Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
I corsi di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Addolorata Marasco » 1.Introduzione ai modelli matematici


Costruzione di un modello matematico

Introduzione ai modelli matematici

Un modello matematico è una descrizione in termini matematici, cioè mediante funzioni, equazioni,…, di un fenomeno reale ed è in grado di descrivere i legami esistenti tra le grandezze caratteristiche del fenomeno.
Ad esempio, i modelli matematici sono utilizzati per la descrizione della numerosità di una popolazione di individui, della velocità di un oggetto in caduta libera, della concentrazione di un reagente in una reazione chimica, dell’aspettativa di vita di una persona alla nascita, etc.

Costruzione di un modello matematico

Fase 1: Analisi del problema reale: ipotesi e dati sperimentali
Questa prima fase di analisi di un problema reale deve condurre all’individuazione degli aspetti essenziali del fenomeno che si intende modellizzare. Se le ipotesi sul fenomeno e l’analisi dei dati sperimentali conducono a stabilire l’esistenza di relazioni evidenti tra le quantità che sono essenziali per la sua descrizione, allora è possibile individuare le variabili indipendenti e quelle dipendenti che intervengono nel fenomeno e ipotizzare un possibile legame funzionale. Naturalmente, può essere necessario fare delle assunzioni che semplifichino la struttura del fenomeno in modo da renderlo matematicamente trattabile. D’altra parte, se si tentasse una descrizione della realtà pretendendo di tener conto di tutti gli aspetti del fenomeno, il modello sarebbe così complicato da risultare del tutto inutilizzabile.


Costruzione di un modello matematico (segue)

Fase 2: Formulazione del modello matematico

Con le conoscenze acquisite sull’andamento del fenomeno si possono ottenere delle funzioni o delle equazioni che correlino le diverse variabili. Se però non si può far riferimento ad alcuna conoscenza fisica a priori che possa fungere da traccia, occorre raccogliere ed esaminare un buon numero di dati sperimentali in modo da ottenerne una rappresentazione grafica e da discernere se questa descrizione del fenomeno presenti un andamento o una forma peculiare. Il grafico può in effetti suggerire quale “formula matematica” è più adatta a descrivere il fenomeno.


Costruzione di un modello matematico (segue)

Fasi 3–4: Risoluzione del modello matematico e previsioni sul fenomeno
Formulato il modello, è necessario applicare teorie e tecniche matematiche in grado di risolvere il complesso di funzioni o equazioni che reggono il modello al fine di ricavare delle informazioni sul fenomeno, di interpretare in chiave fisico-sperimentale queste informazioni facendo anche delle previsioni sull’andamento futuro del fenomeno.


Costruzione di un modello matematico (segue)

Fase 5: Validazione del modello matematico
Se la descrizione del fenomeno e le previsioni future dedotte dal modello non combaciano con l’evidenza sperimentale, è necessario ridefinire il modello e incominciare un nuovo ciclo. In questo caso, è evidente che o non si sono individuate al meglio le grandezze caratteristiche del fenomeno oppure le ipotesi sui legami funzionali non sono corrette.

Obiettivi di un modello matematico
Un modello matematico deve servire a comprendere meglio il fenomeno in esame, a fornire previsioni sul suo andamento futuro e ad operarne un controllo.

Un modello matematico non è mai una rappresentazione esatta della realtà.

Un modello matematico semplifica “sufficientemente” la realtà, ma, nei limiti di validità del modello, cioè quelli imposti dalle dovute semplificazioni, è estremamente accurato nella descrizione e nelle previsioni future sul fenomeno in esame.


Costruzione di un modello matematico (segue)

Figura 1.1: Schema per la costruzione di un modello matematico.

Figura 1.1: Schema per la costruzione di un modello matematico.


Funzioni numeriche

Il concetto di funzione

Si parla di funzione ogni volta che una certa grandezza è soggetta a dipendere da un’altra, come nei seguenti casi:

  • l’area A di un cerchio dipende dal suo raggio r: A(r);
  • il numero N di individui di una popolazione dipende dal tempo t: N(t);
  • il costo C di una raccomandata dipende dal peso p della lettera: C(p);
  • la velocità v di un corpo dipende dal tempo t: v(t).

Funzioni numeriche(segue)

Il concetto di funzione

Supponiamo di studiare un fenomeno e di aver individuato una relazione che indichiamo con f tra due aspetti che descrivono il fenomeno in esame:

f: A→B

la relazione f è una funzione se ogni elemento di A è in relazione con uno ed un solo elemento di B:

∀ x ∈A ∃!y ∈B:f(x)=y.

Com’è noto, si definisce grafico di una funzione l’insieme:

Gf={(x,f(x)):x∈A} ⊆AxB

Figura 1.2: Grafico di una funzione.

Figura 1.2: Grafico di una funzione.


Modelli lineari: Esempio 1.1

Esempio 1.1: Caduta di un grave
Il baricentro di un corpo è soggetto alla forza di gravità che, in prossimità della superficie terrestre, agisce imponendo ai corpi una accelerazione costante, verticale e diretta verso il basso g=9.8m/s2.
In assenza di altre forze e trascurando la resistenza dell’aria, la velocità (variabile dipendente) di un corpo in caduta libera varia nel tempo (variabile indipendente) secondo la legge:

v:t∈ ℜ  → v0+gt∈ ℜ

dove v0 è la velocità iniziale del corpo.

Tabella 1.1: Velocità del grave in funzione del tempo.

Tabella 1.1: Velocità del grave in funzione del tempo.

Figura 1.3: Grafico della velocità.

Figura 1.3: Grafico della velocità.


Modelli lineari: Esempio 1.1

Informazioni sul fenomeno
Un corpo che cade nel vuoto non ha velocità costante, ma la sua velocità aumenta con il tempo (cfr. Tabella 1.1 e Figura 1.3 in cui v0=0)

Previsioni sul fenomeno
Ad ogni istante t è nota la velocità del corpo in quell’istante.
Ad esempio, se inizialmente risulta v0=0 è possibile determinare la velocità del corpo dopo 10s senza eseguire materialmente alcun esperimento:

v(10s)=9.8m/s2·10s=98m/s.

Modelli lineari: Esempio 1.1

Controllo del fenomeno
Se si vuole che il corpo dopo 15s raggiunga la velocità di 150m/s quanto dovrà valere la velocità iniziale v0?

\left \{\begin{array}{ll}v (15s)=v_0 + 9.8 m/s^2~~ \cdot15s=v_0+147m/s \\ v(15s)=150m/s\end{array}~~~~\Longrightarrow  v_0 +147m/s=150m/s \Longrightarrow v_0=3m/s

In altre parole, per ottenere dopo 15s il valore di 150m/s dobbiamo imprimere al corpo una velocità iniziale di 3m/s.

Limiti di validità del modello
Questo modello non è adatto alla descrizione del moto di un paracadutista o alla progettazione di un paracadute, poiché trascurando la resistenza dell’aria nel modello non rimane traccia della forza resistente del mezzo che si oppone al moto e che dipende dalla velocità del corpo e dalle sue caratteristiche geometrico-materiali.

Il precedente esempio rientra tra i modelli lineari, cioè tra i modelli matematici di un fenomeno che sono descritti mediante funzioni lineari.

Funzioni lineari

Una funzione espressa dalla legge:

f(x)=ax+b, a, b∈ ℜ

è una funzione lineare, cioè il grafico di f(x) è una retta, il parametro a rappresenta il coefficiente angolare e b è il termine noto o intercetta.
Un comportamento caratteristico delle funzioni lineari è quello di crescere in modo costante.

Si consideri ad esempio la funzione f(x)=2x-1 il cui grafico è mostrato in Figura 1.4. Per questa funzione si consideri la Tabella 1.2 di valori in cui si evidenzia che ogni qual volta x cresce di 0.1 il valore di f(x) cresce di 0.2, cioè cresce del doppio. In altre parole, il coefficiente angolare a=2 della retta rappresenta il tasso di crescita di y rispetto ad x.

Figura 1.4: Grafico della funzione f(x)=2x-1 .

Figura 1.4: Grafico della funzione f(x)=2x-1 .

Tabella 1.2: Valori della funzione f(x)=2x-1 .

Tabella 1.2: Valori della funzione f(x)=2x-1 .


Funzioni lineari (segue)

D’altra parte se consideriamo due punti P1 ≡ (x1,y1) e P2 ≡ (x2,y2) del grafico di f(x), si ricava facilmente che:

a=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \equiv tan \alpha

dove α è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse misurato in verso antiorario. Pertanto, il coefficiente angolare a rappresenta la variazione delle ordinate di due punti del grafico rispetto alla variazione delle corrispondenti ascisse.

Modelli lineari: Esempio 1.2

Esempio 1.2: Pianificare un esperimento

Aspetti importanti del lavoro sperimentale sono il tempo necessario all’esecuzione degli esperimenti e il loro costo. Pianificare in anticipo la spesa da sostenere durante un lavoro sperimentale, mette al riparo da impreviste interruzioni dovute all’improvvisa mancanza di fondi.
Sia C(t) il costo della sperimentazione fino al tempo t e si supponga che il lavoro abbia inizio al tempo t0=0 e che sia noto il costo iniziale C(0)=C0 di tutte le attrezzature e del materiale necessario alla preparazione dell’esperimento. Poichè in generale la manodopera, il rinnovo del materiale e l’affitto delle attrezzature sono proporzionali alla durata dell’esperimento, si ipotizza che il costo complessivo C(t) aumenti linearmente con il tempo, cioè che la legge che lega C a t sia lineare:

C(t)  = kt +C0

Problema: Nelle ipotesi in cui il tempo t è misurato in mesi, il costo C(t) in migliaia di euro, C0=5, k=15 e che il budget a disposizione è di 50 mila euro, per quanto tempo al massimo può durare l’esperimento?

Per determinare il tempo massimo di durata dell’esperimento in relazione ai fondi a disposizione, basta risolvere la seguente disequazione:

C(t)\leq 50\Longleftrightarrow 15t +5 \leq 50\Longleftrightarrow t\leq 3,

cioè con il budget a disposizione l’esperimento non può che durare 3 mesi al massimo.

Modelli lineari: Esempio 1.3

Esempio 1.3: Germinazione

Dalle osservazioni su una varietà sperimentale di cocomero si ricava che esiste una relazione tra la quantità di semi che riescono a germinare entro una settimana dalla semina e la temperatura del terreno.
Se indichiamo con G(T) la percentuale di semi che germinano entro una settimana alla temperatura T espressa in gradi centigradi, si ha

G:T \in \Re \rightarrow G(T) \in \Re

Dai dati sperimentali si ricavano le seguenti ipotesi con cui modellizzare il fenomeno, cioè individuare la funzione G.

1. Se la temperatura varia tra 15°C e 30°C, la percentuale di semi germinati cresce in modo lineare con la temperatura, cioè

Se~T \in [15^\circ C,30^\circ C]\Longrightarrow G(T)=aT+b,

dove a e b sono due costanti da determinare.

2. Per temperature tra 30°C e 35°C, la percentuale dei semi germinati è costante, cioè:

Se~T \in (30^\circ C,35^\circ C)\Longrightarrow G(T)=c,

dove c è una costante da determinare.

3. Per temperature tra 35°C e 40°C, la percentuale di semi germinati cresce nuovamente in modo lineare con la temperatura, cioè:

Se~T \in [35^\circ C,40^\circ C]\Longrightarrow G(T)=dT+e,

dove d ed e sono due costanti da determinare.

Modelli lineari: Esempio 1.3 (segue)

4. Temperature al di sotto dei 15°C e al di sopra dei 40°C impediscono alla pianta di germinare, cioè:

Per T<15°C, oppure per T>40°C ⇒G(T)=0

5. Sono noti i seguenti dati sperimentali (1.1):

Se~ T=21^\circ C \Longrightarrow G(T)=36,

Se~ T=27^\circ C \Longrightarrow G(T)=72,

Riassumendo le informazioni 1.—4. si ottiene la seguente funzione definita a tratti

G(T)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, ~~~~se~~ T<15 ^0 C \\ aT+b, ~~~~se ~~15^0 C \leq T \leq 30^0 C \\ c, ~~~~~ se ~~30^0 C <T<35^0 C \\ dT + e ~~~~se ~~35^0 C \leq T \leq 40^0C \\ 0 ~~~~se~~ T>40^0 C\end{array}

Per determinare i valori delle costanti a,b,c,d,e utilizziamo i dati sperimentali (1.1) e alcune considerazioni di carattere biologico.

Modelli lineari: Esempio 1.3 (segue)

Per le (1.1) i punti A≡(21,36) e B≡(27,72) devono appartenere al grafico della funzione, quindi deve essere:

\left \{\begin{array}{ll} G(21) = 36 = 21 a+b, \\  G(27) = 72 = 27 a+b, \end{array} ~~~~~ \Longrightarrow a = 6, b = - 90,

….

allora per 15≤T≤30 si ha G(T)=6T-90.
Questa legge prevede che per T=30 si abbia G(30)=90, inoltre per 30<T<35 la funzione G è costante (G(T)=c) e non c’è motivo biologico per supporre che questa costante c sia diversa dal valore G=90 che abbiamo ottenuto, e quindi si considererà c=90.
Inoltre, devono anche essere verificate le condizioni:

\left \{\begin{array}{cc}G(35) = 90 = 35 d+e, \\ G(40) = 0 = 40d+e,\end{array}~~~~\Longrightarrow d = - 18, e = 720.

Riassumendo tutti i risultati ottenuti, si ottiene la seguente funzione (cfr. Figura 1.5):

G(T)=\left\{\begin{array}{lllll}0, ~~~se ~T<15 ^\circ C \\ 6 T - 90, ~~~se~ 15^\circ C \leq T \leq 30^\circ C \\ 90,~~~ se ~30^\circ  C < T < 35^\circ C \\-18T+720 ~~~~ se~ 35^\circ C \leq T \leq 40^\circ C,\\ 0 ~~~~~se ~T>40^\circ C \end{array}

Modelli lineari: Esempio 1.3 (segue)

Previsioni sul fenomeno
Per ogni valore della temperatura T è nota la percentuale dei semi che germina.

Ad esempio, se si considera una temperatura T=25°C si ha G(25)=60, cioè alla temperatura di 25°C germina il 60% dei semi.

Controllo del fenomeno
A quali temperature germina solo il 54% dei semi?

Come si vede dal grafico in Figura 1.6, ci sono solo due valori possibili: T=24°C e T=37°C.
Tuttavia, i due suddetti valori della temperatura possono anche individuarsi risolvendo le due seguenti equazioni:

\left\{ \begin{array}{ll} G(T)=54=6T-90\Rightarrow T_1=24, \\ G(T)=54=-18T+720 \Rightarrow T_2 =37. \end{array}

Figura 1.5: Grafico di G(T).

Figura 1.5: Grafico di G(T).

Figura 1.6: Grafico di G(T) e della retta y=54

Figura 1.6: Grafico di G(T) e della retta y=54


Modelli lineari: Esercizi di verifica

Esercizio 1.1: Alcuni biologi hanno dedotto sperimentalmente che la frequenza del frinire dei grilli di una certa famiglia è legata alla temperatura ambientale T. Se un grillo produce 113 suoni al minuto a 21°C e 173 a 27°C, e si suppone che la relazione che lega la temperatura T e il numero di suoni N emessi dal grillo ogni minuto è una funzione lineare, determinare l’espressione di N(T). Rappresentare graficamente la funzione N(T) e stimare la temperatura T0 rispetto alla quale i grilli emettono 150 suoni al minuto.
[Soluzione: N(T)=10T-97,T0=24.7°C]

Esercizio 1.2: Sapendo che la relazione che lega le scale di temperatura Fahrenheit (°F) e Celsius (°C) è espressa dalla seguente funzione lineare

F(C)=(9/5)C+32,

dove F e C stanno per °F e °C, risolvere il precedente esercizio assumendo come unità di misura della temperatura T i gradi Fahrenheit (°F) anzicchè i gradi Celsius (°C).
Come si modificano l’espressione della funzione N(T) e il suo grafico?
[Soluzione: N(T)=(50/9)F-2473/9)]

Esercizio 1.3: La temperatura T(h) di una corrente di aria fredda, misurata in °C, è funzione dell’altitudine h, misurata in km. Supposto che a terra la temperatura è di 20°C e ad un chilometro di altitudine è di 10°C, esprimere, utilizzando un modello lineare, la temperatura T in funzione dell’altitudine h.
Rappresentare graficamente la funzione T(h) e individuare il valore della temperatura ad un’altitudine di 2.5km.
[Soluzione: T(h)=-10h+20,T(2.5km)=-5°C]

Modelli lineari: Esercizi di verifica (segue)

Esercizio 1.4: Ricordando che l’indice di massa corporea IMC di un individuo è espresso in funzione del peso p (in kg) e dell’altezza h (in metri) mediante la seguente relazione

IMC(p,h)=p/h2

e che l’Organizzazione Mondiale della Sanità (OMS) suddivide la popolazione in tre classi secondo il seguente schema

Tabella 1.3

OBESI……………………………………….........se IMC >30,

SOTTOPESO…………………………………….. se IMC <18,5,

GRAVEMENTE SOTTOPESO ……………….se IMC <16,

disegnare il grafico dell’IMC di un individuo alto h=1,80m in funzione del suo peso p.
Determinare per un individuo di altezza h=1,80m i valori approssimati di p che lo collocano nelle tre classi di cui in Tabella 1.3. Infine, individuare i valori approssimati dell’altezza h che collocano un individuo di peso p=60kg nelle tre suddette classi.

[Soluzione: Fissato h=1,80m, l'individuo è ritenuto obeso per p>109.2, sottopeso per 58.24<p<67.34 e gravemente sottopeso per p<58.24. Analogamente, fissato p=60kg, l'individuo è ritenuto obeso per h<1.41, sottopeso per h>1.8 e gravemente sottopeso per 1.8<h<1.94]

Modelli lineari: Esercizi di verifica (segue)

Esercizio 1.5: In una legge lineare che descrive una crescita c(t) in funzione del tempo, il tasso di variazione è 0.15. Inoltre, è noto che per t=1 si ha c(t)=0.7. Scrivere esplicitamente la legge c(t) e calcolare c(4) e l’istante t* in cui risulta c(t*)=2.
[Soluzione
: c(t)=0.15t+0.55, c(4)=1.15, t*≅9.67]

Approfondimenti

Una introduzione ai modelli matematici può trovarsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo. Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume da

Apogeo on line 1

Apogeo on line 2

Approfondimenti sulle funzioni numeriche elementari possono trovarsi sul sito “Federica” relativo al corso e-learnig “Matematica” di M. R. Posteraro.

In questo sito è possibile studiare e rappresentare graficamente le funzioni numeriche elementari.
Alcuni esercizi di questa lezione sono tratti liberamente dal volume di Stewart e anche da Matematica per le Scienze della vita di D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion