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Fabio Montagnaro » 13.Adsorbimento - parte seconda


Equazioni di progetto di una colonna di adsorbimento

La corretta interpretazione dell’evoluzione dinamica di un sistema di adsorbimento solido-gas richiede la stesura di un modello matematico opportuno che restituisca una curva teorica di breakthrough in grado di fornire un buon fitting dei risultati sperimentali.

In aggiunta, la progettazione di una colonna di adsorbimento può essere realizzata senza ricorrere ad una sperimentazione estensiva, predicendo la curva cinetica da dati di equilibrio di adsorbimento e mediante una stima dei coefficienti di trasporto di materia, una volta che le proprietà della coppia sorbente/adsorbato siano note e l’idrodinamica del sistema sia stata fissata.

A tale proposito si scrive un’equazione di bilancio di materia per il contaminante, accoppiata all’equazione di trasporto fluido-particella (vide infra).

La lezione è stata preparata in collaborazione con il Dott. Marco Balsamo (Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale).

Definizione del sistema ed ipotesi del modello (I)

Si consideri una colonna di adsorbimento isoterma a simmetria cilindrica, e sia z un asse parallelo a quello del cilindro ed orientato positivamente nel verso del moto principale del fluido, e dz uno spessore infinitesimo del letto (Figura).

Sia: ε [-] il grado di vuoto della colonna; ρP [g m-3] la densità delle particelle di solido, definita come rapporto tra la massa dell’adsorbente ed il volume occupato dalle sole particelle (esclusi i vuoti interstiziali); u0 [m s-1] la velocità superficiale del fluido, definita come rapporto tra la portata volumetrica dell’alimentazione e l’area della sezione di colonna vuota; Cz e Cz+dz [mg m-3] la concentrazione di contaminante alla quota z e z+dz, rispettivamente.

 

Schematizzazione di una sezione di spessore infinitesimo di un letto adsorbente.

Schematizzazione di una sezione di spessore infinitesimo di un letto adsorbente.


Definizione del sistema ed ipotesi del modello (II)

Il modello che verrà di seguito impostato prevede l’ipotesi di equilibrio locale: poiché l’adsorbimento è un fenomeno prevalentemente fisico, esso risulta più veloce rispetto al trasporto di inquinante nel film ed intraparticellare e quindi si assume che esista una condizione di equilibrio tra la fase adsorbita ed il fluido in ogni punto interno alla particella. Si assume inoltre flusso a pistone per la fase gassosa.

Bilancio di materia (I)

Il bilancio di materia per la specie P [mg s-1 m-2] nella sezione di spessore infinitesimo dz può essere scritto come:

u_{0}C_{z}-u_{0}C_{z+dz}=\varepsilon dz  \frac{\partial C}{\partial t}+(1-\varepsilon)\rho_{P}dz\frac{\partial \omega}{\partial t} \hspace{1 cm} \text{(1)}

Il membro a sinistra dell’Eq. (1) contiene i flussi convettivi (ingresso-uscita) alle quote z e z+dz, mentre quello a destra comprende l’accumulo di inquinante sia nel fluido interstiziale che sul solido per effetto dell’adsorbimento.

Bilancio di materia (II)

Riarrangiando opportunamente l’Eq. (1) si perviene alla seguente equazione differenziale alle derivate parziali:

-u_{0} \frac{\partial C}{\partial z}=\varepsilon  \frac{\partial C}{\partial t}+(1-\varepsilon)\rho_{P}\frac{\partial \omega}{\partial t} \hspace{1 cm} \text{(2)}

La risoluzione dell’Eq. (2) è ottenibile fissando le seguenti condizioni iniziali ed al contorno (sia L il valore di z corrispondente all’uscita):

t=0 \implies \omega=0\hspace{1 cm}\forall z

t=0 \implies C=0 \hspace{1 cm} 0<z\leq L

z=0 \implies C=C^0 \hspace{1 cm} \forall t

\frac {\partial C}{\partial z} \bigg| _{z=L}=0 \hspace{1 cm} \forall t

 

Trasporto fluido-particella (I)

La determinazione analitica del profilo di concentrazione dell’adsorbato all’uscita della colonna richiede di accoppiare all’equazione di bilancio (2) un’opportuna espressione per il trasporto fluido-particella.

Contestualmente, l’intero processo di adsorbimento consta dei seguenti step: i) trasporto dell’inquinante dal bulk del fluido alla superficie della particella attraverso il film gassoso; ii) diffusione intraparticellare; iii) adsorbimento superficiale.

Lo step di adsorbimento è veloce come già menzionato; pertanto, lo stadio lento del processo è uno dei due meccanismi di trasporto citati.

 

Trasporto fluido-particella (II)

La velocità di trasferimento di materia può essere espressa mediante un coefficiente globale di trasporto ed una forza spingente lineare:

(1-\varepsilon)\rho_{P}\frac{\partial \omega}{\partial t}=K_{C}a(C-C^{*}) \hspace{1 cm} \text{(3)}

in cui KC [m s-1] è il coefficiente globale di trasporto ed a [m-1] rappresenta una superficie caratteristica di trasferimento (per unità di volume del letto adsorbente); C* rappresenta infine la concentrazione di inquinante in fase fluida che farebbe equilibrio alla capacità di adsorbimento media sul solido.

 

 

Trasporto fluido-particella (III)

Il coefficiente KC è funzione dei coefficienti di trasporto esterno (KC,ext) ed intraparticellare (KC,int). Considerando i due step diffusivi in serie è possibile scrivere la seguente relazione per la resistenza globale al trasporto di materia:

\frac{1}{K_{C}a}=\frac{1}{K_{C,ext}a_{ext}}+\frac{1}{K_{C,int}a_{int}} \hspace{1cm}\text{(4)}

Nell’Eq. (4) aext è la superficie specifica esterna della particella (6/dP per sfere con dP diametro medio di Sauter) ed aint è la superficie specifica dei pori del sorbente (determinabile mediante misure porosimetriche).

 

Trasporto fluido-particella (IV)

La valutazione del coefficiente di trasporto nel film gassoso è solitamente ottenuta attraverso correlazioni che esprimono la dipendenza del numero di Sherwood (Sh) dai numeri adimensionali di Reynolds (Re) e Schmidt (Sc), come ad esempio:

Sh=2+1.1Re^{0.6}Sc^{\frac{1}{3}} \hspace{1 cm} 3<Re<10^{4} \hspace{1 cm} \text{(5)}

dove:

Sh=\frac{d_{P}K{_{C,ext}}}{D_{m}}; Re=\frac{d_{P}\rho_{g} u_{0}}{\mu}; Sc=\frac{\mu}{\rho_{g} D_{m}} \hspace{1 cm} \text{(6-8)}

se Dm è la diffusività molecolare dell’adsorbato, e ρg e μ rispettivamente la densità e la viscosità della fase gassosa.

 

Trasporto fluido-particella (V)

Una stima per KC,int è invece ottenibile dalla seguente relazione:

K_{C,int}=\frac{\varepsilon_{P} D_{P}}{d_{P}} \hspace{1 cm} \text{(9)}

in cui εP rappresenta la porosità intraparticellare e DP la diffusività effettiva dell’inquinante nei pori del sorbente (funzione della tortuosità e del raggio medio dei pori, e delle dimensioni molecolari della specie diffondente).

In definitiva, la determinazione dei profili-spazio temporali di concentrazione dell’adsorbato in colonna possono essere determinati risolvendo il sistema costituito dalle equazioni di bilancio di materia (2) e di trasporto fluido-particella (3).

Profili di concentrazione per adsorbimento irreversibile e trasporto esterno controllante (I)

La risoluzione analitica delle equazioni precedenti è possibile solo in alcuni semplici casi. In particolare si considerino le seguenti ipotesi per il sistema:

adsorbimento irreversibile – in questo caso la capacità di adsorbimento ω è costante ed indipendente dalla concentrazione di equilibrio in fase fluida C*;

trasporto esterno limitante – ciò implica che KCa=KC,extaext;

fase fluida diluita – nell’Eq. (2), è possibile trascurare l’accumulo di inquinante nel fluido interstiziale.

Profili di concentrazione per adsorbimento irreversibile e trasporto esterno controllante (II)

Nelle ipotesi summenzionate la velocità di trasporto di materia è proporzionale alla sola concentrazione di contaminante nella fase fluida, ed il sistema da risolvere è ricondotto al seguente:

(1-\varepsilon)\rho_{P}\frac{\partial \omega}{\partial t} =-u_{0} \frac{\partial C}{\partial z}\hspace{1 cm} \text{(10)}

(1-\varepsilon)\rho_{P}\frac{\partial \omega}{\partial t} =K_{C,ext}a_{ext}C\hspace{1 cm} \text{(11)}

Eguagliando i secondi membri delle equazioni (10) e (11) ed integrando per separazione di variabili, si ottiene la seguente espressione per il profilo di concentrazione interno alla colonna:

\frac{C}{C^{0}} =exp \left({-\frac{K_{C,ext} a_{ext}}{u_{0}}z}\right)\hspace{1cm}\text{(12)}

Profili di concentrazione per adsorbimento irreversibile e trasporto esterno controllante (III)

L’Eq. (12) mostra come il profilo di concentrazione sia caratterizzato da un andamento esponenziale decrescente in accordo con quanto mostrato nella lezione precedente per bassi tempi di prova. Ovviamente, per tempi più lunghi occorre considerare che una porzione di letto è già satura di inquinante (zsat), per cui l’Eq. (12) diventa:

\frac{C}{C^{0}} =exp\left({-\frac{K_{C,ext}a_{ext}}{u_{0}}\left(z-z^{sat}\right)} \right)\hspace{1cm}\text{(13)}

Considerazioni conclusive (I)

Le considerazioni esposte in questa sede per la determinazione delle equazioni di progetto di una colonna di adsorbimento hanno previsto delle ipotesi semplificative (flusso a pistone, isotermicità) che sono lungi dal descrivere il comportamento reale di un sistema di adsorbimento solido-gas.

Nella pratica industriale, è necessario considerare sia i fenomeni di dispersione assiale (diffusione molecolare e rimescolamento turbolento dei filetti di fluido) che effetti termici associati al processo (pertanto è necessario includere un’opportuna equazione di bilancio di energia).

Considerazioni conclusive (II)

In generale, nota la concentrazione di inquinante in ingresso e quella limite di uscita, la portata volumetrica di gas da trattare, la velocità del gas e fissato un tempo di funzionamento della colonna in base ad esigenze di processo, mediante la risoluzione delle equazioni mostrate è possibile determinare la lunghezza di letto necessaria ad esercire l’operazione di purificazione alle condizioni volute.

Considerazioni conclusive (III)

In relazione alla velocità del fluido da adottare, occorre mediare tra valori alti che aumentano i coefficienti di scambio fluido-particella e bassi valori che riducono le perdite di carico (valutabili mediante equazioni quali quella di Ergun, vedi Lezione dedicata) e quindi i costi energetici del processo.

Infine, condizioni operative tipiche di un sistema di adsorbimento solido-gas sono: diametro particelle adsorbente 1-4 mm, perdite di carico per unità di lunghezza del letto pari a circa 10-2 bar m-1, lunghezza di letto tipica 0.3 m.

I materiali di supporto della lezione

Green, D.W., Perry, R.H. Perrys Chemical Engineers Handbook, Ed. McGraw-Hill, 2007.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriott, P. Unit Operations of Chemical Engineering, Ed. McGraw-Hill, 2001.

Foust, A.S., Wenzel, L.A., Clump, C.W., Maus, L., Andersen, L.B. I Principi delle Operazioni Unitarie, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 1967.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriott, P. Unit Operations of Chemical Engineering, Ed. McGraw-Hill, 2001.

Foust, A.S., Wenzel, L.A., Clump, C.W., Maus, L., Andersen, L.B. I Principi delle Operazioni Unitarie, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 1967.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriott, P. Unit Operations of Chemical Engineering, Ed. McGraw-Hill, 2001.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriott, P. Unit Operations of Chemical Engineering, Ed. McGraw-Hill, 2001.

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