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Maria Rosaria Posteraro » 3.Funzioni reali di variabili reali


Contenuti della lezione:

  • Funzioni iniettive, suriettive, biettive.
  • Grafico di una funzione.
  • Funzioni monotone.
  • Funzioni pari, dispari, periodiche.
  • Funzioni composte e funzioni inverse.

Funzione

Siano X e Y due sottoinsiemi di \mathbb{R}. Una funzione (o applicazione) f da X in Y è una legge che ad ogni elemento x ∈ X associa uno e uno solo elemento dell’insieme  Y che si denota con f(x).

Si scrive

f : x ∈ X → y = f(x) ∈ Y

  • X dominio
  • f(x):  immagine di x mediante f
  • codominio di f (o immagine di X mediante f): l’insieme

f(X) = {y ∈ Y tale che f(x) = y, per qualche x ∈ X}

  • Se B ⊆ Y si chiama controimmagine di B l’insieme

f-1 (B) = {x ∈ X tale che f(x) ∈ B}

Funzione

Sia f : X → Y

  • Se A ⊆ X si chiama restrizione di f ad A e si indica con il simbolo f/A, la funzione

f/A(x) : A → Y

f/A(x) = f(x)

  • Se B ⊇ X si chiama prolungamento di f da B in X una funzione

g : B → Y tale che g(x) = f(x) per ogni x ∈ X

Funzione

Esempi di funzione numerica

1. Definiamo la funzione

f : x ∈  \mathbb{N} → f(x) = 2x + 3  ∈ \mathbb{N}

Si ha

dominio: \mathbb{N}

codominio: f(\mathbb{N}) =  {y ∈  \mathbb{N} : y = 2x + 3, x ∈  \mathbb{N}}

=  {y ∈ \mathbb{N} : y – 3 è un numero pari}

=  {y : y ≥ 5 e y è un numero dispari}

f-1(13)          = {x ∈ \mathbb{N} : 2x + 3 = 13} = 5

Funzione

Esempi di funzione numerica

2. Definiamo la funzione

f : x ∈  \mathbb{R} → f(x) = 2x + 3  ∈ \mathbb{R}

Si ha

dominio: \mathbb{R}

codominio: f(\mathbb{R}) =  {y ∈  \mathbb{R} : y = 2x + 3, x ∈  \mathbb{R}}

f-1([4, 6])          = {x ∈ \mathbb{R} : 2x + 3 = y ∈ [4, 6]} = [½, ¾]

3. Definiamo la funzione

f : x ∈ \mathbb{R} → f(x) = x2 ∈  \mathbb{R}

Si ha:

dominio: \mathbb{R}

codominio: f(\mathbb{R}) = {y ∈ \mathbb{R} : y = x2, x ∈ \mathbb{R}} = [0, +∞[

Funzione iniettiva e suriettiva

Se f(X) = Y allora la funzione si dice suriettiva.

Se, comunque si scelgono due elementi x1, x2 ∈ X, si ha

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

allora la funzione f si dice iniettiva.

Se f è iniettiva e suriettiva f si dice biiettiva o biunivoca.

Esempi

1. La funzione

f : x ∈ \mathbb{N} → f(x) = 2x + 3 ∈ \mathbb{N}

è iniettiva ma non suriettiva.

Funzione iniettiva e suriettiva

2. La funzione

f : x ∈ \mathbb{R} → f(x) = 2x + 3 ∈ \mathbb{R}

è iniettiva e suriettiva, quindi è biiettiva.

3. La funzione

f : x ∈ \mathbb{R} → f(x) = x2 ∈ \mathbb{R}

non è nè iniettiva, nè suriettiva. Basta scegliere x1 = -2, x2 = 2 si ha f(2) = f(-2).

Inoltre f(\mathbb{R}) = [0, +∞ [≠\mathbb{R}.

Grafico di una funzione

Sia ƒ: XY.

Si chiama grafico della funzione f il sottoinsieme di \mathbb{R}^2:

G = {(x, y) ∈ \mathbb{R}^2 tale che x ∈ W, y = (x)}

cioè l’insieme delle coppie ordinate di \mathbb{R}^2 in cui la prima coordinata x è nel dominio X, e la seconda coincide con f(x).

Il grafico di una funzione si può rappresentare nel piano cartesiano.


Funzioni monotone

Sia f : X → \mathbb{R} e A ⊆ X.

1. f si dice  crescente in A se per ogni x1, x2 ∈ A,

x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2);

2. f si dice strettamente crescente in A se per ogni x1, x2  ∈ A,

x1 < x2 → f(x1) < f(x2);

3. si dice decrescente in se per ogni x1, x2  ∈ A,

x1 < x2 → f(x1) <≥ f(x2);

4. si dice strettamente decrescente in se per ogni x1, x2  ∈ A,

x1 < x2 → f(x1) > f(x2).

Una funzione che verifica la proprietà 1 oppure 3 si dice monotòna in A.

Una funzione che verifica la proprietà 2 oppure 4 si dice strettamente monotòna in A.

Funzioni pari, dispari e periodiche

Sia f : A → \mathbb{R} e A ⊆ \mathbb{R} un insieme tale che x ∈ A allora -x ∈ A.

  • f si dice pari se f(-x) = f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione peri è simmetrico rispetto all’asse y.

  • f si dice dispari se f(-x) = -f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

Sia T>0, f : A → \mathbb{R} e A ⊆ \mathbb{R} un insieme tale che se x ∈ A allora x + T ∈ A.

  • f si dice periodica di periodo T se f(x + T)= f(x), per ogni x ∈ A.

Osserviamo che il grafico di una funzione periodica di periodo T si ottiene traslando il grafico della funzione in un intervallo del tipo [a, a + T[


Funzioni inverse

Se f è biiettiva, comunque si scelga un elemento y ∈ Y esiste un unico x ∈ X tale che f(x) = y.

Si può definire allora la funzione inversa:

f-1 :  x ∈ X → f-1 (x) ∈ X,

y = f-1 (x) e tale che f(y)=x

Si ha

f(f-1(y)) = y, y ∈ Y

f(f-1(x)) = x, xX


Funzioni inverse

Osservazione: se f : X → Y è strettamente monotòna allora f è iniettiva quindi esiste la funzione inversa

f-1 : x ∈ f(X) → f-1 (x) ∈ X.

Il grafico della funzione inversa si ottiene “scambiando asse x ed asse y”, ovvero costruendo la curva si ottiene per simmetria rispetto alla retta y = x.

Basta osservare che se il punto P ≡ (x, f(x)) appartiene al grafico di f(x) allora il punto P’≡(f(x), x) appartiene al grafico f-1.

Funzioni composte

Siano f : X → \mathbb{R} e g : → \mathbb{R}.

Se x è tale che f(x) ∈ Y allora è possibile calcolare g(f(x)).

Se si considera l’insieme Z = {xX tale che f(x)  Y} ⊆ X si può definire la funzione composta.

g o f : x ∈ Z → g(f(x)) ∈ \mathbb{R}

E’ chiaro che la funzione composta dipende dall’ordine con cui sono applicate le funzioni.

In generale potrebbe non avere senso f o g oppure g o f.

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