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Maria Rosaria Posteraro » 9.Disequazioni esponenziali e logaritmiche


Disequazioni esponenziali

Consideriamo disequazioni elementari con  la funzione esponenziale, cioè disequazioni del tipo

a^x\geq b,\hspace{1cm}a^x\leq b

con a\in\mathbb R, a\neq 1.

Se ≤ 0, ricordando che a> 0 per ogni x ∈ \mathbb R si ha

\begin{array}{ll}a^x\geq b\hspace{1,5cm}\forall x\in\mathbb R\\a^x\leq b\hspace{1,5cm} \text{nessuna soluzione}\end{array}

Esempi

\begin{array}{ll}3^x<-1\hspace{1,5cm}\text{nessuna soluzione}\\ \left(\frac 1 2\right)^x\geq -5\hspace{1cm}\forall x\in\mathbb R\end{array}

Disequazioni esponenziali II

Sia b > 0 (cioè b appartenente al codominio della funzione esponenziale).

Se a > 1 allora,

\begin{array}{ll}a^x\leq b\hspace{1,5cm}x\leq \text{log}_a b\\a^x\geq b\hspace{1,5cm}x\geq \text{log}_a b\end{array}

Se 0 < a <1 allora,

\begin{array}{ll}a^x\leq b\hspace{1,5cm}x\geq \text{log}_a b\\a^x\geq b\hspace{1,5cm}x\leq \text{log}_a b\end{array}

Disequazioni esponenziali III

Risoluzione della disequazione ax ≤ b; a > 1

Ricordiamo

  • la funzione logax nel caso a>1 è strettamente crescente;
  • le funzioni esponenziale e logaritmo sono una l’inversa dell’altra cioè loga(ax) = x.
Applicando la funzione logax ad entrambi i membri si ha
a^x\leq b\Leftrightarrow \text{log}_a(a^x)\leq\text{log}_a b\Leftrightarrow x\leq\text{log}_ab
Si ragiona in maniera analoga negli altri casi.
Le soluzioni delle precedenti disequazioni si deducono anche dal grafico, come mostrano gli esempi che seguono.

Esempi


Esempi II


Esercizi

Risolvere le seguenti disequazioni:

3^x\geq -1

5^x<1

\left(\frac 1 3 \right)^x\leq 2

\left(\frac 1 2 \right)^x\leq -1

2^x\geq 3

\left(\frac 1 4 \right)^x\geq 2

Esercizi

Soluzioni

3^x\geq -1\hspace{2cm} \forall x\in\mathbb R

5^x<1\hspace{2cm}x<\text{log}_51=0

\left(\frac 1 3 \right)^x\leq 2\hspace{2cm}x\geq \text{log}_\frac132

\left(\frac 1 2 \right)^x\leq -1\hspace{2cm}\text{nessuna soluzione}

2^x\geq 3\hspace{2cm}x\geq \text{log}_23

\left(\frac 1 4 \right)^x\geq 2\hspace{2cm}x\leq\text{log}_\frac 1 4 2=-2

Disequazioni logaritmiche

Consideriamo disequazioni elementari con la funzione logartimo, cioè disequazioni del tipo

\text{log}_ax\geq b,\hspace{0,5cm}\text{log}_ax\leq b

con a\in\mathbb R^+,a\neq1, b\in\mathbb R.

Se a > 1 allora

\begin{array}{ll}\text{log}_ax\leq b\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}0<x\leq a^b\\ \text{log}_ax\geq b\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}x\geq a^b\end{array}

Se 0 < a < 1 allora

\begin{array}{ll} \text{log}_ax\leq b\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}x\geq a^b \\ \text{log}_ax\geq b\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}0<x\leq a^b\end{array}

Disequazioni logaritmiche

Risoluzione della disequazione 

\text{log}_ax\leqb, \hspace{0,5cm}a>1.

Ricordiamo

  • la funzione logaritmo è definita solo per x > 0
  • la funzione ax nel caso a > 1 è strettamente crescente
  • funzione esponenziale e logaritmo sono una l’inversa dell’altra e cioè alogax = x.
Applicando ad entrambi i membri la funzione ax si ha
\text{log}_ax\leq b\hspace{0,5cm}\Leftrightarrow\hspace{0,5cm}a^{\text{log}_ax}\leq a^b\hspace{0,5cm}\Leftrightarrow\hspace{0,5cm}0<x\leqa^b
Si ragiona in maniera analoga negli altri casi.
Le soluzioni delle precedenti disequazioni si deducono anche dal grafico, come mostrano gli esempi che seguono.

 

Disequazioni logaritmiche III


Esempi


Esercizi

Risolvere le seguenti disequazioni

\text{log}_\frac 1 4 x \geq 4

\text{log}_\frac 1 5 x \leq 0

\text{log}_{10} x <2

\text{log}_3 x \geq -4

Esercizi

\text{log}_\frac 1 4 x \geq 4\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}0<x\leq \left(\frac 1 2\right)^4=\frac 1{16}

\text{log}_\frac 1 5 x \leq 0\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}x\geq \left(\frac 1 5\right)^0=1

\text{log}_{10} x <2\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}0<x<10^2=100

\text{log}_3 x \geq -4\hspace{1cm}\Leftrightarrow\hspace{1cm}x\geq 3^{-4}=\frac 1{81}

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