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Fabio Montagnaro » 20.Assorbimento fisico: applicazioni esercitative

Progetto di una torre di assorbimento: prodromo

Si consideri una torre di assorbimento gas-liquido come schematizzata in figura. Essa ha area della sezione trasversale pari a S=0.426 m², ed è dotata di riempimento costituito da anelli Raschig in ceramica da 1″. La colonna è operata a 30°C ed 1 atm, per l’assorbimento di SO₂ presente in una corrente V₁ (453 kg h^-1) costituita da aria ed SO₂ (y₁=6%, su base molare).

Si vuole ottenere una corrente gassosa in uscita V₂, in cui la frazione di SO₂ sia ridotta ad y₂=0.1%. Il liquido assorbente, inviato in controcorrente, è acqua priva di SO₂ (portata e frazione di SO₂ pari a L₂ ed x₂, ed L₁ ed x₁ in ingresso ed uscita, rispettivamente; qui è x₂=0).

I coefficienti di scambio di materia (che includono a, l’area interfacciale di scambio) valgono k_xa=5365 kmol h^-1 m^-3 e k_ya=222 kmol h^-1 m^-3 lato liquido e gas, rispettivamente. L’equilibrio tra SO₂ in aria ed SO₂ assorbito in acqua può essere approssimato dalla relazione lineare y=mx (m=33).

Schema della torre di assorbimento da progettare.

Progetto di una torre di assorbimento: bilanci di materia lato gas (I)

Poiché la portata V₁ è stata assegnata su base massica, ma è più utile trattare il problema su base molare, semplici bilanci di materia conducono ad osservare che una corrente di 453 kg h^-1 al 6% (molare) di SO₂ in aria è costituita da V₁=14.57 kmol h^-1, di cui 13.69 kmol h^-1 di aria e 0.88 kmol h^-1 di SO₂. La portata d’aria è inerte durante il processo di assorbimento (V’=13.69 kmol h^-1). E’ quindi la stessa che si ritrova in ogni sezione della colonna, ed in uscita. Si ricorda che in ogni sezione vale la relazione:

$V=V'+Vy \hspace{1 cm} \text{(1)}$

Progetto di una torre di assorbimento: bilanci di materia lato gas (II)

Poiché si richiede y₂=0.1%, si può impostare il semplice bilancio di materia:

$y_{2}=\frac {F_{SO_{2}}|_{2}} {V'+F_{SO_{2}}|_{2}} \hspace{1 cm} \text{(2)}$

da cui ricavare la portata di SO₂ in uscita (non assorbita), F_SO2|₂=0.01 kmol h^-1. Il quadro sinottico delle portate lato gas è rappresentato in figura, da cui si ricava anche V₂=13.70 kmol h^-1.

Bilanci di materia lato gas.

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo della portata di liquido (I)

La figura riportata è costruita sul piano y-x delle frazioni molari di SO₂ nelle due fasi. Essa non è in scala, per facilità di comprensione concettuale. Si può riportare la retta di equilibrio, ed il punto caratteristico della sezione 2 (essendo noti y₂ ed x₂). E’ inoltre noto y₁, da cui è possibile ricavare x₁^MAX=y₁/33=0.18%, la massima frazione ammissibile (di equilibrio) di SO₂ nel liquido L₁ in uscita.

A questa situazione (di “pinch”, punto 1′ e pseudo-retta di lavoro 21′ non operativi, poiché ciò darebbe luogo ad una colonna di altezza infinita) corrisponde una portata minima di liquido. Il bilancio di materia su SO₂ intorno alla colonna si scrive:

$V_{1} y_{1}=V_{2} y_{2}+L_{1} ^{MIN} x_{1} ^{MAX} \hspace{1 cm} \text{(3)}$

da cui si ottiene L₁^MIN=483.33 kmol h^-1 (liquido costituito da acqua + SO₂).

Costruzione sul piano y-x.

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo della portata di liquido (II)

Sia detta L’ la portata di acqua (inerte) che circola in colonna, costante in ogni sezione. Analogamente alla (1), vale la:

$L=L'+Lx \hspace{1 cm} \text{(4)}$

che, applicata alla sezione 1, consente di calcolare L’^MIN=482.46 kmol h^-1.

Maggiorando opportunamente tale valore (ad es., lo si raddoppi), si ottiene una portata operativa L’=964.92 kmol h^-1. Ciò consente di chiudere i bilanci di materia lato liquido (figura in alto), ricordando che, poiché si alimenta in alto liquido costituito da acqua pura, è L’=L₂. La portata molare di SO₂ uscente nella corrente liquida L₁ è 0.87 kmol h^-1, valore ottenuto per differenza tra la portata entrante ed uscente dalla fase gas. Quindi, è L₁=965.79 kmol h^-1, ed x₁=0.09% (<x₁^MAX). Ciò consente anche di individuare (figura in basso) il punto operativo della sezione 1, per cui sarà possibile passare al calcolo dell’altezza della torre facendo riferimento alla pseudo-retta di lavoro operativa 21.

Bilanci di materia lato liquido.

Costruzione sul piano y-x.

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo dell’altezza (I)

Si scelga di utilizzare l’equazione di progetto per il calcolo dell’altezza Z:

$Z=H_{L} N_{L} \hspace{1 cm} \text{(5)}$

Per il calcolo dell’altezza unitaria di trasferimento locale lato liquido (H_L), si può fare uso della relazione:

$H_{L}= \frac {\frac{L} {S} } {\left(k_{x}a\right)\left(1-x\right)_{ml}} \hspace{1 cm} \text{(6)}$

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo dell’altezza (II)

Strettamente scrivendo, bisognerebbe considerare la seguente forza spingente media logaritmica (lato liquido, dove il pedice “i” indica le condizioni di interfacies):

$\left(1-x\right)_{ml}= \frac {\left(1-x\right)-\left(1-x_{i}\right) } {ln\left(\frac{1-x } {1-x_{i} }\right)} \hspace{1 cm} \text{(7)}$

ma, per soluzioni molto diluite (al massimo, è x=0.09%), si può approssimare tale forza spingente pari ad 1. Inoltre, H_L andrebbe mediato agli estremi della colonna, ma per soluzioni molto diluite si può sostituire la portata variabile L con la portata costante L’ (esse possono essere nei fatti “confuse”). In queste ipotesi, dalla (6) è H_L=0.42 m.

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo dell’altezza (III)

Per il calcolo del numero di unità di trasferimento locale lato liquido (N_L), vale la:

$N_{L}= \int_{x_{2}}^{x_{1}} \frac{\left(1-x\right)_{ml}} {\left(1-x\right) \left(x_{i}-x\right)}dx\cong\int_{x_{2}}^{x_{1}} \frac{1} {x_{i}-x}dx\ \hspace{1 cm} \text{(8)}$

poiché, nell’assunzione di soluzioni diluite, è (1-x)_ml≈1-x. Si propone una soluzione analitica approssimata al caso di soluzioni diluite. Per risolvere l’integrale in (8), è necessario trovare una relazione x_i(x). Si cominci con il richiamare la relazione (9) che lega condizioni di lavoro (x,y) e condizioni di interfacies (x_i,y_i). Ricordando inoltre che vige, tra le condizioni di interfacies, la relazione di equilibrio y_i=mx_i, sostituendo nella (9) è possibile ricavare una relazione x_i(x,y):

$\frac {y_{i}-y} {x_{i}-x}= - \frac{k_{x}a} {k_{y}a} \hspace{1 cm} \text{(9)}$

$x_{i}=\frac {k_{x}ax+k_{y}ay} {mk_{y}a+k_{x}a} \hspace{1 cm} \text{(10)}$

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo dell’altezza (IV)

Si consideri adesso l’equazione (11) della retta di lavoro (nel caso di soluzioni diluite, si fa uso delle portate di inerte L’ e V’), che mette in relazione le composizioni di correnti liquide e gassose che si incrociano in una sezione qualsiasi in colonna. Sostituendo la (11) nella (10), e riarrangiando, si ottiene una comoda relazione (12) lineare x_i(x), facendo riferimento alle (13)-(14):

$y= y_{2}+ \frac{L'} {V'}x \hspace{1 cm} \text{(11)}$

$x_{i}=\alpha x + \beta \hspace{1 cm} \text{(12)}$

$\alpha=\frac {k_{x}a+k_{y}a\frac{L'} {V'}} {mk_{y}a+k_{x}a} \hspace{1 cm} \text{(13)}$

$\beta=\frac {k_{y}ay_{2}} {mk_{y}a+k_{x}a} \hspace{1 cm} \text{(14)}$

Con i dati assegnati, risulta α=1.656 e β=1.749×10^-5.

Progetto di una torre di assorbimento: calcolo dell’altezza (V)

Inserendo quindi la (12) nella (8), è:

$N_{L}= \int_{x_{2}}^{x_{1}} \frac{1} {\left(\alpha-1\right)x+\beta}dx=\frac {1} {\alpha -1}ln\left[\left(\alpha-1\right)x+\beta\right]|_{x_{2}}^{x_{1}} \hspace{1 cm} \text{(15)}$

Nel caso in esame, vale N_L=5.4, da cui per la (5), la torre è progettata con Z=2.27 m.

Progetto di una torre di assorbimento: verifica delle condizioni di flooding

Facendo riferimento a grafici esistenti in letteratura (ad es., c.d. “diagramma di Lobo”), è possibile accertarsi dell’assenza di condizioni di “flooding” della colonna, di assegnata sezione e condizioni operative. In ascissa, bisogna calcolare il gruppo: $\frac{L} {V} \sqrt{\frac{\rho_{V}} {\rho_{L}}}$

Le portate L e V vanno espresse qui in [kg h^-1]. Approssimando L e V ad L’ (acqua) e V’ (aria), rispettivamente, è L=17369 kg h^-1 e V=397 kg h^-1. Le densità delle due fasi vanno espresse qui in [kg m^-3]. E’ quindi ρ_L=1000 kg m^-3 e ρ_V=1.17 kg m^-3 (aria a 30°C ed 1 atm). Il gruppo in ascissa vale quindi 1.5.

In ordinata bisogna calcolare il gruppo: $\frac{\left(\frac{V} {S}\right)^2 a \mu_{L}^{0.2}} {g \varepsilon^3 \rho_{V}\rho_{L}}$

dove S va in [m²], a=190 m^-1 ed il grado di vuoto ε=0.73 (da tabelle in letteratura, noto il tipo di riempimento), la viscosità del liquido in [cP] è μ_L=1 cP, g è una costante (1.27×10⁸). Tale gruppo vale quindi 2.9×10^-3, che individua un punto ben al di sotto della curva limite di flooding. Ciò garantisce il corretto operare della torre progettata.

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: prodromo

Si consideri la prova esame in figura in alto (Ottobre 2005). La torre di assorbimento gas-liquido è quindi schematizzabile come in figura in basso.

Per la notazione adottata, è quindi y₁=0.009, x₁=0.08, y₂=0.001 ed x₂=0, mentre m=0.06. Si osserva subito che x₁=0.08<y₁/m=0.15 (il massimo valore ammissibile per x₁), quindi il problema è ben posto.

Testo prova esame Ottobre 2005.

Schema della torre di assorbimento da verificare (con A si intende il composto da assorbire).

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: retta operativa

La figura riportata è costruita sul piano y-x delle frazioni molari del componente da rimuovere nelle due fasi. Essa non è in scala, per facilità di comprensione concettuale. Si può riportare la retta di equilibrio, ed i punti caratteristici delle sezioni 1 e 2.

Ciò consente di individuare la pseudo-retta di lavoro operativa 21, che ha pendenza nota (vale 0.1), poiché è stata tracciata noti due punti. Tale retta è però anche descritta dall’equazione (11), e deve avere quindi pendenza pari a L’/V’. E’ quindi noto il rapporto tra la portata di inerte liquida e gassosa che circolano in colonna.

Costruzione sul piano y-x.

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: calcolo dell’altezza (I)

Si scelga di utilizzare l’equazione di progetto per il calcolo dell’altezza Z:

$Z=H_{G} N_{G} \hspace{1 cm} \text{(16)}$

dove l’altezza unitaria di trasferimento locale lato gas (H_G) è nota.

Per il calcolo del numero di unità di trasferimento locale lato gas (N_G), vale la:

$N_{G}= \int_{y_{2}}^{y_{1}} \frac{\left(1-y\right)_{ml}} {\left(1-y\right) \left(y-y_{i} \right)}dy\cong\int_{y_{2}}^{y_{1}} \frac{1} {y-y_{i}}dy\ \hspace{1 cm} \text{(17)}$

poiché, nell’assunzione di soluzioni diluite, è (1-y)_ml≈1-y, dove si ricorda che:

$\left(1-y\right)_{ml}= \frac {\left(1-y\right)-\left(1-y_{i}\right) } {ln\left(\frac{1-y } {1-y_{i} }\right)} \hspace{1 cm} \text{(18)}$

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: calcolo dell’altezza (II)

Si propone una soluzione analitica approssimata al caso di soluzioni diluite. Per risolvere l’integrale in (17), è necessario trovare una relazione y_i(y). Si può far leva sulla (9), ma a patto di conoscere almeno il rapporto tra i coefficienti di scambio, k_xa/k_ya. Si osservi che la traccia assegna i valori per H_G ed H_L. Si osservi inoltre che, per soluzioni molto diluite (e senza necessità di mediare agli estremi), è:

$H_{G}= \frac {\frac{V} {S} } {k_{y}a\left(1-y\right)_{ml}}\cong \frac {\frac{V'} {S} } {k_{y}a} \hspace{1 cm} \text{(19)}$

$H_{L}= \frac {\frac{L} {S} } {k_{x}a\left(1-x\right)_{ml}} \cong \frac {\frac{L'} {S} } {k_{x}a} \hspace{1 cm} \text{(20)}$

E’ pertanto valida la (21), da cui k_xa/k_ya=0.15, essendo L’/V’=0.1:

$\frac{H_{G}} {H_{L}} =\frac{V'} {L'} \frac{k_{x}a} {k_{y}a} \hspace{1 cm} \text{(21)}$

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: calcolo dell’altezza (III)

Ricordando inoltre che vige, tra le condizioni di interfacies, la relazione di equilibrio y_i=mx_i, sostituendo x_i=y_i/m nella (9) è possibile ricavare una relazione y_i(x,y):

$y_{i}=\frac {k_{x}ax+k_{y}ay} {k_{y}a+\frac {k_{x}a} {m}} \hspace{1 cm} \text{(22)}$

Si consideri adesso l’equazione della retta di lavoro (11), riscritta come (23). Sostituendo la (23) nella (22), e riarrangiando, si ottiene una comoda relazione (24) lineare y_i(y):

$x= -\frac{V'} {L'}y_{2}+ \frac{V'} {L'}y \hspace{1 cm} \text{(23)}$

$y_{i}=\alpha y - \beta \hspace{1 cm} \text{(24)}$

Progetto di una torre di assorbimento in assenza di dati sulle portate: calcolo dell’altezza (IV)

Nella (24), è:

$\alpha=\frac {\frac{V'} {L'}+\frac{k_{y}a} {k_{x}a}} {\frac{k_{y}a} {k_{x}a}+\frac{1} {m}} \hspace{1 cm} \text{(25)}$

$\beta=\frac {\frac{V'} {L'}y_{2}} {\frac{k_{y}a} {k_{x}a}+\frac{1} {m}} \hspace{1 cm} \text{(26)}$

Con i dati assegnati, risulta α=0.714 e β=4.3×10^-4. Inserendo quindi la (24) nella (17), è:

$N_{G}= \int_{y_{2}}^{y_{1}} \frac{1} {\left(1-\alpha\right)y+\beta}dy=\frac {1} {1-\alpha}ln\left[\left(1-\alpha\right)y+\beta\right]|_{y_{2}}^{y_{1}} \hspace{1 cm} \text{(27)}$

Nel caso in esame, vale N_G=5.0, da cui per la (16), la torre è progettata con Z=1.8 m.

Verifica di una torre di assorbimento con tentativi: prodromo

Si consideri la prova esame in figura in alto (Luglio 2014). La torre di assorbimento gas-liquido è quindi schematizzabile come in figura in basso.

Per la notazione adottata, è quindi y₁=0.03, x₁=0.01, x₂=0, mentre Z=6 m. Si osserva subito che x₁=0.01<y₁/m=0.015 (il massimo valore ammissibile per x₁), quindi il problema è ben posto.

Testo prova esame Luglio 2014.

Schema della torre di assorbimento da verificare.

Verifica di una torre di assorbimento con tentativi: espressione dell’altezza

Si scelga di utilizzare l’equazione di progetto per il calcolo dell’altezza Z:

$Z=H_{OG} N_{OG} \hspace{1 cm} \text{(28)}$

poiché il testo fornisce esplicitamente una relazione per il numero di unità di trasferimento globale lato gas (N_OG), mentre per soluzioni diluite l’altezza unitaria di trasferimento globale lato gas si può esprimere come:

$H_{OG}= H_{G}+m\frac{V'} {L'} H_{L} \hspace{1 cm} \text{(29)}$

Nella relazione suggerita dal testo, si ricorda che vale la (30), dove il valore che farebbe equilibrio ad x₁ è y₁*=mx₁=0.02, mentre analogamente y₂*=0.

$\left(y-y^{*}\right)_{ml}= \frac {\left(y_{1}-y_{1}^{*}\right)-\left(y_{2}-y_{2}^{*}\right) }{ ln\left(\frac{y_{1}-y_{1}^{*} } {y_{2}-y_{2}^{*} }\right)} \hspace{1 cm} \text{(30)}$

Verifica di una torre di assorbimento con tentativi: chiusura dei tentativi

Il valore incognito è quindi y₂, la frazione di A uscente in fase gas. Tentando su y₂, si entra nella (30), e poi nella relazione suggerita dal testo che consente di calcolare N_OG.

E’ quindi possibile tracciare la pseudo-retta di lavoro operativa 21, che consente di calcolare la pendenza L’/V’.

E’ allora possibile ottenere H_OG dalla (29), e verificare su Z tramite la (28).

Per y₂=0.0021, è N_OG=5.51, la pendenza (figura, non in scala) vale L’/V’=2.79, H_OG=1.09 m, Z=6 m come richiesto.

La percentuale di rimozione è (y₁-y₂)/y₁=93%.

Costruzione sul piano y-x.

Torre di assorbimento a stadi: prodromo

Si consideri la prova esame in figura in alto (Giugno 2010). La torre di assorbimento gas-liquido, con N=10 stadi invece che con riempimento, è quindi schematizzabile come in figura in basso.

Per la notazione adottata, è quindi V₁=180 kmol h^-1, y₁=0.02 ed x₂=0, mentre m=0.57.

Il recupero, fissato al 97%, è definibile come:

$REC= \frac{V_{1} y_{1}-V_{2} y_{2}} {V_{1} y_{1}} \hspace{1 cm} \text{(31)}$

da cui la portata molare di etanolo in uscita, V₂y₂=0.108 kmol h^-1.

Testo prova esame Giugno 2010.

Schema della torre di assorbimento a stadi.

Torre di assorbimento a stadi: bilanci di materia

Da quanto riportato nella diapositiva precedente, è possibile stilare il quadro sinottico delle portate lato gas, rappresentato in figura in alto. E’ quindi V’=176.40 kmol h^-1 (portata di CO₂, inerte), V₂=176.508 kmol h^-1, y₂=0.0006 (soluzioni diluite).

Si imposti poi L₂ (che coincide con la portata di acqua inerte L’) pari al massimo valore possibile, in un caso conservativo (144.4 kmol h^-1). E’ possibile quindi stilare il quadro sinottico delle portate lato liquido, rappresentato in figura in basso. E’ quindi L₁=147.892 kmol h^-1 e x₁=0.024 (soluzioni diluite).

Si nota inoltre che la soluzione ha senso fisico, poiché x₁<y₁/m=0.035 (il massimo valore ammissibile per x₁).

Bilanci di materia lato gas.

Bilanci di materia lato liquido.

Torre di assorbimento a stadi: costruzione a gradini

In figura in alto è quindi possibile riportare la retta di equilibrio, e la pseudo-retta di lavoro operativa 21, descritta dall’equazione (11). Mediante costruzione a gradini, si osserva che N=7 piatti sarebbero più che sufficienti, per giungere dal punto 2 al punto 1. Pertanto, l’ipotesi conservativa di aver lavorato con il massimo valore possibile per L’ determina risposta positiva. L’operazione può essere condotta con una colonna avente N=10 stadi. La portata effettiva di liquido da inviare in colonna potrà essere inferiore al valore massimo (questo farà diminuire la pendenza della retta di lavoro, e quindi aumentare N), ed è da ricercarsi per tentativi (sino a che N=10).

Il testo del problema pone poi la portata L₂(=L’)=1600 kg h^-1=88.9 kmol h^-1. Ciò farebbe riscrivere i bilanci di materia lato liquido come in figura in basso, da cui si otterrebbe x₁=3.8%, maggiore del valore massimo fisicamente ammissibile (3.5%). Quindi, questa nuova portata proposta è inferiore al minimo ammissibile, e l’operazione non è fattibile.