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Giovanni Mettivier » 20.Computed Tomography - parte seconda


Sinogramma

Se prendiamo tutte le M(φ,ξ) misurate e le mettiamo insieme in una immagine 2D come quella riportata in figura, in cui i raggi sono disegnati orizzontalmente e le viste sono mostrate sull’asse verticale, otteniamo il cosidetto sinogramma, siccome oggetti vicini al bordo del FOV producono una simusoide.

Rivelatori con pixel mafunzionanti mostrano una riga verticale nel sinogramma in corrispondenza del pixel non funzionante.

Esempio di sinogramma.

Esempio di sinogramma.


Retroproiezione

Effettuare la trasformata inversa di Radon significa effettuare una operazione di retroproiezione.
Vediamo in cosa consiste questa operazione.
Assumiamo di aver acquisito due proiezioni ortogonali tra di loro è di aver ottenuto i valori riportati in figura.

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Retroproiezione (segue)

Retroproiettare significa prendere il valore misurato e proiettarlo lungo la linea di acquisizione dividendo per il numero di pixel in cui è stato diviso il percorso. Quindi retroproiettando l’acquisizione a 0° scriviamo nella matrice…

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Retroproiezione (segue)

…retroproiettiamo i valori a 90° e sommiamoli a quelli trovati in precedenza…

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Retroproiezione (segue)

…aggiungiamo le proiezioni a 45° e 135°…

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Retroproiezione (segue)

Infine abbiamo lo schema riportato in figura (parte alta) e se lo rappresentiamo graficamente otteniamo lo schema riportato in figura (parte bassa).

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Retroproiezione (segue)

L’immagine reale però è quella riportata in figura.

La differenza tra le due immagini è dovuta alla presenza di un effetto di blurring intrinseco nell’operazione di retroproiezione.

Retroproiezione.

Retroproiezione.


Rimedi?

Esistono però delle strategie per produrre un’immagine che non ha blurring. Queste sono:

  • algoritmo di Backprojection–Filtering;
  • algoritmo di Filtered backprojection.

Retroproiezione

Può essere mostrato che la retroproiezione della trasformata di Radon è: (vedi figura).

Quindi la retroproiezione della trasformata di Radon fornisce l’immagine originale convoluta con (x2 + y2)-1/2.
Questo, appunto, risulta in una immagine blurred.

Formula retroproiezione.

Formula retroproiezione.


Retroproiezione filtrata


Retroproiezione filtrata (segue)

Algoritmo della retroproiezione filtrata:

  1. Prendiamo la trasformata di Radon g(s,θ) di f(x,y) effettuando un imaging tomografico.
  2. Retroproiettiamo la trasformata di Radon.
  3. Prendiamo la trasformata di Fourier della retroproiezione.
  4. Moltiplichiamo per il filtro (ωx2+ ωy2)1/2 = |ωr|
  5. Facciamo la trasformata di Fourier inversa per ottenere f(x,y)

f(x,y)=IF2{|ω|F2[B(Rf)]}

Filtered Backprojection

Teorema della trasformata inversa di Radon: (vedi figura).

La trasformata inversa di Radon è ottenuta in due passaggi:

  1. Ogni proiezione è filtrata con un filtro uni-dimensionale la cui risposta in frequenza è |ω|.
  2. Il risultato dello step (1) è retropriettato per ottenere f(x,y).
Filtered Backprojection.

Filtered Backprojection.


Confronto

Filtered Backprojection: f(x,y)=B {IF1,s|ω|F1,s(Rf)]}

Retroproiezione filtrata: f(x,y)=IF2{|ω|F2[B(Rf)]}

Filtered Backprojection

Confronto fra una ricostruzione con e senza filtraggio. Tratta da: Kalender, Willi A., Computed Tomography, Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications, 2nd revised and enlarged edition, 2005, Publicis Publishing, pag. 28, Fig. 1.7

Confronto fra una ricostruzione con e senza filtraggio. Tratta da: Kalender, Willi A., Computed Tomography, Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications, 2nd revised and enlarged edition, 2005, Publicis Publishing, pag. 28, Fig. 1.7


Teorema della fetta centrale

Se g(s,θ) è la trasformata si Radon della funzione f(x,y), allora la trasformata di Fourier uni-dimesionale G(ωs,θ), rispetto a s, della proiezione g(s,θ) è uguale alla slice centrale, di angolo θ, della trasformata di Fourier bi-dimensionale di F(ωx,ωy) della funzione f(x,y).

Rappresentazione del teorema della fetta centrale.

Rappresentazione del teorema della fetta centrale.


Teorema della fetta centrale (segue)

Come possiamo usare il teorema della fetta centrale per ricostruire la distribuzione spaziale del profilo di attenuazione μ(x,y)?

Ricostruzione Fourier

Processo di ricostruzione utilizzante il teorema della fetta centrale.

Processo di ricostruzione utilizzante il teorema della fetta centrale.


Ricostruzione Fourier (segue)

Processo di ricostruzione utilizzante il teorema della fetta centrale.

Processo di ricostruzione utilizzante il teorema della fetta centrale.


Ricostruzione Fourier (segue)

Attenzione:
I punti nello spazio 2D di Fourier non sono su una griglia rettangolare.

Quindi è necessario effettuare un processo di interpolazione. Dalla qualità dell’interpolazione dipende la qualità dell’immagine ricostruita.

Processo di interpolazione nello spazio di Fourier.

Processo di interpolazione nello spazio di Fourier.


Filtri

Anche nello spazio delle frequenze possiamo applicare dei filtri per migliorare la qualità dell’immagine:

  • Filtro Ram-Lak aumenta l’ampiezza linearmente in funzione della frequenza; funziona bene quando non c’è rumore nei dati.
  • Filtro Shepp-Logan incorpora alcuni arrotondamenti alle alte frequenze, riducendo il rumore di alta frequenza nell’immagine CT finale.
  • Filtro Hamming ha una ancor più pronunciato taglio delle alte frequenze, con la complessa soppressione del rumore.
Rappresentazione grafica dei filtri di Ram-Lak, Shepp-Logan e Hamming.

Rappresentazione grafica dei filtri di Ram-Lak, Shepp-Logan e Hamming.


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