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Maria Rosaria Posteraro » 4.Alcune funzioni elementari


Definizione e proprietà della funzione potenza

Sia n ∈ \mathbb{R}.

Si definisce la funzione potenza:

f(x) = x^{\mathsr n}= \underbrace{x\cdot x\cdot x\cdot x ...\cdot x}_{\mathsr n \;\text{ volte}}

Proprietà: siano \mathsr{m, n} \in \mathbb{N}

  1. 0 ≤x1<x2 →x1n < x2n cioè la funzione potenza è strettamente crescente per x≥0.
  2. x = 1 → xn = 1
  3. x > 1, n< m → xn < xm
  4. xn ⋅ xm = xn+m

In figura sono riportate i grafici della funzione f(x) = xn(x≥0) per alcuni valori di n.

OSSERVAZIONE: Per n = 1 si ha la retta y = x, per n = 2 la parabola y = x2.

Sul grafico si possono osservare le proprietà 1 e 4.


Funzione potenza nel caso di n pari

  1. Il dominio di xn è \mathbb{R}.
  2. Si ha (-x)n = xn, cioè xn è una funzione pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
  3. La funzione xn con n pari è strettamente decrescente per x ≤ 0 e strettamente crescente per x ≥ 0.
  4. Il codominio è f(\mathbb{R})= [0, +∞[.
  5. f(x) = xn non  è iniettiva. La restrizione di f(x) a [0, ∞[ è biunivoca.

Funzione potenza nel caso di n pari


Funzione potenza nel caso di n dispari

  1. Il dominio di xn è \mathbb{R}.
  2. Si ha -(-x)n = xn, cioè xn è una funzione dispari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’origine.
  3. La funzione xn con n dispari è strettamente crescente in \mathbb R.
  4. Il codominio è f(\mathbb{R})= \mathbb R
  5. f(x) = xn  è iniettiva, quindi è biunivoca.

Funzione potenza nel caso di n dispari


Funzione radice nel caso di n pari

La funzione radice \sqrt[n] x (n pari) è l’inversa della funzione potenza ad indice pari ristretta a [0, +∞[.

La funzione xn (n pari) è biunivoca da [0, +∞[ in [0, +∞[. Fissato allora x ∈  [0, +∞[ esiste un unico y ∈  [0, +∞[ tale che yn = x. Si può definire la funzione inversa, la radice n-ma ad indice pari:

\sqrt[n]x:[0, +\infty[\rightarrow [0, +\infty[

y=\sqrt[n]x” /> è tale che <em>y<sup>n</sup></em> = <em>x</em>.</p>
<p>Per <em>n</em> = 2 si usa la notazione <img style= e la funzione è denominata radice quadrata.

  1. Il grafico si ottiene da quello della funzione potenza per simmetria rispetto alla retta y = x. (vedi grafico della funzione inversa).
  2. Il dominio di \sqrt[n]x è [0, +∞[.
  3. La funzione \sqrt[n]x” /> è <strong>strettamente crescente</strong> per ogni <img style=
  4. Il codominio è f(|0, +∞|) = [0, +∞[.

Funzione radice nel caso di n pari


Funzione radice nel caso di n dispari

La funzione radice \sqrt[n] x (n dispari) è l’inversa della funzione potenza ad indice dispari.

La funzione xn (n dispari) è biunivoca da \mathbb R in \mathbb R. Fissato allora x ∈  \mathbb R esiste un unico y ∈  \mathbb R : yn = x. Si può definire la funzione inversa, la radice n-ma ad indice dispari:

\sqrt[n]x:\mathbb R\rightarrow \mathbb R

y=\sqrt[n]x è tale che yn = x.

  1. Il grafico si ottiene da quello della funzione potenza per simmetria rispetto alla retta y = x. (vedi grafico della funzione inversa).
  2. Il dominio di \sqrt[n]x è \mathbb R.
  3. La funzione \sqrt[n]x è strettamente crescente per ogni x ∈ \mathbb R.
  4. Il codominio è f(\mathbb R) = \mathbb R.

Funzione radice nel caso di n dispari


Proprietà della funzione radice

Siano a, b ∈ \mathbb R; a, b > 0; n, m ∈ \mathbb N valgono le proprietà:

  1. \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b
  2. \sqrt[n]{\frac a b} = \frac{\sqrt [n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
  3. \sqrt[n]{a^m}= (\sqrt[n]a)^m
  4. \sqrt[n]{\sqrt[m]a}=\sqrt[n\cdot m]a
  5. \sqrt[n\cdot m]a^n = {\sqrt[m]a}

Esempi

  • \sqrt[3]{81a^7b^5}=\sqrt[3]{3^33aa^6b^3b^2}=3a^2b\sqrt[3]{3ab^2}
  • x\sqrt[3]{\frac 1 {x^2y}}=\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^2y}}=\sqrt[3]{\frac x y}
  • \sqrt[6]{a^2b^3}=\sqrt[3]{a}\sqrt b,\;\;\; a, b <0\;\,\;\text{ proprieta' 1 e 5}

Funzione esponenziale sui razionali

Sia a > 0  e a < ≠ 1.

Abbiamo definito ax quando x ∈ \mathbb N.

Poniamo

  • a0 = 1
  • a^x = a^{\frac m n}=\sqrt[n]{a^m}\;\;\;\text {se }x=\frac m n \in \mathbb Q,\,\; x>0, m, n, \in \mathbb N
  • a^{-x}=\frac 1{a^2}\;\,\;\;\text { se }x \in \mathbb Q, x>0.

E’ così definita la funzione ax, per ogni x ∈ \mathbb Q.

Proprietà della funzione esponenziale

Sia a < 0, a ≠ 1, x, y ∈ \mathbb Q; valgono le seguenti proprietà:

  1. ax > 0, per ogni x ∈ \mathbb Q
  2. ax è strettamente crescente in \mathbb Q se a >1; è strettamente decrescente in \mathbb Q se 0 < a <1
  3. ax+y = ax · ay
  4. (ax)y=axy
  5. (a ·b)x = ax · bx

OSSERVAZIONE: a = 1 → 1X = 1, per ogni x ∈ \mathbb Q

Funzione esponenziale

Se a > 0 a ≠ 1 è possibile definire la funzione esponenziale in base a:

ax\mathbb R → ]0, +∞[

costruendo approssimazioni di ax mediante approssimazioni di x con numeri razionali. Si dimostra che valgono ancora le proprietà viste pe x ∈ \mathbb Q.

  1. Il domino di ax è \mathbb R.
  2. La funzione ax è strettamente crescente per ogni x ∈ \mathbb R se a > 1; è strettamente decrescente per ogni  x ∈ \mathbb R se 0 < a < 1
  3. Il codominio è f(\mathbb R) = [0, +∞[.
  4. f(x) = ax è biunivoca.

Funzione logaritmo

Se a >0, a ≠ 1 la funzione ax è strettamente monotòna quindi biunivoca da \mathbb R in ]0, +∞[, cioè per ogni x >0 esiste un unico y ∈ \mathbb R tale che ay = x.

Si definisce la funzione logaritmo in base a di x la funzione inversa della funzione esponenziale di base a:

logax:]0, +∞[ → \mathbb R

logax = y tale che ay = x.

  1. Il grafico della funzione logaritmo si ottiene da quello della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla retta y = x (vedi grafico della funzione inversa).
  2. Il dominio di log x è ]0, +∞[.
  3. La funzione loga(x) è strettamente crescente per ogni x > 0 se a >1; è strettamente decrescente per ogni x > 0 se 0 < a <1.
  4. Il codominio è f(|0, +∞|)= \mathbb R.
  5. f(x) = loga(x) è biunivoca.

Funzione logaritmo


Proprietà della funzione logaritmo

Valgono le seguenti proprietà per ogni x, y >0, a > 0, a ≠ 1

  1. alogax = x, loga ax = x
  2. loga (x · y) = logax + logay
  3. \log_a\frac x y = \log_a x -\log_ay
  4. loga x αα loga xα ∈ \mathbb R
  5. log_a x =\frac{log_b x}{log_b a}, b> 0, b\neq 1 \;\text{ cambiamento di base}

Proprietà della funzione logaritmo

Proprietà delle funzioni logaritmo. Esempi sull’uso delle proprietà del logaritmo

\log_3\frac 1{27}= -3 \;\text{poiche'} 3^{-3}=\frac 1 {27}

\log_{\frac 1 2} = 16 = - 4

\log_5 x = - 2\Longleftrightarrow x = \frac 1 {25}

Verificare che \log_{25}10 = \frac 1 2 (1+\log_5 2)

Si ha \log_{25}10=\frac{log_5 10}{\log_5 25}\text{   cambio di base}

=\frac 1 2 \log_5(5\cdot 2)=\frac 1 2 (\log_5 5+\log_5 2)=\frac 1 2 (1 + \log_5 2)

Funzione potenza ad esponente reale

Se a, b\in \mathbb R e a>0 ha significato il simbolo ab.

Fissato \alpha \in \mathbb R si definisce la funzione potenza ad esponente reale:

x^\alpha : x \in]0, +\infty[\rightarrow x^\alpha \in]0,+\infty[.

Si ha:

x^\alpha =10^{\alpha\log_{10}x}\;\;\; \forall x \in \mathbb R. \;\;\;(*)

La scelta della base 10 nelle definizioni di x^\alpha è arbitraria.

OSSERVAZIONE: 

\alpha = n \rightarrow  restrizione della funzione potenza all’intervallo ]0, +\infty[

\alpha =\frac 1 n \rightarrow restrizione  della funzione radice all’intervallo ]0, +\infty[

Dall’identità (*) e dalle proprietà della funzione logaritmo segue:

  1. Il dominio di x^\alpha è ]0,+\infty[.
  2. La funzione f(x) = x^\alpha è strettamente crescente per \alpha>0; è strettamente decrescente per \alpha <0.
  3. Il codominio è f(]0,+\infty[)=]0,+\infty[.
  4. f(x)=x^\alpha è biunivoca.

Funzione valore assoluto

Si definisce la funzione valore assoluto come:

f(x)=|x|=\{\begin{array}{cc} x\;\text{ se } x\geq 0 \\ -x \;\text{ se } x<0\end{array}

  1. Il dominio di |x| è \mathbb R.
  2. Il codominio è f(\mathbb R)=[0, +\infty[.f(\mathbb R)=[0,+\infty[.
  3. Si ha |-x|=|x| cioè |x| è una funzione funzione pari.
  4. La funzione |x| è strettamente crescente per x ≥0, ed è strettamente decrescente per x ≤0.

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