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Addolorata Marasco » 16.Laboratorio 6: Modelli SIS e SIR per la diffusione di un'epidemia


Modello SIS

In questo laboratorio si presentano alcune applicazioni dei modelli SIS e SIR per la diffusione di una epidemia.
A differenza dei precedenti laboratori, per le simulazioni numeriche di questi modelli non sono stati preparati dei fogli Excel. Tuttavia, per le simulazioni riguardanti il modello SIS, basterà modificare opportunamente il foglio Logistico.xls, laddove per il modello SIR sarà necessario ideare un nuovo foglio Excel sulla falsa riga dei fogli Lotka-Volterra.xls e Competizione.xls.
Qui di seguito, prima di presentare le simulazioni numeriche per i modelli SIS e SIR si forniranno alcune informazioni per la creazione dei rispettivi fogli elettronici SIS.xls e SIR.xls.

Modello SIS: foglio elettronico SIS.xls e simulazioni

Come si è visto nella Lezione 15, le due funzioni incognite I(t) ed S(t) ammettono la seguente espressione analitica

I(t)=\frac{(rN-\gamma)I_0}{rI_0+[(rN-\gamma)-rI_0]e^{-(rN-\gamma)t}}

(16.1)

S(t)=N-\frac{(rN-\gamma)I_0}{rI_0+[(rN-\gamma)-rI_0]e^{-(rN-\gamma)t}}

dove N=I0+S0.

Il foglio Excel SIS.xls oltre alle due funzioni incognite in (16.1) dovrà permettere il calcolo del valore soglia T=(γ/r) e quindi, assegnato il numero totale N di individui della popolazione, precisare se l’epidemia diviene endemica.

Modello SIS (segue)

Esercizio 16.1: Utilizzando il foglio SIS.xls, simulare il caso di una epidemia caratterizzata dai seguenti valori dei parametri: r=0.001, γ= 0.3 ed N=1000.
Verificare che l’infezione diviene endemica.

Esercizio 16.2: Lasciando invariati i valori γ= 0.3 ed N=1000, come si può modificare il valore del parametro r in modo che l’epidemia non risulti endemica?

Fornire i grafici di I(t) ed S(t) per uno possibile di questi valori di r.

Esercizio 16.3: Simulare l’evoluzione di un’epidemia descritta dal modello SIS di parametri r=0.001, γ= 0.2 per i seguenti valori

a) N=500;
b) N=150.

Per opportuni valori di I0, mostrare che nel caso a) la malattia è endemica e nel caso b) non lo è.

Modello SIR (segue)

Modello SIR: foglio elettronico SIR.xls e simulazioni

Il foglio Excel SIR.xls dev’essere strutturato in modo da

1. Risolvere numericamente il seguente problema di Cauchy

\left\{\begin{array} {lll}\frac{dS}{dt}=-rSI, \\ \\\frac{dI}{dt}=rSI-\gamma I,\\  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(16.2)\\S(0)=S_0>0,I(0)>0.\end{array}\right.

2. Graficare le soluzioni e le orbite di (16.2).
3. Calcolare il valore soglia T.
4. Determinare la frazione di individui della popolazione che è necessario vaccinare affinchè l’epidemia non si inneschi.
5. Valutare gli effetti di una campagna di vaccinazione.
6. Stimare la percentuale totale della popolazione che sarà colpita dall’epidemia anche in relazione alla campagna di vaccinazione.

Modello SIR (segue)

Esercizio 16.4: Utilizzando il foglio SIR.xls, simulare il caso di una epidemia caratterizzata dai seguenti valori dei parametri: r=0.0001, γ= 0.03, R0=0 , I0=1 , S0=1000.

Verificare che dopo un certo intervallo di tempo gli infetti tendono a zero.
Dopo lo stesso intervallo di tempo, cosa succede al numero di suscettibili?

Esercizio 16.5: Descrivere l’evoluzione di una epidemia con il modello SIR supposto che r=0.0005 e che tutti gli altri parametri assumono gli stessi valori dell’Esercizio 16.4.

Esercizio 16.6: Descrivere l’evoluzione di una epidemia caratterizzata dai seguenti parametri:

  • r=0.0001, γ= 0.03 e I0=100, S0=1000;
  • r=0.0001, γ= 0.03 e I0=100, S0=250.

Stimare nei due precedenti casi il numero massimo di infetti.

Modello SIR (segue)

Esercizio 16.7: Stimare gli effetti di una campagna di vaccinazione per una epidemia di parametri: r=0.0001, γ= 0.03, R0=0 , I0=100, quando a partire dal valore N=1100 si decida di

  • Non vaccinare alcun individuo della popolazione (quindi S0=1000).
  • Vaccinare il 25% della popolazione.
  • Vaccinare il 35% della popolazione.
  • Vaccinare il 50% della popolazione.

Calcolare il valore massimo Imax di individui infetti nei precedenti casi.

Approfondimenti

Ulteriori simulazioni possono idearsi a partire dagli esempi contenuti nei seguenti testi:
J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer.
G. Gaeta, Modelli matematici in Biologia, Springer.

I materiali di supporto della lezione

Competizione.xls

Foglio Math-Logis-Sperim

Lotka-Volterra.xls

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