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Fabio Montagnaro » 1.Particolato in reflui gassosi

Generalità

Il particolato solido presente in reflui gassosi (particelle assunte sferiche, con diametro d_P in genere inferiore ad 1 mm) può essere generato da cause naturali (ad es. incendi, eruzioni, polline, polvere) oppure antropiche (di maggiore interesse in quest’ambito; ad es. impianti in cui vengono processati dei solidi, come reattori di combustione/gassificazione).

Le correnti gassose vanno depolverate per ragioni di processo (ad es. purificare un gas prima che esso sia elaborato in una turbina, oppure venga usato come reagente o fluido di servizio in altre applicazioni) ed ambientali.

Depolverazione di correnti gassose

I sistemi di depolverazione sono in genere basati sull’applicazione, sul solido, di una forza esterna (ad es. gravità, forza centrifuga, forze elettrostatiche) in grado di far deviare le particelle dalle linee di flusso del gas, in modo da poterle catturare.

Ciò determina una differenza di velocità v tra il solido ed il gas, cosa che a sua volta induce l’applicazione (del gas sul solido) di una forza resistente (forza di drag) F_D:

$F_{D}=C_{D}\frac{\rho v^{2}} {2} \frac{\pi d_{P}^{2}} {4} \hspace{1 cm} \text{(1)}$

dove ρ è la densità del gas, e C_D è il coefficiente adimensionale di drag.

Coefficiente di drag

Il coefficiente di drag è funzione del numero di Reynolds (dove μ è la viscosità del gas):

$Re=\frac{d_ {P}v\rho} {\mu} \hspace{1 cm} \text{(2)}$

e del regime operativo (vedi Figura, in scala bilogaritmica):

$C_{D}=\frac{24} {Re} \hspace{1 cm} \text{(3)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes} \hspace{1 mm}Re<2$

$C_{D}=\frac{18.5} {Re^{0.6}} \hspace{1 cm} \text{(4)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi } \hspace{1 mm}2<Re<500$

$C_{D}=0.44 \hspace{1 cm} \text{(5)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton }\hspace{1 mm} Re>500$

Andamento del coefficiente di drag in funzione del numero di Reynolds.

Forza di drag

Combinando le Eq. (3)-(5) con la (1) e con la (2), è possibile ottenere espressioni per la forza di drag al variare del regime operativo:

$F_{D}=3\pi \mu v d_{P} \hspace{1 cm} \text{(6)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes}\hspace{1 mm}Re<2$

$F_{D}=2.312 \pi \rho^{0.4} \mu^{0.6} v^{1.4} d_{P}^{1.4} \hspace{1 cm} \text{(7)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi}\hspace{1 mm}2<Re<500$

$F_{D}=0.055 \pi \rho v^{2} d_{P}^{2} \hspace{1 cm} \text{(8)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton}\hspace{1 mm}Re>500$

Si nota come la forza di drag sia una funzione crescente di v, diametro particellare, viscosità e densità del gas.

Bilancio di forze

In un sistema, all’equilibrio, in cui le particelle solide vengono soggette ad una forza esterna:

$F_{E}=f m_{P}=f \rho_{P} \frac {\pi d_{P}^{3}} {6} \hspace{1 cm} \text{(9)}$

dove f è la forza esterna per unità di massa di particella m_P, cioè un’accelerazione, nel caso più semplice la gravità (f=g), agiranno anche la forza di drag F_D e la spinta archimedea di buoyancy:

$F_{B}=f \rho \frac {\pi d_{P}^{3}} {6} \hspace{1 cm} \text{(10)}$

Il bilancio di forze si legge pertanto:

$F_{D}=F_{E}-F_{B}=\left(\rho_{P}-\rho\right) f\frac {\pi d_{P}^{3}} {6} \hspace{1 cm} \text{(11)}$

Velocità terminale di caduta

Combinando l’Eq. (11) con le Eq. (6)-(8), si può quindi esprimere la velocità terminale di caduta delle particelle in condizioni di equilibrio:

$v_{\infty}=\frac{f\left(\rho_{P}-\rho\right) d_{P}^{2}}{18\mu} \hspace{1 cm} \text{(12)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes }\hspace{1 mm}Re<2$

$v_{\infty}=\frac{0.153 f^{0.714}\left(\rho_{P}-\rho\right)^{0.714} d_{P}^{1.142}}{\rho^{0.286} \mu^{0.428}} \hspace{1 cm} \text{(13)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi}\hspace{1 mm}2<Re<500$

$v_{\infty}=1.74\sqrt{\frac{f\left(\rho_{P}-\rho\right) d_{P}}{\rho}} \hspace{1 cm} \text{(14)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton}\hspace{1 mm}Re>500$

Si osservi come la velocità terminale di caduta dipenda direttamente dalla forza esterna, dalla densità e dal diametro delle particelle solide, ed inversamente da densità e viscosità del gas.

Numero di Archimede (I)

L’approccio appena mostrato presenta il limite, per il calcolo di v_∞, che bisogna prima postulare il regime operativo (non noto a priori se non è nota v_∞, e quindi non è noto Re), poi calcolare v_∞ ed infine verificare tramite Re che il regime postulato sia quello corretto (procedimento per tentativi).

Un approccio alternativo più elegante transita per la definizione del numero adimensionale di Archimede:

$Ar=\frac{\rho\left(\rho_{P}-\rho\right)f d_{P}^{3}}{\mu^{2}} \hspace{1 cm} \text{(15)}$

Le Eq. (12)-(14) possono quindi essere opportunamente riscritte come:

$\frac{d_ {P}v_{\infty}\rho} {\mu}=\frac{f\left(\rho_{P}-\rho\right) d_{P}^{3} \rho}{18\mu^{2}} \hspace{1 cm} \text{(16)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes} \hspace{1 mm} Re<2$

$\frac{d_ {P}v_{\infty}\rho} {\mu}=\frac{0.153 f^{0.714}\left(\rho_{P}-\rho\right)^{0.714} d_{P}^{2.142} \rho^{0.714}}{\mu^{1.428}} \hspace{1 cm} \text{(17)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi} \hspace{1 mm} 2<Re<500$

$\frac{d_ {P}v_{\infty}\rho} {\mu}=1.74\sqrt{\frac{f\left(\rho_{P}-\rho\right) d_{P}^{3}\rho}{\mu^{2}}} \hspace{1 cm} \text{(18)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton} \hspace{1 mm} Re>500$

Numero di Archimede (II)

Le Eq. (16)-(18) si traducono in:

$Re=\frac{Ar}{18} \hspace{1 cm} \text{(19)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes}\hspace{1 mm}Re<2$

$Re=0.153 Ar^{0.714} \hspace{1 cm} \text{(20)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi} \hspace{1 mm} 2<Re<500$

$Re=1.74 \sqrt{Ar} \hspace{1 cm} \text{(21)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton}\hspace{1 mm}Re>500$

ovvero:

$Ar<36 \hspace{1 cm} \text{(22)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Stokes}$

$36<Ar<82.500 \hspace{1 cm} \text{(23)} \hspace{1 cm} \text{in regimi intermedi}$

$Ar>82.500 \hspace{1 cm} \text{(24)} \hspace{1 cm} \text{in regime di Newton}$

Pertanto, si calcola innanzitutto Ar dalla sua definizione Eq. (15) (sempre noto poiché indipendente dalle velocità terminale), si verifica in che regime ci si trova (Eq. (22)-(24)), e poi si può calcolare, senza procedere per tentativi, v_∞ a seconda della formula specifica per il regime operativo (Eq. (12)-(14)).

Distribuzioni granulometriche (I)

In genere, non si ha a che fare con una distribuzione “monosize” delle particelle solide all’interno della corrente gassosa, ma con una distribuzione granulometrica di particelle suddivisa in vari tagli aventi diametro d_i, portata massica W(d_i) e frazione ponderale assoluta:

$x\left(d_{i}\right)=\frac{W\left(d_{i}\right)}{W_{tot}} \hspace{1 cm} \text{(25)}$

dove W_tot è la portata massica totale di solido nel gas.

Noti i valori per x(d_i) relativi a tutti i tagli granulometrici, è possibile tracciare la distribuzione granulometrica assoluta ed individuarne il picco (la moda). E’ inoltre possibile ricavare i diametri caratteristici della distribuzione, come ad es. il diametro medio di Sauter:

$d_{S}=\frac{1}{\textstyle\sum_{i} {\frac{x\left(d_{i}\right)}{d_{i}}}} \hspace{1 cm} \text{(26)}$

Distribuzioni granulometriche (II)

Dati per una generica distribuzione granulometrica.

Distribuzione granulometrica assoluta, con indicazione di moda e diametro di Sauter.

Distribuzioni granulometriche (III)

Il calcolo delle frazioni ponderali cumulative (vedi Tabella) consente inoltre di tracciare la distribuzione granulometrica cumulativa (“less than”) e di individuarne la mediana, ovvero il valore del diametro per cui il 50% delle particelle (in peso) è più fine e viceversa (vedi Figura).

Dati per una generica distribuzione granulometrica, corredati da frazioni cumulative.

Distribuzione granulometrica cumulativa, con indicazione della mediana.

Efficienza di depolverazione (I)

L’esistenza di una distribuzione granulometrica di solido da depolverare all’interno di una corrente gassosa determina anche l’esistenza, in qualsiasi impianto di depolverazione, di una funzione efficienza di depolverazione:

$\eta\left(d_{i}\right)=\frac{W\left(d_{i}\right)|_{catturata}}{W\left(d_{i}\right)|_{in}}} \hspace{1 cm} \text{(27)}$

definita come la portata massica catturata di particelle aventi un certo diametro diviso la portata massica in ingresso all’impianto di depolverazione di particelle aventi quel diametro.

In genere, l’efficienza è una funzione crescente del diametro (particelle più grossolane vengono catturate più facilmente), e ciò pone l’accento sui problemi di efficienza di cattura relativi alle particelle più fini, che sono tra l’altro le più nocive.

Efficienza di depolverazione (II)

Si definisce infine l’efficienza globale di depolverazione:

$\eta_{overall}=\frac{W_{tot}|_{catturata}}{W_{tot} |_{in}}=\frac{\textstyle\sum_{i}{\left(W_{d_{i}}|_{catturata}\right)}}{W_{tot} |_{in}}=\frac{\textstyle\sum_{i}{\left(\eta\left(d_{i}\right) W\left(d_{i}\right)|_{in}\right)}}{W_{tot} |_{in}}=\textstyle\sum_{i}{\left(\eta\left(d_{i}\right)x\left(d_{i}\right)|_{in}\right)} \hspace{1 cm} \text{(28)}$