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Maria Rosaria Posteraro » 6.Equazioni e sistemi di equazioni


Equazioni

Sia f : X \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R una funzione reale di variabile reale.
Problema Per quali valori x ∈ X vale

f(x) = 0? (*)

La relazione (*) si dice equazione nell’incognita x e risolvere l’equazione (*) significa determinare il o valori di x appartenenti al dominio di ƒ per i quali la (*) è soddisfatta, cioè l’insieme

S = {x ∈  X : f(x) = 0} (insieme delle soluzioni)

Osservazione 1: S = 0 ↔ equazione impossibile

Osservazione 2: Equazioni nelle forme ƒ(x) = c (= costante) o più in generale ƒ(x) = g(x). possono essere messe facilmente nella forma (*)

Osservazione 3: Noto il grafico della funzione ƒ(x), l’insieme delle delle soluzioni dell’equazione \overline{f(x)=0} è l’insieme delle ascisse x ∈ X dei punti in cui il grafico interseca l’asse x.


Sistemi di equazioni

Consideriamo un insieme di equazioni ciascuna delle quali ammette un insieme di soluzioni:

\left\{\begin{array}{lllll} f_1(x) = 0 \rightarrow S_1 \\ f_2(x) = 0 \rightarrow S_2 \\  \vdots \\ \vdots \\ f_k(x) = 0 \rightarrow S_k\end{array}

Risolvere un sistema di disequazioni vuol dire determinare l’insieme

S = S_1 \cap S_2 \cap  ... \;S_k

Equazioni di primo grado

Un equazione del primo grado è del tipo

ax + b = 0 \;\;\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{ll} a, b\in \mathbb R \\ x\text{  incognita}\end{array}

Vogliamo determinare l’insieme S delle soluzioni. Si ha:

1. a = 0 

\left\{\begin{array}{ll}b = 0 \Rightarrow S = \mathbb R \\ b\neq 0 \Rightarrow S = 0 \;\;\; \text{equazione impossibile }\end{array}

2. a ≠ 0

ax+b = 0\Leftrightarrow ax=-b \Leftrightarrow x =-\frac b a

S=\left\{-\frac ba\right\}

Equazioni di primo grado

ATTIVITA’

Risolvere le equazioni di rimo grado

  1. 4x – 3 =0
  2. 7 – 5x = 0
  3. 5x – 3 = 3x – 1
  4. x – 2 = x – 5

ESEMPIO
Equazione di primo grado svolte

  • 3x+1=0\;\;\;\; x=-\frac 1 3 \;\;\;\; (a=3, b=1)
  • 2-4x=0\;\;\;\; x=\frac 1 2 \;\;\;\; (a=-4, b=2)
  • 3=0\;\;\;\;\;\;\; \text{nessuna soluzione} \;\;\;\; (a=0, b=3)

Equazioni di secondo grado

Un equazione di secondo grado è del tipo

ax^2+bx+c=0\;\;\;\;\left\{\begin{array}{lll}a,b,c\in\mathbb R\\ a\neq 0\\x\text{ incognita}\end{array}

OSSERVAZIONE 1: Si suppone a ≠ 0 altrimenti si ricade nelle equazioni di primo graado.

OSSERVAZIONE 2: Vale l’eguaglianza

(*)\;\;\;\; ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]

Si chiama discriminante la quantità

\Delta = b^2 - 4ac

Risoluzione di equazioni di secondo grado

Per risovere l’equazione di secondo grado usiamo:

1) \Delta < 0 \Rightarrow S = 0 Infatti ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow \left(x+\frac b a\right)^2-\frac\Delta{4a^2}=0 e l’equazione non ha soluzioni reali perché un quadrato è sempre non negativo. 2) \Delta=0 \Rightarrow S=\left\{-\frac b{2a}\right\} Infatti ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow \left(x+\frac b{2a}\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac b{2a} e l’equazione ha un’unica soluzione. 3) \Delta >0 \Rightarrow S\left\{\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}, \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right\}

Infatti

ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow \left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac\Delta{4a^2}\Leftrightarrow x+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}

e l’equazione ha due soluzioni distinte.

OSSERVAZIONE (Formula ridotta) Se b è divisibile per due può essere conveniente scrivere ed utilizzare la formula risolutiva al punto 3) nella forma:

x=\frac{-\left(\frac b 2\right)\pm\sqrt{\left(\frac b 2\right)^2-ac}}a\;\;\;\;\; \left(\left(\frac b 2\right)^2 - ac=\frac\Delta 4\right)

Risoluzione di equazioni di secondo grado

Risoluzione di equazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado svolte

Esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado

1. \;\; x^2+6x+5=0

\Delta=b^2-4ac=36-20=16\;\;\;\; \left(\frac\Delta 4=9-5=4\right)

Soluzioni:

x=\frac{-6\pm\sqrt{16}}2=\left\{\begin{array}{ll}-1 \\-5\end{array}

Usando la formula ridotta si ha:

x=-3\pm\sqrt4=\left\{\begin{array}{ll}-1 \\-5\end{array}

2.\;\;\; x^2-4x+4=0

\Delta = 0\;\;\;\Rightarrow x=2

3.\;\;\; x^2+x+2=0

\Delta = 1- 8 = -7 0\;\;\;\;\Rightarrow \text{non esistono soluzioni}

Risoluzione di equazioni di secondo grado

Esercizi svolti su sistemi di equazioni
1. \left\{\begin{array}{lll}x+1=0 \\ x^2 - 4x-5=0\end{array}

2. \left\{\begin{array}x^2-x-6=0\\x^2-2x+1=0\end{array}

Soluzioni

1. Soluzione della prima equazione S1={-1}, soluzione della seconda equazione S2={-1, 5}, quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = {-1}.

2. Soluzione della prima equazione S1={-2, 3}, soluzione della seconda equazione S2={1}, quindi soluzione del sistema S = S1 ∩ S2 = 0.

Risoluzione di equazioni di secondo grado

ATTIVITA’
Equazioni di secondo grado

  1. x2 + 5x + 4 = 0
  2. x2 - 6x + 9 = 0
  3. 2x2 + x + 4 = 0
  4. x2 - 5x + 6 = 0
  5. x2 + 8x + 16 = 0
  6. 2x2 - x + 1 = 0

Sistemi di equazioni

1. \left\{\begin{array}{ll}6x-12=0\\ x^2-14x+5=0\end{array}

2.\left\{\begin{array}{ll}x^2+23x-3=0\\ x^2-11x+4=0\end{array}

Equazioni di primo grado: Esercizi svolti

Risolvere le equazioni di primo grado

  1. 7x – 4 = 0
  2. 5 – 8x = 0
  3. 2x – 4 = x + 1
  4. 2x + 3 – x = x – 5

Soluzioni

  1. x=\frac 4 7 \;\;\;(a=7, b=-4)
  2. x=\frac 58 \;\;\;(a=-8, b=5)
  3. x=5
  4. nessuna soluzione

Equazioni di secondo grado: Esercizi svolti

Equazioni di secondo grado

  1. x- x – 20 = 0
  2. 2x- 28x + 98 = 0
  3. -3x2  + 2x - 5 = 0
  4. x- 3x - 7 = 0
  5. -3x- 12x - 12 = 0
  6. -xx - 5 = 0

Equazioni di secondo grado: Esercizi svolti

Soluzioni
1.\; \Delta = 81>0.\,\;\; x=\frac{1\pm\sqrt{81}}2=\left\{\begin{array}{cc}-4\\5\end{array}
2.\; \Delta =0\;\;\; x = 7

3.\; \Delta =-56<0\;\;\; \Rightarrow \text{non esistono soluzioni} 4.\; \Delta = 37>0, \;\;\; x=\frac{3\pm\sqrt{37}}2

5.\; \Delta = 0, \;\;\; x=-2

6.\; \Delta = -9 <0\;\;\;\; \Rightarrow \text{non esistono soluzioni}

Sistemi di equazioni: Esercizi svolti

Risolvere i seguenti sistemi di equazioni

1.\left\{\begin{array}{ll}2x-8=0\\ x^2-17x+1=0\end{array}

2.\left\{\begin{array}{ll}x^2-7x+12=0\\x^2-9x+20=0\end{array}

Soluzioni

  1. Soluzione del sistema S =  0.
  2. Soluzione del sistema S = {4}.
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