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Giovanni Mettivier » 13.Dominio della Frequenza


Teorema della Convoluzione

L’importanza della convoluzione, per quanto riguarda l’analisi nel dominio della frequenza, sta nel fatto che:
f(x)*g(x) ↔ F(u)G(u)
La convoluzione di due funzioni f(x) e g(x), ha come trasformata di Fourier il prodotto delle trasformate delle due funzioni.
In altre parole, la convoluzione nel dominio spaziale corrisponde al prodotto nel dominio della frequenza. Analogamente, la convoluzione nel dominio della frequenza corrisponde al prodotto nel dominio spaziale:
F(u)*G(u) ↔ f(x)g(x)
Le due relazioni costituiscono il teorema della convoluzione.

Convoluzione Discreta

La convoluzione discreta di fe(x) e ge(x) è così definita: (vedi figura) per x = 0,1, …, M-1.
Il teorema della convoluzione discreta è espresso dalle relazioni:
fe(x)*ge(x) ↔ Fe(u)Ge(u)
Fe(u)*Ge(u) ↔ fe(x)ge(x)
con x,u = 0, 1, …, M-1


Convoluzione 2D

Nel caso 2D, la convoluzione di due funzioni continue, f(x,y) e g(x,y), è definita come: (vedi figura).

Il teorema della convoluzione 2D è espresso dalle relazioni:

f(x,y)*g(x,y) ↔ F(u,v)G(u,v)
F(u,v)*G(u,v) ↔ f(x,y)g(x,y)


Convoluzione 2D discreta

La formulazione della convoluzione 2D discreta assume che f(x,y) e g(x,y) siano due array discreti di dimensione A x B e C x D, rispettivamente.

La convoluzione 2D discreta di fe(x,y) e ge(x,y) è così definita: (vedi figura) per x = 0, 1, …, M-1 e y = 0, 1, …, N-1.
Questo array M x N è in realtà un periodo della convoluzione discreta 2D.
Il teorema della convoluzione discreta 2D è espresso dalle relazioni viste:
fe(x,y)*ge(x,y) ↔ Fe(u,v)Ge(u,v)
Fe(u,v)*Ge(u,v) ↔ fe(x,y)ge(x,y)
dove u = 0, 1 , …, M-1 e v = 0, 1, …, N-1.


Convoluzione e Filtraggio

Il teorema della convoluzione costituisce, tra l’altro, un metodo semplice per il calcolo della convoluzione: basta calcolare le DFT delle sequenze estese, per esempio utilizzando un algoritmo di trasformazione veloce (FFT), effettuarne il prodotto, e anti-trasformarne il risultato di quest’ultimo.
Questo metodo può risultare più efficiente del calcolo diretto.

Convoluzione e Filtraggio (segue)

Si può osservare ancora che all’operazione così definita nel dominio spaziale;

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)

Per effetto del teorema della convoluzione corrisponde, nel dominio delle frequenze spaziali, l’operazione

G(u,v) = F(u,v)H(u,v)

Questa è la base teorica delle tecniche di elaborazione nel dominio della frequenza, basata sulla manipolazione della DFT dell’immagine.

Convoluzione e Filtraggio (segue)

Nella terminologia della teoria dei sistemi lineari, la h(x,y) definisce un filtraggio lineare e spazio-invariante.

  • L’attributo lineare si riferisce al fatto che vale per l’operazione il principio di sovrapposizione degli effetti: date due immagini, f1 e f2, il cui filtraggio mediante la h dà lungo alle immagini g1 e g2, il risultato del filtraggio della combinazione lineare a1f1 + a2f2 è la combinazione lineare a1g1 + a2g2.
  • L’attributo spazio-invariante si riferisce al fatto che la maschera è la stessa per tutti i punti (x,y): al variare delle coordinate la maschera trasla semplicemente, mantenendo inalterati forma, dimensioni e pesi.

Convoluzione

La h(x,y) è detta risposta impulsiva o risposta all’impulso o al campione unitario, quando f(x,y) è una sequenza che vale 1 nell’origine e 0 altrove (impulso). Infatti in queste condizioni il risultato g(x,y) dell’operazione si riduce proprio ad h(x,y).
La risposta impulsiva caratterizza completamente il comportamento di un sistema lineare spazio-invariante.
Nel dominio della frequenza, alla risposta impulsiva corrisponde la funzione di trasferimento del filtro H(u,v).
Infatti, la trasformata di Fourier dell’impulso unitario è semplicemente 1, quindi G(u,v) = H(u,v). Per cui anti-trasformando la risposta si ottiene la h(x,y).

Convoluzione

Nella terminologia dell’ottica, la H(u,v) è chiamata funzione di trasferimento ottica, mentre la h(x,y) è chiamata point spread function (PSF) o funzione di blurring.

Questo nome è dovuto al fatto che un sistema ottico risponde ad un impulso (un punto luminoso) dando luogo ad un effetto di blurring (spreading). Questo effetto è tanto più grande quanto minore è la qualità del sistema ottico.

Campionamento

Come visto precedentemente il processo di digitalizzazione di una immagine continua è il processo di base nell’imaging processing ed esso comporta una enorme perdita di informazione. È quindi importante analizzare più a fondo il processo di campionamento, per determinare in quali condizioni una immagine continua possa essere interamente ricostruita (cioè senza perdita di informazione) a partire da un insieme di valori campionati.

Campionamento (segue)

Supponiamo che la f(x) seguente, che si estende da -∞ a +∞, abbia la trasformata di Fourier non nulla nell’intervallo [-W, W], sia cioè una funzione a banda limitata.
Il campionamento può essere effettuato moltiplicando la f(x) per una funzione di campionamento s(x), cioè un treno di impulsi distanziati di Δx, la cui trasformata è ancora un treno di impulsi, distanziati di 1/Δx.

Dal teorema della convoluzione, il prodotto nel dominio spaziale corrisponde alla convoluzione nel dominio della frequenza.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.


Campionamento (segue)

Dato che la convoluzione di una funzione con una sequenza di impulsi produce la replica della funzione nei punti in cui sono localizzati gli impulsi, la trasformata della funzione campionata è quella mostrata.
Come si vede, essa risulta periodica, con periodo pari a 1/Δx, e i singoli periodi possono parzialmente sovrapporsi, in dipendenza del valore di Δx.
Nell’esempio, si ha una sovrapposizione (nel primo periodo e nel semipiano u > 0), centrata sul valore u = 1/2Δx, se W > 1/2Δx.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.


Campionamento (segue)

Pertanto il passo di campionamento, per evitare la sovrapposizione dei periodi della convoluzione, deve rispettare la condizione (teorema del campionamento di Whittaker-Shannon):

W ≤ 1/2Δx, cioè Δx ≤ 1/2W

Diminuendo Δx si ottiene infatti una separazione dei periodi che impedisce la sovrapposizione. Per esempio, dimezzando Δx si avrebbe la situazione riportata in figura.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.

Processo di campionamento di una funzione f(x) nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.


Campionamento (segue)

L’importanza di questa operazione sta nel fatto che adesso la trasformata può essere moltiplicata per la funzione: (vedi figura 1).

Questo rende possibile isolare perfettamente F(u), e quindi ricostruire per antitrasformazione la f(x).

Figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2


Campionamento (segue)

Quindi, la ricostruzione esatta della f(x) continua è possibile solo se la condizione di Whilttaker-Shannon è soddisfatta.
In caso contrario, la trasformata nell’intervallo di interesse è modificata dal contributo dei periodi adiacenti (fenomeno di aliasing), e questo provoca la distorsione del segnale ricostruito.

Campionamento (segue)

Nel caso delle immagini però abbiamo generalmente a che fare con funzioni campionate in una regione di interesse di dimensione finita e non illimitata come supposto fino ad ora.
Il campionamento in un intervallo di dimensione finita [0, X] può essere rappresentato matematicamente moltiplicando la funzione campionata per una finestra h(x) avente ampiezza unitaria in [0, X] e nulla altrove.

Processo di campionamento di una funzione f(x) di dimensione finita nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.

Processo di campionamento di una funzione f(x) di dimensione finita nel dominio spaziale e nel dominio delle frequenze.


Campionamento (segue)

La trasformata di questo prodotto, applicando il teorema della convoluzione, è la convoluzione di H(u) e della funzione periodica ottenuta in precedenza.
Poiché H(u) ha componenti in frequenza che si estendono all’infinito, questa convoluzione introduce una distorsione nella rappresentazione nel dominio della frequenza di una funzione campionata in un intervallo finito, come è qualitativamente mostrato nella figura precedente.
Di conseguenza, anche se il teorema del campionamento è soddisfatto, la ricostruzione esatta di una funzione campionata in un intervallo finito non è in generale possibile. La distorsione è tanto più severa quando meno estesa è la finestra di campionamento.
La trasformata di Fourier della funzione originale può essere completamente isolata solo se f(x) è a banda limitata e periodica, con un periodo uguale a X.

Campionamento 2D

Gli stessi concetti utilizzati nel caso 1D possono essere applicati a funzioni 2D. Il processo di campionamento può essere formulato matematicamente usando la funzione impulsiva 2D δ(x,y), definita come: (vedi figura).

Una funzione di campionamento 2D consiste di un treno di impulsi, distanti Δx lungo x e Δy lungo y.

Campionamento 2D.

Campionamento 2D.


Campionamento 2D (segue)

Le precedenti considerazioni consentono la formulazione del teorema del campionamento 2D:

Δx ≤ 1/2Wu Δy ≤ 1/2Wv

Se f(x,y) è campionata in un intervallo limitato (usando una finestra 2D h(x,y) analoga alla h(x) utilizzata nel caso 1D), la sua trasformata è distorta, per cui il recupero completo della f(x,y) a partire dai valori discreti non è possibile, tranne che nel caso di funzioni a banda limitata e periodiche, con periodo uguale all’intervallo di campionamento.

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