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Giuliana Fiorillo » 10.Urti, impulso e quantità di moto

Cosa è un urto ?

Nell’esperienza quotidiana si chiama urto un fenomeno simile a quello che si osserva quando si urtano due palle da biliardo o si scontrano due automobili, cioè quando si ha un contatto diretto tra i corpi in collisione.
In fisica il termine urto è inteso in senso più ampio. Si chiama urto qualsiasi interazione di breve durata tra particelle. Si parla quindi di urto tra le molecole anche se queste interagiscono a distanza attraverso il campo elettrico. In maniera del tutto simile si parla di urto tra protoni (LHC collider), o ancora di urto di neutroni o di particelle alfa con un nucleo anche se non si ha il diretto contatto tra le particelle e l’interazione è dovuta alle forze nucleari o a quelle elettriche.
Possiamo formalizzare quanto detto affermando che: un urto non è altro che un evento isolato che ha luogo in un intervallo di tempo Δt, molto breve rispetto al tempo di osservazione del sistema, in cui si sviluppano forze molto intense.

Figura 10.1 Effetti di un urto violento tra un treno in velocità ed una parete fissa (immagine da: Wikimedia).

Urti come strumenti di conoscenza

La caratteristica principale della teoria sugli urti consiste nell’ignorare il meccanismo della collisione nei dettagli, ma di concentrarsi solo sul prima e sul dopo.

In effetti il problema dell’analisi di un urto viene solitamente formulato nella seguente maniera: note le quantità di moto e l’energia cinetica delle particelle prima dell’urto, com’è possibile determinare i valori dopo l’urto?
Ovviamente, per risolvere il problema non deve essere necessaria un’analisi dettagliata del processo di interazione; anzi nel caso della fisica delle particelle elementari è l’interazione – ignota o poco conosciuta – ad essere studiata attraverso i risultati che determina.

Figura 10.2. Schematizzazione di un fenomeno d'urto tra due corpi.

Impulso della forza (1)

Durante un urto la forza di interazione agisce per un breve lasso di tempo $\Delta t = t_{f} - t_{i}$ ; l’integrale della forza in questo intervallo di tempo si chiama impulso della forza
$\mathbf{I} = \int^{t_f}_{t_i} \mathbf{F} \, dt$
Se F rappresenta la risultante delle forze agenti durante l’urto, per il secondo principio della dinamica
$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} $
Se ne deduce che l’impulso I è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo su cui agisce (teorema dell’impulso):
$\mathbf{I} = \int^{t_f}_{t_i} \frac{d\mathbf{q}}{dt} \, dt = \int^{\mathbf{q}_f}_{\mathbf{q}_i} d\mathbf{q} = \mathbf{q}_f - \mathbf{q}_i=\Delta\mathbf{q}$

Figura 10.3. La curva rappresenta l'intensità della forza variabile nel tempo F(t) che agisce sul corpo. L'area sottesa dalla curva rappresenta il modulo dell'impulso I. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Impulso della forza (2)

Il valore medio di F sul tempo Δt è dato da
$\mathbf{F}_m = \frac{1}{\Delta t} \int^{t_f}_{t_i} \mathbf{F} \, dt$
L’impulso della forza si può quindi esprimere come:
$\mathbf{I} = \mathbf{F}_m \Delta t$
dove Δt è la durata dell’urto.

Nella figura 10.4 la forza istantanea F (rappresentata dalla curva ) e la forza media nell’intervallo di tempo Δt (altezza del rettangolo) imprimono lo stesso impulso al corpo: l’area sotto il rettangolo e l’area sotto la curva sono uguali.

Figura 10.4. (a) l'area sotto la curva rappresenta il modulo dell'impulso I che agisce sul corpo; (b) nell'intervallo di tempo Δt la forza media (altezza del rettangolo) imprime lo stesso impulso al corpo. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Quantità di moto

Se durante l’urto non agiscono altre forze oltre quella di interazione, l’impulso totale agente sul sistema è nullo e la quantità di moto complessiva è conservata.
$\mathbf{I} =\int^{t_f}_{t_i} \left(\mathbf{f}_{21}+\mathbf{f}_{12}\right) dt= \int^{t_f}_{t_i} \left(\frac{d\mathbf{q}_1}{dt} + \frac{d\mathbf{q}_2}{dt}\right) dt =0$
$\Rightarrow \Delta\mathbf{Q}=\Delta\mathbf{q}_1+\Delta\mathbf{q}_2=0$

Se i corpi sono soggetti ad altre forze esterne, va calcolato l’impulso di queste ultime durante l’urto e la variazione della quantità di moto del sistema sarà data da

$\Delta\mathbf{Q}=\mathbf{I} =\int^{t_f}_{t_i} \left(\mathbf{f}_{1}^{(e)}+\mathbf{f}_{2}^{(e)}\right) dt=\mathbf{F}_m^{(e)} \Delta t$
Poiché l’intervallo di tempo in cui avviene l’urto è infinitesimo e le forze esterne agenti sul sistema hanno valore finito, normalmente il prodotto che compare nell’espressione precedente è prossimo a zero, ossia
$\Delta\mathbf{Q}=\Delta\mathbf{q}_1+\Delta\mathbf{q}_2\simeq 0$
e la conservazione della quantità di moto è ancora applicabile.
Le forze per le quali ciò non è vero sono dette impulsive. Forze di tipo impulsivo sono generalmente dovute ai vincoli, i quali negli urti sviluppano reazioni molto intense non trascurabili.
Nel seguito considereremo solo urti tra particelle libere, per i quali dunque vale la legge di conservazione della quantità di moto.

Urti e conservazione dell’energia

Da quanto detto sopra in un qualsiasi urto la quantità di moto di ciascun corpo coinvolto può cambiare, ma la quantità di moto totale del sistema resta invariata.
Gli urti vengono classificati in base alla variazione dell’energia cinetica totale del sistema in:

urti elastici se l’energia cinetica si conserva (è la stessa prima e dopo l’urto);
urti anelastici se l’energia cinetica non si conserva.

In particolare l’urto si dice perfettamente anelastico se l’energia del moto relativo va perduta nell’urto ed entrambi i corpi si muovono assieme, con la velocità del centro di massa.

L’urto completamente anelastico

Un urto si dice perfettamente o completamente anelastico se i due corpi, dopo l’urto si muovono con la stessa velocità e rimangono uniti a formare un unico corpo come ad esempio l’impatto di un proiettile in un blocco di sabbia, o quello di un meteorite con la terra.
Consideriamo l’urto tra due particelle di massa $m_1$ e $m_2$ e di velocità $\mathbf{v}_{1i}$ e $\mathbf{v}_{2i}$ che dopo l’urto rimangono attaccate insieme.
Qual è la velocità del nuovo corpo dopo l’urto?
Applicando la conservazione della quantità di moto scriviamo:
$m_1 \mathbf{v}_{1i} + m_2 \mathbf{v}_{2i} = (m_1+m_2) \mathbf{v}_{f}$
da cui:
$\mathbf{v}_{f}= \frac{m_1 \mathbf{v}_{1i} + m_2 \mathbf{v}_{2i}}{m_1+m_2}$

Figura 10.5. Schematizzazione di un urto completamente anelastico tra due corpi. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Esempio

Esempio 10.1: Il pendolo balistico

Il pendolo balistico è un dispositivo usato per misurare la velocità dei proiettili. Consideriamo un blocco di massa m₂ sospeso a due funi. Un proiettile di massa m₁ è sparato contro di esso e ivi si arresta. Il sistema blocco più proiettile oscilla verso destra e si alza di un’altezza h. Qual era la velocità di impatto del proiettile ?

Suggerimento

Considerare il sistema chiuso proiettile più blocco e dividiamo il processo in due parti:

urto tra proiettile e blocco in cui si conserva la quantità di moto;
innalzamento del sistema blocco + proiettile per il quale c’è conservazione dell’energia meccanica totale.

Figura 10.6. Il pendolo balistico. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Esempio

Soluzione esempio 10.1

1. Da A a B: Poiché il blocco è inizialmente fermo, dalla conservazione della quantità di moto applicata al sistema proiettile-blocco, otteniamo:

$v_{B} = \frac{m_1 v_{1A}}{m_1+m_2}$
2. Da B a C: Dall’istante in cui il sistema blocco-proiettile comincia ad oscillare possiamo considerare la conservazione dell’energia totale del sistema (l’unica forza esterna che agisce è la forza gravitazionale), quindi:

$E_B = E_C \Rightarrow \frac{1}{2} (m_1+m_2)v_B^2 = (m_1+m_2)gh$

Da cui:
$v_{1A} = \frac{m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}$

Figura 10.6. Il pendolo balistico. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Urti unidimensionali elastici (1)

Consideriamo il caso di un urto perfettamente elastico ed unidimensionale, ovvero due particelle di massa $m_1$ e $m_2$ , con velocità lungo l’asse x $v_{1i}$ e $v_{2i}$ prima dell’urto e $v_{1f}$ e $v_{2f}$ dopo (si veda la figura per un esempio).
Dalla conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica si ricava:

$\left\{ \begin{array}{l}m_1\mathbf{v}_{1i} + m_2 \mathbf{v}_{2i}= m_1\mathbf{v}_{1f} + m_2\mathbf{v}_{2f} \\ \frac{1}{2}m_1v^2_{1i} + \frac{1}{2}m_2v^2_{2i} =\frac{1} {2}m_1v^2_{1f}+\frac{1}{2}m_2v^2_{2f}\end{array} \right. $
Poiché il sistema è unidimensionale:
$\left\{ \begin{array}{l}m_1{v}_{1i} + m_2 {v}_{2i}= m_1{v}_{1f} + m_2{v}_{2f} \\ \frac{1}{2}m_1v^2_{1i} + \frac{1}{2}m_2v^2_{2i} =\frac{1}{2}m_1v^2_{1f}+\frac{1}{2}m_2v^2_{2f}\end{array} \right$

Figura 10.7. Schematizzazione di un urto elastico. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Urti unidimensionali elastici (2)

Sviluppando il sistema :

$\left\{ \begin{array}{l}m_1(v_{1i} - v_{1f}) = - m_2(v_{2i} - v_{2f}) \\m_1(v^2_{1i}-v^2_{1f}) =m_2(v^2_{2f}-v^2_{2i})\end{array} \right.$

Sostituendo la differenza di due quadrati con la formula $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ e dividendo membro a membro le due equazioni, otteniamo:
$(v_{1i} + v_{1f}) = (v_{2f} + v_{2i}) \Rightarrow v_{2f}=v_{1i} + v_{1f}-v_{2i}$

Figura 10.7. Schematizzazione di un urto elastico. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Urti unidimensionali elastici (3)

Rifacendoci al sistema precedente, eliminando $v_{2f}$ , per esempio nella prima relazione:
$m_1(v_{1i} - v_{1f}) = -m_2(2v_{2i} - v_{1i} - v_{1f})$
da cui si ottiene
$v_{1f} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}$
e con passaggi simili otteniamo anche l’espressione di $v_{2f}$ .
$v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2}v_{2i}$

Figura 10.7. Schematizzazione di un urto elastico. Fonte: Serway, Jewett, “Fisica per scienze ed ingegneria”, Edises.

Casi particolari di urti elastici (1)

Esaminiamo ora alcuni casi particolari derivanti dalle equazioni precedenti.

Quando le masse sono uguali i termini $m_1-m_2$ sono nulli e $\frac{2m_1}{m_1+m_2}=\frac{2m_2}{m_1+m_2}=1$ , per cui le velocità delle particelle si scambiano. Vedi figura 10.8a
Nel caso poi che oltre ad avere massa uguale, sia $v_{2i} = 0$ , la prima particella si ferma e la seconda parte con velocità uguale alla prima:

$m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} v_{1f} = v_{2i} \\ v_{2f} = v_{1i} \end{array} \right.$

Figura 10.8a. Caso in cui m₁=m₂

Figura 10.8b. Caso in cui m₁=m₂ e la seconda particella è ferma.

Casi particolari di urti elastici (2)

Se le masse sono diverse e $v_{2i} = 0$ allora rimangono solo i termini proporzionali a $v_{1i}$ :

$m_1 \ne m_2 \quad \textrm{e} \quad v_{2i} = 0\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}v_{1f} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} v_{1i} \\ v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2} v_{1i} \end{array} \right.$

Se la massa del primo corpo (proiettile) è molto minore di quella del secondo corpo (bersaglio), $m_1 \ll m_2$

$\frac{m_1}{m_2}\simeq 0$
allora
$v_{1f} \simeq 2v_{2i}-v_{1i} \quad \textrm{e} \quad v_{2f} \simeq v_{2i}$
Se inoltre il bersaglio è fermo,
$m_1 \ll m_2 \quad \textrm{e} \quad v_{2i}=0 \quad \textrm{allora} \quad v_{1f} \simeq - v_{1i} \quad \textrm{e} \quad v_{2f} \ll v_{1i}$

Urti elastici in due dimensioni (1)

Se l’urto è elastico ma non unidimensionale, le leggi di conservazione non bastano a determinare il moto dei corpi dopo di esso basandosi solo sulla conoscenza del moto prima dell’urto. Infatti le uniche equazioni che possiamo scrivere sono:

$\left\{ \begin{array}{l} m_1\mathbf{v}_{1} + m_2 \mathbf{v}_{2}= m_1\mathbf{v}'_{1} + m_2\mathbf{v}'_{2} \\ \frac{1}{2}m_1v^2_{1} + \frac{1}{2}m_2v^2_{2} =\frac{1}{2}m_1v'^{2}_{1}+\frac{1}{2}m_2v'^{2}_{2} \end{array} \right.$
N.B. Per semplicità di notazione si sono indicate le grandezze finali con l’uso dell’apice.

La prima equazione è vettoriale, quindi conta come tante equazioni scalari quante sono le dimensioni del sistema. Nel caso di urto bidimensionale, note le quantità iniziali
$\mathbf{v}_{1}= (v_{1x}, v_{1y}) \quad \textrm{e}\quad \mathbf{v}_{2} = (v_{2x}, v_{2y})$

rimangono le quattro incognite
$\mathbf{v}'_{1} = ({v}'_{1x}, {v}'_{1y}) \quad \textrm{e}\quad \mathbf{v}'_{2} = ({v}'_{2x}, {v}'_{2y}).$
Si hanno così quattro incognite per tre equazioni scalari. Se non si conosce il tipo di interazione la quarta informazione necessaria per risolvere il problema la si deve dedurre dall’esperimento.
Tipicamente si misura l’angolo di deviazione delle due particelle.
Ovviamente, al crescere del numero delle dimensioni servono sempre più quantità misurate.

Urti elastici in due dimensioni (2)

Consideriamo ora il caso di un urto bidimensionale fra due particelle di cui una è inizialmente ferma. Questo non è affatto un caso restrittivo in quanto si può sempre scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale una delle due particelle risulti ferma prima dell’urto.
La distanza b fra la direzione del corpo incidente ed una retta ad essa parallela passante per il corpo fermo viene detta parametro d’urto. E’ una misura di quanto direttamente il proiettile incida sul bersaglio.
Per b = 0 si ha un urto frontale.
Scriviamo per esteso le leggi di conservazione, utilizzando gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ per determinare le componenti di $\mathbf{v}'_{1}$ e $\mathbf{v}'_{2}$ :
$\left\{ \begin{array}{lll} m_1v_1 & = & m_1{v}'_1 \cos\theta_1 + m_2{v}'_2 \cos\theta_2 \\ 0 & = & m_1{v}'_1 \sin\theta_1 - m_2{v}'_2 \sin\theta_2 \\ \frac{1}{2}m_1v_1^2 & = & \frac{1} {2}m_1v'^{2}_1 + \frac{1}{2}m_2v'^{2}_2 \end{array}\right$

Figura 10.9. Schematizzazione di un urto elastico bidimensionale.

Urti elastici in due dimensioni (3)

Quindi abbiamo quattro quantità incognite $(v'_1, v'_2, \theta_1, \theta_2)$ e tre quantità note $(m_1, m_2, v_1).$
Come già detto le equazioni indipendenti a disposizione sono solamente tre e serve una ulteriore informazione. Cominciamo con il calcolare l’energia trasferita al secondo corpo; siccome questo era precedentemente fermo essa coincide con $E'_2.$ Come primo passaggio isoliamo $\cos\theta_1$ nell’equazione della componente x e quadriamolo:
$\cos^2 \theta_1 = {\left( \frac{m_1v_1 - m_2v'_2 \cos\theta_2}{m_1v'_1} \right)}^2$

Dall’equazione per la componente y possiamo invece ricavare $\sin\theta_1.$
Estraiamolo e quadriamolo come prima:
$\sin^2 \theta_1 = {\left( \frac{m_2v'_2 \sin\theta_2}{m_1v'_1} \right)}^2$
Ora possiamo sostituire $1 - \sin^2\theta_1$ al posto di $\cos^2\theta_1$
e moltiplicare per $m^2_1v'^2_1$ ambo i membri in modo da non avere più frazioni:
$m^2_1v'^2_1 - m^2_2v'^2_2\sin^2\theta_2 = m^2_1v^2_1 + m^2_2v'^2_2\cos^2\theta_2 - 2m_1m_2v_1v'_2\cos\theta_2$

Urti elastici in due dimensioni (4)

Semplificando $(\sin^2\theta_2 +\cos^2\theta_2=1)$ :

$m^2_1v'^2_1 - m^2_2v'^2_2 =m^2_1v^2_1 - 2m_1m_2v_1v'_2 \cos\theta_2$

e dividendo per $2m_1$ si ha:

$\left(\frac{1}{2}m_1v'^2_1\right) - \frac{m_2}{m_1}\left(\frac{1}{2}m_2v'^2_2\right) =\left(\frac{1}{2}m_1v^2_1\right) - m_2v_1v'_2 \cos\theta_2$

nella precedente equazione si possono riconoscere le espressioni per $E_1 = \frac{1}{2}m_1v^2_1$ , $E'_1 = \frac{1}{2}m_1v'^2_1$ ed $E'_2 = \frac{1}{2}m_2v'^2_2.$
Otteniamo quindi:
$E'_1 - \frac{m_2}{m_1}E'_2 = E_1 - m_2v_1v'_2\cos\theta_2$

Urti elastici in due dimensioni (5)

Sostituendo l’equazione di conservazione dell’energia, ovvero ponendo $E_1 = E'_1 + E'_2,$ si ottiene:
$E'_1 - \frac{m_2}{m_1}E'_2 = E'_1 + E'_2 - m_2v_1v'_2\cos\theta_2\quad \Rightarrow \quad \frac{m_1+m_2}{m_1}E'_2 = \frac{m_1+m_2}{m_1}\left(\frac{1}{2}m_2v'^2_2\right) = m_2v_1v'_2 \cos\theta_2$
da cui:
$v'_2 = \frac{2m_1}{m_1+m_2} v_1\cos\theta_2$
Questo ci permette di ottenere finalmente un’espressione per l’energia $E'_2= \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2$ ceduta al secondo corpo durante l’urto, come funzione dell’angolo di deviazione del corpo inizialmente fermo rispetto all’asse del proiettile:
$E'_2 = \frac{1}{2}m_2\frac{4m^2_1}{(m_1+m_2)^2} v^2_1 \cos^2\theta_2= \left( \frac{1}{2} m_1v^2_1 \right) \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \cos^2\theta_2$
ossia

$E'_2 = E_1 \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \cos^2\theta_2$

Oggetti con pari massa

L’espressione precedente per l’energia del secondo corpo dopo l’urto si semplifica notevolmente quando i due corpi hanno una massa uguale (se $m_1=m_2=m$ ):
$m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad {E'}_2 = E_1 \cos^2 \theta_2$
Applicando la conservazione dell’energia in questo caso si ha per $E'_1$
$E'_1 =E_1-E'_2=E_1 \sin^2\theta_2 \Rightarrow v'_1=v_1\sin\theta_2$
Mentre, per la conservazione della quantità di moto
${v}'_1 \sin\theta_1 ={v}'_2 \sin\theta_2$
da cui si ottiene
$v_1\sin\theta_2\sin\theta_1 =v_1\cos\theta_2\sin\theta_2 \Rightarrow \sin\theta_1 =\cos\theta_2$
ossia $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2},$ cioè gli angoli sono complementari.
In definitiva si trova che
$\left\{ \begin{array}{lll}E'_1 & = & E_1 \cos^2\theta_1 \\ E'_2 & = & E_1 \cos^2\theta_2 \\ \end{array} \right.$

Oggetti con massa molto diversa

L’espressione per l’energia del secondo corpo dopo l’urto si semplifica anche quando i due corpi hanno una massa molto diversa fra di loro; supponiamo che valga $m_1 \ll m_2$ :
$E'_2 = E_1 \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \cos^2\theta_2 \simeq E_1 \frac{4m_1}{m_2} \cos^2\theta_2$

Di nuovo, siccome $E'_2 = E_1 - E'_1,$ da questa segue:
$E'_1 = E_1 \left( 1 - \frac{4m_1}{m_2} \cos^2\theta_2 \right) \simeq E_1$

Così, quale che sia $\theta_2$ , l’oggetto incidente non cede che una parte molto piccola della sua energia cinetica. Nel limite in cui $\frac{m_1}{m_2}=0$ si ha
$E'_2 = 0$ e $E'_1 = E_1$ :
l’oggetto incidente rimbalza sull’oggetto fermo recuperando tutta la sua energia cinetica. E’ questo il caso di un urto elastico di una palla su un muro.