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Addolorata Marasco » 11.Laboratorio 4: Modelli di Malthus e logistico


Modello di Malthus

In questo laboratorio si presentano alcune applicazioni dei modelli biomatematici esponenziale e logistico per le cui simulazioni sono a disposizione i fogli Excel Malthusiano.xls, Logistico.xls, Malth-Logis-Sperim.xls.

Modello esponenziale di Malthus

Utilizzando il foglio Excel Malthusiano.xls risolvere i seguenti esercizi.

Esercizio 11.1 [Decadimento radioattivo]
Com’è noto le sostanze radioattive decadono emettendo spontaneamente radiazioni. Se m0 è la massa iniziale di una sostanza radioattiva ed m(t) è quella residua dopo il tempo t si trova sperimentalmente che

\frac {dm(t)}{dt}=-Km(t)

dove il parametro positivo K è la costante di decadimento.
Sapendo che il piombo 210 ha un tempo di dimezzamento pari a 22 anni, calcolare la costante K e disegnare il grafico di m(t) in funzione del tempo per un campione di massa iniziale m0=100g.

Esercizio 11.2
Una popolazione di protozoi si sviluppa con un tasso di crescita costante giornaliera pari a 0.7944. Se all’istante iniziale la popolazione è formata da due membri, trovare il numero di individui dopo 6 giorni e disegnarne un grafico per la prima settimana.

Modello di Malthus (segue)

Esercizio 11.3: Una popolazione di lepri cresce con legge malthusiana di costante γ=0.01(giorni-1). Integrare il modello di Malthus, nell’intervallo di un anno [0,365], a partire dai seguenti dati iniziali:N0=10, N0=20; N0=100.
Ripetere l’esercizio facendo variare il potenziale biologico γ tra 0.01 e 0.015.

Esercizio 11.4 [Concentrazione di un farmaco nel sangue]
Sia C(t) la concentrazione di un farmaco nel sangue di un paziente. Si ipotizza che man mano che il corpo “elimina” il farmaco, la sua concentrazione C(t) decresce a una velocità proporzionale alla quantità di farmaco presente in quel momento. Allora, il modello che descrive la variazione nel tempo della concentrazione di farmaco nel sangue di un paziente è il seguente

\frac{dC(t)}{dt}=-kC(t), ~~~~~(11.1)

dove k è una costante positiva chiamate costante di eliminazione del farmaco.
(a) Sapendo che il corpo elimina metà del farmaco in 3 ore, cioè il tempo di emivita del farmaco è 3 ore, determinare la costante k, quindi disegnare un grafico di C(t) per C0=1mg nell’intervallo [0,9].
(b) Calcolare il tempo necessario per eliminare il 90% del farmaco.

Modello di Malthus (segue)

Esercizio 11.5: A temperatura costante, la pressione atmosferica P può ritenersi funzione solo dell’altitudine h. Supposto che la funzione P(h) segua un modello esponenziale e che la pressione al livello del mare è di 101.3 kPa ed è di 87.14 kPa se h=1000m

  • Calcolare la costante γ del modello e quindi scrivere esplicitamente il modello differenziale del fenomeno.
  • Mostrare graficamente l’andamento del fenomeno nell’intervallo [0,5000].
  • A quale altitudine h la pressione è di 40 kPa ?
  • Determinare il valore della pressione a 3000 m.

Esercizio 11.6 [Concentrazione di un farmaco]
In Tabella 11.1 si riporta l’emivita di alcuni farmaci la cui concentrazione nel sangue è supposta essere modellizzata dall’equazione (11.1).
Calcolare per ciascuno di essi la costante di eliminazione del farmaco e disegnare un grafico scegliendo opportunamente la concentrazione iniziale C0, cioè quella relativa all’assunzione del farmaco.

Tabella 11.1

Tabella 11.1


Modello di Malthus (segue)

Esercizio 11.7 [Concentrazione di un farmaco nel latte]
La presenza di farmaci antimicrobici rende il latte vaccino inadatto sia al consumo che alle lavorazioni dell’industria casearia. Infatti, tali farmaci possono interagire con la flora intestinale del consumatore, causare reazioni allergiche e contribuire alla diffusione di microrganismi resistenti. Inoltre, le sostanze antimicrobiche rappresentano un grave problema tecnologico per l’industria casearia, poiché interferiscono nella fermentazione del latte che è alla base di molte produzioni casearie.
Si supponga, di aver somministrato ad una mucca malata l’antibiotico Ampicillina e che attraverso il MIRA Test si misurino le concentrazione del farmaco (in mg/l ) riportate in Tabella 11.2.

  • Utilizzando un modello di regressione esponenziale, si individui la funzione del decadimento della concentrazione del farmaco nel latte di mucca.
  • Sapendo che il Maximum Residue Limite (MRL) per il latte previsto dalla normativa Europea (Regulation 2377/90 EEC) per l’Ampicillina è 0.004mg/kg e che si possa ritenere il latte nuovamente commestibile se la concentrazione del farmaco scende al di sotto di 0.002mg/kg, calcolare dopo quanto tempo dalla sospensione del farmaco è possibile utilizzare nuovamente il latte di mucca in esame.
Tabella 11.2

Tabella 11.2


Modello logistico

Modello logistico di Verhulst
Per gli esercizi di questa sezione si utilizzino i fogli Excel Logistico.xls e Malth-Logis-Sperim.xls che, rispettivamente, si riferiscono al modello logistico e al confronto tra i modelli Malthusiano e logistico con assegnati dati sperimentali (cfr. Esercizio 11.6).

Esercizio 11.8: Rappresentare graficamente i dati sperimentali riportati in Tabella 11.3,  raccolti da Gause per una popolazione di protozoi osservati quotidianamente.

Inoltre, sapendo che il tasso di crescita della popolazione è 0.7944, che la popolazione iniziale è formata da due elementi e che la capacità dell’ambiente è pari a 64 confrontare il grafico precedente con quelli che si ottengono quando si utilizzino i modelli esponenziale e logistico.

Esercizio 11.9
La crescita di biomassa (in kg) per una popolazione di ippoglossi del Pacifico può modellarsi nel tempo utilizzando l’equazione logistica. Rappresentare graficamente l’andamento della funzione biomassa supposto che la capacità portante dell’ambiente sia pari a 8×107 kg, che il potenziale biologico della popolazione sia 0.71 per anno e che la biomassa iniziale sia m(0)=2×107kg.

Tabella 11.3

Tabella 11.3


Modello logistico (segue)

Esercizio 11.10: La dinamica di una popolazione di conigli, che vive in una riserva, può descriversi mediante la seguente equazione logistica

\frac{dC(t)}{dt}=\gamma \Biggl(1-\frac {C(t)}k\Biggr)C(t)

dove γ=0.08 e k=5000.
Disegnare le traiettorie corrispondenti ai seguenti dati iniziali C0=1000, C0=2000, C0=8000, nell’intervallo di un anno T=52 (in settimane).

Esercizio 11.11: Una popolazione di batteri cresce in un mezzo di coltura secondo il modello logistico

\frac{dN}{dt}=0.975417 \Biggl(1-\frac N{30}\Biggr)N ,

dove N è la biomassa (in grammi) al tempo t (in minuti).
Disegnare la traiettoria corrispondente al dato iniziale N(0)=2 nell’intervallo [0,T] con T=12.

Modello logistico (segue)

Esercizio 11.12: Si supponga che una popolazione cresca secondo l’equazione logistica con capacità portante dell’ambiente pari a 6000 e potenziale biologico intrinseco di 0.0015 l’anno.

  • Scrivere l’equazione logistica corrispondente a questi dati.
  • Usare il foglio Excel per tracciare le soluzioni con popolazione iniziale pari a 1000, 2000, 4000 e 8000 individui.
  • Se la popolazione iniziale è di 1000, calcolare la popolazione dopo 50 anni.

Esercizio 11.13: Un gruppo di biologi ha introdotto in un lago 400 pesci stimando che la capacità portante dell’ambiente sia di 10000 unità.
I pesci si sono triplicati nel corso del primo anno.

  • Assumendo che la popolazione di pesci cresca secondo il modello logistico, trovare l’espressione del numero di pesci dopo t anni.
  • Quanto tempo è necessario perché i pesci diventino 5000?

Foglio Malthusiano.xls

Figura 11.1: Foglio Excel Malthusiano.xls

Figura 11.1: Foglio Excel Malthusiano.xls


Foglio Malthusiano.xls (segue)

Figura 11.2:  Grafico della soluzione del Foglio Excel Malthusiano.xls

Figura 11.2: Grafico della soluzione del Foglio Excel Malthusiano.xls


Foglio Logistico.xls

Figura 11.3: Foglio Excel Logistico.xls

Figura 11.3: Foglio Excel Logistico.xls


Foglio Logistico.xls (segue)

Figura 11.4: Grafico della soluzione del Foglio Excel Logistico.xls

Figura 11.4: Grafico della soluzione del Foglio Excel Logistico.xls


Foglio Malth-Logis-Sperim.xls

Figura 11.5: Foglio Excel Malth-Logis-Sperim.xls

Figura 11.5: Foglio Excel Malth-Logis-Sperim.xls


Foglio Malth-Logis-Sperim.xls (segue)

Figura 11.6: Grafico delle soluzione del Foglio Excel Malth-Logis-Sperim.xls

Figura 11.6: Grafico delle soluzione del Foglio Excel Malth-Logis-Sperim.xls


Approfondimenti

Approfondimenti ed esercizi per i modelli malthusiano e logistico possono trovarsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo. Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume:

Capitolo 1_A

Capitolo 1_B

Alcuni esercizi di questa lezione sono tratti liberamente dai volumi di Stewart.

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