Sia una funzione reale di variabile reale.
Problema Per quali valori x ∈ X vale
f(x) = 0? (*)
La relazione (*) si dice equazione nell’incognita x e risolvere l’equazione (*) significa determinare il o valori di x appartenenti al dominio di ƒ per i quali la (*) è soddisfatta, cioè l’insieme
S = {x ∈ X : f(x) = 0} (insieme delle soluzioni)
Osservazione 1: S = 0 ↔ equazione impossibile
Osservazione 2: Equazioni nelle forme ƒ(x) = c (= costante) o più in generale ƒ(x) = g(x). possono essere messe facilmente nella forma (*)
Osservazione 3: Noto il grafico della funzione ƒ(x), l’insieme delle delle soluzioni dell’equazione è l’insieme delle ascisse x ∈ X dei punti in cui il grafico interseca l’asse x.
Consideriamo un insieme di equazioni ciascuna delle quali ammette un insieme di soluzioni:
Risolvere un sistema di disequazioni vuol dire determinare l’insieme
Un equazione del primo grado è del tipo
Vogliamo determinare l’insieme S delle soluzioni. Si ha:
1. a = 0
2. a ≠ 0
ATTIVITA’
Risolvere le equazioni di rimo grado
ESEMPIO
Equazione di primo grado svolte
Un equazione di secondo grado è del tipo
OSSERVAZIONE 1: Si suppone a ≠ 0 altrimenti si ricade nelle equazioni di primo graado.
OSSERVAZIONE 2: Vale l’eguaglianza
Si chiama discriminante la quantità
Per risovere l’equazione di secondo grado usiamo:
Infatti e l’equazione non ha soluzioni reali perché un quadrato è sempre non negativo. Infatti e l’equazione ha un’unica soluzione.
Infatti
e l’equazione ha due soluzioni distinte.
OSSERVAZIONE (Formula ridotta) Se b è divisibile per due può essere conveniente scrivere ed utilizzare la formula risolutiva al punto 3) nella forma:
Risoluzione di equazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado svolte
Esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado
Soluzioni:
Usando la formula ridotta si ha:
Esercizi svolti su sistemi di equazioni
Soluzioni
1. Soluzione della prima equazione S1={-1}, soluzione della seconda equazione S2={-1, 5}, quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = {-1}.
2. Soluzione della prima equazione S1={-2, 3}, soluzione della seconda equazione S2={1}, quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = 0.
ATTIVITA’
Equazioni di secondo grado
Sistemi di equazioni
Risolvere le equazioni di primo grado
Soluzioni
Equazioni di secondo grado
Soluzioni
Risolvere i seguenti sistemi di equazioni
Soluzioni
1. Elementi di teoria degli insiemi, numeri reali, retta reale e piano cartesiano
2. Luoghi geometrici nel piano
3. Funzioni reali di variabili reali
5. Funzioni trigonometriche e loro inverse
6. Equazioni e sistemi di equazioni
7. Disequazioni e sistemi di disequazioni
8. Equazioni e disequazioni relative a prodotto e quoziente di funzioni