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Maria Rosaria Posteraro » 5.Funzioni trigonometriche e loro inverse


Angolo

Consideriamo nel piano un punto O e due semirette r ed -r‘ uscenti da O.

Si definisce ANGOLO ciascuno dei due sottoinsiemi in cui resta diviso il piano.

Le semirette r ed r’ si dicono lati dell’angolo; il punto O si dice vertice.

Se r = r’ uno dei due sottoinsiemi è vuoto, l’altro si dice angolo giro.


Misura degli angoli

Si pone la misura in gradi sessagesimali dell’ANGOLO GIRO uguale a 360° (300 gradi). Di conseguenza si ha

  • ANGOLO PIATTO (metà dell’angolo giro) misura 180°
  • ANGOLO RETTO (¼ dell’angolo giro) misura 90°

Consideriamo la circonferenza di centro il punto O e raggio 1 (circonferenza unitaria). Si chiama misura in radianti dell’angolo la lunghezza dell’arco di circonferenza unitaria intercettato dalle due semi rette e interno all’angolo. Dalla definizione dell’angolo giro misura radianti (lunghezza della circonferenza di raggio 1) e vale la seguente tabella:

\begin{tabular}{lp{0.9\columnwidth}}\toprule \textbf{MISURA IN GRADI} & \textbf{MISURA IN RADIANTI}\\0$^\circ$ & 0 \\ 30$^\circ$ & $\frac\pi  6$ \\ 45$^\circ$ & $\frac\pi  4$ \\ 60$^\circ$ & $\frac\pi  3$\\  90$^\circ$ & $\frac\pi  2$\\ 180$^\circ$ & $\pi $\\ 270$^\circ$ & $\frac{3\pi}  2$\\ 360$^\circ$ & $2\pi} $\\\bottomrule\end{tabular}


Definizione di funzione seno e coseno

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale avente origine in O e la circonferenza di centro O e raggio 1 (circonferenza goniometrica). Sia A il punto di intersezione della circonferenza goniometrica con il semi-asse positivo delle ascisse. Immaginando di percorrere la circonferenza goniometrica a partire dal punto A nel verso antiorario (verso positivo), ad ogni numero reale t≥0 è possibile associare in maniera univoca il punto Pt a cui si arriva percorrendo un cammino di lunghezza t. Corrispondentemente, ad ogni t<0 si può associare il punto P1 percorrendo un cammino di lunghezza |t| nel verso orario (verso negativo).

OSSERVAZIONE 1: Se t\in [0, 2\pi] il punto Pt è tale che l’angolo \widehat{AOP_1} ha la misura in radianti pari a t.

OSSERVAZIONE 2: L’applicazione che ad ogni t\in\mathbb R associa il punto Pt sulla circonferenza goniometrica non è biunivoca. Ad esempio P0 = P e, più in generale, per ogni t\in\mathbb R vale

P_t = P_{t+2k\pi}\;\;\; k\in \mathbb Z

Possiamo allora definire le funzioni seno e coseno come

\text{sen} : t \in\mathbb R\rightarrow \sen t = \text{  ordinata del punto }P_t\in [-1, 1]

\cos : t \in\mathbb R\rightarrow \sen t = \text{  ascissa del punto }P_t\in [-1, 1]


Funzioni seno e coseno

sen t

  1. Il dominio della funzione sen t è \mathbb R.
  2. Il codominio è l’intervallo [-1, 1].
  3. sen t = sen (t + 2kπ) t ∈ \mathbb R, k ∈ \mathbb Z cioè sen t è periodica di periodo .
  4. sen(-t) = -sen t, t ∈ \mathbb R cioè sen t è una funzione dispari.
  5. sen t è strettamente crescente negli intervalli del tipo [-\frac \pi 2 + 2k\pi, \frac\pi 2 + 2k\pi],\; k\in \mathbb Z; è strettamente decrescente negli intrvalli del tipo [\frac\pi 2 +2k\pi, \frac{3\pi}2 + 2k\pi],\,\, k\in \mathbb Z

cos t

  1. Il dominio della funzione cos t è \mathbb R.
  2. Il codominio è l’intervallo [-1, 1].
  3. cos t = cos (t + 2kπ) t ∈ \mathbb R, k ∈ \mathbb Z cioè cos t è periodica di periodo 2π.
  4. cos(-t) = cos t, t ∈ \mathbb R cioè cos t è una funzione pari.
  5. cos t è strettamente crescente negli intervalli del tipo [-\pi + 2k\pi,  2k\pi],\; k\in \mathbb Z; è strettamente decrescente negli intrvalli del tipo [2k\pi, \pi + 2k\pi],\,\, k\in \mathbb Z
Dalla definizione, valgono le proprietà che possono essere lette sul grafico.

Dalla definizione, valgono le proprietà che possono essere lette sul grafico.


Proprietà di seno e coseno

Dalla definizione si vede che valgono le seguenti proprietà:

  1. sen2 t + cos2 t = 1 (Teorema di Pitagora)
  2. sen(π – t) =  sen t e cos (π – t) = -cos t
  3. sen(π + t) = – sen t e cos (π + t) = -cos t
  4. sen (\frac \pi 2 -t) = cos t
Se t\in [0, \frac \pi 2] le proprietà 2, 3, 4 possono essere verificate in figura.

Proprietà di seno e coseno


Alcuni valori di seno e coseno

Nella figura sono riportati i valori di sen t e cos t per alcuni valori di t\in [0, \frac \pi 2].

I valori in tabella si ottengono utilizzando il teorema di Pitagora. Ad esempio per t=\frac\pi 6 il triangolo OPtQ è equilatero di lato 1, quindi si ha

\text{sen } \; t=\overline{AP_t}=\frac 1 2 \overline{OP_t}=\frac 1 2

\text{cos }\; t=\overline{OA}=\sqrt{1-\left\frac 1 2 \right^2}=\frac{\sqrt 3}2

Dalle proprietà 2, 3 e 4 si possono ottenere valori di sen t e cos t per alcuni valori di t\in ]\frac \pi 2, 2\pi[.


Definizione di funzione tangente

Si definisce la funzione tangente come

\text{tg }t=\frac{\text{sen } t}{\text{cos } t}
Poiché cos t = 0 per t_k=\frac\pi 2 + k\pi, k\in\mathbb Z, la funzione tg t è definita in \mathbb R 	\setminus \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac \pi 2 + k\pi\}
Se Pt è il punto sulla circonferenza goniometrica corrispondente al numero reale t, tg t rappresenta l’ordinata del punto R intersezione tra la retta parallela aIl’asse delle ordinate e passante per M ≡  (1 , 0) e la retta passante per O e Pt (vedi figura).
Infatti, dalla similitudine dei triangoli OPtQ e ORM, se t\in [0, \frac \pi 2[ si ha

\text{tg }t= \frac{\text{sen }t}{\text{cos }t}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}=\frac{\overline{RM}}{\overline{OM}}=\overline{RM}


Funzione tangente

Il dominio della funzione tg t è  \mathbb R\setminus \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}

ll codominio è \mathbb R.

tg t = tg (t  + kπ), k ∈ \mathbb Z cioè tgt e periodica di periodo π.

tg(-t) = – tg t, cioè tg t è una funzione dispari.

tg t è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo \left ]-\frac\pi 2+k\pi, \frac\pi\ 2 +k\pi\right [,\; k\in Z


Definizione di funzione cotangente

Si definisoe la funzione cotangente come

\text{cotg }t=\frac{\text{cos }t}{\text{sen }t}
Poiché sen t = 0 per tk = kπ, k ∈ \mathbb Z, la funzione cotg t e definita in \mathbb R \setminus\bigcup_{k\in\mathbb Z}{k\pi}
Geometricamente, se Pt è il punto sulla circonferenza geometrica corrispondente al numero reale t, cotg t rappresenta l’ascissa del punto S di
sezione tra la retta parallela all’asse delle ascifse passante per N ≡ (0, 1) e la retta passante per O e Pt.


Funzione cotangente

Il dominio della funzione cotg t è \mathbb R\setminus \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+k\pi\}

Il codominio è \mathbb R.

\text{cotg }t = \text{cotg }(t+k\pi),\;\;\; k\in\mathbb Z cioè cotg t è periodica di periodo π.

cotg è strettamente decrescente in ogni imervallo del tipo ]kπ, π+kπ[, k ∈ \mathbb Z.


Formule di addizione, duplicazione, bisezione

FORMULE DI ADDIZIONE
Valgono le seguenti formule che esprimono il seno e il coseno di un angolo somma mediante il seno e coseno degli angoli addendi

1. sen(x1+x2) = sen xcos x2 + sen xcos x1

2. sen(x1-x2) = sen xcos x2 – sen xcos x1

3. cos(x1+x2) = cos xcos x2 + sen xsen x1

4. cos(x1-x2) = cos xcos x2 – sen xsen x1

Per x1 = x2 = x da 1 e 3 si ottengono le
FORMULE DI DUPLICAZIONE
5. sen (2x) = 2sen x cos x
6. cos(2x) = cos2x – sen2x = 1 – 2sen2x = 2cos2x -1
Da 5. e 6. ponendo 2x = y si ottengono le

FORMULE DI BISEZIONE
7.\text{sen }^2\left(\frac y 2\right)=\frac{1-\text{ cos }y}2

8. \text{cos }^2\left(\frac y 2\right)=\frac{1+\text{ cos }y}2

Formule di Werner

Le formule di addizione e sottrazione permettono di scrivere il prodotto di funzioni seno e coseno in termini della somma.

9. \text{sen } x_1 \text{cos } x_2 = \frac 1 2 \left[\text{sen }(x_1+x_2)+\text{sen }(x_1-x_2)\right]

10. \text{sen } x_1 \text{sen } x_2 = \frac 1 2 \left[\text{cos }(x_1-x_2)-\text{cos }(x_1 + x_2)\right]

11. \text{cos } x_1 \text{cos } x_2 = \frac 1 2 \left[\text{cos }(x_1+x_2)+\text{cos }(x_1-x_2)\right]

Ad esempio sommando membro a membro la 1. e la 2. si ottiene la 9.

Formule di prostaferesi

Le formule di Werner permettono di scrivere la somma di funzioni seno e coseno come prodotto.

12. \text{sen }(t_1)+\text{sen }(t_2)=2 \text{ sen }\frac{t_1+t_2}2 \text{ cos }\frac{t_1-t_2}2

13. \text{sen }(t_1)-\text{sen }(t_2)=2 \text{ cos }\frac{t_1+t_2}2 \text{ sen }\frac{t_1-t_2}2

14. \text{cos }(t_1)+\text{cos }(t_2)=2 \text{ cos }\frac{t_1+t_2}2 \text{ cos }\frac{t_1-t_2}2

15. \text{cos }(t_1)-\text{cos }(t_2)=-2 \text{ sen }\frac{t_1+t_2}2 \text{ sen }\frac{t_1-t_2}2

Basta porre in 9. 10. e 11. x_1=\frac{t_1+t_2}2\;\;\;\;\;x_2=\frac{t_1-t_2}2,

cioè t_1=x_1+x_2,\;\;\;\; t_2=x_1-x_2.

La 13. si ottiene dalle 12. ponendo t_2=- t_2.

Definizione di arcoseno e arcocoseno

La funzione sen x, cos x e tg x non sono biunivoche in \mathbb R, quindi non sono invertibili. É possibile però considerare opportune restrizioni in modo tale che le funzioni ottenute risultino biunivoche e se ne possa costruire l’inversa.

arcsen x

La funzione sen x è strettamente crescente in \left[-\frac \pi 2, \frac\pi 2\right] quindi la sua restrizione a tale intervallo risulta biunivoca ed ha come codominio l’intervallo [-1, 1]. Si può definire quindi la funzione inversa, I’arcoseno:
\text{arcsen } : [-1, 1]\rightarrow\left[-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right]

y = arcsen x è tale che x = sen y

arccos x

La funzione cos x è strettamente decrescente in [O, π], quindi la sua restrizione a tale intervallo risulta biunivoca ed ha come codominio l’intervallo [-1, 1]. Si può definire quindi la funzione inversa, l’arcocoseno:
\text{arccos } : [-1, 1]\rightarrow [0, \pi]

y = arccosn x è tale che x = cos y


Funzione arcoseno

  1. Il grafico di arcosen x si ottiene da quello di \text{sen } x \setminus \left[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right]  (sen x ristretta all’intervallo \left[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right] per simmetria rispetto alla retta y = x).
  2. La funzione arcsen x è strettamente crescente in [-1, 1] poichè f(x)= \text{sen }x \setminus \left[\frac \pi 2, -\frac \pi 2\right] è strettamente crescente.
  3. Il codominio è f([-1, 1])= \left[\frac \pi 2, -\frac \pi 2\right].
  4. f(x) = \text{arcsen }x  è biunivoca.

Funzione arcoseno


Funzione arcocoseno

  1.  Il grafico di arccos x si ottiene da quello si \text{cos }x / [0, \pi] (cos x ristretta all’intervallo [0, π]) per simmetria rispetto alla retta y = x.
  2. La funzione arccos x è strettamente decrescente in [-1, 1] poiché la \text{cos }x/ [0, \pi] è strettamente decrescente.
  3. Il codominio è f([-1, 1]) = [0, \pi].
  4. f(x) = \text{arccos }x è biunivoca.

Funzione arcocoseno


Funzione arcotangente

La funzione tg x è strettamente crescente nell’intervallo \left]-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right[. La sua restrizione a tale intervallo, quindi, è biunivoca ed ha come codominio \mathbb R.
Si puo definire allora la funzione unversa di \text{tg }x / \left]-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right[ (tg x ristretta ristretta all’intervallo \left]-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right[), l’arcotangente:

 \text{arctg }x : \mathbb R \rightarrow \left]-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right[

y = arctg x è tale che x = tg y

  1. Il grafico di acrtg x si ottiene da quello di \text{tg }x / \left]-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right[ per simmetria rispetto alla retta y = x.
  2. La funzione arctg x è strettamente crescente in \mathbb R perché la funzione tg x ristretta a \left]-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right[ è strettamente crescente.
  3. Il codominio è f(\mathbb R) = \left]-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right[.
  4. arctg x è biunivoca.

Funzione arcotangente


Funzione arcocotangente


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