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Giuliana Fiorillo » 3.I moti elementari


Definizioni

La rappresentazione intrinseca della legge del moto ci permette di introdurre una semplice classificazione dei moti elementari, ossia un numero limitato di MODELLI ANALITICI che utilizzeremo per descrivere le caratteristiche di un generico moto.
Richiamiamo le principali definizioni per il moto descritto dall’equazione r(t):
introdotta sulla traiettoria l’ascissa curvilinea s, si ha per la traiettoria

\mathbf{r}=\mathbf{r}(s);\;\;\;\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{u}_t

Il moto del corpo è allora completamente definito se sono note la funzione s(t) e le sue derivate

s=s(t);\;\;\;\frac{ds}{dt}=v_s=\dot{s}(t);\;\;\;\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}(t)

L’espressione dei vettori velocità e accelerazione è

\left\{\begin{array}{llll}\mathbf{v}= & v_s\mathbf{u}_t & = & \dot{s}\mathbf{u}_t \\\mathbf{a} = & \mathbf{a}_t+\mathbf{a}_n & = & \ddot{s}\mathbf{u}_t+\frac{(\dot{s})^2}{\rho}\mathbf{u}_n\end{array}\right.

dove nell’ultima equazione abbiamo introdotto la variabile angolare \theta ed il raggio di curvatura \rho
ds=\rho d\theta;\;\;\;\frac{d\mathbf{u}_t}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\mathbf{u}_n=\omega \mathbf{u}_n

Classificazione dei moti elementari

I moti elementari possono essere classificati sulla base delle caratteristiche cinematiche e di quelle geometriche, relative alla traiettoria:

  1. moti con \dot{s}(t)=\frac{ds}{dt}=\dot{s}_0= cost. sono detti UNIFORMI
  2. moti con \ddot{s}(t)=\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}_0=\text cost. sono detti UNIFORMEMENTE VARI
  3. moti con \rho\to\infty sono RETTILINEI
  4. moti con \rho=R=\text cost. sono CIRCOLARI

Classificazione dei moti elementari (segue)

Note le derivate di s(t) è possibile ricavare la legge oraria per integrazione

1. \dot{s}(t)=\text{cost.}\Rightarrow s(t)=\int \dot{s}(t')dt'+C =\dot{s}_0t+s_0
che è la legge oraria di ogni moto uniforme
2. \ddot{s}(t)=\text{cost.}\Rightarrow \dot{s}(t)=\int \ddot{s}(t')dt'+C =\ddot{s}_0t+\dot{s}_0\Rightarrow s(t)=\int \dot{s}(t')dt'+C =\frac{1}{2}\ddot{s}_0t^2+\dot{s}_0t+s_0
ovvero la legge oraria del moto uniformemente vario
3. Per un moto rettilineo è sufficiente una descrizione unidimensionale: s è uguale alla coordinata x misurata sull’asse coincidente con la traiettoria
4. Per un moto circolare s=Rθ

Moto uniforme

Per un moto uniforme la velocità scalare è costante
v_s(t)=\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)= v_0
quindi lo è anche la velocità scalare media
v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=v_0
da cui si ricava che per due generici istanti t_1 e t_2
\Delta s=(s(t_2)-s(t_1))=v_0\Delta t=v_0(t_2-t_1)
Questa equazione mostra che lo spostamento è pari all’area compresa tra il grafico della velocità e l’asse dei tempi.
Scegliendo t_1=t_0 e t_2=t
otteniamo la legge oraria s(t)=s(t_0)+v_0(t-t_0)
Quindi per conoscere l’ascissa curvilinea ad un dato istante t occorre conoscere l’intervallo di tempo nel quale è avvenuto il moto, calcolare l’area sottesa dal grafico della velocità e conoscere la posizione iniziale s(t_0) (condizione al contorno).

Figura 3.1. Grafico velocità-tempo per il moto uniforme.

Figura 3.1. Grafico velocità-tempo per il moto uniforme.

Figura 3.2. Legge oraria del moto uniforme.

Figura 3.2. Legge oraria del moto uniforme.


Moto uniformemente vario (1)

Per un moto uniformemente vario è costante la derivata della velocità scalare
\frac{dv_s}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}(t)= a_0
quindi lo è anche il rapporto
\frac{\Delta v_s}{\Delta t}=a_0
da cui si ricava per \Delta t=t-t_0
\Delta v_s=(v_s(t)-v_s(t_0))=a_0\Delta t=a_0(t-t_0)
Ossia il grafico di v_s(t) descrive una retta
\v_s(t)=v_s(t_0)+a_0(t-t_0)

Figura 3.3. Grafico della velocità scalare nel moto uniformemente vario

Figura 3.3. Grafico della velocità scalare nel moto uniformemente vario


Ricavare lo spostamento conoscendo la velocità

Lo spostamento si può calcolare osservando che, per un moto generico, la velocità scalare media è la media temporale della velocità scalare, infatti
\bar{v}_s(t)=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\sum_{i=1}^{n}\Delta s_i=\frac{1}{\Delta t}\sum_{i=1}^{n}(\bar{v}_i\Delta t_i)
Considerando intervalli di tempo sempre più piccoli \Delta t_i \to 0 la velocità media tende a quella istantanea e la somma diventa un integrale
\bar{v}_s(t)=\frac{1}{\Delta t}\int_{t_0}^{t} v_s(t') dt'
Quindi la somma delle aree dei rettangoli in figura, che rappresenta lo spostamento totale, approssima sempre meglio l’area sotto la curva della velocità scalare, che ne è il limite per un numero di intervalli sempre maggiore

\Delta s=s(t)-s(t_0)=\bar{v}_s(t)\Delta t=\int_{t_0}^{t} v_s(t') dt'

A lato figura 3.4.: Velocità scalare in funzione del tempo. L’area del rettangolo è uguale allo spostamento fatto nell’intervallo di tempo n-esimo. L’area totale sotto la curva è uguale allo spostamento complessivo.

Figura 3.4.

Figura 3.4.


Moto uniformemente vario (2)

Nel caso di un moto uniformemente vario la media temporale della velocità scalare è uguale alla media delle velocità iniziale e finale,
\langle v_s(t) \rangle =\frac{v_s(t_0)+v_s(t)}{2}=\frac{v_s(t_0)+v_s(t_0)+\Delta v_s}{2}=v_s(t_0)+\frac{1}{2}a_0\Delta t
Da cui si ottiene
\Delta s=\bar{v}_s(t)\Delta t=\langle v_s(t) \rangle \Delta t=v_s(t_0)\Delta t+\frac{1}{2}a_0(\Delta t)^2
\Rightarrow s(t)=s(t_0)+v_s(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2

La legge oraria è una parabola rivolta verso l’alto se a_0>0 o verso il basso se a_0<0

Figura 3.5. Lo spostamento curvilineo è uguale all’area del trapezio.

Figura 3.5. Lo spostamento curvilineo è uguale all'area del trapezio.

Figura 3.6. Moto uniformemente vario.

Figura 3.6. Moto uniformemente vario.


Moti rettilinei

I moti rettilinei costituiscono un MODELLO ANALITICO molto importante perché qualunque moto può essere studiato come la combinazione lineare di tre moti rettilinei utilizzando la rappresentazione cartesiana dell’equazione del moto:
\mathbf{r}(t)=x(t)  \mathbf{i}+y(t)  \mathbf{j}+z(t)  \mathbf{k}

Se dunque \rho\to\infty le espressioni di velocità e accelerazione sono
\left\{\begin{array}{ll}\mathbf{v}= & \dot{s}\mathbf{u}_t \\\mathbf{a} = & \ddot{s}\mathbf{u}_t\end{array}\right.
Quindi \Delta\mathbf{r},\mathbf{v},\mathbf{a} sono tutti paralleli a \mathbf{u}_t\\
\Rightarrow possiamo scegliere \mathbf{i}\equiv\mathbf{u}_t e s(t)=x(t) e limitarci ad una descrizione unidimensionale.

Moto rettilineo uniforme o uniformemente vario

Le equazioni del moto rettilineo uniforme in una dimensione sono
\left\{\begin{array}{l}a_x(t)=0\\v_x(t)=v_0\\x(t)=x(t_0)+v_0(t-t_0)\end{array}\right.
Quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato
\left\{\begin{array}{l}a_x(t)=a_0\\v_x(t)=v_x(t_0)+a_0(t-t_0)\\x(t)=x(t_0)+v_x(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2\end{array}\right.

Note le condizioni al contorno x(t_0), v_x(t_0) il moto è completamente determinato.

Figura 3.7. Equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato.

Figura 3.7. Equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato.


Moto di caduta libera (1)

Un caso particolarmente interessante di moto uniformemente accelerato è quello di caduta libera dei gravi. Sperimentalmente si osserva che i corpi in caduta libera (ossia soggetti solo alla gravità) in prossimità della superficie terrestre si muovono con un’accelerazione g che può essere ritenuta costante e diretta verso il basso, pari a 9,81 \text{m/s}^2.
Scegliendo la verticale diretta verso l’alto come asse del moto, asse y, esso seguirà dunque la legge del moto uniformemente vario con a_y=-g
y(t)=y(t_0)+v_y(t_0)(t-t_0)-\frac{1}{2}g(t-t_0)^2

Esempio 3.1
Si calcoli il tempo impiegato per giungere a terra da una mela che cade da un ramo da un’altezza h=1,8 \text{m}.

Figura 3.8. Moto di caduta libera.

Figura 3.8. Moto di caduta libera.


Moto di caduta libera (2)

Soluzione Esempio 3.1
Le condizioni iniziali del moto sono
\begin{array}{l}y(0)=h=1,8\text{m}\\v_y(0)=0\end{array}
l’equazione del moto è
y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2

Al tempo t_1 in cui la mela giunge al suolo la sua coordinata vale y(t_1)=0 e quindi
y(t_1)=0=h-\frac{1}{2}gt_1^2 \Rightarrow t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0,6\text{s}

Figura 3.8. Moto di caduta libera.

Figura 3.8. Moto di caduta libera.


Moti circolari (1)

Per i moti circolari il raggio di curvatura della traiettoria è costante ed uguale al raggio della circonferenza sulla quale si svolge il moto \rho=R.
La rappresentazione intrinseca del moto è data dalle equazioni
\left\{\begin{array}{l}\mathbf{r}=-R \mathbf{u}_n\\ \mathbf{v}=   \dot{s}\mathbf{u}_t\\\mathbf{a} =\ddot{s}\mathbf{u}_t+\frac{(\dot{s})^2}{R}\mathbf{u}_n\end{array}\right.
dove i versori intrinseci dipendono dall’angolo \theta=s/R:
\left\{\begin{array}{l}\mathbf{u}_t=-\sin\theta \mathbf{i}+\cos\theta\mathbf{j}\\\mathbf{u}_n=-\cos\theta \mathbf{i}-\sin\theta\mathbf{j}\end{array}\right.\\

Figura 3.9. Versori intrinseci nel moto circolare.

Figura 3.9. Versori intrinseci nel moto circolare.


Moti circolari (2)

È conveniente esprimere le leggi del moto come funzioni delle VARIABILI ANGOLARI:
\theta(t)=s(t)/R, detta anomalia;
\omega(t)=\frac{1}{R}\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)/R , velocità angolare;

\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{1}{R}\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}(t)/R, accelerazione angolare.
Con queste definizioni la velocità si scrive come
\mathbf{v}(t)= \dot{s}(t)\mathbf{u}_t=R\omega(t)\mathbf{u}_t

l’accelerazione tangenziale
\mathbf{a}_t (t)=\ddot{s}(t)\mathbf{u}_t=R\alpha (t)\mathbf{u}_t

e l’accelerazione centripeta
\mathbf{a}_n (t)=\frac{\dot{s}^2(t)}{R}\mathbf{u}_n=R\omega^2(t)\mathbf{u}_n

Figura 3.9. Versori intrinseci nel moto circolare.

Figura 3.9. Versori intrinseci nel moto circolare.


Moto circolare uniforme

La legge oraria del moto circolare uniforme è
\left\{\begin{array}{l}\alpha(t)=0\\\omega (t)=\omega_0 \\\theta(t)=\omega_0 (t-t_0)+\theta(t_0) \end{array}\right.
Si noti che nel moto circolare uniforme l’accelerazione non è nulla ma è centripeta e con modulo costante
\mathbf{a}=R\omega_0^2\mathbf{u}_n=-\omega_0^2\mathbf{r}
Il vettore velocità ed il vettore posizione sono pure costanti in modulo mentre le loro direzioni variano uniformemente nel tempo.
L’equazione vettoriale del moto è
\mathbf{r}(t)=R\cos \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\mathbf{i}+R\sin \left(\omega_0 t+\theta_0 \right)\mathbf{j}=-R\mathbf{u}_n
Per \theta_0=0

\left\{\begin{array}{l}\mathbf{v}(t)=-\omega_0 R\sin \left(\omega_0t\right)\mathbf{i}+\omega_0 R\cos\left(\omega_0 t\right)\mathbf{j}\\\mathbf{a}(t)=-\omega_0^2R\cos \left(\omega_0 t\right)\mathbf{i}-\omega_0^2R\sin\left(\omega_0 t \right)\mathbf{j} \end{array}\right.

Moto circolare uniformemente vario

La legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato è
\left\{\begin{array}{l}\alpha(t) =\alpha_0\\\omega (t)=\omega(t_0) +\alpha_0(t-t_0)\\\theta(t)=\theta(t_0) +\omega(t_0) (t-t_0)+\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2\end{array}\right.
L’accelerazione ha una componente tangenziale di modulo costante
a_t =R\alpha_0
ed una componente centripeta di modulo variabile
a_n (t)=R\omega^2(t)
L’equazione vettoriale del moto si ottiene come nel caso precedente.

Moti periodici

Il moto circolare uniforme è un moto periodico, ossia
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(t+nT)
L’intervallo temporale T=\frac{2\pi}{\omega_0} è detto PERIODO e il suo inverso è chiamato FREQUENZA \nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega_0}{2\pi}
La quantità \omega_0=2\pi\nu prende il nome di PULSAZIONE.

Esempio 3.2

Un corpo fermo sulla superficie terrestre alla latitudine \lambda, si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio R=R_T\cos \lambda.
Il periodo di rotazione terrestre è T=24\text{h}, per cui la pulsazione del moto sarà
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{24}\frac{\text{rad}}{\text{h}}\frac{1}{3.6\,10^3}\frac{\text{h}}{\text{s}}=7.3\,10^{-5}\frac{\text{rad}}{\text{s}}
L’accelerazione centripeta del corpo sarà
\begin{array}{rl}a=&\omega_0^2R=\omega_0^2R_T\cos \lambda=\\=&(7.3\,10^{-5}\text{s}^{-1})^2\times (6.4\,10^6\text{m})\cos \lambda=(3.4\,10^{-2}\cos \lambda)\text{m/s}^2\ll g\end{array}

Moto oscillatorio armonico

Ogni moto periodico può ricondursi ad una combinazione di moti oscillatori armonici.
Il moto oscillatorio armonico è un moto rettilineo con legge oraria
x(t) =A\cos (\omega_0 t+\varphi_0)
La variabile x è chiamata ELONGAZIONE e rappresenta una oscillazione tra i punti estremi –A e +A.
A è detta AMPIEZZA del moto e \varphi_0 FASE INIZIALE.
Poiché la funzione coseno è periodica, il moto è periodico con periodo T=\frac{2\pi}{\omega_0}.
La traiettoria è una retta.

\left\{\begin{array}{l}v_x(t) =-\omega_0A\sin (\omega_0 t+\varphi_0)\\a_x(t) =-\omega_0^2A\cos (\omega_0 t+\varphi_0)=-\omega_0^2x(t)\end{array}\right.
L’accelerazione ha sempre segno opposto all’elongazione.
Le condizioni iniziali del moto definiscono A e \varphi_0
\left\{\begin{array}{l}v_x(0) =-\omega_0A\sin \varphi_0\\x(0) =A\cos \varphi_0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\tan \varphi_0 =-\frac{v_x(0)}{ \omega_0x(0)}\\A=\sqrt{x^2(0)+\frac{v^2_x(0)}{ \omega^2_0}}\end{array}\right.<br />

Problema inverso della cinematica

Da quanto si è detto dovrebbe risultare chiara la procedura da seguire per risolvere il problema fondamentale della dinamica, ossia ricavare le informazioni del moto dalle equazioni.
Nota l’equazione del moto, abbiamo visto come sia possibile calcolare le componenti della velocità e dell’accelerazione, nonché ogni informazione sulla traiettoria. Il problema inverso riveste un’importanza notevole a causa – come si vedrà – dell’intimo legame tra forza ed accelerazione.
Dunque supponiamo di conoscere l’accelerazione cui è soggetto il nostro punto materiale.
In questo caso si utilizzeranno le relazioni costitutive della cinematica per calcolare le equazioni del moto:
\textsyle\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}\
\mathbf{r}=\int_{t_0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'+\mathbf{r}(t_0);\;\;\;\mathbf{v}(t)=\int_{t_0}^{t}\mathbf{a}(t')dt'+\mathbf{v}(t_0)\
\Rightarrow \mathbf{r}(t)=\int_{t_0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'+\mathbf{r}(t_0)=\int_{t_0}^{t}\left[\int_{t_0}^{t'}\mathbf{a}(t'')dt''+\mathbf{v}(t_0)\right]dt'+\mathbf{r}(t_0)\\
=\mathbf{r}(t_0)+\mathbf{v}(t_0)(t-t_0)+\int_{t_0}^{t}dt'\int_{t_0}^{t'}\mathbf{a}(t'')dt''

Composizione dei moti: moto del proiettile (1)

Applichiamo la procedura al caso di un proiettile, ossia un punto materiale soggetto solo all’azione della gravità in prossimità della superficie terrestre.
Sia \mathbf{v}(t_0) la velocità con la quale viene lanciato il proiettile. L’accelerazione è costante e pari a g.
\left\{\begin{array}{rl}\mathbf{a}=&\mathbf{g}\\\mathbf{v}(t)=&\mathbf{v}(t_0)+\int_{t_0}^{t}\mathbf{g}dt'=\mathbf{v}(t_0)+\mathbf{g}(t-t_0)\\\mathbf{r}(t)=&\mathbf{r}(t_0)+\int_{t_0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\mathbf{r}(t_0)+\int_{t_0}^{t}\left[\mathbf{v}(t_0)+\mathbf{g}(t'-t_0)\right]dt'=\mathbf{r}(t_0)+\mathbf{v}(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}\mathbf{g}(t-t_0)^2\end{array}\right.
Sia v che (\mathbf{r}-\mathbf{r}(t_0)) si ottengono dalla somma dei due vettori \mathbf{v}(t_0) e g, quindi sono complanari e giacciono in un piano verticale contenente \mathbf{v}(t_0).
\Rightarrow Il moto del proiettile è un moto piano.

Composizione dei moti: moto del proiettile (2)

Scegliamo un sistema di riferimento tale che il piano del moto sia il piano (x,y) e \mathbf{g}\equiv(0,-g,0). Sia inoltre t_0=0
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_0+\mathbf{g}t\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}v_x(t)=v_{0x}\\v_y(t)=v_{0y}-gt\\v_z(t)=0\end{array}\right.
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0t+\frac{1}{2}\mathbf{g}t^2\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x(t)=x_0+v_{0x}t\\y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\\z(t)=z_0\end{array}\right.

Il moto può essere descritto come la composizione di due moti rettilinei indipendenti, uno lungo x ed uno lungo y.

La proiezione del moto lungo x è un moto rettilineo uniforme, quella lungo y è un moto rettilineo uniformemente accelerato.

L’equazione della traiettoria si ottiene facilmente rimuovendo il parametro t dalle equazioni del moto:
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y-y_0=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}(x-x_0)-\frac{g}{2v_{0x}^2}(x-x_0)^2\\z=z_0\end{array}\right.
Quindi la traiettoria è una parabola nel piano z=z_0 con la curvatura rivolta verso il basso.

Composizione dei moti: moto del proiettile (3)

L’altezza massima raggiunta dal proiettile può essere calcolata trovando il massimo della curva:

\begin{array}{l}\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_M}=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}-\frac{g}{v_{0x}^2}(x_M-x_0)=0 \Rightarrow x_M=x_0+\frac{v_{0y}v_{0x}}{g} \\ y_M=y_0+\frac{v_{0y}}{v_{0x}}(x_M-x_0)-\frac{g}{2v_{0x}^2}(x_M-x_0)^2=y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}\end{array}

Per un proiettile lanciato dal suolo (x_0,y_0)\equiv O, la gittata è la distanza coperta lungo x dal proiettile prima di giungere al suolo:

\begin{array}{l}0=y_0+\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x_G-\frac{g}{2v_{0x}^2}x_G^2<br />
\Rightarrow<br />
x_G=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}=\frac{2v^2_0\cos\phi\sin\phi}{g}=\frac{v^2_0\sin(2\phi)}{g}<br />
\\  \max=\frac{v^2_0\sin(2\frac{\pi}{4})}{g}=\frac{v^2_0}{g}\end{array}

Come si vede per renderla massima è necessario un alzo al suolo \phi=\frac{\pi}{4}
Il tempo di volo è t_V=\frac{2v_{0y}}{g}

Figura 3.10. Lancio di un proiettile con una velocità iniziale di 12 m/s e diversi alzi al suolo.

Figura 3.10. Lancio di un proiettile con una velocità iniziale di 12 m/s e diversi alzi al suolo.


Moti relativi (1)

La posizione e la velocità di un corpo dipendono dal sistema di riferimento nel quale si misurano. In particolare esse dipendono dal moto relativo dei sistemi che nel caso generale è di rototraslazione, ossia una composizione di un moto di rotazione ed un moto di traslazione. Qui considereremo solo il caso di sistemi in moto relativo di traslazione rettilinea uniforme.

Se il sistema S’ si muove rispetto al sistema S con velocità costante V, valgono le seguenti relazioni

\begin{array}{l}\mathbf{r}_{O'}=\mathbf{V}t\\\mathbf{r}_{P}=\mathbf{r}'_{P}+\mathbf{V}t\end{array}

L’ultima equazione è detta trasformazione di Galileo

Da essa è possibile dedurre la regola di composizione classica delle velocità:

\mathbf{v}_{P}=\mathbf{v}'_{P}+\mathbf{V}

che mostra inoltre che l’accelerazione è invariante per trasformazioni galileiane:

\mathbf{a}_{P}=\mathbf{a}'_{P}

Figura 3.11. Posizione del punto P nei sistemi S ed S’.

Figura 3.11. Posizione del punto P nei sistemi S ed S'.


Moti relativi (2)

Esempio 3.3

La pioggia cade con una velocità di 10 m/s mentre un bambino cammina alla velocità di 3 m/s.
A che angolo rispetto alla verticale il bambino vedrà cadere le gocce di pioggia?

Soluzione
Scegliamo il sistema di riferimento S con l’asse y rivolto verso l’alto e l’asse x lungo la direzione di moto del bambino. Sia S’ il sistema di riferimento che ha gli assi paralleli a S ma si muove solidalmente al bambino con velocità costante V.
Il problema ci chiede di calcolare la direzione della velocità della pioggia nel sistema S’.
\mathbf{v}_{P}=-10\text{m/s \bf{j}}
\mathbf{V}=3\text{m/s \bf{i}}
\mathbf{v'}_{P}=\mathbf{v}_{P}-\mathbf{V}
\left\{\begin{array}{l}v'_{xP}=-V_{x}=-3\text{m/s}\\v'_{yP}=v_{yP}=-10\text{m/s}\end{array}\right.
\tan\phi=\frac{v'_x}{v'_y}=0.3\Rightarrow \phi=17^{\circ}

Figura 3.12. Esempio 3.3

Figura 3.12. Esempio 3.3


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