale omettiamo la dimostrazione:
Il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a distanza d dal centro di massa è dato da
$I=I_C+md^2$
dove I_C è il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Figura 9.5. Teorema di Huygens-Steiner o degli assi paralleli. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Tavola dei momenti di inerzia

Figura 9.6. Momenti di inerzia. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Energia cinetica

Per i moti di traslazione, l’energia cinetica è
$K_T=\sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2=\sum_i \frac{1}{2}m_i v_C^2 =\frac{1}{2}mv_C^2$

Al moto di rotazione di un corpo rigido è associata una energia cinetica data da
$K_R=\sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2=\sum_i \frac{1}{2}m_i R_i^2 \omega^2=\frac{1}{2}I_z\omega^2$
Come c’era da aspettarsi anche per l’energia cinetica il ruolo dell’inerzia è svolto da I_z.

Utilizziamo il teorema di Huygens-Steiner per calcolare l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno all’asse z posto a distanza d dal centro di massa; indicando con I_C il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa e parallelo all’asse z si ha
$K=\frac{1}{2}I_z\omega^2= \frac{1}{2}(I_C+md^2)\omega^2= \frac{1}{2}I_C\omega^2+\frac{1}{2}md^2\omega^2$
Poiché il centro di massa percorre una traiettoria circolare di raggio d rispetto all’asse z si ha
$v_C=d\omega \Rightarrow K=\frac{1}{2}I_C\omega^2+\frac{1}{2}mv^2_C=K'+K_C$
in accordo col teorema di Koenig per l’energia cinetica, il moto del corpo può essere descritto come una pura rotazione attorno all’asse z oppure come una rototraslazione, con rotazione attorno al centro di massa.

Lavoro e potenza

Nella lezione precedente abbiamo ricavato l’espressione generale per il lavoro svolto su un sistema di punti materiali come somma del lavoro svolto dalle forze esterne e di quello svolto dalle forze interne. Nel caso del corpo rigido, il contributo delle forze interne è nullo perché le mutue distanze tra i punti sono fisse. Di conseguenza si ha
$\delta L=\delta L^{(e)} =dK$
Se il corpo rigido è in rotazione
$dK=d\left(\frac{1}{2}I_z \omega^2\right)=I_z \omega \,d\omega =I_z \omega \alpha \,dt=I_z \alpha \,d\theta$
per cui
$\delta L=M_z\,d\theta$
Il lavoro svolto complessivamente dalle forze esterne con momento assiale M_z per portare il corpo da uno stato A ad uno B è
$L_{AB} =\int_A^B M_z\,d\theta=\Delta K =\frac{1}{2}I_z( \omega^2_B-\omega^2_A)$
e la potenza istantanea spesa nel processo è data da
$\mathcal{P}=\frac{\delta L}{dt}=M_z\frac{d \theta}{dt}=M_z\omega$
Questa equazione è analoga a quella ricavata nel caso del moto traslatorio
$\mathcal{P}=F_t v$

Le equazioni della dinamica del corpo rigido

Figura 9.7. Analogia tra equazioni per il moto traslatorio e per quello rotatorio. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Una carrucola reale

Esempio 9.1
Un corpo di massa m= 0.5 kg è sospeso tramite una corda inestensibile ad una carrucola di massa M=2 kg e raggio R=30 cm. Calcolare l’accelerazione del corpo.

Soluzione
Le equazioni della dinamica per i due corpi si scrivono
$\left\{ \begin{array}{l}-T+mg=ma \\M_z=TR=I_z\alpha \end{array}\right.$
Inoltre essendo il moto di traslazione del corpo solidale a quello di rotazione della carrucola si ha a=Rα.
Il momento di inerzia della carrucola è
$I_z=\frac{1}{2}MR^2=0.09\text{ kg m}^2$
Ricaviamo T da una delle due equazioni di cui sopra e sostituiamo nell’altra ottenendo
$ma+I_za/R^2=ma(1+I_z/mR^2)=mg \Rightarrow a=\dfrac{2m}{2m+M}g$
E sostituendo i valori numerici
$a=3.27 \text{ m s}^{-2}$

Figura 9.8 Esempio 9.1. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Una carrucola reale

Esempio 9.2
Un corpo di massa m= 0.5 kg sospeso tramite una corda inestensibile ad una carrucola di massa M=2 kg e raggio R=30 cm, cade da fermo per un tratto h=1 m (si veda la figura precedente). Calcolare la sua velocità finale.

Soluzione
L’unica forza esterna al sistema corpo-carrucola che compie lavoro è la forza peso. Questo lavoro produce una variazione dell’energia cinetica del sistema
$\Delta K=mgh$
L’energia cinetica iniziale è nulla mentre quella finale è data dalla somma del termine rotazionale dovuto alla carrucola e di quello traslazionale del corpo
$\Delta K=K_R+K_T=\frac{1}{2}\left(mv^2+I\omega^2\right)=\frac{1}{2}\left(mv^2+\frac{1}{2}MR^2\omega^2\right)$

Poiché il moto di traslazione del corpo è solidale a quello di rotazione della carrucola v=Rω, e in conclusione
$\begin{array}{l}\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2}M )v^2=mgh \\ \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{4mgh}{2m+M}}=2.56\text{ m s}^{-1} \end{array}$

Il pendolo fisico (1)

Il pendolo fisico è un corpo rigido libero di oscillare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa.
Il momento della forza peso rispetto ad O è
$\mathbf{M}=\int \mathbf{r}\times \mathbf{g} \,dm=\left(\int \mathbf{r}\,dm\right)\times \mathbf{g} =m\mathbf{r}_C\times \mathbf{g}$
dunque è parallelo all’asse di rotazione.
Utilizzando la notazione in figura la seconda equazione cardinale si scrive
$\frac{dL_z}{dt}=I_z \alpha=-mgh \sin \theta$
Nell’approssimazione per piccoli angoli possiamo approssimare il seno con l’angolo, l’equazione del moto assume allora la forma dell’equazione del moto armonico
$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\Omega^2\theta=0$
La pulsazione $\Omega=\sqrt{g/l}$
dipende dalla cosiddetta lunghezza ridotta del pendolo
$l=I_z/mh$

Figura 9.9. Pendolo fisico. Gli assi passanti per O e O' sono detti reciproci e sono tali che il periodo di oscillazione attorno ad essi è lo stesso.

Il pendolo fisico (2)

La lunghezza ridotta individua un punto O’ posto sulla congiungente O e il centro di massa tale che il periodo di oscillazione attorno ad un asse parallelo a z e passante per esso è uguale al precedente.
La distanza di O’ dal c.d.m. è definita come
$h'=I_C/mh$
Si ha quindi
$l=I_z/mh=(I_C+mh^2)/mh=h'+h$
Il momento di inerzia rispetto al nuovo asse è $I'_z$ e la nuova lunghezza ridotta
$l'=I'_z/mh'=(I_C+mh'^2)/mh'=h+h'=l$
Il periodo di oscillazione attorno ai due assi reciproci è dunque lo stesso.

Figura 9.9. Pendolo fisico. Gli assi passanti per O e O' sono detti reciproci e sono tali che il periodo di oscillazione attorno ad essi è lo stesso.

Moto di rotolamento (1)

Uno dei casi più interessanti di moto rigido che possiamo studiare è quello di rotolamento.
Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto tra la ruota ed il piano ha velocità nulla. Diversamente il corpo scivolerebbe.
Questa situazione è permessa dalla presenza di forze d’attrito (statico) tra il piano e la superficie del corpo, assunta qui indeformabile.
Possiamo descrivere il moto della ruota come un moto di rotazione attorno ad un asse (fisso) passante per il punto di contatto P e parallelo all’asse della ruota.
Di conseguenza la velocità di ogni punto del corpo è istante per istante perpendicolare alla linea che congiunge il punto con P e in modulo uguale alla distanza da esso per la velocità angolare ω.
In particolare il centro di massa ha velocità
$v_C=R\omega$

Figura 9.10. Il moto di un disco che rotola senza strisciare. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Moto di rotolamento (2)

L’energia cinetica di rotolamento è
$K=\frac{1}{2}I_P\omega^2=\frac{1}{2}(I_C+mR^2)\omega^2=\frac{1}{2}I_C\omega^2+\frac{1}{2}mv_C^2$
ossia
$K=K_R+K_T$

Il moto può anche essere descritto come un moto di traslazione del centro di massa ed un moto di rotazione attorno al centro di massa con velocità angolare ω.
L’energia meccanica totale si conserva perché essendo P fermo le forze di attrito non compiono lavoro.

Figura 9.13. Esempio 9.3. Fonte: Serway, Jewett, “Principi di Fisica Vol I”, Edises.

Moto di rotolamento (3)

Ovviamente quello descritto è un caso limite. Sperimentalmente si osserva che esiste un’altra forma di attrito, l’attrito volvente, che si oppone al moto. Questo viene schematizzato con un momento applicato
$M_v=h_v mg$
dove h_v è un coefficiente espresso in metri.
In questo caso, per vincere la resistenza dell’attrito bisogna applicare una forza di trazione F, come per un carro che deve essere trainato da buoi.
Il momento della forza F rispetto al punto di contatto P è FR. Per far rotolare la ruota del carro è necessaria dunque una forza minima
$F=M_v/R=h_v mg/R$
Mentre per farla strisciare è necessaria una forza F’
$F'=\mu_sN=\mu_smg$
Per R=0.5 m, m=1 ton, μ_s=0.3 e h_v=0.5 mm si ha
F=9.8 N e F’=2940 N. La forza necessaria per il rotolamento è molto minore di quella necessaria per lo scivolamento. La ruota è una grande invenzione!

Figura 9.11. Un carro trainato da buoi (immagine tratta da Wikimedia.

Impulso angolare (1)

La forma integrale della seconda equazione cardinale è espressa dal teorema dell’impulso angolare che recita: l’impulso del momento agente su corpo durante un dato intervallo di tempo Δt è uguale alla variazione del suo momento angolare in Δt.
$\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}(t)\,dt=\Delta\mathbf{L}$

Esempio 9.3

Consideriamo ad esempio il pendolo fisico in figura. Se la forza F è applicata a distanza r dal polo O per un intervallo di tempo Δt, si ha
$\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}(t)\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{r}\times \mathbf{F}\,dt=\mathbf{r}\times\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt=\mathbf{r}\times \mathbf{J}$
Nell’integrale non compaiono né la forza di reazione del vincolo (che ha momento nullo) né la forza peso (che ha impulso trascurabile rispetto a F).

Figura 9.12. Esempio 9.3. Fonte: Mazzoldi, Nigro, Voci, "Elementi di Fisica, Meccanica - Termodinamica, Edises

Impulso angolare (2)

Esempio 9.3 (cont.)

Calcoliamo l’impulso necessario a portare l’asta in posizione orizzontale.
In seguito all’azione dell’impulso J, l’asta acquista un momento angolare pari a
$L_f=I_z\omega=rJ$
mettendosi in rotazione.
Supponiamo ora l’azione tanto rapida da poter considerare l’asta ferma in Δt e che essa torni ferma dopo aver compiuto una rotazione di 90°. Tutta l’energia cinetica acquistata nel processo sarà convertita in energia potenziale
$\frac{1}{2}I_z\omega^2=mg\frac{l}{2} \Rightarrow J=\sqrt{\frac{mglI_z}{r^2}}$
Utilizzando l’espressione del momento di inerzia riportata nella tabella in fig. 9.6
$I_z=\frac{ml^2}{3}$
Si ottiene $J=\frac{m}{r}\sqrt{\frac{gl^3}{3}}$