Sia ƒ : X ⊆ → una funzione reale di variabile reale.
Problema Per quali valori x ∈ X vale
f(x) > 0 ? (*)
La relazione (*) si dice disequazione nell’incognita x e risolvere la disequazione (*) significa determinare i valori di x ∈ X per i quali la (*) è
soddisfatta, cioè l’insieme
S = {x ∈ X : f(x) > 0} (insieme delle soluzioni)
OSSSERVAZINE 1: S= 0 ↔ disequazione impossibile
OSSERVAZIONE 2: Disequazione nella forma f(x)<0, f(x) > g(x), f(x) < g(x), etc …, possono essere messe facilmente nella forma (*).
OSSERVAZIONE 3: Risolvere le disequazioni nella forma f(x) ≥ 0 significa determinare i valori x ∈ X tali che sia verificata l’uguaglianza f(x) = 0 oppure la diseguaglianza f(x) > 0.
OSSERVAZIONE 4: Noto il grafico della funzione f(x) l’insieme S delle soluzioni dell’equazione f(x) > k è dato dalle ascisse x ∈ X dei punti del grafico che si trovano al di sopra della retta y = k.
Consideriamo un sistema di k disequazioni (k ∈ ). Ogni disequazione fi(x) > 0, (i = 1, 2, .., k), ammette l’insieme di soluzioni Si
L’insieme S delle soluzioni del sistema è dato da:
S = S1 ∩ S2 ∩ … ∩ Sk
Una disequazione di primo grado è del tipo
Per determinare l’insieme S delle soluzioni distinguiamo vari casi.
Ne segue
Ne segue
Disequazioni di primo grado
Sistemi di disequazioni
Una disequazione di secondo grado è del tipo
OSSERVAZIONE 1: Si suppone a ≠ 0 altrimenti si ricade nelle disequazioni di primo grado.
Per determinare l’insieme S delle soluzioni della disequazione distinguiamo vari casi.
1. a > 0
Consideriamo ora il segno del discriminante Δ.
1.1 Δ ≡ b2 – 4ac < 0 → S =
Infatti si ha
1.2
1.3 dove x1<x2 sono le due soluzioni di
Infatti si ha
Esaminiamo ora il caso in cui a<0
2. a< 0
Consideriamo il segno del discriminante Δ.
2.1 Δ = b2 – 4ac < 0 → S = 0
Infatti si ha
2.2 Δ = b2 - 4ac = 0 → S = 0
Infatti si ha
2.3 Δ = b2 - 4ac > 0 → S = ]x1, x2[, dove x1<x2 sono le due soluzioni di
Infatti si ha
Disequazioni di secondo grado svolte
Siamo nel caso 1.3 (a > 0, Δ > 0)
Soluzione: S =]-∞, 1[U]5, +∞[
Δ = 1 – 4 = -3 < 0
Siamo nel caso 1.1 (a > 0, Δ < 0)
Soluzione: S =
Disequazioni di secondo grado svolte
La disequazione è equivalente a -x2 + 6x -9 ≥ 0
La soluzione è data dall’unione degli insiemi delle soluzioni di -x2 + 6x -9 ≥ 0 e di x2 – 6x + 9 = 0.
Soluzione: S = {3}
Disequazioni di secondo grado svolte
Siamo nel caso 2.3 (a < 0, Δ < 0)
Soluzione: S= ] ½, 1[
Δ = 12 -4(-3)(-1) = -11 < 0
Siamo nel caso 2.1 (a < 0, Δ < 0)
Soluzione: S = 0
Esercizi svolti su sistemi di disequazioni
Soluzioni
1.
Soluzione della prima disequazione S1 = ] -∞, 9[.
Soluzione della seconda equazione S2 =
Quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = ] -∞, 9[.
2.
Soluzione della prima disequazione S1 = ] -5, 4[.
Soluzione della seconda equazione S2 = ] -∞, 3[ ∪ ] 7, +∞[.
Quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = ] -5, 3[.
Disequazioni di secondo grado
Sistemi di disequazioni
Un modo alternativo di presentare la risoluzione di un’equazione di secondo grado può essere quello di determinare il segno di un polinomio di secondo grado
P(x) = ax2 + bx + c
Quindi, da quanto visto in precedenza, si ottiene
assume lo stesso segno di a per ogni x ∈
Esempi svolti
Δ = 92 -72 = 9 >0 (caso 3)
Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = 3 > 0) per valori esterni alle radici dell’equazione.
Soluzione: S = ] -∞, -2 [U] -1, +∞[
Δ = 12 -4(-1)6 = 25 > 0 (caso 3)
Il polinomio assume segno opposto a quello di a (a = -1 < 0) per valori interni alle radici dell'equazione.
Soluzione: S = ]-2, 3[
Esempi svolti
x= -5 è soluzione di x2 + 10x + 100 = 0
Il polinomio ha lo stesso segno di a (a = 1 > 0) per x ≠ -5 (caso 2)
Soluzione: S = {-5}
Δ = 12 – 8 = -9 < 0 (caso 1)
Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = -1 < 0)
Soluzione: S = 0
Esempi svolti
Δ = 12 – 6 = -5 < 0 (caso 1)
Il polinomio assume lo stesso segno di a (a = -2 <0)
Soluzione: S =
Esempi svolti
Stimare il segno dei seguenti polinomi
Soluzioni
Soluzioni
1. caso 1.3 (a > 0, Δ > 0)
2. caso 1.1 (a > 0, Δ < 0)
3. caso 1.2 (a > 0, Δ = 0)
4. caso 1.3 (a > 0, Δ > 0)
5. caso 2.1 (a < 0, Δ < 0)
Soluzione
Studiare il segno dei seguenti polinomi
Soluzioni
1. Δ < 0 (caso 1)
Il polinomio assume sempre lo stesso segno di a (a = 5 >0), P(x) > 0 per ogni x ∈
2. Δ > 0 (caso 3)
P(x) > 0 per x ∈ ]-∞, -3[U]0, +∞[,
P(x) = 0 per x = -3, x = 0,
P(x) < 0 per x ∈ ]-3, 0[.
3. (caso 2) x = 1 è soluzione di x2 – 2x +1 =0
P(x) > 0 per x ≠ 1,
P(x) = 0 per x = 1.
Soluzioni
4. Δ > 0 (caso 3)
P(x) > 0 per x ∈ ]-∞, 5[U]6, +∞[,
P(x) = 0 per x =5, x = 6,
P(x) < 0 per x ∈ ]5, 6[.
5. Δ < 0 (caso 1)
P(x) < 0 per x ∈
6. (caso 2) x = -3 è soluzione di 3x2 + 18x + 27 = 0
P(x) > 0 per x ≠ -3,
P(x) = 0 per x = -3.
1. Elementi di teoria degli insiemi, numeri reali, retta reale e piano cartesiano
2. Luoghi geometrici nel piano
3. Funzioni reali di variabili reali
5. Funzioni trigonometriche e loro inverse
6. Equazioni e sistemi di equazioni
7. Disequazioni e sistemi di disequazioni
8. Equazioni e disequazioni relative a prodotto e quoziente di funzioni