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Addolorata Marasco » 9.Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

Introduzione alle ODEs

Introduzione ai modelli matematici in termini di ODEs
Nelle precedenti lezioni si è parlato di come si può costruire un modello matematico per descrivere un problema del mondo reale attraverso un ragionamento intuitivo sul fenomeno, a partire da una legge fisica basata sull’evidenza sperimentale o anche utilizzando alcuni dati sperimentali. Tuttavia, nella maggior parte dei casi un modello matematico è scritto in termini di un’equazione differenziale (ODE), cioè di un’equazione che lega una funzione incognita ad alcune delle sue derivate. Un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine è definita come una relazione tra una funzione incognita y=f(t) e la sua derivata ordinaria y’=f’(t), ossia come una relazione del tipo

$y' = F(y,t)$

dove F denota una funzione assegnata della funzione incognita y=y(t) e della variabile indipendente t.

Ad esempio, per un punto materiale che si muove su di una retta Ox sottoposto all’azione di una forza F, la famosa legge di Newton si scrive

$ma=F(x, v, t)$

ed è un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine nell’incognita x(t) che individua ad ogni istante la posizione del punto materiale di massa m sulla retta, laddove v(t) e a(t) rappresentano la velocità e l’accelerazione del punto e sono la derivata prima e seconda della funzione x(t) rispetto al tempo t.
Quindi, la legge di Newton può anche scriversi nella forma

$mx''=F(x, x', t)$

Introduzione alle ODEs (segue)

In generale, si dice ordine di una equazione differenziale l’ordine della più alta derivata che compare nell’equazione.
Nelle equazioni differenziali prima definite la variabile indipendente t rappresenta il tempo, ma in generale la variabile indipendente non deve necessariamente essere il tempo. Per esempio, nella seguente equazione differenziale

$y'=x^3$

la funzione incognita y dipende dalla variabile indipendente x. Risolvere un’equazione differenziale del primo ordine significa trovare quella funzione o quelle funzioni y=f(x) che la verificano in un opportuno intervallo della variabile indipendente x.
È immediato riconoscere che la famiglia di funzioni

$y=\frac {x^4}4+k$

dove k è una costante, è soluzione della precedente equazione, qualunque sia il valore di k.

Tuttavia, nelle applicazioni non è molto interessante individuare tutte le possibili soluzioni di un’equazione differenziale, ma piuttosto determinare una soluzione che verifichi particolari proprietà come, per esempio, quella di assumere un assegnato valore y₀ all’istante iniziale t₀. In pratica, questo significa misurare lo stato y₀ del sistema al tempo t₀ e voler determinare per esso il comportamento futuro a partire da questo stato. Un tale problema è noto come Problema ai valori iniziali o Problema di Cauchy e per esso sussiste il seguente teorema di esistenza e unicità⁽¹⁾.
(1) Per semplicità il teorema verrà enunciato in una forma semplice ma con ipotesi sovrabbondanti.

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Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy
Sia F(y,t) una funzione derivabile rispetto alle variabili y e t. Allora, esiste una ed una sola soluzione y=y(t,t₀,x₀), in un intorno J di t₀, del seguente problema di Cauchy

$\left\{\begin{array}{ll}y'=F(y,t), \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9.1) \\ y(t_0)=y_0,\end{array}\right$

cioè del problema che consiste nel ricercare una soluzione dell’equazione y’=F(y,t) la quale assuma all’istante t₀ il valore y₀.

Se la (9.1) rappresenta il modello matematico di un fenomeno reale, allora la coppia (t₀,y₀) di dati iniziali rappresenta lo stato iniziale del sistema e la soluzione unica corrispondente y=y(t,t₀,x₀) individua lo stato del sistema in ogni altro istante successivo a quello iniziale nell’intervallo J.
Conseguentemente, le equazioni differenziali appaiono uno strumento idoneo a descrivere le evoluzioni future di un fenomeno a partire da uno stato iniziale noto.

Esercizio 9.1: Verificare che l’unica soluzione per l’equazione y’= y che assuma il valore y₀=10 nell’istante iniziale t₀=0 è y=10e^t.

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Sfortunatamente, nonostante il teorema precedente assicuri l’esistenza e l’unicità della soluzione di un problema di Cauchy in opportune ipotesi, l’effettiva determinazione di tale soluzione è un problema tutt’altro che semplice. Anzi, in moltissimi casi può dimostrarsi che una tale soluzione non può esprimersi in forma chiusa, cioè mediante combinazione di funzioni numeriche elementari, ma può determinarsi solo con procedure numeriche di approssimazione. Infatti, a differenza della derivazione, l’operazione di integrazione, che consente in linea di principio la determinazione delle soluzione di una ODE, non ammette sempre soluzioni analitiche esplicite. Come si vedrà nelle prossime lezioni anche modelli molto semplici per la descrizione dell’interazione tra due specie biologiche, ad esempio in regime di predazione o di competizione interspecifica, non risultano integrabili analiticamente, cioè non è possibile esibirne le soluzioni in forma chiusa. In tutti questi casi sarà necessario condurre analisi di tipo qualitativo e quantitativo.

Analisi qualitative
L’analisi qualitativa consente di disegnare grafici qualitativi delle soluzioni anche senza averne una formula esplicita (campo di direzioni). Inoltre, è possibile in molti casi conoscere le caratteristiche principali delle soluzioni come la periodicità, la positività, la limitatezza, nonché alcuni andamenti asintotici.

Analisi quantitative
Quest’analisi, anche se in generale è preceduta da quella qualitativa, consente di trovare approssimazioni numeriche delle soluzioni di una ODE non integrabile analiticamente. L’integrazione numerica di una ODE, cioè il processo che consente di approssimare le soluzioni di una ODE mediante funzioni numeriche di interpolazione, può condursi attraverso molti metodi come, ad esempio, quello di Eulero.

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Per questi motivi, un modello matematico scritto in termini di equazioni differenziali, presenta due tipi di difficoltà:

I) la semplicità della sua struttura se da un lato risolve il problema dell’integrazione analitica, dall’altro limita la descrizione del fenomeno a pochi e semplici casi;
II) un modello più articolato può tradursi in un sistema differenziale la cui soluzione può ottenersi solo per via numerica. Tuttavia, il modello consente una descrizione del fenomeno più aderente alla realtà, cioè in casi più generali evidenziandone una fenomenologia più ampia.

I modelli biomatematici presentati nelle prossime lezioni, rispondono alle caratteristiche appena evidenziate. In altre parole, ci si occuperà sia di modelli integrabili analiticamente (ad esempio quello malthusiano e logistico) che di modelli il cui studio richiede l’utilizzo di analisi qualitative e quantitative (ad esempio quello di Lotka-Volterra, di competizione interspecifica ed epidemiologici).

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Equazioni differenziali a variabili separabili
In alcuni casi è possibile procedere all’integrazione analitica di ODE del primo ordine che si presentino come equazioni a variabili separabili, cioè nella seguente forma

$\frac{dy}{dx}=g(x)f(y)~~~~~~~~(9.2)$

dove la funzione a secondo membro dell’equazione è fattorizzata in una funzione di x per una funzione di y.
Se f(y)≠0, posto h(y)=1/f(y) l’equazione (9.2) può scriversi nella forma seguente

$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x)}{h(y)}$

Separando le variabili in modo che tutte le funzioni di y si trovino a primo membro dell’equazione e tutte quelle di x a secondo membro e ricorrendo alla regola di sostituzione per gli integrali, si ottiene

$\int h(y)dy=\int g(x)dx$

dove y è definita implicitamente come funzione di x.

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Esempio 9.1: Risolvere la seguente equazione a variabili separabili

$\frac{dy}{dx}=x^2y.$

Se y≠0, è possibile riscrivere la ODE in forma differenziale e poi integrare

$\int\frac{dy}y=\int x^2dx \Rightarrow ln|y|=\frac{x^3}3+k$

dove k è una costante arbitraria risultante dalle costanti di integrazione di entrambi i membri. Quest’ultima equazione definisce y implicitamente come funzione di x. Tuttavia, in questo caso è possibile ricavare esplicitamente y nel modo seguente:

$|y|=exp \biggl(\frac{x^3}3+k\biggr) \Rightarrow y=\pm A~ exp\biggl(\frac{x^3}3\biggr), ~~~A=~exp~k$

Si osservi che anche y=0 è soluzione della ODE nell’Esempio 9.1. In particolare, questo introduce al concetto di soluzione di equilibrio, cioè di una soluzione statica che quindi non si evolve nel tempo. Come si vedrà nel seguito, le soluzioni di equilibrio risultano, in molti casi, le uniche soluzioni di una ODE di cui è nota l’espressione analitica. Inoltre, esse risultano fondamentali nell’ambito della teoria della stabilità degli equilibri. Questa teoria studia gli effetti delle “piccole perturbazioni” sui dati iniziali e sul secondo membro dell’equazione in relazione alle soluzioni della ODE in esame. Inoltre, a partire dalle proprietà di stabilità delle soluzioni di equilibrio è possibile conoscere il comportamento di tutte le soluzioni dinamiche che si originano da “dati iniziali vicini” a quelle di equilibrio.

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Per il seguito di queste lezioni i modelli matematici proposti saranno scritti mediante equazioni differenziali autonome, cioè tali che il secondo membro di ogni ODE non dipende esplicitamente dalla variabile indipendente.

Una ODE autonoma del primo ordine si scrive

$y'=F(y),$

e ogni costante $\bar y$ tale che F( $\bar y$ )=0 è una soluzione di equilibrio. Inoltre, una soluzione di equilibrio $\bar y$ si dice stabile (secondo Liapunov) se comunque fissato un suo intorno U_ε di ampiezza ε, esiste un intorno U_δ contenuto in U_ε tale che tutte le soluzioni y(t,y₀) con dati iniziali y₀ in questo intorno U_δ, rimangono confinate in U_ε.
In formule, si ha

$\forall \in >0~~~\exists \delta(\in):|\bar y-y_0|<\delta(\in)~~\Rightarrow~~|\bar y-y(t,y_0)|<\in~~\forall t>t_0.$

In altre parole, stabilità significa che un “piccolo” cambiamento nei dati produce un cambiamento “piccolo” (o controllabile) sulla soluzione, cioè se si parte da dati iniziali y₀ “sufficientemente vicini” ad $\bar y$ , allora la corrispondente soluzione y(t,y₀) si manterrà per tutto il tempo vicina ad y₀.

In altri termini, una posizione di equilibrio stabile costituisce uno stato in un certo senso insensibile alle piccole perturbazioni che tentano di alterarne l’andamento evolutivo. Conseguentemente, le posizioni di equilibrio stabili sono le uniche soluzioni statiche fisicamente osservabili e quindi significative per il modello. Una soluzione di equilibrio $\bar y$ si dice asintoticamente stabile se è stabile e se per t→∞ il sistema, nella sua evoluzione, si avvicina all’equilibrio indefinitamente.

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Per i modelli che descrivono la dinamica di due specie interagenti, si dovrà studiare un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine

$\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9.3) \\ y'=g(x,y),\end{array}\right$

nelle due funzioni incognite x(t) e y(t). Anche per il sistema (9.3) si prova che, se le funzioni f e g sono derivabili rispetto alle variabili da cui dipendono, esiste una ed una sola soluzione x(t,x₀,y₀), y(t,x₀,y₀), indipendente dall’istante iniziale t₀, del seguente Problema di Cauchy (Teorema di esistenza e unicità)

$\left\{\begin{array}{llll}x'=f(x,y), \\ y'=g(x,y), ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9.4) \\ x(0)=x_0, ~~y(0)=y_0.\end{array}\right$

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Esempio 9.2: Verificare che il Problema di Cauchy

$\left\{\begin{array}{lll}x'=-y, \\ y'=x, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9.5) \\ x(0)=1, ~~~ y(0)=0.\end{array}\right$

ammette la soluzione x(t)=cos t, y(t)=sin t.

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Diamo ora una rappresentazione geometrica della famiglia di soluzioni di un sistema dinamico autonomo. Sia Oxy un sistema di coordinate cartesiane e si fissi un dato di Cauchy (x₀,y₀), ossia un punto del piano rappresentativo dello stato iniziale del sistema. Per il teorema di esistenza e unicità esiste una ed una sola soluzione del problema di Cauchy (9.4) ossia, una ed una sola curva x(t), y(t), detta orbita, del piano Oxy passante per (x₀,y₀), la quale rappresenta geometricamente una soluzione del suddetto problema.
Si osservi che, al variare di (x₀,y₀), queste curve non si intersecano per l’unicità della soluzione. L’insieme delle orbite al variare di (x₀,y₀) costituisce il ritratto di fase del sistema dinamico (9.4). La determinazione del ritratto di fase consente di riconoscere molte proprietà significative delle soluzioni.

A titolo di esempio, si consideri nuovamente il sistema (9.5) che descrive le oscillazioni di un corpo di massa unitaria attaccato ad una molla di costante elastica k=1. Come si è visto, le soluzioni sono le funzioni trigonometriche coseno e seno, e quindi sono periodiche di 2π, cioè cos(t+2π)=cos t e sin(t+2π)=sin t per ogni valore di t (cfr. Figura 9.1).
In corrispondenza di queste soluzioni, si individua un’orbita chiusa come mostrato in Figura 9.1.

Figura 9.1

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Quanto appena osservato è un risultato del tutto generale per i sistemi autonomi piani. In altre parole, per un sistema autonomo piano, un’orbita chiusa corrisponde a soluzioni periodiche e viceversa.

Analogamente a quanto visto nel caso di ODE del primo ordine, si definiscono posizioni di equilibrio del sistema dinamico (9.3) quei valori numerici di x e y per cui si annullano i secondi membri di (9.3), cioè le radici del seguente sistema

$\left\{\begin{array}{lll} f(x,y)=0, \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9.6) \\ g(x,y)=0. \\ \end{array}\right$

Si osservi che se (x_e,y_e) è una soluzione di (9.6), ossia è una coppia di numeri che verifica le (9.6), allora le funzioni costanti x(t)=x_e e y(t)=y_e rappresentano una soluzione del sistema dinamico (9.3) che corrisponde ad uno stato che non si evolve nel tempo.
Come si è già osservato, lo studio dell’andamento delle soluzioni attorno ad una posizione di equilibrio costituisce uno dei problemi più significativi dei Sistemi Dinamici, ma per ovvi motivi le teorie connesse esulano dagli obiettivi di questo corso.

Si conclude con i concetti di stabilità e stabilità asintotica per gli equilibri del sistema (9.3).
Una posizione di equilibrio (x_e,y_e) si dice stabile per il sistema dinamico (9.3) se per ogni intorno U esiste un intorno V di questo stato di equilibrio tale che tutte le soluzioni x(t,x₀,y₀), y(t,x₀,y₀) con dati iniziali in V, rimangono confinate in U. In particolare, lo stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile se è stabile e se per t→∞ il sistema, nella sua evoluzione, si avvicina all’equilibrio indefinitamente.

Approfondimenti

Una introduzione alle ODE può trovarsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo. Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume
Apogeo on line 1
Apogeo on line 2

Approfondimenti sulle funzioni numeriche elementari possono trovarsi sul sito “Federica” relativo al corso e-learnig “Matematica” di M. R. Posteraro.

Approfondimenti sulla stabilità degli equilibri possono reperirsi nel volume C.D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica Vol. 2, Masson editore