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Addolorata Marasco » 15.Modelli epidemiologici SIS e SIR

Modello SIS

In questa lezione si descriverà un modello matematico per la propagazione di una malattia infettiva né mortale e né immunizzante (ad esempio il raffreddore, la tubercolosi, la gonorrea, etc).

Si considerino una popolazione chiusa, cioè tale da poter trascurare tutti gli eventi demografici (nascite, morti, immigrazione ed emigrazione), e sia N il numero di individui che compongono la popolazione.

Si supponga, inoltre, che sia trascurabile il tempo di incubazione della malattia, che il contagio avvenga per contatto diretto, che la probabilità di incontro tra individui e la probabilità di guarigione per ogni individuo siano costanti. Si divida la popolazione in due classi: gli infetti I, cioè individui malati in grado di trasmettere il contagio, e i suscettibili S, cioè individui sani passibili di contagio.
Allora, ad ogni istante t risulterà

$I(t)+S(t)=N~~~~~~~~~(15.1)$

Il modello SIS è descritto dal diagramma

$S \stackrel{r}{\rightarrow} I \stackrel{\gamma}{\rightarrow}S$

dove r è il tasso di infezione e γ il tasso di guarigione.

Modello SIS

L’evoluzione dell’infezione è regolata dalle seguenti ipotesi:

nell’unità di tempo una frazione costante r del numero degli incontri possibili risulta efficace per la trasmissione della malattia;
nell’unità di tempo una frazione costante γ del numero degli infetti guarisce tornando ad essere suscettibile.

Conseguentemente, rS(t)I(t) rappresenta il numero di nuovi infetti nell’unità di tempo, laddove γI(t) è il numero di infetti che guarisce nell’unità di tempo. Allora, il modello SIS è descritto dal seguente sistema di ODEs

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{dI}{dt} = rSI-\gamma I, \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(15.2)\\ \frac{dS}{dt}=-rSI+\gamma I,\end{array}\right$

cui vanno associate le condizioni iniziali $I(0)=I_0>0,S(0)=S_0>0.$

Tenuto conto della (15.1), lo studio del sistema (15.2) è ricondotto a quello di una equazione di tipo logistico per gli infetti

$\left\{\begin{array}{lll} \frac{dI}{dt}=(rN-\gamma)\biggl[1-\frac r {rN-\gamma}I\biggr]I,\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(15.3) \\I(0)=I_0>0\end{array}\right$

in cui il termine rN-γ può assumere anche valore negativo.

Modello SIS (segue)

Di conseguenza la soluzione di (15.3) si scrive

$I(t)=\frac{(rN-\gamma)I_0}{rI_0+[(rN-\gamma)-rI_0]e^{-(rN-\gamma)t}}~~~~~~~(15.4)$

e può facilmente concludersi che

$se~~(rN-\gamma)<0 \Rightarrow I(t)\rightarrow 0~ \text{per}~ t\rightarrow \infty,$

$se~~(rN-\gamma)>0 \Rightarrow I(t) \rightarrow \biggl(N-\frac \gamma r\biggr) ~\text{per}~t \rightarrow \infty$

Esiste quindi un valore soglia T=(γ/r) per la popolazione N, al di sotto del quale si ha l’estinzione della malattia, laddove nel caso opposto l’epidemia diviene endemica, cioè I(t)>I₀ per ogni t>0 (cfr Figura 15.1 e 15.2).

In Figura 15.3 sono riportati i dati dell’evoluzione della gonorrea negli Stati Uniti, a partire dal 1946. Anche se il SIS può intendersi come un modello di “prima approssimazione”, i dati in Figura 15.3 mostrano che le caratteristiche di questa malattie rientrano con buona approssima nelle ipotesi del modello.

Modello SIS (segue)

Figura 15.1

Modello SIS (segue)

Figura 15.2

Modello SIS (segue)

Figura 15.3: Dati raccolti da: H. W. Hethcote e J. A. Yorke.

Modello SIR

Il modello SIR è un modello matematico per la propagazione di una malattia infettiva mortale oppure immunizzante (ad esempio malattie da virus, vaiolo, etc).

Si consideri nuovamente una popolazione chiusa, cioè tale da poter trascurare tutti gli eventi demografici e sia N il numero di individui che compongono la popolazione.
Si supponga, inoltre, che sia trascurabile il tempo di incubazione della malattia, che il contagio avvenga per contatto diretto, che la probabilità di incontro tra individui e la probabilità di guarigione o di rimozione per ogni individuo siano costanti. In questo caso, si divida la popolazione in tre classi: gli infetti I, cioè individui malati in grado di trasmettere il contagio, i suscettibili S, cioè individui sani passibili di contagio, e i rimossi R, cioè individui che avendo contratto la malattia siano immunizzati oppure morti.

Allora, ad ogni istante t risulterà

$I(t)+S(t)+R(t)=N.~~~~~~~~~~(15.5)$

Il modello SIR è descritto dal seguente diagramma

$S \stackrel{r}{\rightarrow} I \stackrel{\gamma}{\rightarrow}R$

dove r è il tasso di infezione e γ il tasso di guarigione o rimozione.

Modello SIR (segue)

Supposto che l’evoluzione dell’infezione sia regolata da ipotesi analoghe a quelle del modello SIS, cioè che r rappresenti la probabilità che nell’unità di tempo un suscettibile divenga infetto e che γ sia la probabilità che nell’unità di tempo un infetto guarisca (o muoia), le equazioni del modello SIR si scrivono

$\left\{\begin{array}{lll}\frac{dS}{dt}=-rSI;\\ \\\frac{dI}{dt}=rSI-\gamma I, \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(15.6)\\\frac{dR}{dt}=\gamma I\end{array}\right$

cui vanno associate le condizioni iniziali $S(0)=S_0>0, I(0)=I_0>0,R(0)=R_0\geq 0.$
Dalla prima equazione in (15.6) risulta

$\frac{dS}{dt}<0 \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty}S(t)=S_{lim},$

dove S_lim, definito dimensione dell’epidemia, è tale che

$0<S_{lim}<S_0$

Inoltre, può dimostrarsi che

$\lim_{t\rightarrow \infty}I(t)=0,$

Modello SIR (segue)

e quindi l’epidemia è destinata ad “estinguersi” in ogni caso, ma non per mancanza di suscettibili.

Si osservi che per l’ipotesi (15.5), è possibile esprimere R(t) in funzione di N, S(t) ed I(t) e quindi studiare solo le prime due equazioni del sistema (15.6).

Anche in questo modello è presente un fenomeno di soglia. Infatti, posto T=γ/r, possono ottenersi i seguenti due casi:

1. Se S₀<T, allora è facile provare che per ogni t>0

$S(t)<T \Rightarrow \frac{dI}{dt}<0.$

In questo caso, l’epidemia non si innesca ed il numero di infetti decresce fino ad annularsi.

2. Se S₀>T, allora solo inizialmente il numero di infetti cresce, cioè risulta

$\frac {dI}{dt}\biggl|_{t=0}>0,$

e quindi l’epidemia inizialmente si sviluppa, la funzione I(t) raggiunge un valore massimo I_max e poi decresce fino a zero.

In Figura 15.4 è evidenziato il fenomeno soglia.

Modello SIR (segue)

Figura 15.4: Fenomeno di soglia.

Modello SIR (segue)

Nei casi reali, si parla di epidemia quando ad un certo istante t si ha che I(t)»I₀. Come si è detto, la condizione per lo sviluppo dell’epidemia è S₀>T=γ/r, per cui il numero di infetti cresce fino al valore massimo I_max (che è raggiunto in corrispondenza del valore S(t)=γ/r) e poi decresce fino a zero. Allora, per una data infezione, cioè tale che γ ed r siano assegnati, l’unica possibilità di intervento si riferisce al numero di individui suscettibili all’istante iniziale S_o, o se si vuole alla frazione dei suscettibili rispetto alla popolazione S_o/N. In effetti, risulta S_o≠N solo in caso di una immunità acquisita geneticamente (come nel caso di malaria per alcune popolazioni) oppure per l’intervento di una campagna di vaccinazioni. Quindi, anche se i parametri γ ed r possono modificarsi con misure profilattiche (ad esempio riducendo le opportunità di contatto o con l’assunzione di medicinali), è possibile incidere sul numero S_o con una campagna di vaccinazioni in modo da limitare il numero di infetti I_max. In generale, in assenza di vaccinazioni risulta S_o≈N, ma se si interviene vaccinando una percentuale μ di individui della popolazione si ottiene

$S_0(\mu)\approx(1-\mu)N,$

ed è possibile determinare la frazione di individui della popolazione che è necessario vaccinare affinchè l’epidemia non si inneschi. Infatti, per scendere al di sotto del livello di soglia T basta scegiere μ tale che che S_o(μ)<γ/r, cioè

$(1-\mu)N<\frac \gamma r \Leftrightarrow \mu>1-\frac \gamma {rN}$

In Figura 15.5 sono mostrati gli effetti di una campagna di vaccinazione.

Modello SIR (segue)

Figura 15.5: Curve epidemiche in assenza di vaccinazione (nera) e con una percentuale del 25% (blue) e del 50% (rossa) di vaccinati.

Modello SIR (segue)

In caso di epidemia, è fondamentale stimare sia la percentuale della popolazione che sarà colpita da S_lim che quella massima I_max/N. Dalle prime due equazioni in (15.6) si ricava

$\frac{dI}{dS}=-1+\frac \gamma {rS},$

che integrata per separazione delle variabili, fornisce

$I(S)=c_0-S+\frac \gamma r lnS, ~~~~~(15.7)$

dove $c_0=I_0+S_0-(\gamma/r)lnS_0$ .

Ricordando che $I(t)\rightarrow 0$ per $t\rightarrow \infty$ , dalla (15.7) si ottiene che S_lim è soluzione alla seguente equazione

$c_0-S_{lim}+\frac\gamma r ln S_{lim} = 0.$

Modello SIR (segue)

Analogamente, ricodando che I_max si ottiene in corrispondenza del valore $S=\gamma /r$ , dalla (15.7) si ricava

$I_{max}=\biggl(I_0+S_0-\frac \gamma r ln S_0\biggr)-\frac \gamma r ln \biggl(\frac \gamma r \biggr).$

L’equazione (15.7) fornisce una descrizione quantitativa della relazione esistente tra l’ampiezza della campagna di vaccinazione, cioè per $\mu:S_0=(1-\mu)N,$ e la “gravità” dell’ epidemia

$I_{max}(\mu)=\biggl[I_0+(1-\mu)N-\frac \gamma r ln((1-\mu)N)\biggr]-\frac \gamma r ln \biggl(\frac \gamma r\biggr).$

Modello SIR (segue)

In ultima analisi, si osservi che per confrontare i risultati previsti dal modello SIR con i dati sperimentali è necessario determinare il numero di rimossi R(t) ad ogni istante. Infatti, in caso di una epidemia reale è possibile conoscere solo il numero di malati che si rivolgono al sistema sanitario nazionale e che per cure efficaci o isolamento possono ritenersi rimossi.
Utilizzando le equazioni in (15.6) si ha

$\frac{dS}{dR}=-\frac r \gamma S \Rightarrow S(t)=S_0e^{-\frac{R-R_0}{\gamma/r}}$

che, sostituita nella terza equazione di (15.6) tenuto conto della (15.5), fornisce

$\frac{dR}{dt}=\gamma \Biggl(N-R-S_0e^{-\frac{R-R_0}{\gamma /r}}\Biggr)$

in cui i parametri sperimentali r, γ ed S₀ possono determinarsi con un’analisi statistica (per esempio del tipo best fitting).

In Figura 15.6 è evidenziato il confronto tra il modello SIR e i dati sperimentali per il numero di rimossi relativi alla peste di Bombay tra il 1905 e il 1906, pubblicati nel 1927 da W. O. Kermach e A. G. McKendrick.

Modello SIR (segue)

Figura 15.6: Curva dei rimossi e dati sperimentali relativi alla peste di Bombay.

Approfondimenti

Ulteriori approfondimenti sui modelli SIS e SIR possono trovarsi nei volumi:
G. Gaeta, Modelli matematici in Biologia, Springer.
J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer.