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Maria Rosaria Posteraro » 2.Luoghi geometrici nel piano


Equazione della retta

Siano Q1 = (x1; y1) e Q2 = (x2; y2) due punti distinti del piano cartesiano.

E’ noto che per Q1 e Q2 passa un’unica retta r. Si intende ora descrivere i punti P di r stabilendo in che relazione devono essere le coordinate di P.

Distinguiamo tre casi:

a) x1 = x2

La retta r è parallela all’asse delle ordinate ed essa è descritta dalla relazione:

x = x1

b) y1 = y2
La retta r è parallela all’asse delle ascisse ed essa è descritta dalla relazione:

y = y1

Equazione della retta

Le considerazioni fatte consentono di affermare che una generica retta non verticale è descritta dalla relazione:

y = mx + n (equazione della retta)

dove m viene detto coefficiente angolare e n viene detto ordinata all’origine.

Osserviamo che il caso m = 0 corrisponde dal caso b).

Approfondimenti

In generale, se a e b non sono entrambi nulli; un’equazione nella forma:

ax + by + c = 0 (*)

rappresenta una retta del piano. Evidentemente alla forma precedente può essere ricondotta sia l’equazione nella forma y = mx + n che l’equazione nella forma x = x0. Pertanto tutte le rette possono essere descritte nella forma (*).

1. Determinare l’equazione delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:

a) (1, 2), (5, 2);

b) (2, -1), (1, -2);

c) (-2, 3), (-2, 5).

2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare m=-\frac 2 3 e passante per il punto (-1, 2).

Equazione della retta

Esercizi svolti

1. Determinare l’equazione delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:

a) (1, 1), (3, 1);

b) (1, 0), (5, 4);

c) (1, -2), (1, 3).

2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare m = 2 e passante per il punto (1, 1).

Equazione della retta

Soluzioni

a) y = 1 ; (caso y1 = y2);

b) \frac {x-1}{5-1}=\frac y 4 \Leftrightarrow y=x-1;

c) x=1 (caso x1 = x2).

2. La retta ha equazione del tipo y = 2x + n. Imponendo il passaggio per il punto (1, 1) si ha n = -1.

Approfondimento: Equazione della retta

In generale, se a e b non sono entrambi nulli; un’equazione nella forma

ax + by + c = 0 (*)

rappresenta una retta del piano. Evidentemente alla forma precedente può essere ricondotta sia l’equazione nella forma y = mx + n che l’equazione nella forma x = x0. Pertanto tutte le rette possono essere descritte nella forma (*).

Qualche caso particolare rilevante

a) n = 0, y = mx ⇔ la retta passa per l’origine
b) m = 0, y = n ⇔ la retta è orizzontale
c) m = 1, n = 0, y = x ⇔ la retta è bisettrice del I e III quadrante
d) m = -1, n = 0, y = -x ⇔ la retta è bisettrice del II e IV quadrante

Esercizi

  1. Determinare l’equazione della retta orizzontale (parallela all’asse delle x) passante per il punto (-1, -7);
  2. Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto (1, 4).

Soluzioni

  1. y = -7 (caso b)
  2. La retta ha equazione del tipo y = mx. Imponendo il passaggio per il punto (1, 4) si ha m = 4.

Attività

  1. Determinare l’equazione della retta orizzontale (parallela all’asse delle x) passante per il punto (-7, 2);
  2. Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto (-2, 6).

Rette parallele e perpendicolari

Riportiamo di seguito le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo e la perpendicolarità:

a) y = mx + n e y = m’x + n’ sono parallele ⇔ m = m’

b) y = mx + n e y = m’x + n’

m, m’ ≠ 0 sono ortogonali ⇔ m ⋅ m0 = -1

E’ ovvio che le rette di equazione x = x1, x1 ∈ R, sono tutte parallele tra loro e sono perpendicolari alle rette y = y1, y1 ∈ R.


Rette parallele e perpendicolari

1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per punto P nei seguenti casi:

a) r : y = -4x -1, P = (-1, -2)

b) r :y = -7, P = (-1, 6)

c) r : x = 9, P = (7, 2)

2. Determinare l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:

a) r : y = -x +11, P = (1, 1)

b) r :y = 5, P = (-1, 4)

c) r : x = -1, P = (1, -5)

Rette parallele e perpendicolari

1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per punto P nei seguenti casi:

a) r : y =  3x -1, P = (-1, -2)

b) r :y = 3, P = (-1, -4)

c) r : x = -1, P = (5, -2)

2. Determinare l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:

a) r : y = 2x +11, P = (1, 3)

b) r :y = -7, P = (1, -3)

c) r : x = 5, P = (-1, -2)

Rette parallele e perpendicolari

Soluzioni

1.

a) Il coefficiente angolare della retta r è m = 3. La retta s ha equazione del tipo y = 3x + n. Imponendo il passaggio per il punto (-1, 2) si ha n = 5.

b) y = -4;

c) x = 5.

2. 

a) Il coefficiente angolare della retta r è m = 2. La retta s ha equazione del tipo y = \frac 1 2 x+ n. Imponendo il passaggio per il punto (1, 3) si ha n = \frac 7 2;

b) x = 1;

c) y = -2.

Distanza di un punto da una retta

La distanza del punto P = (x0, y0) dalla retta r di equazione ax+by+c = 0 è la lunghezza del segmento PH perpendicolare alla retta r e passante per P; si ha quanto riportato in figura

Attività

Determinare la distanza del punto P = (3, -1) dalla retta r di equazione 3y – 2x -5 = 0

Determinare la distanza del punto P = (1, -2) dalla retta r di equazione y – 3x -1 = 0.

Soluzione

La distanza del punto P dalla retta r è

\overline{PH}=\frac{|-3x_0+y_0-1|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}

dove x0 = 1 e y0 = -2, ovvero

\overline{PH}=\frac{|-3+(-2)-1|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac 6{\sqrt {10}}


Circonferenza

Si dice circonferenza di centro il punto C = (x0, y0) e raggio r > 0 il luogo dei punti del piano che hanno distanza r da C.

Tenendo conto della definizione di distanza il generico punto P = (x, y)

deve essere tale che

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 (equazione della circonferenza)

Quando il centro C coincide con l’origine, cioè x0 = y0 = 0, allora l’equazione della circonferenza diventa:

x2 + y2 = r2

1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro il punto C = (-2, -7) e raggio r = 4;

2. Determinare il raggio e le coordinate del centro della circonferenza di equazione (x + 6)2 + (y - 5) 2 = 16;

3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A = (0, 4), B = (-4, 0), P = (0,).


Circonferenza

1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro il punto C = (2, 1) e raggio r = 2;

2. Determinare il raggio e le coordinate del centro della circonferenza di equazione (x - 7)2 + (y + 3) 2 = 9;

3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A = (-1, -1), B = (-4, 2), P = (0,2 + 2√2).

Soluzioni

1. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4;

2. C = (7, -3) e raggio r = 3;

3. L’equazione della circonferenza di centro il punto

C = (x0y0) e raggio r è (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2.

Imponendo il passaggio per i tre punti:

(-1 -x0)2 + (-1 -y0)2r2

(-4 -x0)2 + (2-y0)2r2

(x0)2 + (2 +2√2 - y0)2 = r2

Allora la circonferenza per i tre punti assegnati ha centro C = (-1, 2) e raggio r = 3 e quindi ha equazione (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9.

Ellisse

Fissati due punti F1 = (x1,y1) e F2 = (x2,y2), detti fuochi, e un numero reale a > 0 tale che \overline {F_1F_2}<2a, si dice ellisse il luogo dei punti P del piano per i quali vale:

\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a

cioè per i quali la somma delle distanze dai fuochi è costante e pari a 2a.

Soegliamo un riferimento cartesiano con F1 e F2 sull’asse delle ascisse e l’origine coincidente con il punto medio del segmento F1F2

F1 = (-x0, 0);   F2 = (x0, 0)   0<x0<a.

Ellisse

Il punto P = (x, y) appartenente all’ellísse è tale che:

\sqrt{(x+x_0)^2+y^2}+\sqrt{(x-x_0)^2+y^2}=2a.

Elevando due volte al quadrato si ottiene:

(a^2-x_0^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-x_0^2).

Posto b^2=a^2-x_0^2 , \;\; b>0,  si ha  l’equazione canonica dell’ellisse:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Facendo riferimento alla figura i seguenti A1A2 e B1B2 si dioono assi dell’ellísse e le loro lunghezze sono pari, rispettivamente, a 2a e 2b.

OSSERVAZIONE: Per costruzione a>b e quindi A1A2 è l’asse maggiore mentre B1B2 è l’asse minore. Pertanto a rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore.

Ellisse

1. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0) e avente lunghezza del semiasse maggiore = 6;

2. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (0, -1) e F2 = (0, -1) e avente lunghezza del semiasse maggiore = 2;

3. Determinare i fuochi e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse di equazione \frac{x^2}{16}+\frac{x^2}9 = 1 .

Ellisse

1. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (-1, 0) e  F2 = (1, 0) e avente lunghezza del semiasse maggiore = 4;

2. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (0, -2) e F2 = (0, 2) e avente lunghezza del semiasse maggiore = 3;

3. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = F2 = (0, 0) e avente larghezza del semiasse maggiore a =4;

4. Determinare i fuochi e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse di equazione \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.

Soluzioni

1. b2 = 16 -1, da cui \frac {x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1;

2. a2 = 9 – 4, da cui \frac{x^2}5+\frac{y^2}9=1;

3. b2 = 4 -0, da cui \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1. E’ una circonferenza con raggio r = a=b;

4. a = 5, b = 4, F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0).

Ellisse

  • Se i fuochi si scelgono sull’asse delle ordinate l’equazione dell’ellisse è ancora nella forma:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\; 0<a<b.

In questo caso b rappresenta la lunghezza del semiasse maggiore.

  • Le considerazioni fatte precedentemente hanno perfettamente senso anche quando i fuochi F1 e F2 coincidono, cioè x0 = 0. In tal caso si perviene alla costruzione di una circonferenza (vale a = b = r) di espressione:

\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1\Leftrightarrow x^2 + y^2 =r^2.


Iperbole

Fissati due punti F1 = (x1,y1) e F2 = (x2,y2), detti fuochi, e un numero reale a > 0 tale che \overline {F_1F_2}>2a, si dice iperbole il luogo dei punti P del piano per i quali vale:

|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a

cioè per i quali la differenza delle distanze dai fuochi è costante e pari, in modulo, a 2a.

Soegliamo un riferimento cartesiano con F1 e F2 sull’asse delle ascisse e l’origine coincidente con il punto medio del segmento F1F2

F1 = (-x0, 0);   F2 = (x0, 0)   0<x0<a.

Il punto P = (x, y) appartenente all’iperbole è tale che:

|\sqrt{(x+x_0)^2+y^2}-\sqrt{(x-x_0)^2+y^2}|=2a.

Elevando due volte al quadrato si ottiene:

(a^2-x_0^2)x^2+a^2y^2=a^2(x_0^2-a^2).

Posto b^2=x_0^2 - a^2 , \;\; b>0,  si ha  l’equazione canonica dell’iperbole:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
Facendo riferimento alla figura il numero 2a rappresenta la misura del segmento A1A2.

Iperbole

1. Determinare l’equazione dell’iperbole di fuochi F1 = (-3, 0) e F2 = (3, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a =4.

2. Determinare i fuochi dell’iperbole di equazione \frac{x^2}4-\frac{y^2}{16}=1.

1. Determinare l’equazione dell’iperbole di fuochi F1 = (-2, 0) e F2 = (2, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 2.

2. Determinare i fuochi dell’iperbole di equazione \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.

Soluzioni

1. b2 = 4 – 1, da cui x^2-\frac{y^2}3 = 1.

2. x02 = b2 + a2 = 25, da cui F1 = (-5, 0) e F2 = (5, 0)


Asintoti dell’iperbole

Le rette di equazione y=\frac b a x e y=- \frac b a x si dicono asintoti dell’iperbole.

Le due rette asintoto hanno la seguente proprietà: i punti dell’asintoto si avvicinano a quelli sull’iperbole quando l’ascissa aumenta arbitrariamente per valori positivi o diminuisce arbitrariamente per valori negativi.

La proprietà appena enunciata può essere illustrata quando si considera la parte di iperbole contenuta nel primo quadrante. Se P = (x, y) è il generico punto sull’iperbole e P' = (x, \frac ba x) è il punto sull’asintoto y= \frac bax con uguale ascissa x, la distanza \overline {PP'} diventa sempre più piccola e prossima a zero quanto più x cresce diventando arbitrariamente grande.

Come nel caso dell’ellisse si può ripetere la costruzione esposta precedentemente ponendo i fuochi sull’asse delle ordinate. Si perviene all’equazione:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1.


Asintoti dell’iperbole

1. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di equazione \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}9 = 1.

2. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole dell’equazione \frac{y^2}{36}-\frac{x^2}4 = 1.

3. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di fuochi F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 6.

Asintoti dell’iperbole

1. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di equazione \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16} = 1.

2. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole dell’equazione \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}9 = 1.

3. Determinare le equazioni degli asintoti dell’iperbole di fuochi F1 = (-5, 0) e F2 = (5, 0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 8.

Soluzioni

1. Gli asintoti hano equazioni y = -2x e y = 2x.

2. Gli asintoti hanno equazioni x=-\frac 3 5 y e x=\frac 3 5 y

3. Bisogna determinare b2 = 25 – 16 = 9, da cui gli asintoti hanno equazioni y=-\frac 3 2 y e y=\frac 3 2 y

 

Iperbole equilatera

Si dice che un’iperbole è equilatera quando a = b, In tal caso l’equazione canonica diventa:

x2y2 = a2 (oppure y2x2 = a2)

e le rette asintoto sono y = x, y = -x

Se si scelgono  i fuochi nei punti F1 = (- a, -a), F2 = (a, a), la condizione \overline{F_1F_2}=\sqrt{(2a^2)+(2a^2)}=2\sqrt{2a}>2a è automaticamente soddisftta e si può far vedere che l’equazione dell’iperbole è

xy=\frac{a^2}2.

In questo caso le rette asintoto coincidono con gli assi cartesiani x = 0 e y= 0.


Iperbole equilatera

1. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-6, 0) e F2 = (6, 0).

2. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-3, -3) e F2 = (3, 3).

3. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione x2y2 = 15.

4. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione xy = 5.

Iperbole equilatera

1. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0).

2. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’iperbole equilatera di fuochi F1 = (-2, -2) e F2 = (2, 2).

3. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione x2 - y2 = 18.

4. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione xy = 32.

Soluzioni

1. L’iperbole è equilatera quando a = b. Gli asintoti dell’iperbole equilatera hanno equazioni y = -x e y = x. L’equazione dell’iperbole equilatera è x2y2 = a2 e x02 = 2a2. Allora a2 = 8 e l’equazione dell’iperbole è x2y2 = 8.

2. Gli asintoti dell’iperbole sono l’asse delle y e l’asse delle x. L’equazione dell’iperbole equilatera è xy = \frac{a^2}2. In questo caso xy = 2.

3. a2 = 18 e x02 = 2a2 = 36 per cui F1 = (-6, 0), F2 = (6, 0).

4. a2 = 64 per cui F1 = (-8, -8), F2= (8, 8).

Parabola

Fissata una retta r, detta direttrice, e un punto F = (x0, y0) non appartenente a r, detto fuoco, si dice parabola il luogo dei punti P del piano che hanno uguale distanza da r e da F.

Scegliamo un riferimento cartesiano con l’asse delle ascisse parallelo ad r in modo tale che F = (0, p) e r ha equazione y= -p. Il punto P= (x, y) appartiene alla parabola è tale che:

\overline{FP}=\overline{PM}

ovvero

\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|x + p|

Elevando al quadrato si ottiene

a= \frac 1 {4p}, si ha

y= ax2 (Equazione canonica della parabola)

Parabola

Sono possibili altre scelte della posizione di r e F. Di seguito è riportato il caso F = (0, p) e r di equazione x = -p.

1. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 2) e retta direttrice di equazione y = -2.

2. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (6, 0) e retta direttrice di equazione y = -2.

3. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = \frac 1 {16}x^2.

4. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = \frac 1 {32}x^2.

Parabola

1. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 3) e retta direttrice di equazione y = -3.

2. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (4, 0) e retta direttrice di equazione y = -4.

3. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = \frac 1 {20}x^2.

4. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = \frac 1 {8}x^2.

Soluzioni

1. a=\frac 1 {12}, per cui l’equazione della parabola è y=\frac 1 {12}x^2.

2. a=\frac 1 {16}, per cui l’equazione della parabola è x=\frac 1 {16}y^2.

3. a= \frac 1 {20},\;\;p= \frac 1 {4a}=5, per cui la retta direttrice ha equazione y = – 5 ed il fuoco F = (0, 5).

4. a= \frac 1 {8},\;\;p= \frac 1 {4a}=2, per cui la retta direttrice ha equazione x = – 2 ed il fuoco F = (2, 0).

Esercizi equazione della retta

Esercizio tipo svolto

1. Determinare le equazioni delle rette passanti per le seguenti coppie di punti:

a) (-2, 2), (-2, 7);

b) (-3, 1), (-1, -2);

c) (-4, 3), (-2, 3).

2. Determinare l’equazione della retta r di coefficiente angolare m = -3 e passante per il punto (-1, 3).

Esercizi equazione della retta

 Soluzioni

1.

a) x = -2 (caso x1 = x2);

b) \frac{x+1}{-3 + 1}=\frac{y+2}{1+2};

c) y = 3 (caso y1 = y2)

2. y = -3x

Esercizi equazione della retta

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione della retta orizzontale, cioè parallela all’asse delle x, passante per il punto (5,4);
  2. Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto (5,2).
Soluzioni
  1. y = – 4;
  2. y=\frac 2 5 x.

Esercizi equazione della retta

Esercizio tipo svolto

1. Determinare l’equazione della retta s parallela alla retta r passante per il puntoP nei seguenti casi:

a) r : y = -x -1, P = (1,-1);

b) r : y = 11, P = (5,6);

c) r : x = -1, P = (3,2).

2. Determinare l’equazione della retta s perpendicola alla retta r passante per il punto P nei seguenti casi:

a) r : y = 5x +11, P = (-3,1);

b) r : y = 9, P = (-7,4);

c) r : x = 10, P = (9,-5).

 

Esercizi equazione della retta

Soluzioni

1.

a) y + 1 = – (x – 1);

b) y = 6;

c) x = – 3.

2.

a) y - 1 =- \frac  1 5(x + 3);

b) x = -7;

c) y = -5

Esercizio distanza di un punto da una retta

Esercizio tipo svolto

Determinare la distanza del punto P = (-1,1) dalla retta r di equazione -y + 2x -3 = 0.

La distanza del punto P dalla retta è

\overline{PH}=\frac 4 {\sqrt 5}

Esercizi equazione della circonferenza

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione della circonferenza di centro il punto C = (5,-1) e raggio r = 3;
  2. Determinare il raggio e le coordinate del centro della circonferenza di equazione (x + 3)2 + (y + 3)2 = 25;
  3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A = (o,0), B= (1,-1), P = (0, 2).
Soluzioni
  1. (x – 5)2 + (y + 1)2 = 9;
  2. C = (-3, -3) e raggio r = 5;
  3. x2 + (y + 1 )2  = 1.

Esercizi equazione dell’ellisse

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (-5,0) e F2 = (5,0) e avente lunghezza del semiasse maggiore a = 7.
  2. Determinare l’equazione dell’ellisse di fuochi F1 = (0,-4) e F2 = (0,4) e avente lunghezza del semiasse maggiore b = 6.
Soluzioni
  1. \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1.
  2. \frac{x^2}{20}+ \frac{y^2}{36}=1

Esercizi equazione dell’iperbole

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione dell’iperbole di fuochi F1 = (-6,0) e F2 = (6,0) e tale che la distanza dei punti di intersezione con gli assi vale 2a = 6.
  2. Determinare i fuochi dell’iperbole di equazione x2/8 – y2 = 1.
Soluzioni
  1. \frac{x^2}9 - \frac{y^2}{27}=1.
  2. F1 = (-3, 0)  e F2 = (3, 0)

Esercizi equazione degli asintoti di una iperbole

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare la equazione degli asintoti dell’iperbole di equazione x2/25 – y2/16 = 1.
  2. Determinare la equazione degli asintoti dell’iperbole di equazione y2/49 – x2/9 = 9.
  3. Determinare la equazione degli asintoti dell’iperbole di Fuochi F1 = (-7,0) e F2 = (7,0) e avente misura dell’asse rasverso 2a = 10.
Soluzioni
  1. y= -\frac 4 5 x e y= \frac 4 5 x.
  2. x= -\frac 3 7 y e x= \frac 3 7 y.
  3. y = -\frac {\sqrt{24}}5 x  e y = \frac {\sqrt{24}}5 x.

Esercizi equazione dell’iperbole equilatera

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’uperbole equilatera di fuochi F1 = (-7,0) e F2 = (7,0).
  2. Determinare l’equazione e gli asintoti dell’uperbole equilatera di fuochi F1 = (-11,-11) e F2 = (11,11).
  3. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione x2y2 = 11.
  4. Determinare i fuochi dell’iperbole equilatera di equazione xy = 7.

Soluzioni

  1. x^2-y^2= \frac{49}2.\;\; y=-x\;\;\text e \;\; y=x
  2. xy=\frac{121}2. asse delle y e asse delle x.
  3. F_1 = (-\sqrt{22},0).\;\; F_2 =(\sqrt{22}, 0).
  4. F_1 = (-\sqrt{14},-\sqrt{14}).\;\; F_2 =(\sqrt{14}, \sqrt{14}).

Esercizi equazione della parabola

Esercizio tipo svolto

  1. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 1/2) e retta direttrice di equazione y = – 1/2.
  2. Determinare l’equazione della parabola di fuoco F = (0, 1/3) e retta direttrice di equazione y = – 1/3.
  3. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = 2x2.
  4. Determinare l’equazione della retta direttrice e le coordinate del fuoco della parabola di equazione x = 3x2.

Soluzioni

  1. y=\frac 1 2 x^2.
  2. x=\frac 3 4 y^2
  3. y=-\frac 1 8 \;\; \text e \;\; F=(0,\frac 1 8).
  4. x=-\frac 1{12}\;\;\text e \;\; F=(\frac 1 {12}, 0).
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