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Maria Rosaria Posteraro » 1.Elementi di teoria degli insiemi, numeri reali, retta reale e piano cartesiano


Insiemi

“Un insieme è una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tratto unico; tali oggetti si dicono elementi dell’insieme.” Georg Cantor

Non ci occuperemo di fornire una definizione rigorosa di cosa sia un insieme in generale. Ci limiteremo a considerare un insieme A assegnato non appena siano assegnati gli elementi di A e porremo:

x ∈ A (x appartiene ad A)

per denotare che l’elemento x appartiene all’insieme A oppure:

x ∉ A (x non appartiene ad A)

per denotare che l’elemento x non appartiene all’insieme A.

Si denota con Ø (insieme vuoto) un insieme privo di elementi.

Un insieme di salamandre

Un insieme di salamandre


Alcuni insiemi numerici noti

N = {1,2,3,4…} Numeri naturali

Z = {…, -2,-1,0,1,2, …} Numeri interi relativi

Q = {n/m : n,m ∈Z, m ≠ 0} Numeri razionali

Gli insiemi numerici appena elencati si riterranno noti. A proposito di N, Z, Q si ricorda che:

  • essi sono totalmente ordinati nel senso che, presi x e y con x ≠ y, vale:
    • x < y (x minore di y) oppure x > y (x maggiore di y)
  • in essi è possibile definire operazioni tra i loro elementi, in particolare:
    1. in N è possibile definire la somma e il prodotto tra due numeri: x+y, x⋅y
    2. in Z è possibile definire la somma, il prodotto e la differenza tra due numeri: x+y, x⋅y, x-y
    3. in Q è possibile definire la somma, il prodotto, la differenza e il rapporto tra due numeri: x+y, x⋅y, x-y, x/y

Tutte le proprietà relative alle relazioni d’ordine e alle operazioni in N, Z, Q saranno ritenute note.

Osservazione: In Q sono identificate le frazioni che, ridotte ai minimi termini, forniscono la stessa frazione; ad esempio:

(-2)/10 = 4/(-20) = -(1/5)

Sottoinsiemi

Definizione: Si dice che l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B e si pone:

A ⊆ B (A è incluso in B) se ogni elementi di A è anche un elemento di B.

Se poi A ⊆ B ed esiste un elemento di B non appartenente a A si pone

A ⊂ B (A è incluso propriamente in B) e si dice che A è un sottoinsieme proprio di B.

Per convenzione si assume che l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.

Se vale A ⊆ B e B ⊆ A si dice che gli insiemi A e B sono uguali e si pone A=B.

Alcune semplici osservazioni:

  • A ⊆ A, ma non vale A A;
  • se vale A B allora vale A ⊆ B, ma in generale non è vero il viceversa;
  • se x è un elemento di A, si può scrivere:
    • x∈A (x appartiene ad A) oppure
    • {x}⊆ A (l’insieme {x} costituito dal solo elemento x è un sottoinsieme di A)

Operazioni tra insiemi

Siano A e B due insiemi:

  • insieme unione: A ∪ B = {elementi che appartengono ad A oppure a B}
  • insieme intersezione: A ∩ B = {elementi che appartengono ad A e a B}
  • insieme differenza o complementare di B rispetto ad A: A\B = {elementi che appartengono ad A e non a B}

Osservazione: Molto spesso si opera su insiemi definiti come sottoinsiemi di uno stesso “insieme ambiente” S. In questo caso, se A ⊆ S si denota con Ā l’insieme:

Ā = S\A

cioè si omette il riferimento all’insieme ambiente S.

Le operazioni tra insiemi

Le operazioni tra insiemi


Operazioni tra insiemi

Insieme ambiente S=\mathbb{N}
A = { numeri pari } = { 2, 4, 6, 8, … }
B = { numeri dispari }= { 1, 3, 5, 7, … }
C = { numeri primi }={ 1,2,3,5,7,11, …}
D = { numeri multipli di 3 }= { 3,6,9,12, …}
E = { numeri primi dispari }={ 1,3,5,7,11, … }
È facile verificare che valgono le seguenti affermazioni:

  1. 15 è un elemento di B,D; 15 non è un elemento di A,C,E
  2. E ⊂ B, E ⊂ C
  3. A ∪ B = \mathbb{N}
  4. A ∩ B = 0
  5. A ∩ C = {2}
  6. B ∪ C = {1,2,3,5,7,9,11, …} = {numeri dispari e numero 2}
  7. B ∩ C = E
  8. A ∩ D = {6,12,18, …} = {numeri multipli di 6}
  9. D\B = {6,12,18, …} = {numeri multipli di 6}
  10. \bar A = B, \bar B=A

Numeri reali

Definizione: L’insieme dei numeri reali, denotato con R, è un campo ordinato e completo.

Nelle unità formative successive viene chiarito il significato della definizione precedente.

R è un campo

Dire che R è un campo equivale a dire che sono definite due operazioni: somma “+” e prodotto “⋅” con le seguenti proprietà:

  • commutatività: x+y=y+x , x⋅y=y⋅x
  • associatività: x+(y+z)=(x+y)+z , x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z
  • esistenza dell’elemento neutro rispetto alla somma [0(zero)] e rispetto al prodotto [1(uno)]: x+0=x , x⋅1=x
  • esistenza dell’elemento simmetrico di x rispetto alla somma, denotato con -x (opposto di x), e dell’elemento simmetrico di x≠0 rispetto al prodotto, denotato con x-1 (reciproco di x):
    • x + (-x) = 0
    • x⋅x-1=1 , x ≠ 0
  • proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: x⋅(y+z) = x⋅y+x⋅z

Osservazione: Si pone

  • x – y = x + (-y)
  • x/y = x⋅y-1

R è totalmente ordinato

In R è definita una relazione di ordine (totale) denotata con “<” tale che se x≠y vale:

  • x<y (x minore di y, x precede y) oppure
  • y<x (y minore di x, y precede x)

La relazione d’ordine ha le seguenti proprietà:

  • antisimmetria: se x<y allora non vale y<x;
  • transitività: se x<y e y<z allora x<z.

Infine le operazioni e la relazione d’ordine definite in R sono tra loro compatibili nel senso che vale:

  • se x<y allora x+y < y+z per ogni z∈R;
  • se x<y e z>0 allora x⋅z<y⋅z

R è totalmente ordinato

Osservazione: La notazione x>y (x maggiore y) è utilizzatatalvolta al posto della notazione y<x. Inoltre le notazioni:

  • x≤y (x minore o uguale di y) oppure
  • x≤y (x maggiore o uguale di y)

si usano per denotare che x e y sono nelle relazioni d’ordine indicate oppure sono uguali.

Osservazione: I numeri che precedono lo 0 (x<0) si dicono negativi; i numeri che seguono lo zero (0<x) si dicono positivi.

R è completo

Dire che R è completo vuol dire che è verificata la proprietà seguente.

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R tali che:

  • A∪B = R
  • A∩B = Ø
  • se a∈A e b∈B allora a<b

La proprietà di completezza di R può essere enunciata affermando che per ogni coppia di insiemi A e B con le proprietà elencate sopra esiste un unico numero c∈R tale che:

a ≤ c ≤ b per ogni a∈A e b∈B

L’elemento c si dice elemento separatore di A e B.

Osservazione: L’insieme Q è un campo ordinato ma non è completo.

Le relazioni tra N, Z, Q ed R saranno chiarite successivamente.

Proprietà dei numeri reali

Se a, b, c sono numeri reali valgono le seguenti proprietà:

  1. a⋅0 = 0
  2. a⋅b=0 se e solo se a=0 oppure b=0 (Legge di annullamento del prodotto)
  3. (-1)⋅a = -a
  4. a>0 se e solo se -a<0
  5. se a≠0 allora a⋅a>0
  6. a>0 se e solo se a-1>0
  7. se a<b , c<0 allora a⋅c > b⋅c
  8. se 0<a<b allora a-1>b-1

Tutte le proprietà possono essere dimostrate facendo uso degli assiomi relativi alle operazioni e alla relazione di ordine in R.

N, Z, Q come sottoinsiemi di R

Partendo dai numeri reali si possono definire N, Z, Q come sottoinsiemi di R.

L’insieme dei numeri naturali N è il più piccolo sottoinsieme di R tale che:

  • 1∈N
  • se n∈N allora (n+1)∈N

L’insieme N è pertanto costituito dai numeri: 1, 1+1, (1+1)+1, …

Se si usa la rappresentazione decimale tali numeri si denotano 1, 2, 3 …

Una volta che si sono assegnati i numeri naturali è possibile identificare i numeri interi relativi Z nella maniera seguente:

Z = N ∪ {opposti dei numeri naturali} ∪{0}

Per quanto riguarda i numeri razionali, si pone:

Q = {n/m : n,m ∈ Z, m≠0}

Il complemento di Q (R\Q) è non vuoto e i suoi elementi si dicono irrazionali.

L’affermazione che R\Q≠0 è giustificata ad esempio dal fatto che in R esiste un x>0 tale che x⋅x=2. Tale numero si dice “radice quadrata di 2″ ed è ben noto che non può essere un numero razionale, pertanto esso appartiene a R\Q.

Approfondimento

La radice quadrata di 2 non è un numero razionale

Consideriamo il problema di determinare un numero razionale x>0 tale che x2=2 (ricordiamo che x2=x⋅x).

Un numero razionale x>0 può scriversi nella forma x=(n/m), n, m∈ N

Si possono evidentemente scegliere n e m primi tra loro, cioè privi di fattori comuni. Se, per assurdo, x2=2, deve valere:

n2/m2 = 2 ⇒ n2=2m2

Evidentemente n è pari. D’altra parte vale n⋅n/2 = m2

e, poichè n è pari, lo deve essere anche m; ciò conduce ad una contraddizione poichè n ed m sono primi tra loro. Quindi x2=2 non è verificata se x∈Q.

Rappresentazione decimale

Come è ben noto si possono rappresentare i numeri naturali e interi facendo uso della notazione decimale:

  • N = {1, 2, 3 …}
  • Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}

E’ possibile rappresentare anche i numeri razionali facendo uso di allineamenti decimali. Ad esempio, consideriamo il numero razionale q=4/5 le usuali regole della divisione consentono di affermare che il numero q può essere rappresentato dall’allineamento decimale 0,8. Nella tabella in figura vengono riportati alcuni esempi di rappresentazioni decimali.

Gli elementi decimali che compaiono nella tabella sono caratterizzati da due elementi: la parte intera e la parte decimale.

-1 (parte intera), 3333… (parte decimale)

Rappresentazione decimale di numeri razionali

Rappresentazione decimale di numeri razionali


Parte intera e parte decimale

La parte intera rappresenta un numero intero ed è costituita da un numero finito di cifre. La parte decimale è un allineamento infinito di cifre avente la seguente proprietà: da una certa cifra in poi un gruppo di una o più
cifre si ripete infinite volte. Si utilizza la seguente notazione:

-1,333 ... = 1,\bar 3

La barretta su una 0 più cifre denota il fatto che il gruppo di cifre si ripete infinite volte.
OSSERVAZIONE: Nella preoedente discussione rientrano anche rappresentazioni decimali apparentemente costituite da un numero finito di cifre. Infatti si può porre, ad esempio

1,4 = 1,40000 ... = 1,4\bar 0

sottointendendo che la cifra \bar 0 si ripete infinite volte (\bar 0 sarà sempre omesso).
Un allineamento decimale che ha le proprieta descritte sopra si dice allineamento decimale periodico. Esempi di allineamento decimale periodico:

2,4;\;\; -1,\overline{62};\;\; 0,31\overline{34}

La parte decimale di un numero periodico viene scomposta in periodo (le cifre segnate) e antiperiodo (la parte che precede il periodo).

Esempio

0,\;\; \overbrace{31}^{\text{antiperiodo}}\;\;\overbrace{\overline{34}}^{\text{periodo}}

Parte intera e parte decimale

Sia assegnato un allineamento decimale periodico positivo nella forma:

a_1a_2 ... a_i,\; b_1b_2 ...b_j, \; \overline{c_1c_2 ...c_p}\left\{\begin{array}{lll} i \text{ numero di cifre della parte intera} \\ j \text{ numero di cifre dell'antiperiodo}\\ p \text{ numero di cifre del periodo}\end{array}

Siano

n=\underbrace{a_1a_2...a_i b_1b_2...b_j c_1c_2...c_p}_{\text{allineamento senza virgola e senza segno di periodo}} - \underbrace{a_1a_2...a_ib_1b_2...b_j}_{\text{parte dell'allineamento che precede il periodo}}

m=\underbrace{99...9}_{\text{p volte il numero 9 (se p=0 si scrive 1)}} \;\;\underbrace{00...0}_{\text{j volte il numero 0}}

Si ha a_1a_2...a_i,\; b_1b_2...b_j,\; \overline {c_1c_2...c_p}=\frac n m

OSSERVAZIONE: Se l’allineamento decimale è negativo, una frazione generatrice si determina applicando il procedimento descritto sopra al numero cambiato di segno (cioè positivo) e cambiando di nuovo segno alla frazione ottenuta.

1. Scrivere in forma decimale i seguenti numeri razionali: \frac{11}{13}\;\;\; \frac{54}{25}

Soluzione \frac{11}{13}=0,\overline{846153},\;\; \frac{54}{25}=2,16

2. Determinare le frazioni generatrici dei seguenti allineamenti: 2,4\;\;\;1,\overline{62}\;\;\;0,31\overline{34}

Soluzione

2,4=\frac{24}{10}=\frac{12}5

1,\overline{62}=\frac{162-1}{99}=\frac{161}{99}

 

 

 

Corrispondenza tra numeri razionali e allineamenti periodici

Non è difficile convincersi del fatto che ad ogni numero razionale si può associare un allineamento periodico (basta fare la divisione). Viceversa, si può far vedere che ad ogni allineamento periodico si può associare un numero razionale, ovvero, si può determinare una frazione che lo genera (frazione generatrice). La corrispondenza tra numeri razionali e allineamenti decimali periodici è uno ad uno, se si usa la seguente convenzione: quando un allineamento decimale fa periodo pari a 9, esso viene identificato con l’allineamento che si ottiene incrementando di 1 la cifra immediatamente precedente il periodo e ponendo il periodo uguale a 0.

Esempi

1,\bar 9 = 2

3,1\bar 9 = 3,2

-0,\bar 9 = - 1


Allineamenti decimali e numeri reali

E’ possibile far vedere che i numeri reali si possono rappresentare mediante allineamenti decimali in cui la parte decimale è del tutto arbitraria (periodica e non).

Questo tipo di rappresentazione evidentemente estende quella data per i numeri razionali.

Ad esempio la “radice quadrata di 2″ usualmente denotata con il simbolo √2 ammette la rappresentazione decimale

√2 = 1, 41421356 …

Le cifre della parte decimale non hanno le proprietà di fornire un allineamento periodico (se così fosse √2 sarebbe un numero razionale).

Retta reale

Sia r una retta su cui si fissa un punto O detto origine ed un verso positivo (rette orientata). Sia, inoltre U ≠ O un altro punto sulla retta r.
Il segmento OU sarà utilizzato come unità di misura, per le misure dei segmenti.
Preso un generico punto P su r, indicheremo con \overline {OP} la sua misura rispetto al segmento unitario. Al punto P associamo il numero reale ( ascissa di P) nella maniera seguente:

x=\left\{\begin{array}{lll} \overline{OP}\;\;\;\;\;\;\;\; \text{ se P segue O nel verso positivo}\\ 0\;(zero)\;\; \text{se P=0}\\ -\overline{OP}}\;\;\;\;\;\; \text{se P precede O nel verso positivo}\end{array}

Retta reale

Si può far vedere che l’assioma di completezza dei numeri reali e l’assioma di continuità della retta consentono di affermare che ad ogni punto P sulla retta corrisponde un unico x ∈ R che è la sua ascissa e, viceversa, ad ogni numero x ∈ R si può associare un unico punto P sulla retta la cui ascissa è x.

La semiretta di origine O contenente i punti di ascissa positiva (negativa) è detta semiretta positiva (negativa).

Inoltre, se a è l’ascissa di un punto A e b è l’ascissa di un punto B, allora a<b se e solo se A precede B sulla retta secondo il verso positivo.

Ogni volta che su una retta orientata si identificano i punti della retta con i numeri reali secondo la definizione data sopra si parla di retta reale.

Distanza tra due punti sulla retta

Siano P e Q, rispettivamente di ascisse x1 e x2, due punti sulla retta reale r.

La distanza di P da Q vale:

\overline {PQ}=|x_1-x_2|

dove, per ogni numero reale x, si pone:

|x|=\left\{\begin{array}{ll} x\;\;\;\;\;\;\; \text{se }x\geq 0 \\-x\;\;\;\; \text{se }x< 0\end{array}\;\;\; \text{(valore assoluto o modulo di)}x

Distanza tra due punti sulla retta

Distanza tra due punti sulla retta


Intervalli

Definiamo i seguenti sottoinsiemi di numeri reali:

  • (a) intervallo chiuso [a,b]={x∈R : a ≤ x ≤ b}
  • (b) intervallo semiaperto [a,b[={x∈R : a ≤ x < b}
  • (c) intervallo semiaperto ]a,b]={x∈R : a < x ≤ b}
  • (d) intervallo aperto ]a,b[={x∈R : a < x < b}

con a e b ∈R che si dicono estremi dell'intervallo.

La notazione di intervallo viene utilizzata anche per i seguenti insiemi:

  • (e) [a, +∞[ = {x∈R : x ≥ a}
  • (f) ]a, +∞[ = {x∈R : x > a}
  • (g) ]-∞, a] = {x∈R : x ≤ a}
  • (h) ]-∞, +∞[ = R
Rappresentazione di intervalli sulla retta

Rappresentazione di intervalli sulla retta


Piano cartesiano

Consideriamo un piano euclideo e fissiamo in esso un punto O, detto origine. Siano r e s due rette orientate passanti per O, ortogonali tra di loro, come in figura. Ognuna delle parti in cui resta diviso il piano si chiama quadrante. I quadranti vengono ordinati seguendo il senso antiorario come in figura.

Si dice che si è fissato un riferimento cartesiano ortogonale. Se le unità di misura fissate su r e s sono uguali si dirà che il riferimento è monometrico.

Ogni volta che si fissa un punto P sul piano si possono tracciare le due rette r1 e s1 passanti per P e parallele a r e s rispettivamente. La retta s1 incontra r in un punto P1 al quale corrisponde un numero reale x; la retta r1 incontra s in un punto P2 al quale corrisponde un numero reale y. Pertanto al punto P si associa la coppia ordinata di numeri reali (x,y)∈R2 dove x si dice ascissa e y si dice ordinata del punto P.

Non è difficile far vedere che ad ogni punto P corrisponde un’unica coppia ordinata di numeri reali (x,y) e, viceversa, ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x,y) corrisponde un unico punto del piano P. L’ascissa e l’ordinata di P si dicono coordinate di P e si fa la seguente identificazione P=(x,y).

Piano Cartesiano

Piano Cartesiano


Distanza tra due punti del piano e punto medio di un segmento

Siano P=(x2, y2) e  Q= (x2, y2) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale:

\overline{PQ}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

(si utilizza il Teorema di Pitagora).

Il punto medio M del segmento PQ ha coordinate:

M=\left(\frac{x_1+x_2}2, \frac{y_1+y_2}2\right)

(si usano le proprietà dei triangoli simili PNQ, PM2M, MM1Q). Si veda Figura 2

 

 

Esempio 2
Figura 2
Esempio 1

I materiali di supporto della lezione

ALVINO A. - TROMBETTI G.: Elementi di Matematica I, ed Liguori.

ALVINO A. - CARBONE L. - TROMBETTI G. : Esercitazioni di Matematica I/1,2, ed Liguori.

MARCELLINI – SBORDONE: Elementi di Matematica, ed Liguori.

MARCELLINI – SBORDONE Esercitazioni di Matematica - I volume – parte prima.

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