Siano Q1 = (x1; y1) e Q2 = (x2; y2) due punti distinti del piano cartesiano.
E’ noto che per Q1 e Q2 passa un’unica retta r. Si intende ora descrivere i punti P di r stabilendo in che relazione devono essere le coordinate di P.
Distinguiamo tre casi:
a) x1 = x2
La retta r è parallela all’asse delle ordinate ed essa è descritta dalla relazione:
x = x1
b) y1 = y2
La retta r è parallela all’asse delle ascisse ed essa è descritta dalla relazione:
y = y1
Le considerazioni fatte consentono di affermare che una generica retta non verticale è descritta dalla relazione:
y = mx + n (equazione della retta)
dove m viene detto coefficiente angolare e n viene detto ordinata all’origine.
Osserviamo che il caso m = 0 corrisponde dal caso b).
Approfondimenti
In generale, se a e b non sono entrambi nulli; un’equazione nella forma:
ax + by + c = 0 (*)
rappresenta una retta del piano. Evidentemente alla forma precedente può essere ricondotta sia l’equazione nella forma y = mx + n che l’equazione nella forma x = x0. Pertanto tutte le rette possono essere descritte nella forma (*).
1. Determinare l’equazione delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:
a) (1, 2), (5, 2);
b) (2, -1), (1, -2);
c) (-2, 3), (-2, 5).
2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare e passante per il punto (-1, 2).
Esercizi svolti
1. Determinare l’equazione delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:
a) (1, 1), (3, 1);
b) (1, 0), (5, 4);
c) (1, -2), (1, 3).
2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare m = 2 e passante per il punto (1, 1).
Soluzioni
a) y = 1 ; (caso y1 = y2);
b)
c) x=1 (caso x1 = x2).
2. La retta ha equazione del tipo y = 2x + n. Imponendo il passaggio per il punto (1, 1) si ha n = -1.
Approfondimento: Equazione della retta
In generale, se a e b non sono entrambi nulli; un’equazione nella forma
ax + by + c = 0 (*)
rappresenta una retta del piano. Evidentemente alla forma precedente può essere ricondotta sia l’equazione nella forma y = mx + n che l’equazione nella forma x = x0. Pertanto tutte le rette possono essere descritte nella forma (*).
a) n = 0, y = mx ⇔ la retta passa per l’origine
b) m = 0, y = n ⇔ la retta è orizzontale
c) m = 1, n = 0, y = x ⇔ la retta è bisettrice del I e III quadrante
d) m = -1, n = 0, y = -x ⇔ la retta è bisettrice del II e IV quadrante
Esercizi
Soluzioni
Attività
Riportiamo di seguito le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo e la perpendicolarità:
a) y = mx + n e y = m’x + n’ sono parallele ⇔ m = m’
b) y = mx + n e y = m’x + n’
m, m’ ≠ 0 sono ortogonali ⇔ m ⋅ m0 = -1
E’ ovvio che le rette di equazione x = x1, x1 ∈ R, sono tutte parallele tra loro e sono perpendicolari alle rette y = y1, y1 ∈ R.
1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per punto P nei seguenti casi:
a) r : y = -4x -1, P = (-1, -2)
b) r :y = -7, P = (-1, 6)
c) r : x = 9, P = (7, 2)
2. Determinare l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:
a) r : y = -x +11, P = (1, 1)
b) r :y = 5, P = (-1, 4)
c) r : x = -1, P = (1, -5)
1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per punto P nei seguenti casi:
a) r : y = 3x -1, P = (-1, -2)
b) r :y = 3, P = (-1, -4)
c) r : x = -1, P = (5, -2)
2. Determinare l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:
a) r : y = 2x +11, P = (1, 3)
b) r :y = -7, P = (1, -3)
c) r : x = 5, P = (-1, -2)
Soluzioni
1.
a) Il coefficiente angolare della retta r è m = 3. La retta s ha equazione del tipo y = 3x + n. Imponendo il passaggio per il punto (-1, 2) si ha n = 5.
b) y = -4;
c) x = 5.
2.
a) Il coefficiente angolare della retta r è m = 2. La retta s ha equazione del tipo . Imponendo il passaggio per il punto (1, 3) si ha ;
b) x = 1;
c) y = -2.
La distanza del punto P = (x0, y0) dalla retta r di equazione ax+by+c = 0 è la lunghezza del segmento PH perpendicolare alla retta r e passante per P; si ha quanto riportato in figura
Attività
Determinare la distanza del punto P = (3, -1) dalla retta r di equazione 3y – 2x -5 = 0
Determinare la distanza del punto P = (1, -2) dalla retta r di equazione y – 3x -1 = 0.
Soluzione
La distanza del punto P dalla retta r è
dove x0 = 1 e y0 = -2, ovvero
Si dice circonferenza di centro il punto C = (x0, y0) e raggio r > 0 il luogo dei punti del piano che hanno distanza r da C.
Tenendo conto della definizione di distanza il generico punto P = (x, y)
deve essere tale che
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 (equazione della circonferenza)
Quando il centro C coincide con l’origine, cioè x0 = y0 = 0, allora l’equazione della circonferenza diventa:
x2 + y2 = r2
1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro il punto C = (-2, -7) e raggio r = 4;
2. Determinare il raggio e le coordinate del centro della circonferenza di equazione (x + 6)2 + (y - 5) 2 = 16;
3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A = (0, 4), B = (-4, 0), P = (0,).
1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro il punto C = (2, 1) e raggio r = 2;
2. Determinare il raggio e le coordinate del centro della circonferenza di equazione (x - 7)2 + (y + 3) 2 = 9;
3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A = (-1, -1), B = (-4, 2), P = (0,2 + 2√2).
Soluzioni
1. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4;
2. C = (7, -3) e raggio r = 3;
3. L’equazione della circonferenza di centro il punto
C = (x0, y0) e raggio r è (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2.
Imponendo il passaggio per i tre punti:
(-1 -x0)2 + (-1 -y0)2= r2
(-4 -x0)2 + (2-y0)2= r2
(x0)2 + (2 +2√2 - y0)2 = r2
Allora la circonferenza per i tre punti assegnati ha centro C = (-1, 2) e raggio r = 3 e quindi ha equazione (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9.
Fissati due punti F1 = (x1,y1) e F2 = (x2,y2), detti fuochi, e un numero reale a > 0 tale che , si dice ellisse il luogo dei punti P del piano per i quali vale:
cioè per i quali la somma delle distanze dai fuochi è costante e pari a 2a.
Soegliamo un riferimento cartesiano con F1 e F2 sull’asse delle ascisse e l’origine coincidente con il punto medio del segmento F1F2
F1 = (-x0, 0); F2 = (x0, 0) 0<x0<a.
Il punto P = (x, y) appartenente all’ellísse è tale che:
Elevando due volte al quadrato si ottiene:
Posto si ha l’equazione canonica dell’ellisse:
Facendo riferimento alla figura i seguenti A1A2 e B1B2 si dioono assi dell’ellísse e le loro lunghezze sono pari, rispettivamente, a 2a e 2b.
OSSERVAZIONE: Per costruzione a>b e quindi A1A2 è l’asse maggiore mentre B1B2 è l’asse minore. Pertanto a rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore.
1. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0) e avente lunghezza del semiasse maggiore a = 6;
2. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (0, -1) e F2 = (0, -1) e avente lunghezza del semiasse maggiore b = 2;
3. Determinare i fuochi e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse di equazione
1. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (-1, 0) e F2 = (1, 0) e avente lunghezza del semiasse maggiore a = 4;
2. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (0, -2) e F2 = (0, 2) e avente lunghezza del semiasse maggiore b = 3;
3. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = F2 = (0, 0) e avente larghezza del semiasse maggiore a =4;
4. Determinare i fuochi e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse di equazione
Soluzioni
1. b2 = 16 -1, da cui
2. a2 = 9 – 4, da cui
3. b2 = 4 -0, da cui E’ una circonferenza con raggio r = a=b;
4. a = 5, b = 4, F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0).
In questo caso b rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore.
Fissati due punti F1 = (x1,y1) e F2 = (x2,y2), detti fuochi, e un numero reale a > 0 tale che , si dice iperbole il luogo dei punti P del piano per i quali vale:
cioè per i quali la differenza delle distanze dai fuochi è costante e pari, in modulo, a 2a.
Soegliamo un riferimento cartesiano con F1 e F2 sull’asse delle ascisse e l’origine coincidente con il punto medio del segmento F1F2
F1 = (-x0, 0); F2 = (x0, 0) 0<x0<a.
Il punto P = (x, y) appartenente all’iperbole è tale che:
Elevando due volte al quadrato si ottiene:
Posto si ha l’equazione canonica dell’iperbole:
Facendo riferimento alla figura il numero 2a rappresenta la misura del segmento A1A2.
1. Determinare l’equazione dell’iperbole di fuochi F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a =4.
2. Determinare i fuochi dell’iperbole di equazione
1. Determinare l’equazione dell’iperbole di fuochi F1 = (-2, 0) e F2 = (2, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 2.
2. Determinare i fuochi dell’iperbole di equazione
Soluzioni
1. b2 = 4 – 1, da cui
2. x02 = b2 + a2 = 25, da cui F1 = (-5, 0) e F2 = (5, 0)
Le rette di equazione e si dicono asintoti dell’iperbole.
Le due rette asintoto hanno la seguente proprietà: i punti dell’asintoto si avvicinano a quelli sull’iperbole quando l’ascissa aumenta arbitrariamente per valori positivi o diminuisce arbitrariamente per valori negativi.
La proprietà appena enunciata può essere illustrata quando si considera la parte di iperbole contenuta nel primo quadrante. Se P = (x, y) è il generico punto sull’iperbole e è il punto sull’asintoto con uguale ascissa x, la distanza diventa sempre più piccola e prossima a zero quanto più x cresce diventando arbitrariamente grande.
Come nel caso dell’ellisse si può ripetere la costruzione esposta precedentemente ponendo i fuochi sull’asse delle ordinate. Si perviene all’equazione:
1. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di equazione
2. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole dell’equazione
3. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di fuochi F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 6.
1. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di equazione
2. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole dell’equazione
3. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di fuochi F1 = (-5, 0) e F2 = (5, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 8.
Soluzioni
1. Gli asintoti hano equazioni y = -2x e y = 2x.
2. Gli asintoti hanno equazioni e
3. Bisogna determinare b2 = 25 – 16 = 9, da cui gli asintoti hanno equazioni e
Si dice che un’iperbole è equilatera quando a = b, In tal caso l’equazione canonica diventa:
x2 – y2 = a2 (oppure y2 – x2 = a2)
e le rette asintoto sono y = x, y = -x
Se si scelgono i fuochi nei punti F1 = (- a, -a), F2 = (a, a), la condizione è automaticamente soddisftta e si può far vedere che l’equazione dell’iperbole è
In questo caso le rette asintoto coincidono con gli assi cartesiani x = 0 e y= 0.
1. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-6, 0) e F2 = (6, 0).
2. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-3, -3) e F2 = (3, 3).
3. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione x2 – y2 = 15.
4. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione xy = 5.
1. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0).
2. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-2, -2) e F2 = (2, 2).
3. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione x2 - y2 = 18.
4. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione xy = 32.
Soluzioni
1. L’iperbole è equilatera quando a = b. Gli asintoti dell’iperbole equilatera hanno equazioni y = -x e y = x. L’equazione dell’iperbole equilatera è x2 – y2 = a2 e x02 = 2a2. Allora a2 = 8 e l’equazione dell’iperbole è x2 – y2 = 8.
2. Gli asintoti dell’iperbole sono l’asse delle y e l’asse delle x. L’equazione dell’iperbole equilatera è In questo caso xy = 2.
3. a2 = 18 e x02 = 2a2 = 36 per cui F1 = (-6, 0), F2 = (6, 0).
4. a2 = 64 per cui F1 = (-8, -8), F2= (8, 8).
Fissata una retta r, detta direttrice, e un punto F = (x0, y0) non appartenente a r, detto fuoco, si dice parabola il luogo dei punti P del piano che hanno uguale distanza da r e da F.
Scegliamo un riferimento cartesiano con l’asse delle ascisse parallelo ad r in modo tale che F = (0, p) e r ha equazione y= -p. Il punto P= (x, y) appartiene alla parabola è tale che:
ovvero
Elevando al quadrato si ottiene
si ha
y= ax2 (Equazione canonica della parabola)
Sono possibili altre scelte della posizione di r e F. Di seguito è riportato il caso F = (0, p) e r di equazione x = -p.
1. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 2) e retta direttrice di equazione y = -2.
2. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (6, 0) e retta direttrice di equazione y = -2.
3. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione .
4. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione .
1. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 3) e retta direttrice di equazione y = -3.
2. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (4, 0) e retta direttrice di equazione y = -4.
3. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione .
4. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione .
Soluzioni
1. , per cui l’equazione della parabola è .
2. , per cui l’equazione della parabola è .
3. , per cui la retta direttrice ha equazione y = – 5 ed il fuoco F = (0, 5).
4. , per cui la retta direttrice ha equazione x = – 2 ed il fuoco F = (2, 0).
Esercizio tipo svolto
1. Determinare le equazioni delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:
a) (-2, 2), (-2, 7);
b) (-3, 1), (-1, -2);
c) (-4, 3), (-2, 3).
2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare m = -3 e passante per il punto (-1, 3).
1.
a) x = -2 (caso x1 = x2);
b)
c) y = 3 (caso y1 = y2)
2. y = -3x
Esercizio tipo svolto
Esercizio tipo svolto
1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per il puntoP nei seguenti casi:
a) r : y = -x -1, P = (1,-1);
b) r : y = 11, P = (5,6);
c) r : x = -1, P = (3,2).
2. Determinare l’equazione della retta s perpendicola alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:
a) r : y = 5x +11, P = (-3,1);
b) r : y = 9, P = (-7,4);
c) r : x = 10, P = (9,-5).
Soluzioni
1.
a) y + 1 = – (x – 1);
b) y = 6;
c) x = – 3.
2.
a)
b) x = -7;
c) y = -5
Esercizio tipo svolto
Determinare la distanza del punto P = (-1,1) dalla retta r di equazione -y + 2x -3 = 0.
La distanza del punto P dalla retta è
Esercizio tipo svolto
Esercizio tipo svolto
Esercizio tipo svolto
Esercizio tipo svolto
Esercizio tipo svolto
Soluzioni
Esercizio tipo svolto
Soluzioni
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