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Addolorata Marasco » 14.Laboratorio 5: Modelli per la crescita di popolazioni conviventi: predazione e competizione


Modello preda-predatore

In questo laboratorio si presentano alcune applicazioni dei modelli biomatematici per la crescita di popolazioni conviventi in regime di predazione e competizione interspecifica. Per le simulazioni numeriche di questi modelli sono a disposizione i fogli Excel Lotka-Volterra.xls e Competizione.xls.

Modello preda-predatore di Lotka-Volterra

Le equazioni del modello preda-predatore sono integrate numericamente dal foglio Excel Lotka-Volterra.xls, che disegna i grafici delle soluzioni e delle orbite e ne determina le configurazioni di equilibrio.

Esercizio 14.1: Individuare la soluzione d’equilibrio del seguente modello che si riferisce a due popolazioni di afidi e cimici:

\left\{\begin{array}{lll}\frac{dA(t)}{dt}=2A(t)-0.01A(t)C(t),\\ \\ \frac{dC(t)}{dt}=-0.05C(t)+0.0001A(t)C(t)\\ \end{array}\right

in cui il tempo t è misurato in giorni.
Utilizzando il foglio Excel Lotka-Volterra.xls integrare il sistema supponendo che al tempo t=0 il numero di afidi sia 1000 e quello di cimici 200, disegnare l’orbita di questa soluzione.

Modello preda-predatore (segue)

Esercizio 14.2: Si supponga che la dinamica di due popolazioni di lepri e linci, possa descriversi mediante il modello preda-predatore di Lotka-Volterra. In particolare, le equazioni del modello siano le seguenti

\left\{\begin{array}{lll} \frac{dl(t)}{dt}=0.1l(t)-0.0000833333l(t)L(t),\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(14.1) \\ \frac{dL(t)}{dt}=-0.04L(t)+0.00004l(t)L(t),\\ \end{array}\right

dove con l(t) ed L(t) si sono indicati, rispettivamente il numero di lepri e linci al tempo t, misurato in giorni.
Si determinino la soluzione d’equilibrio e utilizzando il foglio Excel Lotka-Volterra.xls si integri il sistema (14.1) in corrispondenza dei seguenti dati iniziali

l(0)=2000,~~~L(0)=600;

l(0)=2000,~~~L(0)=1200;

l(0)=2000,~~~L(0)=3000.

Modello preda-predatore (segue)

Esercizio 14.3: Utilizzando il foglio Excel Lotka-Volterra.xls, simulare la dinamica di due popolazioni di conigli (c) e coyotes (C), per i seguenti valori dei parametri del modello di Lotka-Volterra

c_0=1000,~~~\gamma_c=0.12,~~~p=0.001,

C_0=40,~~~\gamma_C=0.09,~~~q=0.01,

nell’intervallo [0,T] per T=65.5 e T=365 (in giorni).
Esercizio 14.4: Nel parco nazionale del Sud Africa si è studiata per anni l’interazione tra i leoni e gli gnu. I ricercatori, a tale proposito, determinarono sperimentalmente le costanti del modello di Lotka-Volterra, ottenendo il seguente sistema di equazioni

\left\{\begin{array}{rl} \frac{dG(t)}{dt}=0.405G(t)-0.81L(t)G(t), \\ \\ \frac {dL(t)}{dt}=-1.5L(t)+0.125L(t)G(t),\\ \end{array}\right

dove con G(t) e L(t) si sono indicate le popolazioni di gnu e leoni (in migliaia) al tempo t (in anni).
Nel 1975 i dati raccolti sulle due popolazioni, in migliaia, furono G(1975)=7.7 e L(1975)=0.5. Utilizzando il foglio Excel Lotka-Volterra.xls, integrare il sistema per T=10, cioè tra il 1975 e il 1985. Ripetere l’integrazione numerica per T=25, cioè fino al 2000.

Modello di competizione

Modello di competizione interspecifica

Esercizio 14.5: Il microbiologo Gause, determinò i parametri del modello di competizione interspecifica per le due specie di lievito Saccharomyces cerevisiae (N1) e Schizosaccharomyces kephir (N2) in coltura mista.
I valori calcolati da Gause sono i seguenti

γ1=0.21827, k1=13, h12=3.71429, γ2=0.06069, k2=5.8, h21=13.2118,

conseguentemente, il modello che descrive la dinamica delle due popolazioni si scrive

\left\{\begin{array}{rl} \frac{dN_1}{dt}=0.21827 \biggl(1-\frac{N_1}{13}-\frac {N_2}{3.71429}\biggr)N_1, \\ \frac{dN_2}{dt}=0.06069\biggl(1-\frac{N_2}{5.8}-\frac{N_1}{13.2118}\biggr)N_2,\\ \end{array}\right

dove N1(t) ed N2(t) indicano il volume in cc occupato dalla prima e seconda popolazione di lieviti al tempo t (misurato in ore).
Utilizzando il foglio Excel Competizione.xls, mostrare che per i seguenti valori iniziali del volume delle due popolazioni

N_1(0)=0.5,~~~N_2(0)=0.3,

il modello descrive la crescita degli Schizosaccharomyces kephir, fino alla capacità portante k1, e la conseguente estinzione dei Saccharomyces cerevisiae.
Si esegua l’integrazione numerica nell’intervallo [0,300].

Modello di competizione (segue)

Esercizio 14.6: Utilizzando il foglio Excel Competizione.xls, descrivere la dinamica delle due popolazioni, di cui all’Esempio 14.5, in corrispondenza delle seguenti coppie di dati iniziali:

N_1(0)=0.5,~~~N_2(0)=0.5;

N_1(0)=0.1,~~~N_2(0)=0.5;

N_1(0)=10,~~~N_2(0)=0.5;

nell’intervallo [0,300].
Esercizio 14.7: Si supponga che due specie in competizione per le stesse risorse possano modellarsi mediante le seguenti equazioni

\left\{\begin{array}{lll} \frac{dN_1}{dt}=0.04 \biggl(1-\frac{N_1}{100}-\frac {N_2}{100}\biggr)N_1, \\ \\  \frac{dN_2}{dt}=0.6\biggl(1-\frac{N_2}{150}-\frac{N_1}{150}\biggr)N_2,\\ \end{array}\right

Si integri il sistema in corrispondenza dei seguenti dati iniziali (in migliaia), in un opportuno intervallo d’integrazione [0,T] del tempo (in giorni):

N_1(0)=50,~~~N_2(0)=30;

N_1(0)=75,~~~N_2(0)=50;

N_1(0)=100,~~~N_2(0)=75.

Modello di competizione (segue)

Esercizio 14.8: In una coltivazione di limoni in California, si introdussero accidentalmente due nuove specie di parassiti A. fisheri (F), originaria delle regioni del Mediterraneo e A. melinus (M), dell’Estremo Oriente. In molte aree di questa coltivazione si osservò che gli A. melinus dopo un’iniziale crescita si estinsero a favore degli A. fisheri.
Gli studi in laboratorio sull’interazione tra le due specie fornirono, in perfetto accordo con l’esperienza, i dati nella Tabella 14.1, dove i valori numerici delle popolazioni sono in migliaia.
Gli stessi ricercatori determinarono sperimentalmente i parametri caratteristici del modello di competizione di Volterra che descrive con buona approssimazione la dinamica delle due popolazioni. In particolare, pervenirono alle seguenti equazioni

\left\{\begin{array}{ll} \frac{dF}{dt}=0.05\biggl(1-\frac F{20}-\frac M {20}\biggr)F, \\ \frac{dM}{dt}=0.09\biggl(1-\frac M{15}-\frac F{15}\biggr)M.

Utilizzando il foglio Excel Competizione.xls, si integri il sistema nell’intervallo [0,T] per T=360 (in giorni), in corrispondenza dei seguenti dati iniziali F(0)=0.193, M(0)=0.083.

Tabella 14.1

Tabella 14.1


Modello di competizione (segue)

Esercizio 14.9: Si integri numericamente il seguente sistema di equazioni che descrive la dinamica di due popolazioni in competizione per le stesse risorse

\left\{\begin{array}{rl} \frac{dN_1}{dt}=0.08 \biggl(1-\frac{N_1}{200}-\frac {N_2}{200}\biggr)N_1, \\ \frac{dN_2}{dt}=0.02\biggl(1-\frac{N_2}{150}-\frac{N_1}{100}\biggr)N_2,\\ \end{array}\right

in corrispondenza dei dati iniziali N1(0)=50, N2(0)=80 (in migliaia) in un opportuno intervallo d’integrazione [0,T] del tempo (in giorni).

Foglio Lokta-Volterra.xls


Foglio Lokta-Volterra.xls (segue)


Foglio Lokta-Volterra.xls (segue)


Foglio Lokta-Volterra.xls (segue)


Foglio Competizione.xls


Foglio Competizione.xls (segue)


Foglio Competizione.xls (segue)


Approfondimenti

Approfondimenti ed esercizi per i modelli preda-predatore e competizione possono reperirsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo.  Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume:

Capitolo 1_A

Capitolo 1_B

Ulteriori approfondimenti possono reperirsi nei seguenti testi:
J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer.
G. Gaeta, Modelli matematici in Biologia, Springer.

Alcuni esercizi sono tratti liberamente dai testi citati.

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