Home

Federica EU

1/13

Maria Rosaria Posteraro » 3.Funzioni reali di variabili reali

Contenuti della lezione:

Funzioni iniettive, suriettive, biettive.
Grafico di una funzione.
Funzioni monotone.
Funzioni pari, dispari, periodiche.
Funzioni composte e funzioni inverse.

Funzione

Siano X e Y due sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ . Una funzione (o applicazione) f da X in Y è una legge che ad ogni elemento x ∈ X associa uno e uno solo elemento dell’insieme Y che si denota con f(x).

Si scrive

f : x ∈ X → y = f(x) ∈ Y

X dominio
f(x): immagine di x mediante f
codominio di f (o immagine di X mediante f): l’insieme

f(X) = {y ∈ Y tale che f(x) = y, per qualche x ∈ X}

Se B ⊆ Y si chiama controimmagine di B l’insieme

f^-1 (B) = {x ∈ X tale che f(x) ∈ B}

Funzione

Sia f : X → Y

Se A ⊆ X si chiama restrizione di f ad A e si indica con il simbolo f_/A, la funzione

f_/A(x) : A → Y

f_/A(x) = f(x)

Se B ⊇ X si chiama prolungamento di f da B in X una funzione

g : B → Y tale che g(x) = f(x) per ogni x ∈ X

Funzione

Esempi di funzione numerica

1. Definiamo la funzione

f : x ∈ $\mathbb{N}$ → f(x) = 2x + 3 ∈ $\mathbb{N}$

Si ha

dominio: $\mathbb{N}$

codominio: f( $\mathbb{N}$ ) = {y ∈ $\mathbb{N}$ : y = 2x + 3, x ∈ $\mathbb{N}$ }

= {y ∈ $\mathbb{N}$ : y – 3 è un numero pari}

= {y : y ≥ 5 e y è un numero dispari}

f^-1(13) = {x ∈ $\mathbb{N}$ : 2x + 3 = 13} = 5

Funzione

Esempi di funzione numerica

2. Definiamo la funzione

f : x ∈ $\mathbb{R}$ → f(x) = 2x + 3 ∈ $\mathbb{R}$

Si ha

dominio: $\mathbb{R}$

codominio: f( $\mathbb{R}$ ) = {y ∈ $\mathbb{R}$ : y = 2x + 3, x ∈ $\mathbb{R}$ }

f^-1([4, 6]) = {x ∈ $\mathbb{R}$ : 2x + 3 = y ∈ [4, 6]} = [½, ¾]

3. Definiamo la funzione

f : x ∈ $\mathbb{R}$ → f(x) = x2 ∈ $\mathbb{R}$

Si ha:

dominio: $\mathbb{R}$

codominio: f( $\mathbb{R}$ ) = {y ∈ $\mathbb{R}$ : y = x2, x ∈ $\mathbb{R}$ } = [0, +∞[

Funzione iniettiva e suriettiva

Se f(X) = Y allora la funzione si dice suriettiva.

Se, comunque si scelgono due elementi x₁, x₂ ∈ X, si ha

x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

allora la funzione f si dice iniettiva.

Se f è iniettiva e suriettiva f si dice biiettiva o biunivoca.

Esempi

1. La funzione

f : x ∈ $\mathbb{N}$ → f(x) = 2x + 3 ∈ $\mathbb{N}$

è iniettiva ma non suriettiva.

Funzione iniettiva e suriettiva

2. La funzione

f : x ∈ $\mathbb{R}$ → f(x) = 2x + 3 ∈ $\mathbb{R}$

è iniettiva e suriettiva, quindi è biiettiva.

3. La funzione

f : x ∈ $\mathbb{R}$ → f(x) = x² ∈ $\mathbb{R}$

non è nè iniettiva, nè suriettiva. Basta scegliere x₁ = -2, x₂ = 2 si ha f(2) = f(-2).

Inoltre f( $\mathbb{R}$ ) = [0, +∞ [≠ $\mathbb{R}$ .

Grafico di una funzione

Sia ƒ: X → Y.

Si chiama grafico della funzione f il sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ :

G = {(x, y) ∈ $\mathbb{R}^2$ tale che x ∈ W, y = (x)}

cioè l’insieme delle coppie ordinate di $\mathbb{R}^2$ in cui la prima coordinata x è nel dominio X, e la seconda coincide con f(x).

Il grafico di una funzione si può rappresentare nel piano cartesiano.

Funzioni monotone

Sia f : X → $\mathbb{R}$ e A ⊆ X.

1. f si dice crescente in A se per ogni x₁, x₂ ∈ A,

x₁ < x₂ → f(x₁) ≤ f(x₂);

2. f si dice strettamente crescente in A se per ogni x₁, x₂ ∈ A,

x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂);

3. f si dice decrescente in A se per ogni x₁, x₂ ∈ A,

x₁ < x₂ → f(x₁) <≥ f(x₂);

4. f si dice strettamente decrescente in A se per ogni x₁, x₂ ∈ A,

x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂).

Una funzione che verifica la proprietà 1 oppure 3 si dice monotòna in A.

Una funzione che verifica la proprietà 2 oppure 4 si dice strettamente monotòna in A.

Funzioni pari, dispari e periodiche

Sia f : A → $\mathbb{R}$ e A ⊆ $\mathbb{R}$ un insieme tale che x ∈ A allora -x ∈ A.

f si dice pari se f(-x) = f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione peri è simmetrico rispetto all’asse y.

f si dice dispari se f(-x) = -f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

Sia T>0, f : A → $\mathbb{R}$ e A ⊆ $\mathbb{R}$ un insieme tale che se x ∈ A allora x + T ∈ A.

f si dice periodica di periodo T se f(x + T)= f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione periodica di periodo T si ottiene traslando il grafico della funzione in un intervallo del tipo [a, a + T[

Funzioni inverse

Se f è biiettiva, comunque si scelga un elemento y ∈ Y esiste un unico x ∈ X tale che f(x) = y.

Si può definire allora la funzione inversa:

f^-1 : x ∈ X → f^-1 (x) ∈ X,

y = f^-1 (x) e tale che f(y)=x

Si ha

f(f^-1(y)) = y, y ∈ Y

f(f^-1(x)) = x, x ∈ X

Funzioni inverse

Osservazione: se f : X → Y è strettamente monotòna allora f è iniettiva quindi esiste la funzione inversa

f^-1 : x ∈ f(X) → f^-1 (x) ∈ X.

Il grafico della funzione inversa si ottiene “scambiando asse x ed asse y”, ovvero costruendo la curva si ottiene per simmetria rispetto alla retta y = x.

Basta osservare che se il punto P ≡ (x, f(x)) appartiene al grafico di f(x) allora il punto P’≡(f(x), x) appartiene al grafico f^-1.