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Maria Rosaria Posteraro » 7.Disequazioni e sistemi di disequazioni


Disequazioni

Sia ƒ : X ⊆ \mathbb R → \mathbb R una funzione reale di variabile reale.

Problema Per quali valori xX vale

f(x) > 0 ?  (*)

La relazione (*) si dice disequazione nell’incognita x e risolvere la disequazione (*) significa determinare i valori di x ∈ X per i quali la (*) è
soddisfatta, cioè l’insieme

S = {x ∈ X : f(x) > 0} (insieme delle soluzioni)

OSSSERVAZINE 1: S= 0 ↔ disequazione impossibile

OSSERVAZIONE 2: Disequazione nella forma f(x)<0, f(x) > g(x), f(x) < g(x), etc …, possono essere messe facilmente nella forma (*).

OSSERVAZIONE 3: Risolvere le disequazioni nella forma f(x) ≥ 0 significa determinare i valori x ∈ X tali che sia verificata l’uguaglianza f(x) = 0 oppure la diseguaglianza f(x) > 0.

OSSERVAZIONE 4: Noto il grafico della funzione f(x) l’insieme S delle soluzioni dell’equazione f(x) > k è dato dalle ascisse x ∈ X dei punti del grafico che si trovano al di sopra della retta y = k.


Sistemi di disequazioni

Consideriamo un sistema di k disequazioni (k ∈ \mathbb N). Ogni disequazione fi(x) > 0, (i = 1, 2, .., k), ammette l’insieme di soluzioni Si

\left\{\begin{array}{llll} f_1(x)> 0 \rightarrow S_1 \\  f_2(x)> 0 \rightarrow S_2 \\ \vdots\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\vdots \\ f_k(x)> 0 \rightarrow S_k \end{array}

L’insieme S delle soluzioni del sistema è dato da:

S = S1 ∩ S2 ∩ … ∩ Sk

Disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado è del tipo

ax+b >0 \;\;\; \left\{\begin{array}{ll}a,b \in\mathbb R\\ x\;\text{ incognta}\end{array}

Per determinare l’insieme S delle soluzioni distinguiamo vari casi.

1.\; a=0

\left\{\begin{array}{ll}b > 0 \hspace{2 cm} \Rightarrow \hspace{2 cm}S = \mathbb R \\ b\leq 0\hspace{2 cm} \Rightarrow \hspace{2 cm} S =0 \hspace{2cm}\text{disequazione impossibile}\end{array}

Disequazioni di primo grado

2.\; a>0

ax+b>0\Leftrightarrow ax >-b\Leftrightarrow x>-\frac ba

Ne segue S=\left]-\frac b a, +\infty\right[

3. \; a<0 ax+b>0\Leftrightarrow ax >-b\Leftrightarrow x<-\frac ba

Ne segue S=\left]-\infty,-\frac b a\right[

Disequazioni di primo grado

Disequazioni di primo grado

  1. -2x – 5 > 0
  2. 3 +7x > 0
  3. 8x – 9 < 0
  4. 2x  + 11 ≥ 0
  5. x + 2 > x – 3
  6. x – 3 ≥ x – 1

Sistemi di disequazioni
1.\left\{\begin{array}{ll}5x-25<0\\ 3x+4\geq 0\end{array} 2.\left\{\begin{array}{ll}6x-3\leq 0\\5x+7>0\end{array}

Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è del tipo

ax^2+bx+c>0\hspace{1cm}\left\{\begin{array}{lll}a, b, c \in\mathbb R\\a\neq 0\\x\text{ incognita}\end{array}

OSSERVAZIONE 1: Si suppone a ≠ 0 altrimenti si ricade nelle disequazioni di primo grado.

Per determinare l’insieme S delle soluzioni della disequazione distinguiamo vari casi.

Disequazioni di secondo grado

1. a > 0

Consideriamo ora il segno del discriminante Δ.

1.1 Δ ≡ b2 – 4ac < 0  → S\mathbb R

Infatti si ha ax^2+bx+c>0\Leftrightarrow \left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta {4a^2}\right]>0\hspace{1cm}x\in \mathbb R

1.2 \Delta =b^2-4ac=0\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}S=\mathbb R\setminus\left\{-\frac b{2a}\right\}

1.3 \Delta = b^2-4ac>0 \hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm}S=]-\infty,x_1[U]x_2,+\infty[ dove x1<x2 sono le due soluzioni di ax^2+bx+c=0,x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}

Infatti si ha

ax^2+bx+c>0\Leftrightarrow a\left[\left(x+\farc b{2a})^2-\frac\Delta{4a^2}\right]>0 \Leftrightarrow \left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right)>0

\Leftrightarrow (x-x_1)(x-x_2)>0 \Leftrightarrow x<x_1\text{ oppure }(x>x_2)

Disequazioni di secondo grado

Esaminiamo ora il caso in cui a<0

2. a< 0

Consideriamo il segno del discriminante Δ.

2.1 Δ = b24ac < 0 → S = 0

Infatti si ha

ax^2+bx+c>0\Leftrightarrow a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right]>0\hspace{0,5cm}\text{mai verificata}

2.2 Δ = b2 - 4ac = 0 → S = 0

Infatti si ha

ax^2+bx+c>0\Leftrightarrow a\left(x+\frac b {2a}\right)^2>0\hspace{0,5 cm}\text{mai verificata}

Disequazioni di secondo grado

2.3  Δ = b2 - 4ac > 0 → S = ]x1, x2[, dove x1<x2 sono le due soluzioni di

ax^2+bx+c=0,x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}

Infatti si ha

ax^2+bx+c>0\Leftrightarrow a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right]>0 \Leftrightarrow” /></p>
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Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado svolte

  • x- 6x + 5 > 0

\frac\Delta 4=3^2-5=4>0\hspace{0,5cm}x_{1,2}=3\pm2(x_1=1, x_2=5)

Siamo nel caso 1.3 (> 0, Δ > 0)

Soluzione: S =]-∞, 1[U]5, +∞[

  • x2 + x +1 > 0

Δ = 1 – 4 =  -3 < 0
Siamo nel caso 1.1 (a > 0, Δ < 0)
Soluzione: S = \mathbb R

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado svolte

  • x2 – 6x + 9 ≤ 0

La disequazione è equivalente a -x2 + 6x -9 ≥ 0
La soluzione è data dall’unione degli insiemi delle soluzioni di -x2 + 6x -9 ≥ 0 e  di x2 – 6x + 9 = 0.
Soluzione: S = {3}

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado svolte

  • -2x2 + 3x – 1 > 0

\Delta =3^2-4(-2)(-1)=9-8=1>0\hspace{1cm}x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt 1}{-4}(x_1=\frac 1 2 , x_2=1)
Siamo nel caso 2.3 (a < 0, Δ < 0)
Soluzione: S= ] ½, 1[

  • xx2 – 3 ≥ 0

Δ = 12 -4(-3)(-1) = -11 < 0
Siamo nel caso 2.1 (a < 0, Δ < 0)
Soluzione: S = 0

Esercizi svolti  su sistemi di disequazioni

1.\;\left\{\begin{array}{ll}x-9<0\\2x^2-x+7>0\end{array}

2.\;\left\{\begin{array}5x^2+5x-100\leq 0 \\ x^2-10x+21>0\end{array}

Disequazioni di secondo grado

Soluzioni

1.

Soluzione della prima disequazione S1 = ] -∞, 9[.

Soluzione della seconda equazione S2\mathbb R

Quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = ] -∞, 9[.

2.

Soluzione della prima disequazione S1 = ] -5, 4[.

Soluzione della seconda equazione S2 = ] -∞, 3[ ∪ ] 7, +∞[.

Quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = ] -5, 3[.

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado

  1. 1 – 12x+ 4< 0
  2. -x-2 ≤ 0
  3. 5x+ 20+ 20  ≤ 0
  4. -2x+ 1 > 0
  5. -2x- 7 ≥ 0

Sistemi di disequazioni

1.\; \left\{\begin{array}{ll}2x+19\leq 0 \\ 2x^2-4x+7\geq 0\end{array}

2.\;\left\{\begin{array}{ll}4x^2+5x-1\leq 0\\ 7x^2-11x+2>0\end{array}

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

Un modo alternativo di presentare la risoluzione di un’equazione di secondo grado può essere quello di determinare il segno di un polinomio di secondo grado

P(x) = ax2 + bx + c

Quindi, da quanto visto in precedenza, si ottiene

1. \Delta <0 \hspace{0,5cm} \Rightarrow \; P(x) assume lo stesso segno di a per ogni x ∈ \mathbb R

2.\; \Delta =0\hspace{0,5cm}\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}P(x)= 0\text{  per } x=-\frac b{2a}\text{ e}\\ \\P(x) \text{  ha lo stesso segno di } a \text{  per ogni } x\neq -\frac b{2a}\end{array}

3.\; \Delta >0\hspace{0,5cm}\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}P(x)=0\text{ nei due punti } x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}, x_1<x_2 \\ \\P(x)\text{  assume lo stesso segno di } a, \text{  per ogni } x\in ]-\infty, x_1[U]x_2, + \infty[\\ \\P(x)\text{  assume segno opposto a quello di }a, \text{  per ogni }x\in ]x_1,x_2[\end{array}

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

Esempi svolti

  • 3x2 + 9x + 6 > 0

Δ = 92 -72 = 9 >0 (caso 3)

Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = 3 > 0) per valori esterni alle radici dell’equazione.

Soluzione: = ] -∞, -2 [U] -1, +∞[

  • -x2 +x + 6> 0

Δ = 12 -4(-1)6 = 25 > 0 (caso 3)
Il polinomio assume segno opposto a quello di a (a = -1  < 0) per valori interni alle radici dell'equazione.
Soluzione: S  = ]-2, 3[

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

Esempi svolti

  • x2 + 10x + 100 ≤ 0

\frac\Delta 4 =5^2 -100 = 0
x= -5 è soluzione di x2 + 10x + 100 = 0

Il polinomio ha lo stesso segno di a (a = 1 > 0) per x ≠ -5 (caso 2)
Soluzione: S = {-5}

  • -x2 + x – 2 ≥ 0

Δ = 12 – 8 = -9 < 0 (caso 1)
Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = -1 < 0)
Soluzione: S = 0

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

Esempi svolti

  •  -2x2 + x – 3 <0

Δ = 12 – 6 = -5 < 0 (caso 1)
Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = -2 <0)

SoluzioneS = \mathbb R

Studio del segno di un polinomio di secondo grado

Esempi svolti

Stimare il segno dei seguenti polinomi

  1. P(x) = 6x2 + 2x + 7
  2. P(x) = x2 + x
  3. P(x) = x2 + 12x + 36
  4. P(x) = x2 – 4x – 5
  5. P(x) = -3x2 + x – 5
  6. P(x) = x2 – 16x + 64

Disequazioni di primo grado: Esercizi svolti

  1. -4x – 7 > 0
  2. 11 + 6x > 0
  3. 7x – 9 < 0
  4. 3x + 13 ≥ 0
  5. x – 6 < x + 5
  6. x – 7 ≥ x – 4

Soluzioni
1.\; x <-\frac 74;\hspace{1cm}S=]-\infty, -\frac 74[

2.\; x >-\frac {11}6;\hspace{1cm}S=] -\frac {11}6, +\infty[
3.\; x <-\frac 97;\hspace{1cm}S=]-\infty, -\frac 97[

4.\; x >-\frac {13}3;\hspace{1cm}S=] -\frac {13}3, +\infty[

5. \;S=\mathbb R

6.\; S=0

Disequazioni di secondo grado: Esercizi svolti

  1. x2 - ¼ > 0
  2. 3x2 + x + 2 ≥ 0
  3. 5x2 + 40x +80 < 0
  4. 6x2 – 5x +1 >0
  5. -3x2 + x – 7 ≥ 0

Disequazioni di secondo grado: Esercizi svolti

Soluzioni
1. caso 1.3 (a > 0, Δ > 0)
S = \left]-\infty, -\frac 1 2 [U]\frac 1 2, +\infty\right[

2. caso 1.1 (a > 0, Δ < 0)
S = \mathbb R

3. caso 1.2 (a > 0, Δ = 0)
S=0

4. caso 1.3 (a > 0, Δ > 0)
S=\left]-\infty, \frac 1 3 [U] \frac 1 2, +\infty\right[

5. caso 2.1 (a < 0, Δ < 0)
S=0

Sistemi di disequazioni: Esercizi svolti

1.\left\{\begin{array}{ll}x+7<0\\ x-13\geq 0\end{array}

2.\left\{\begin{array}{ll}x-5 <0\\x+17 >0\end{array}

3.\left\{\begin{array}{ll}x-17<0\\3x^2-2x+9\geq 0\end{array} 4.\left\{\begin{array}{ll}x^2-4x-21\leq 0 \\x^2 - 11x + 18> 0\end{array}

Soluzione

  1.  Soluzione del sistema S = 0.
  2. Soluzione del sistema S = ]-17, 5[.
  3. Soluzione del sistema S = ]-∞, 17[.
  4. Soluzione del sistema S = [-3, 2[.

Segno di un polinomio di secondo grado: Esercizi svolti

Studiare il segno dei seguenti polinomi

  1. P(x) = 5x2 + 2x + 3
  2. P(x) = x2 + 3x
  3. P(x) = x2 – 2x + 1
  4. P(x) = x2 – 11x + 30
  5. P(x) = -x2 + 3x -25
  6. P(x) = 3x2 + 18x +27

Segno di un polinomio di secondo grado: Esercizi svolti

Soluzioni

1. Δ < 0 (caso 1)

Il polinomio assume sempre lo stesso segno di a (a = 5 >0), P(x) > 0 per ogni x ∈ \mathbb R

2. Δ > 0 (caso 3)

P(x) > 0 per x ∈ ]-∞, -3[U]0, +∞[,

P(x) = 0 per x = -3, x = 0,

P(x) < 0 per x ∈ ]-3, 0[.

3. \frac\Delta 4 = 0 (caso 2) x = 1 è soluzione di x2 – 2x +1 =0

P(x) > 0 per x ≠ 1,

P(x) = 0 per x = 1.

Segno di un polinomio di secondo grado: Esercizi svolti

Soluzioni

4. Δ > 0 (caso 3)

P(x) > 0 per  x ∈ ]-∞, 5[U]6, +∞[,

P(x) = 0 per x =5, x = 6,

P(x) < 0 per  x ∈  ]5, 6[.

5. Δ < 0 (caso 1)

P(x) < 0 per x ∈ \mathbb R

6. \frac\Delta 4=0 (caso 2) x = -3 è soluzione di 3x2 + 18x + 27 = 0

P(x) > 0 per x ≠ -3,

P(x) = 0 per x = -3.

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