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Addolorata Marasco » 2.Modelli matematici non lineari


Leggi allometriche

Introduzione ai modelli non lineari
In questa lezione saranno presentati alcuni modelli matematici che descrivono fenomeni naturali scritti in termini di alcune funzioni numeriche elementari.

Esempio 2.1: Leggi allometriche
Dalle misure sperimentali effettuate su individui di molte specie emerge che il rapporto tra il peso dello scheletro PS e quello corporeo P non è costante ma diminuisce all’aumentare della dimensione dell’organismo in esame

PS / P ≠cost

Leggi allometriche (segue)

I seguenti dati sperimentali relativi a tre organismi della stessa specie mostrano inequivocabilmente che la legge PS = PS (P) non è lineare:

  • P=21.3 kg, PS = 2.0kg ⇒ PS / P ≅ 0.094
  • P=28.3 kg, PS = 2.4kg ⇒ PS / P ≅ 0.086
  • P=33.4 kg, PS = 2.7kg ⇒ PS / P ≅ 0.081

Una “buona approssimazione dei dati sperimentali” è fornita dalla seguente legge:

PS = P2/3 / 3.8.

Una legge che descrive la variazione delle misure relative a due grandezze x e y di uno stesso organismo, si definisce legge allometrica e viene descritta da una funzione del tipo:

y = a xb, a,b≡cost>0.

Leggi allometriche (segue)

Esempio 2.2: Indice di massa corporea (IMC)
L’indice di massa corporea (IMC) è un indice biometrico in grado di segnalare situazioni estreme di grave pericolo per la salute. L’IMC di un individuo è una legge di tipo allometrico, ed è espresso in funzione del peso p (in kg) e dell’altezza h (in metri) mediante la seguente relazione

IMC(p,h)=p/h2.

In considerazione del fatto che l’IMC descrive piuttosto fedelmente e semplicemente le caratteristiche di un individuo, esso è adottato anche dall’Organizzazione Mondiale della Sanità che suddivide la popolazione umana in tre classi secondo il seguente schema

OBESI………………………………………………..se IMC>30,

SOTTOPESO……………………………………….se IMC<18.5,

GRAVEMENTE SOTTOPESO………………..se IMC <16.

Esercizio 2.1: Calcolare l’IMC di un individuo che pesa 95 kg ed è alto 1.80m. Come si modifica l’IMC per un individuo più alto del 5% e più pesante del 10% rispetto al primo?
Materiale di studio per le funzioni numeriche elementari reperibile dal Corso “Matematica” della Prof. M. R. Posteraro.

Crescita esponenziale I

Esempio 2.3: Crescita di una popolazione di batteri
Si consideri la crescita di una popolazione di batteri in un mezzo di coltura. Si supponga che ispezionando la popolazione a intervalli regolari si determini che questa raddoppia ogni ora. Se il numero dei batteri al tempo t è P(t), dove t è misurato in ore, e la popolazione iniziale è P(0)=1000, allora si ha:

P(0) =1000,

P(1)=2P(0)=2· 1000,

P(2)=2P(1)=22· 1000,

P(3)=2P(2)=23 · 1000,

P(4)=2P(3)=24 · 1000,

…..

P(t)=2P(t-1)=2t · 1000.

In altre parole se le ipotesi sul fenomeno sono che la popolazione raddoppia ogni ora e che all’istante iniziale P(0)=P0, allora il modello matematico della crescita di questa popolazione è descritto dalla seguente funzione:

P:t \in[0, +\infty [\rightarrow P(t)=P_02^t \in [p_0, +\infty[.

Crescita esponenziale I (segue)

La funzione P(t)=P02t è un multiplo della funzione esponenziale y=2t, perciò presenta una crescita rapidissima che può ritenersi verosimile solo in condizioni ideali: spazio e nutrimento illimitati e nessuna malattia (Figura 2.1).

In definitiva, la crescita esponenziale ritrae quanto accade effettivamente in natura solo in condizioni ideali, cioè solo per brevi intervalli di tempo (limite di validità del modello).

Il modello costruito ci consente di conoscere ad ogni istante la numerosità della popolazione di batteri.

Figura 2.1: Grafico di P(t)=2t⋅1000

Figura 2.1: Grafico di P(t)=2t⋅1000


Crescita esponenziale I (segue)

Esercizio 2.2: Se la popolazione di batteri triplica ad ogni ora qual’è il modello matematico che ne descrive la crescita? E se invece raddoppia ogni tre ore come si esprime la funzione P(t)?

Esercizio 2.3: Si supponga che all’inizio di un esperimento si abbiano P(0)=1000 batteri e che nell’ora successiva se ne generino altri 400 per duplicazione, cioè P(1)=P(0)+400=1400 e che ad ogni ora la popolazione continui ad aumentare allo stesso ritmo (cioè con un tasso di 400/1000=0.40), quale sarà la legge di crescita della popolazione?

Crescita esponenziale II

Esempio 2.4: Decadimento radioattivo
Le proprietà chimiche che caratterizzano un elemento dipendono dal numero atomico che è pari al numero di protoni presenti nel nucleo. Inoltre, si osservano anche varianti di uno stesso elemento, dette isotopi, contraddistinti da un diverso numero di neutroni. Molti isotopi, quelli radioattivi, sono instabili, perchè il nucleo è soggetto a trasformazioni nucleari che avvengono spontaneamente mediante emissioni di particelle.
In accordo con le leggi della fisica nucleare (Rutheford), se si considera al tempo t un campione di massa M(t) di un isotopo radioattivo, al tempo t+T, con T tempo di dimezzamento, si avrà che M(t+T)=(1/2)M(t), cioè dopo un tempo T la massa iniziale si sarà ridotta alla metà.
Il tempo di dimezzamento del sodio-24 (24Na) è di 15 ore (cfr Schema 2.1). Se un campione di 24Na ha massa di 200gr:

  • trovare la massa rimanente dopo 60 ore;
  • trovare la massa m(t) che rimane dopo t ore.

Si veda lo Schema 2.1: Decadimento radioattivo

Schema 2.1: Decadimento radioattivo

Schema 2.1: Decadimento radioattivo


Crescita esponenziale II (Segue)

La funzione M(t)=M0(1/2)t/15 è un multiplo della funzione esponenziale y= (1/2)t e presenta una decrescita rapidissima fino alla scomparsa del campione di 24Na.
In questo caso il modello non presenta alcun limite di validità.

Decadimento radioattivo
Se T è il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo di una sostanza di massa iniziale M0, la legge che descrive la massa M(t) che rimane dopo un tempo t è:

M : t \rightarrow M(t)=M_0 \Biggl(\frac 1 2 \Biggr)^{\frac t T}.

Materiale di studio per le funzioni numeriche elementari reperibile dal Corso “Matematica” della Prof. M. R. Posteraro.

Crescita esponenziale III


Problema 2.1
: In relazione all’Esempio 2.3, si supponga a questo punto che il biologo cambi il suo punto di vista, e sia cioè interessato a conoscere l’intervallo di tempo necessario alla popolazione di batteri per raggiungere un certo livello di numerosità. In altre parole, si supponga che egli sia interessato a conoscere t in funzione di P. Com’è noto, questa funzione è chiamata la funzione inversa di f, ed è indicata con f-1. Quindi t=f-1(P) è il tempo richiesto affinchè la popolazione di batteri  raggiunga il livello di numerosità P (cfr. Figura 2.2).
Si ricorda che non tutte le funzioni sono dotate di inversa ma solo quelle biettive.

Definizione: una funzione f:A→B è bietitva se e solo se:

\forall y \in B~~ \exists !x \in A :f(x)=y.

In questo caso la funzione inversa f-1: B→A è così definita:

\forall y \in B ~~~f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)= y ~~~~~~~~~~~~(2.1)

e banalmente valgono le seguenti relazioni (2.2):
f^{-1}(f(x))=x, ~~\forall x \in A,

f(f^{-1}(y))=y,~~ \forall y \in B.

Figura 2.2: Funzione inversa.

Figura 2.2: Funzione inversa.


Funzioni esponenziale e logaritmo

Inoltre, è facile provare che il grafico di f-1 si ottiene da quello di f per riflessione rispetto alla retta y=x. Infatti, si consideri un punto A≡(a,f(a))≡(a,b) del grafico di f, cioè:

a\stackrel  {f}{\rightarrow} f(a)=b

allora, per definizione di funzione inversa, dovrà accadere che:

b\stackrel  {f-1}{\rightarrow}{f^{-1}}(b)=a

cioè il punto B≡(b,f-1(b))≡(b,a) appartiene al grafico di f-1 (cfr Figura 2.3).

In particolare, tutte le funzioni monotone, cioè crescenti o decrescenti, sono dotate di inversa.

Figura 2.3.

Figura 2.3.


Funzioni esponenziale e logaritmo (segue)


Crescita esponenziale III

Soluzione 2.1: Ora siamo in grado di rispondere al Problema 2.1: Dopo quante ore la popolazione di batteri raggiunge una numerosità pari a 50000?
Per rispondere al quesito è sufficiente risolvere la seguente equazione rispetto al tempo:

P(t)=P_02^t \Rightarrow t=log_2 \frac{P(t)}{P_0} \Longrightarrow t=log_2 \frac{50000}{1000}=log_2 50 \simeq 5.64

Esercizio 2.4: Ricordando che le ore seguono la misura sessagesimale il risultato numerico di circa 5.64 a quante ore, minuti e secondi corrisponde?

Datazione con il 14C

Esempio 2.5: Un atomo di carbonio ha 6 protoni ma si presenta in natura a seconda del numero di neutroni nella forma di isotopi del carbonio

\text{Isotopi del carbonio}\left\{\begin{array}{rl} ^{12}C \rightarrow 6 ~\text{neuroni}\\^{13}C \rightarrow 7 ~\text{neuroni}\\^{14}C \rightarrow 8 ~\text{neuroni}\\\end{array}\right.

Il 14C è radioattivo e si trasforma in azoto 14N per decadimento β, inoltre questo isotopo è molto raro in natura: solo un atomo di carbonio ogni 1012 è un isotopo di 14C. Tuttavia, nell’atmosfera l’abbondanza relativa di 14C rispetto al 12C si mantiene costante perchè nell’urto dei raggi cosmici con l’azoto si formano continuamente isotopi radioattivi. Al contrario, in un organismo morto, come un albero utilizzato per costruire un utensile o in un frammento osseo di un animale usato per costruire un’arma o un monile, il 14C decade e non viene più sostituito.

Datazione con il 14C (segue)

Misurando l’abbondanza relativa di 14C rimasto oggi in un fossile animale o in un reperto archeologico se ne può stabilire l’età. E’ noto che il tempo di dimezzamento del 14C è di circa 5730 anni e se M0=10-12 è il numero iniziale di atomi di 14C per ogni atomo di 12C la legge vista nell’Esempio 2.4 si scrive

M(t)=M_0 \Biggl(\frac 1 2\Biggr)^{\frac t T}\Rightarrow M(t)=10^{-12} \Biggl(\frac1 2\Biggr)^{\frac t {5730}},

quindi misurando la concentrazione di 14C presente attualmente nel reperto (rispetto a quella che si rileva in atmosfera M0=10-12) è possibile datarlo nel tempo utilizzando la relazione:

t=-5730 log_2 \frac{M(t)}{M_0}.

Datazione con il 14C (segue)

Ad esempio, se in un frammento di papiro si rileva un’abbondanza relativa di 14C pari a 4/5 di quella che si rileva in atmosfera, cioè M(t)/M0=4/5, si ottiene:

t=-5730log_2 \frac 4 5 \simeq 1845 ~anni

e quindi il papiro è databile intorno al 164 d.C.

Esercizi di Verifica

Esercizio 2.5: Se una popolazione di batteri raddoppia ogni 3 ore ed inizialmente è formata da P0 individui, determinare la legge che esprime la numerosità della popolazione ad ogni istante t (in ore). Inoltre, individuare la funzione che esprime il tempo t impiegato dalla popolazione per raggiungere la numerosità P(t). Supposto P0=1000, calcolare il tempo (in ore) necessario ad ottenere una popolazione di 50000 unità.
[Soluzione: P(t)=P02t/3, t(P)=3log2(P(t)/P0). Ricordando che il sistema orario è sessagesimale, si ha che dovranno passare circa 16 ore e 56 minuti affinchè la popolazione raggiunga quota 50000 unità.]

Esercizio 2.6: Supposto che in un frammento osseo si rilevi una concentrazione di 14C pari a 1/100 di quella presente nell’atmosfera, verificare che il frammento risale a circa 36000 anni fa.
[Soluzione: Essendo t=-5730log2(m(t)/m0)=-5730log2(1/100)=38069, il papiro è databile intorno al 38069-2009=36060a.C.]

Approfondimenti

Modelli matematici scritti in termini di funzioni eponenziale e logaritmo possono trovarsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo. Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume da

Apogeo on line 1

Apogeo on line 2

Approfondimenti sulle funzioni numeriche elementari possono trovarsi sul sito “Federica” relativo al corso e-learnig “Matematica” di M. R. Posteraro.

In questo sito è possibile studiare e rappresentare graficamente le funzioni numeriche elementari.

Alcuni esercizi di questa lezione sono tratti liberamente dai volumi di Stewart e anche da Matematica per le Scienze della vita di D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei.

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