Consideriamo nel piano un punto O e due semirette r ed -r‘ uscenti da O.
Si definisce ANGOLO ciascuno dei due sottoinsiemi in cui resta diviso il piano.
Le semirette r ed r’ si dicono lati dell’angolo; il punto O si dice vertice.
Se r = r’ uno dei due sottoinsiemi è vuoto, l’altro si dice angolo giro.
Si pone la misura in gradi sessagesimali dell’ANGOLO GIRO uguale a 360° (300 gradi). Di conseguenza si ha
Consideriamo la circonferenza di centro il punto O e raggio 1 (circonferenza unitaria). Si chiama misura in radianti dell’angolo la lunghezza dell’arco di circonferenza unitaria intercettato dalle due semi rette e interno all’angolo. Dalla definizione dell’angolo giro misura 2π radianti (lunghezza della circonferenza di raggio 1) e vale la seguente tabella:
Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale avente origine in O e la circonferenza di centro O e raggio 1 (circonferenza goniometrica). Sia A il punto di intersezione della circonferenza goniometrica con il semi-asse positivo delle ascisse. Immaginando di percorrere la circonferenza goniometrica a partire dal punto A nel verso antiorario (verso positivo), ad ogni numero reale t≥0 è possibile associare in maniera univoca il punto Pt a cui si arriva percorrendo un cammino di lunghezza t. Corrispondentemente, ad ogni t<0 si può associare il punto P1 percorrendo un cammino di lunghezza |t| nel verso orario (verso negativo).
OSSERVAZIONE 1: Se il punto Pt è tale che l’angolo ha la misura in radianti pari a t.
OSSERVAZIONE 2: L’applicazione che ad ogni associa il punto Pt sulla circonferenza goniometrica non è biunivoca. Ad esempio P0 = P2π e, più in generale, per ogni vale
Possiamo allora definire le funzioni seno e coseno come
sen t
cos t
Dalla definizione si vede che valgono le seguenti proprietà:
Nella figura sono riportati i valori di sen t e cos t per alcuni valori di .
I valori in tabella si ottengono utilizzando il teorema di Pitagora. Ad esempio per il triangolo OPtQ è equilatero di lato 1, quindi si ha
Dalle proprietà 2, 3 e 4 si possono ottenere valori di sen t e cos t per alcuni valori di
Si definisce la funzione tangente come
Poiché cos t = 0 per la funzione tg t è definita in
Se Pt è il punto sulla circonferenza goniometrica corrispondente al numero reale t, tg t rappresenta l’ordinata del punto R intersezione tra la retta parallela aIl’asse delle ordinate e passante per M ≡ (1 , 0) e la retta passante per O e Pt (vedi figura).
Infatti, dalla similitudine dei triangoli OPtQ e ORM, se si ha
Il dominio della funzione tg t è
ll codominio è .
tg t = tg (t + kπ), k ∈ cioè tgt e periodica di periodo π.
tg(-t) = – tg t, cioè tg t è una funzione dispari.
tg t è strettamente crescente in ogni intervallo del tipo
Si definisoe la funzione cotangente come
Poiché sen t = 0 per tk = kπ, k ∈ la funzione cotg t e definita in
Geometricamente, se Pt è il punto sulla circonferenza geometrica corrispondente al numero reale t, cotg t rappresenta l’ascissa del punto S di
sezione tra la retta parallela all’asse delle ascifse passante per N ≡ (0, 1) e la retta passante per O e Pt.
Il dominio della funzione cotg t è
Il codominio è .
cioè cotg t è periodica di periodo π.
cotg t è strettamente decrescente in ogni imervallo del tipo ]kπ, π+kπ[, k ∈ .
FORMULE DI ADDIZIONE
Valgono le seguenti formule che esprimono il seno e il coseno di un angolo somma mediante il seno e coseno degli angoli addendi
1. sen(x1+x2) = sen x1 cos x2 + sen x2 cos x1
2. sen(x1-x2) = sen x1 cos x2 – sen x2 cos x1
3. cos(x1+x2) = cos x1 cos x2 + sen x2 sen x1
4. cos(x1-x2) = cos x1 cos x2 – sen x2 sen x1
Per x1 = x2 = x da 1 e 3 si ottengono le
FORMULE DI DUPLICAZIONE
5. sen (2x) = 2sen x cos x
6. cos(2x) = cos2x – sen2x = 1 – 2sen2x = 2cos2x -1
Da 5. e 6. ponendo 2x = y si ottengono le
FORMULE DI BISEZIONE
7.
8.
Le formule di addizione e sottrazione permettono di scrivere il prodotto di funzioni seno e coseno in termini della somma.
9.
10.
11.
Ad esempio sommando membro a membro la 1. e la 2. si ottiene la 9.
Le formule di Werner permettono di scrivere la somma di funzioni seno e coseno come prodotto.
12.
13.
14.
15.
Basta porre in 9. 10. e 11.
cioè
La 13. si ottiene dalle 12. ponendo
La funzione sen x, cos x e tg x non sono biunivoche in , quindi non sono invertibili. É possibile però considerare opportune restrizioni in modo tale che le funzioni ottenute risultino biunivoche e se ne possa costruire l’inversa.
arcsen x
La funzione sen x è strettamente crescente in quindi la sua restrizione a tale intervallo risulta biunivoca ed ha come codominio l’intervallo [-1, 1]. Si può definire quindi la funzione inversa, I’arcoseno:
y = arcsen x è tale che x = sen y
arccos x
La funzione cos x è strettamente decrescente in [O, π], quindi la sua restrizione a tale intervallo risulta biunivoca ed ha come codominio l’intervallo [-1, 1]. Si può definire quindi la funzione inversa, l’arcocoseno:
y = arccosn x è tale che x = cos y
La funzione tg x è strettamente crescente nell’intervallo La sua restrizione a tale intervallo, quindi, è biunivoca ed ha come codominio
Si puo definire allora la funzione unversa di (tg x ristretta ristretta all’intervallo ), l’arcotangente:
y = arctg x è tale che x = tg y
1. Elementi di teoria degli insiemi, numeri reali, retta reale e piano cartesiano
2. Luoghi geometrici nel piano
3. Funzioni reali di variabili reali
5. Funzioni trigonometriche e loro inverse
6. Equazioni e sistemi di equazioni
7. Disequazioni e sistemi di disequazioni
8. Equazioni e disequazioni relative a prodotto e quoziente di funzioni