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Fabio Montagnaro » 11.Trasporto di inquinanti in acque sotterranee


Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (I)

Si consideri una corrente acquosa in cui sia presente un inquinante generico I, che scorre nel sottosuolo con moto prevalentemente orizzontale ed in condizione di saturazione del suolo.

Focalizzando l’attenzione su quanto succede all’interno di un volume di controllo abbastanza piccolo da poter considerare rettilineo il percorso del fluido, la situazione può essere schematizzata come in Figura.

Uno dei principali obiettivi è determinare il profilo della concentrazione dell’inquinante CI(t,z), espressa come moli della specie I presenti nell’unità di volume del liquido vettore, e funzione del tempo e dell’asse z dell’acquifero.

Il fenomeno mostrato in Figura assomiglia concettualmente a quanto accade quando un fluido scorre in un condotto: per questi ultimi sistemi, un approccio classico è costituito dall’assumere un moto ideale di flusso a pistone, che verrà di seguito presentato, pur essendo non applicabile al caso di interesse, in quanto propedeutico al tipo di flusso che meglio caratterizza il sistema in esame.

Schema del volume di controllo utilizzato per la descrizione del moto dell’inquinante I.

Schema del volume di controllo utilizzato per la descrizione del moto dell'inquinante I.


Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (II)

Sia dato un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R, in cui scorre un liquido (Figura). Le ipotesi di flusso a pistone prevedono innanzitutto che vi sia perfetta segregazione assiale: ciò significa dire che, fissata una quota qualsiasi z sull’asse del condotto, in ogni punto del condotto gli elementi di fluido che si trovano a quella quota non interferiscono (né chimicamente né fisicamente) con gli elementi presenti ad un valore di z né immediatamente precedente né immediatamente successivo.

Ciò quindi porta ad escludere la presenza di fenomeni di retromiscelazione degli elementi di fluido, di vortici e di qualunque altro fenomeno che possa far discostare il comportamento degli elementi di fluido dalla loro idealità assiale.

 

Moto ideale di flusso a pistone.

Moto ideale di flusso a pistone.


Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (III)

Inoltre, si ipotizza una perfetta miscelazione radiale: fissata la quota z, tutti gli elementi di fluido che si trovano a quella quota presentano le stesse proprietà intensive (e, in particolare, hanno la stessa composizione) e la stessa componente assiale del vettore velocità, u. Ciò vuol dire che, fissata una quota, tutti gli elementi di fluido scorrono nel condotto alla stessa velocità, il cui profilo radiale è quindi piatto come si può osservare in Figura nella slide precedente.

Infine, il moto di flusso a pistone prevede l’esistenza di soli flussi convettivi, con l’assenza quindi di quelli diffusivi.

Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (IV)

Immaginando per semplicità un sistema allo stato stazionario, la conoscenza della portata volumetrica Q del liquido che entra nel condotto, e dell’area della sezione del condotto cilindrico stesso, permettono di valutare la velocità assiale (costante lungo tutto il condotto se la portata volumetrica è costante nel suo scorrere) come:

 

u=\frac{Q}{\pi R^2}=[ms^{-1}] \hspace{1 cm} \text{(1)}

 

ed il tempo di permanenza di ogni elemento di fluido nel condotto come:

 

t^*=\frac{L}{u}=\frac{L\pi R^2}{Q}=\frac{V}{Q}=[s] \hspace{1 cm} \text{(2)}

 

dove V è il volume del sistema.

Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (V)

In altri termini, se si inviasse al condotto (Figura) una sollecitazione ad impulso di tracciante (ad esempio, un liquido colorato) all’istante t=0, ovvero una quantità di tracciante immessa per quanto possibile istantaneamente nella corrente di liquido vettore, una misurazione della concentrazione del tracciante in uscita dal condotto darebbe la stessa sollecitazione ad impulso (rappresentata matematicamente da una delta di Dirac* e simboleggiata come in Figura), ma spostata a destra sull’asse dei tempi, ad un tempo t proprio pari al tempo di permanenza t*.

Ciò perché ogni elemento di fluido permane nel sistema per un tempo pari al tempo di permanenza, e quindi lo stesso comportamento assume la quantità di elemento tracciante immessa al tempo t=0 nel condotto.

* Formalmente, la delta di Dirac δ(t-t0) è una funzione che assume valore identicamente nullo per ogni t, a meno di t=t0 dove δ tende a +∞. Tra le altre proprietà, essa gode della condizione: \int_{-\infty}^\infty \delta(t-t_{0})\, dt=1.

 

Valutazione del tempo di permanenza attraverso una sollecitazione ad impulso per il flusso a pistone di un liquido in un condotto.

Valutazione del tempo di permanenza attraverso una sollecitazione ad impulso per il flusso a pistone di un liquido in un condotto.


Il flusso ideale a pistone e la sua inapplicabilità (VI)

Per valutare se le condizioni fluidodinamiche sono tali da permettere l’instaurarsi di un flusso a pistone, bisogna definire innanzitutto il tempo di dispersione assiale ed il tempo di dispersione radiale, rispettivamente come:

 

t_{d,a}=\frac{L^2}{D}=[s]; \hspace{1 cm} t_{d,r}=\frac{R^2}{D}=[s] \hspace{1 cm} \text{(3; 4)}

 

dove D è il coefficiente di dispersione (vide infra).

Ciò consente di definire il numero di Péclet assiale ed il numero di Péclet radiale rispettivamente come:

 

Pe_{a}=\frac{t_{d,a}}{t^*}=\frac{Lu}{D}=[-]; \hspace{1 cm} Pe_{r}=\frac{t_{d,r}}{t^*}=\frac{R^2u}{DL}=[-] \hspace{1 cm} \text{(5; 6)}

 

Le ipotesi di flusso a pistone sono soddisfatte se Pea>>1 e Per<<1.

Le condizioni di idealità e di turbolenza proprie di un flusso che possa essere definito a pistone non sono però peculiari di un flusso sotterraneo di acque, dove proprio le non idealità del moto, specifiche di caso in caso, sono alla base dei profili di concentrazione degli inquinanti modellabili oppure sperimentalmente osservabili.

Il flusso reale a dispersione (I)

Per poter investigare il flusso di acque in un acquifero sotterraneo ed in condizioni di saturazione, si rende pertanto necessaria la rimozione di due ipotesi che sono alla base di un flusso ideale: la perfetta segregazione assiale e la perfetta miscelazione radiale. Nel primo caso, si ammette la presenza di fenomeni come retromiscelazione e vortici; nel secondo caso, tra le altre cose si assume l’esistenza di fluttuazioni della componente assiale della velocità per elementi di fluido che si trovano alla stessa quota z del condotto.

La situazione è schematizzata in Figura, dove si può inoltre osservare che l’esistenza di una distribuzione dei tempi di permanenza degli elementi di fluido nel condotto determina, in caso di flusso reale, una risposta in uscita di tipo gaussiano ad una sollecitazione impulsiva in ingresso: elementi di fluido che incontreranno volumi morti sono destinati ad uscire dal sistema dopo tempi molto lunghi; elementi di fluido che saranno coinvolti in fenomeni di by-pass usciranno invece dopo tempi molto brevi.

Moto reale di flusso a dispersione.

Moto reale di flusso a dispersione.


Il flusso reale a dispersione (II)

Ciò è rappresentato quantitativamente da una funzione di distribuzione dei tempi di permanenza, E(t), di dimensioni il reciproco di un tempo, e tale che:

 

\int_{t_{1}}^{t_{2}} E(t)\, dt=[-] \hspace{1 cm} \text{(7)}

 

sia la frazione di elementi di fluido che permangono nel sistema per un tempo compreso tra t1 e t2. Evidentemente, vale la:

 

\int_0^\infty E(t)\, dt=1 \hspace{1 cm} \text{(8)}

 

Generalmente, la non conoscenza dell’insieme dei fenomeni che rendono impraticabile il trattamento di flusso ideale viene condensata in un parametro D, detto coefficiente di dispersione. Tale parametro ha le stesse unità di misura di una diffusività (m2 s-1), ed è tanto più piccolo in modulo quanto più il flusso tende al modello ideale a pistone (per cui è D=0).

Il flusso reale a dispersione (III)

Per il moto di acque sotterranee, si pone:

 

D=\alpha \overline{u}=[m^2 s^{-1}] \hspace{1 cm} \text{(9)}

 

dove il parametro sperimentale α ha le dimensioni di una lunghezza, ed è detto dispersività, funzione della distanza percorsa dal flusso idrico sotterraneo, ed \bar u è una velocità assiale media.

Come si può osservare in pratica, la dispersività cresce con il crescere della distanza di osservazione, anche se per distanze molto elevate (spesso non investigabili sperimentalmente) α tende ad un valore asintotico, a seguito dell’uniformizzazione delle non idealità.

Pertanto, in condizioni reali il coefficiente di dispersione cresce con l’aumentare sia della lunghezza del percorso sotterraneo dell’acqua che della sua velocità media.

Il flusso reale a dispersione (IV)

Alcuni esempi di valori di dispersività al variare dell’acquifero e della distanza di osservazione.

Alcuni esempi di valori di dispersività al variare dell'acquifero e della distanza di osservazione.


La determinazione del profilo di concentrazione di un inquinante (I)

Facendo riferimento allo schema presentato in Figura nella prima slide, si consideri un volume di controllo infinitesimo compreso tra due quote del condotto acquifero, z e z+dz. Per mostrare in che modo possa essere ricavato il profilo di concentrazione dell’inquinante I, CI(t,z), è necessario impostare un bilancio di materia sul composto inquinante I in termini di flusso molare (portata molare per unità di sezione dell’acquifero):

 

ingresso+generazione=uscita+accumulo=[mol_{I} m^{-2}s^{-1}] \hspace{1 cm} \text{(10)}

 

dove è necessario ricordare che la rimozione delle ipotesi di flusso ideale fa sì che anche i flussi diffusivo-dispersivi, in aggiunta a quelli convettivi, debbano essere considerati quando si puntualizzano i termini in ingresso (alla quota z) e in uscita (alla quota z+dz) al/dal volume di controllo.

 

La determinazione del profilo di concentrazione di un inquinante (II)

Pertanto, i termini di ingresso sono:

 

convettivo=\overline{u} C_{I}(t,z); \hspace{1 cm} dispersivo=-D(z)\left(\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial z}\right)\bigg|_z \hspace{1 cm} \text{(11; 12)}

 

ed i termini di uscita sono:

 

convettivo=\overline{u}C_{I}(t,z+dz); \hspace{1 cm} dispersivo=-D(z+dz)\left(\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial z}\right)\bigg|_{z+dz} \hspace{1 cm} \text{(13; 14)}

 

Il termine di accumulo della (10) è scritto come:

 

accumulo=\left(\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial t}\right)dz \hspace{1 cm} \text{(15)}

 

La determinazione del profilo di concentrazione di un inquinante (III)

Per la scrittura del termine di generazione, bisogna tenere in conto di tutti i processi chimico-fisici che avvengono nel volume di controllo e che determinano una formazione (reazioni aventi per prodotto la specie I, adduzioni dall’esterno di I come ad es. in prossimità di uno scarico industriale oppure per desorbimento dal terreno) oppure una scomparsa (reazioni in cui I è la specie reagente che scompare, fuoriuscite dell’inquinante, adsorbimento sul terreno) della specie inquinante in esame.

Esprimendo ciascuno di questi fenomeni con una sua propria velocità (possibile funzione della concentrazione di I, con un segno + oppure – a seconda se si tratti di generazione oppure scomparsa di I, e di dimensione “moli di I coinvolte per unità di tempo e per unità di volume”), si ottiene quindi:

 

generazione=\sum(velocit\'a(C_{I}(t,z))dz) \hspace{1 cm} \text{(16)}

 

La determinazione del profilo di concentrazione di un inquinante (IV)

Introducendo le Eq. (11)-(16) nell’Eq. (10), e dividendo tutto per dz, si ottiene l’equazione differenziale di secondo ordine alle derivate parziali che, una volta risolta, consente di ricavare il profilo di CI(t,z) se nota la velocità media \bar u:

 

\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}\left(D(z)\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial z}\right)-\overline{u}\frac{\partial C_{I}(t,z)}{\partial z}+\sum(velocit\'a(C_{I}(t,z))) \hspace{1 cm} \text{(17)}

 

La (17) può essere risolta solo se, naturalmente, si fissa una condizione iniziale (ad es. all’istante iniziale è noto il profilo CI(z) in tutto l’acquifero, che potrebbe derivare da misurazioni precedenti od essere in altro modo stimato) e due condizioni al limite (ad es. all’imbocco è noto il profilo CI(t) come evoluzione temporale della concentrazione di inquinante in ingresso al sistema; all’uscita, per ogni valore di t, si può assumere una condizione* di sistema chiuso e quindi si può porre \partial C_{I}(z)/\partial z=0).

* Tale condizione, detta alla Neumann, comporta che, in z=L, vi siano solo moti convettivi e che ogni elemento di fluido possa uscire una sola volta dal volume di controllo preso in considerazione. In alternativa, può essere imposta (se possibile) una condizione alla Dirichlet, cioè che sia noto il profilo CI(t) come evoluzione temporale della concentrazione di inquinante in uscita al sistema (z=L).

La determinazione del profilo di concentrazione di un inquinante (V)

I profili ottenuti tramite la risoluzione dell’Eq. (17) sono dipendenti da alcune approssimazioni fatte -come ad es. la costanza della velocità media ed il percorso rettilineo del liquido (in quest’ultimo caso opportuni termini di tortuosità saranno necessari per correggere l’equazione)- e dalla precisione con cui si riescono a determinare i fenomeni di generazione e scomparsa della specie inquinante.

Ciò non pertanto, l’ottenimento di utili indicazioni circa l’evoluzione spazio-temporale delle concentrazione di un inquinante in un flusso idrico sotterraneo rappresenta un indispensabile punto di partenza per l’applicazione delle normative vigenti in termini di monitoraggio delle acque sotterranee.

I materiali di supporto della lezione

Levenspiel, O. Chemical Reaction Engineering, Ed. J. Wiley & Sons, 1999.

Westerterp, K.R., van Swaaij, W.P.M., Beenackers, A.A.C.M. Chemical Reactor Design and Operation, Ed. Wiley, 1984.

Kinzelbach, W. Groundwater Modelling, Ed. Elsevier, 1986.

Bonomo, L. Bonifica di Siti Contaminati, Ed. McGraw-Hill, 2005.

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