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Maria Rosaria Posteraro » 8.Equazioni e disequazioni relative a prodotto e quoziente di funzioni

Equazioni relative al prodotto di funzioni

Siano f e g due funzioni reali

$f:X_1 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R\hspace{2cm}g:X_2 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R$

Assumiamo che l’insieme X in cui sono definite entrambe sia non vuoto

$X=X_1 \cap X_2 \neq 0$

Problema Risolvere l’equazione

$f(x)\cdot g(x) = 0.$

L’equazione precedente è verificata se e solo se vale:

$f(x) = 0$ oppure $g(x) = 0$ per x ∈ X.

In altri termini le soluzioni sono determinate da quelle di uno dei due sistemi

$\left\{\begin{array}{ll}x\in X \\f(x)=0\end{array}\hspace{1,5cm}\begin{array}{cc}\text{oppure} \\ (\cup)\end{array}\hspace{1,5cm} \left\{\begin{array}{ll} x \in X \\ g(x)=0\end{array}$

OSSERVAZIONE: Se X = $\mathbb R$ la prima condizione nei sistemi precedenti può essere omessa.

Equazioni relative al prodotto di funzioni

Esempi svolti

(x – 3) · (x² – 5x + 4) = 0

$\begin{array}{lll} x-3 =0\hspace{1,5cm}\cup\hspace{1,5cm} x^2-5x+4=0\\ \;\;\;\;\;\Updownarrow\hspace{5,5cm} \Updownarrow \\ x=3\hspace{2,1cm}\cup\hspace{1,5cm}(x_1=1, x_2=4)\end{array}$
Soluzione: S = {1, 3, 4}

x · log x = 0

$X_1 = \mathbb R\hspace{1cm}X_2=]0,+\infty[\hspace{1cm}\Rightarrow X=]0,+\infty[$

$\left\{\begin{array}{ll}x\in ]0,+\infty[ \\ x=0\end{array}\hspace{1cm}\cup\hspace{1cm}\left\{\begin{array}{ll}x\in]0,+\infty[\\ \text{log }x=0\end{array}$

$\begin{array}{ll}\Updownarrow\\0\end{array}\hspace{5cm}\begin{array}{ll}\Updownarrow\\x=1\end{array}$

Soluzione: S = {1}

Disequazioni relative al prodotto di funzioni

Siano f e g due funzioni reali

$f:X_1 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R\hspace{2cm}g:X_2 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R$

Assumiamo che l’insieme X in cui sono definite entrambe sia non vuoto.

Problema Risolvere l’equazione

$f(x)\cdot g(x) > 0.$

La disequazione precedente è verificata se e solo se vale:

$\left\{\begin{array}{ll}f(x)>0 \\g(x)>0\end{array}\hspace{1,5cm}\text{oppure} \hspace{1,5cm} \left\{\begin{array}{ll}f(x)<0 \\g(x)<0\end{array}$ In altri termini le soluzioni sono determinate da quelle dei sitemi: $\left\{\begin{array}{lll}x\in X\\f(x)>0 \\g(x)>0\end{array}\hspace{1,5cm}\cup \hspace{1,5cm} \left\{\begin{array}{ll}x\in X \\f(x)<0 \\g(x)<0\end{array}$

Disequazioni relative al prodotto di funzioni

Esempi svolti

$(x+1)(x^2-5x+4)>0\hspace{0,5cm}\Leftrightarrow \hspace{0,5cm}\left\{\begin{array}{ll}x+1>0\\x^2-5x+4>0\end{array}\cup\left\{\begin{array}{ll}x+1<0\\x^2-5x+4<0\end{array}$

Risoluzione del primo sistema
$\left\{\begin{array}{ll}x+1>0\\x^2-5x+4>0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x>-1\\x\in]-\infty,1[U]4,+\infty[\end{array}\Leftrightarrow x\in]-1,1[U]4,+\infty[$

$x+1>0$

$x^2-5x+4>0$

Metodo grafico - Risoluzione al primo sistema

Disequazioni relative al prodotto di funzioni

Risoluzione del secondo sistema

$\left\{\begin{array}{ll}x+1<0\\x^2-5x+4<0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x<-1\\x\in]1,4[\end{array}\hspace{2cm}\text{mai verificata}$

Soluzione: S= ]-1, 1[U]4, + ∞[

$x(x^2+x+1)<0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x>0\\x^2+x+1<0\end{array}\cup\left\{\begin{array}{ll}x<0\\x^2+x+1>0\end{array}$

$\left\{\begin{array}{ll}x>0\\x^2+x+1<0\text{ mai verificata}\end{array}\Rightarrow \text{ il sistema non ha soluzioni}$

$\left\{\begin{array}{ll}x<0\\x^2+x+1>0\end{array}\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x<0\\x\in\mathbb R\end{array}$

Soluzione: S= ]-∞, 0[

Equazioni relative al quoziente di funzioni

Siano f e g due funzioni reali

$f:X_1 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R\hspace{2cm}g:X_2 \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R$

Assumiamo che l’insieme X in cui sono definite entrambe e g(x) ≠ 0 sia non vuoto

$X=X_1 \cap \tilde X_2 \neq 0$

dove $\tilde X_2=\{x\in X_2 : g(x)\neq 0\}.$

Problema Risolvere l’equazione

$\frac{f(x)}{g(x)}$

L’equazione precedente è verificata se e solo se vale:

$f(x)=0\hspace{3cm}\text{per }x\in X,$

cioè

$\left\{\begin{array}{ll}x\in X\\f(x)=0\end{array}$

Equazioni relative al quoziente di funzioni

Esempi svolti

$\frac{x+1}{x^2-3x+2}=0$

$\left\{\begin{array}{ll}x^2-3x+2\neq 0\\ x+1=0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x\neq -2\\x=-2\text{ opp. } x=-3\end{array}$

Soluzione: S = {-3}

$\frac x {\text{log }x}=0$

$\left\{\begin{array}{ll}x>0\text{ insieme dove e' definito log }x\\ x\neq 1\text{ insieme dove e' definito log }x\neq 0\\ x=0\end{array}$
Soluzione: S = 0

Disequazioni relative al quoziente di funzioni

Esempi svolti

$\frac{x-3}{x^2-5x+4}>0\hspace{0,5cm}\Leftrightarrow\hspace{0,5cm}\left\{\begin{array}{ll}x-3>0\\x^2-5x+4>0\end{array}\cup\left\{\begin{array}{ll}x-3<0\\x^2-5x+4<0\end{array}$

Risoluzione del primo sistema

$\left\{\begin{array}{ll}x-3>0\\x^2-5x+4>0\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x>3\\x\in]-\infty,1[U]4,+\infty[\end{array}\Leftrightarrow x\in ]4, +\infty[$