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Fabio Montagnaro » 17.Analisi granulometrica e porosimetrica: applicazioni esercitative

Premessa sull’analisi granulometrica

La prima parte di questa lezione dettaglia le modalità di calcolo di alcuni principali diametri equivalenti di una distribuzione granulometrica.

La premessa è costituita dai concetti presenti nella Lezione #1 del Corso di Processi e Impianti di Trattamento Reflui (diapositive 9-11), presente su federic@, dove sono stati definiti: la distribuzione granulometrica assoluta e cumulativa, il concetto di moda e di mediana.

Diametro di volume equivalente (I)

Sia assegnata una distribuzione granulometrica, con x_i (equivalentemente definibile come x(d_i)) frazione massica di particelle aventi diametro d_i. Sia n_i il numero di particelle appartenenti alla classe granulometrica d_i. Sia pertanto Σ_in_i il numero complessivo di particelle del campione in esame.

Si consideri adesso un campione ideale (virtuale), costituito da Σ_in_i particelle (lo stesso numero presente nel campione reale) aventi tutte lo stesso diametro (campione ideale “monosize”).

Si definisce diametro di volume equivalente, d_V, il diametro che dovrebbero avere le particelle nel campione ideale, affinché il volume complessivo di particelle del campione ideale sia lo stesso che nel caso del campione reale (polidisperso).

Diametro di volume equivalente (II)

Pertanto, deve essere verificata la:

$\frac{\pi d_{V}^{3}} {6} \Sigma_{i}n_{i}=\Sigma_{i} \left(n_{i} \frac {\pi d_{i}^{3} } {6}\right) \hspace{1 cm} \text{(1)}$

cioè:

$d_{V}=\sqrt [3] {\frac {\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) } {\Sigma_{i}n_{i} } } \hspace{1 cm} \text{(2)}$

Questa relazione non ha però utilità immediata, in quanto non è noto il numero di particelle che costituiscono il campione.

Diametro di volume equivalente (III)

Per poter utilizzare la (2), è possibile definire la frazione x_i come (e nell’ipotesi di densità invariante con il taglio granulometrico):

$x_{i}=\frac { n_{i} \frac {\pi d_{i}^{3} } {6} \rho} {\Sigma_{i} \left(n_{i} \frac {\pi d_{i}^{3} } {6}\right) \rho}=\frac {n_{i} d_{i}^{3} } {\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) } \hspace{1 cm} \text{(3)}$

ossia:

$n_{i}=\frac {x_{i} } {d_{i}^{3} } \Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) \hspace{1 cm} \text{(4)}$

da cui:

$\Sigma_{i} n_{i} = \Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}^{3} }\right) \Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) \hspace{1 cm} \text{(5)}$

Diametro di volume equivalente (IV)

Ciò consente di rielaborare la (2) in un’espressione indipendente dal numero di particelle:

$d_{V}=\sqrt [3] {\frac {1} {\Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}^{3} }\right)} } \hspace{1 cm} \text{(6)}$

che rappresenta la formulazione finale per il diametro di volume equivalente.

Nel caso di una assegnata distribuzione granulometrica (Figura), è possibile calcolare d_V come:

$d_{V}=\sqrt [3] {\frac {1} { \frac {0.10} {10^{3}}+...+ \frac {0.05} {50^{3}} } }=18.5 \mu m \hspace{1 cm} \text{(7)}$

Esempio di distribuzione granulometrica.

Diametro di superficie equivalente (I)

Considerati gli stessi campioni reale e virtuale definiti in precedenza, analogamente si definisce diametro di superficie equivalente, d_S, il diametro che dovrebbero avere le particelle nel campione ideale, affinché la superficie esterna complessiva di particelle del campione ideale sia la stessa che nel caso del campione reale (polidisperso).

Pertanto, deve essere verificata la:

$\pi d_{S}^{2} \Sigma_{i}n_{i}=\Sigma_{i} \left(n_{i} \pi d_{i}^{2}\right) \hspace{1 cm} \text{(8)}$

cioè:

$d_{S}=\sqrt {\frac {\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{2}\right) } {\Sigma_{i}n_{i} } } \hspace{1 cm} \text{(9)}$

anch’essa però senza utilità immediata.

Diametro di superficie equivalente (II)

Per poter utilizzare la (9), è possibile riscrivere la (4) come:

$n_{i} d_{i}^{2}=\frac {x_{i} } {d_{i}} \Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) \hspace{1 cm} \text{(10)}$

cioè:

$\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{2}\right)=\Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}}\right) \Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) \hspace{1 cm} \text{(11)}$

Diametro di superficie equivalente (III)

Inserendo le equazioni (5) e (11) nella (9), è possibile ottenere un’espressione indipendente dal numero di particelle:

$d_{S}=\sqrt {\frac {\Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}}\right)} {\Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}^{3} }\right)} } \hspace{1 cm} \text{(12)}$

che rappresenta la formulazione finale per il diametro di superficie equivalente.

Nel caso della assegnata distribuzione granulometrica, è possibile calcolare d_S come:

$d_{S}=\sqrt {\frac {\frac {0.05} {100}+...+ \frac {0.20} {500}} { \frac {0.05} {100^{3}}+...+ \frac {0.20} {500^{3}} } }=16.6 \mu m \hspace{1 cm} \text{(13)}$

Diametro medio di Sauter (I)

Infine, considerati nuovamente gli stessi campioni reale e virtuale definiti in precedenza, si definisce diametro di volume/superficie equivalente (diametro medio di Sauter), d_Sauter, il diametro che dovrebbero avere le particelle nel campione ideale, affinché il rapporto tra volume complessivo e superficie esterna complessiva di particelle del campione ideale sia lo stesso che nel caso del campione reale (polidisperso).

Pertanto, deve essere verificata la:

$\frac {\frac{\pi d_{Sauter}^{3}} {6} \Sigma_{i}n_{i} } {\pi d_{Sauter}^{2} \Sigma_{i}n_{i} }=\frac {\Sigma_{i} \left(n_{i} \frac {\pi d_{i}^{3} } {6}\right) } { \Sigma_{i} \left(n_{i} \pi d_{i}^{2}\right) } \hspace{1 cm} \text{(14)}$

cioè:

$d_{Sauter}=\frac {\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{3}\right) } {\Sigma_{i} \left(n_{i} d_{i}^{2}\right) } \hspace{1 cm} \text{(15)}$

Diametro medio di Sauter (II)

Dalla conoscenza della (11), la (15) diventa:

$d_{Sauter}=\frac{1} {\Sigma_{i} \left(\frac {x_{i} } {d_{i}}\right) } \hspace{1 cm} \text{(16)}$

immediatamente utilizzabile (formulazione finale per il diametro medio di Sauter), come nell’esempio numerico:

$d_{Sauter}=\frac{1} {\frac {0.05} {100}+...+ \frac {0.20} {500} }=23.0 \mu m \hspace{1 cm} \text{(17)}$

Infine, è possibile notare la relazione esistente tra i tre diametri caratteristici qui presentati, servendosi del confronto tra le equazioni (6), (12) e (17):

$d_{Sauter}=\frac{d_{V}^{3} } {d_{S}^{2} } \hspace{1 cm} \text{(18)}$

Distribuzioni porosimetriche

Mediante un porosimetro (ad es., ad intrusione di Hg), è possibile determinare la distribuzione porosimetrica di un campione granulare di particelle porose.

Man mano che nel porosimetro si esercita una pressione P maggiore, il mercurio riesce ad entrare in pori di raggio r sempre più piccolo, secondo una relazione (di Washburn) del tipo P=K/r, dove K è una costante [forza lunghezza^-1] dipendente dal prodotto σ_Lcosθ (σ_L è la tensione superficiale del liquido, delle stesse dimensioni di K, e θ è l’angolo di contatto, tipicamente pari a 140° in questi casi).

Tipici dati sperimentali

In genere, quindi, il porosimetro può restituire, per ogni valore di P, cioè di r, il volume di Hg intruso, cioè il volume dei pori aventi quel particolare valore di r.

Si giunge allora a valori di porosità assoluta (specifica per unità di massa di solido analizzato), tabellati (ad es., come in Figura) in funzione del raggio dei pori.

Esempio di distribuzione porosimetrica.

Costruzione di una curva porosimetrica

A questo punto, è possibile rielaborare i dati in termini di porosità cumulativa specifica (Figura in alto), per diagrammarla poi (tipicamente in scala semilogaritmica) in funzione di r (Figura in basso).

Ciò consente infine di calcolare, oltre che la porosità cumulativa specifica complessiva, anche la microporosità (porosità cumulativa specifica per pori con r sino a 2 nm) e la mesoporosità (porosità cumulativa specifica per pori con r compreso tra 2 e 20 nm). Il valore restante è definito come macroporosità.