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Giovanni Mettivier » 14.Filtraggio nel Dominio delle Frequenze


Filtraggio in Frequenza

Il filtraggio nel dominio della frequenza si basa sul teorema della convoluzione.
Data una immagine f(x,y) e calcolata la sua trasformata F(u,v), l’obbiettivo di una elaborazione nel dominio della frequenza è scegliere un filtro H(u,v) tale che l’immagine di uscita g(x,y) esibisca le proprietà desiderate, essendo:

g(x,y)=F-1{F(u,v)H(u,v)}

Processo matematico del filtraggio in frequenza.

Processo matematico del filtraggio in frequenza.


Filtraggio in Frequenza (segue)

  • I filtri in frequenza alterano i valori del pixel rispetto alla periodicità e la distribuzione spaziale delle variazioni dell’intensità nell’immagine.
  • I filtri in frequenza passa-alto aiutano a isolare variazioni rapide che corrispondono a bordi netti, dettagli e rumore.
  • I filtri di frequenza passa-basso aiutano ad enfatizzare variazioni graduali.
  • I filtri in frequenza non si applicano direttamente all’immagine spaziale ma alla sua rappresentazione in frequenza.

Filtraggio in Frequenza (segue)

Ogni struttura periodica in un’immagine sarà rappresentata da picchi nell’immagine dello spettro di potenza ed il raggio dal centro corrisponde alla frequenza mentre la direzione corrisponde all’orientazione della caratteristica periodica.

Nelle applicazioni mediche, la maggior parte del contenuto non è periodico, quindi la rivelazione di caratteristiche periodiche individua la presenza di artefatti (che sono sicuramente periodici).

Rappresentazione grafica del dominio delle frequenze.

Rappresentazione grafica del dominio delle frequenze.


Smoothing

Lo smoothing è ottenuto nel dominio della frequenza attraverso l’attenuazione delle frequenze più alte. I filtri più importanti sono:

  • Filtro Passa-basso ideale;
  • Filtro Butterworth;
  • Filtro Gaussiano.

Passa-Basso

Un filtro passa-basso ideale lascia passare, senza attenuarle tutte le frequenze all’interno di un cerchio di raggio D0, centrato nell’origine e “taglia fuori” tutte le frequenze al di fuori di questo cerchio.

(Vedi figura 1) dove D0 è una costante positiva e D(u,v) è la distanza tra un punto (u,v) e il centro. Esso è chiamato frequenza di taglio (cut-off frequency).

Figura 1

Figura 1

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro passa-basso ideale.

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro passa-basso ideale.


Butterworth

Il filtro di Butterworth ha un parametro chiamato ordine del filtro (n). Per valori di ordine alto, si avvicina ad un filtro ideale, per quelli di ordine basso è più simile ad un filtro gaussiano.

Figura 1

Figura 1

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro Butterworth.

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro Butterworth.


Ringing

Il filtri passa-basso hanno però il difetto di produrre un effetto di ringing. Infatti la h(x,y) corrispondente alla H(u,v) definita per il filtro passa basso ideale corrisponde ad una figura di cerchi concentrici. Per un filtro Butterworth l’effetto ringing diminuisce al diminuire dell’ordine del filtro. Un filtro di ordine 1 non presenta ringing.

Filtro gaussiano

Essendo l’antitrasformata di una funzione gaussiana ancora una funzione gaussiana, questo filtro non presenta ringing.

Figura 1

Figura 1

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro Gaussiano.

Figura 2: Rappresentazione grafica di un filtro Gaussiano.


Sharpening

Lo sharpening di una immagine può essere effettuata nel dominio della frequenza utilizzando un filtro passa-alto che attenua le componenti di bassa frequenza senza disturbare quelle di alta frequenza.

Un filtro passa-alto si ottiene invertendo un filtro passa-basso.

Rappresentazione grafica dei filtri di sharpening.

Rappresentazione grafica dei filtri di sharpening.


Sharpening (segue)


Filtraggio Omomorfo

Il modello illuminazione-reflettanza f(x,y) = i(x,y)r(x,y) può essere utilizzato, anche se non direttamente, come base di una procedura nel dominio della frequenza in grado di effettuare simultaneamente una compressione della gamma dinamica e un arricchimento del contrasto.
L’uso diretto del modello non è possibile in quanto la trasformata del prodotto di due funzioni non è separabile, infatti:

F{f(x,y)} ≠ F{i(x,y)} F{r(x,y)}

Si definisca tuttavia: z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)+ ln r(x,y)

Quindi: F{z(x,y)} = F{ln f(x,y)} = F{ln i(x,y)} + F{ln r(x,y)}

Ponendo I(u,v) = F{ln i(x,y)} e R(u,v) = F{ln r(x,y)}

Si può scrivere: Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v)

Filtraggio Omomorfo (segue)

Filtrando con una funzione H(u,v):
S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v)

Nel dominio spaziale:
s(x,y) = F-1{S(u,v)}=F-1{H(u,v)I(u,v)}+F-1{H(u,v)R(u,v)}

Ponendo: i’(x,y)= F-1{H(u,v)I(u,v)} e r’(x,y)=F-1{H(u,v)R(u,v)}

Si ha infine: s(x,y) = i’(x,y) + r’(x,y)

Applicando infine l’operazione inversa del logaritmo (che era stato applicato all’immagine iniziale) si ottiene per l’immagine di uscita:
g(x,y) = exp[s(x,y)] = exp[i'(x,y)]exp[r'(x,y)] = i0(x,y)r0(x,y)

Pertanto io(x,y) = exp[i'(x,y)] e ro(x,y) = exp[r'(x,y)] sono l’illuminazione e la riflettanza dell’immagine di uscita.

Filtraggio Omomorfo (segue)

Il metodo presentato è basato su un caso speciale di una classe di sistemi, detti omomorfi.
In particolare, in questo caso la separazione delle componenti di illuminazione e riflettanza è effettuata utilizzando il logaritmo, in modo che il filtro possa operare separatamente sulle due componenti.
L’illuminazione, generalmente caratterizzata da lente variazioni spaziali, e la riflettanza, generalmente caratterizzata da brusche variazioni, come nei contorni degli oggetti.

Filtraggio Omomorfo (segue)

Ovviamente l’associazione delle basse frequenze della trasformata del logaritmo alla componente di illuminazione e delle alte frequenze della trasformata del logaritmo alla componente di riflettanza è piuttosto imprecisa, ma consente in questo caso di operare efficacemente.
Dal punto di vista realizzativo, occorre una H(u,v) in grado di operare in modo diverso sulle componenti di bassa frequenza e su quelle di alta frequenza della trasformata di Fourier dell’immagine.

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