Sia n ∈
Si definisce la funzione potenza:
Proprietà: siano
In figura sono riportate i grafici della funzione f(x) = xn(x≥0) per alcuni valori di n.
OSSERVAZIONE: Per n = 1 si ha la retta y = x, per n = 2 la parabola y = x2.
Sul grafico si possono osservare le proprietà 1 e 4.
La funzione radice (n pari) è l’inversa della funzione potenza ad indice pari ristretta a [0, +∞[.
La funzione xn (n pari) è biunivoca da [0, +∞[ in [0, +∞[. Fissato allora x ∈ [0, +∞[ esiste un unico y ∈ [0, +∞[ tale che yn = x. Si può definire la funzione inversa, la radice n-ma ad indice pari:
e la funzione è denominata radice quadrata.
La funzione radice (n dispari) è l’inversa della funzione potenza ad indice dispari.
La funzione xn (n dispari) è biunivoca da in . Fissato allora x ∈ esiste un unico y ∈ : yn = x. Si può definire la funzione inversa, la radice n-ma ad indice dispari:
è tale che yn = x.
Siano a, b ∈ ; a, b > 0; n, m ∈ valgono le proprietà:
Esempi
Sia a > 0 e a < ≠ 1.
Abbiamo definito ax quando x ∈ .
Poniamo
E’ così definita la funzione ax, per ogni x ∈
Sia a < 0, a ≠ 1, x, y ∈ valgono le seguenti proprietà:
OSSERVAZIONE: a = 1 → 1X = 1, per ogni x ∈
Se a > 0 a ≠ 1 è possibile definire la funzione esponenziale in base a:
ax : → ]0, +∞[
costruendo approssimazioni di ax mediante approssimazioni di x con numeri razionali. Si dimostra che valgono ancora le proprietà viste pe x ∈ .
Se a >0, a ≠ 1 la funzione ax è strettamente monotòna quindi biunivoca da in ]0, +∞[, cioè per ogni x >0 esiste un unico y ∈ tale che ay = x.
Si definisce la funzione logaritmo in base a di x la funzione inversa della funzione esponenziale di base a:
logax:]0, +∞[ →
logax = y tale che ay = x.
Valgono le seguenti proprietà per ogni x, y >0, a > 0, a ≠ 1
Proprietà delle funzioni logaritmo. Esempi sull’uso delle proprietà del logaritmo
Verificare che
Si ha
Se e ha significato il simbolo ab.
Fissato si definisce la funzione potenza ad esponente reale:
Si ha:
La scelta della base 10 nelle definizioni di è arbitraria.
OSSERVAZIONE:
restrizione della funzione potenza all’intervallo
restrizione della funzione radice all’intervallo
Dall’identità (*) e dalle proprietà della funzione logaritmo segue:
1. Elementi di teoria degli insiemi, numeri reali, retta reale e piano cartesiano
2. Luoghi geometrici nel piano
3. Funzioni reali di variabili reali
5. Funzioni trigonometriche e loro inverse
6. Equazioni e sistemi di equazioni
7. Disequazioni e sistemi di disequazioni
8. Equazioni e disequazioni relative a prodotto e quoziente di funzioni