Se prendiamo tutte le M(φ,ξ) misurate e le mettiamo insieme in una immagine 2D come quella riportata in figura, in cui i raggi sono disegnati orizzontalmente e le viste sono mostrate sull’asse verticale, otteniamo il cosidetto sinogramma, siccome oggetti vicini al bordo del FOV producono una simusoide.
Rivelatori con pixel mafunzionanti mostrano una riga verticale nel sinogramma in corrispondenza del pixel non funzionante.
Effettuare la trasformata inversa di Radon significa effettuare una operazione di retroproiezione.
Vediamo in cosa consiste questa operazione.
Assumiamo di aver acquisito due proiezioni ortogonali tra di loro è di aver ottenuto i valori riportati in figura.
Retroproiettare significa prendere il valore misurato e proiettarlo lungo la linea di acquisizione dividendo per il numero di pixel in cui è stato diviso il percorso. Quindi retroproiettando l’acquisizione a 0° scriviamo nella matrice…
…retroproiettiamo i valori a 90° e sommiamoli a quelli trovati in precedenza…
Infine abbiamo lo schema riportato in figura (parte alta) e se lo rappresentiamo graficamente otteniamo lo schema riportato in figura (parte bassa).
L’immagine reale però è quella riportata in figura.
La differenza tra le due immagini è dovuta alla presenza di un effetto di blurring intrinseco nell’operazione di retroproiezione.
Esistono però delle strategie per produrre un’immagine che non ha blurring. Queste sono:
Può essere mostrato che la retroproiezione della trasformata di Radon è: (vedi figura).
Quindi la retroproiezione della trasformata di Radon fornisce l’immagine originale convoluta con (x2 + y2)-1/2.
Questo, appunto, risulta in una immagine blurred.
Algoritmo della retroproiezione filtrata:
f(x,y)=IF2{|ω|F2[B(Rf)]}
Teorema della trasformata inversa di Radon: (vedi figura).
La trasformata inversa di Radon è ottenuta in due passaggi:
Filtered Backprojection: f(x,y)=B {IF1,s|ω|F1,s(Rf)]}
Retroproiezione filtrata: f(x,y)=IF2{|ω|F2[B(Rf)]}
Confronto fra una ricostruzione con e senza filtraggio. Tratta da: Kalender, Willi A., Computed Tomography, Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications, 2nd revised and enlarged edition, 2005, Publicis Publishing, pag. 28, Fig. 1.7
Se g(s,θ) è la trasformata si Radon della funzione f(x,y), allora la trasformata di Fourier uni-dimesionale G(ωs,θ), rispetto a s, della proiezione g(s,θ) è uguale alla slice centrale, di angolo θ, della trasformata di Fourier bi-dimensionale di F(ωx,ωy) della funzione f(x,y).
Come possiamo usare il teorema della fetta centrale per ricostruire la distribuzione spaziale del profilo di attenuazione μ(x,y)?
Attenzione:
I punti nello spazio 2D di Fourier non sono su una griglia rettangolare.
Quindi è necessario effettuare un processo di interpolazione. Dalla qualità dell’interpolazione dipende la qualità dell’immagine ricostruita.
Anche nello spazio delle frequenze possiamo applicare dei filtri per migliorare la qualità dell’immagine:
2. Digital Imaging Processing: Introduzione
4. Immagini Digitali - parte prima
5. Immagini Digitali - parte seconda
6. Dicom
7. Trasformazioni di Intensità
8. Convoluzione e Correlazione
9. Filtraggio nel Dominio Spaziale - parte prima
10. Filtraggio nel Dominio Spaziale - parte seconda
11. Trasformazioni Geometriche
14. Filtraggio nel Dominio delle Frequenze
16. Region Growing
17. Image Registration - parte prima
18. Image Registration - parte seconda
19. Computed Tomography - parte prima