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Fabio Montagnaro » 15.Evoluzione dinamica di processi chimici: applicazioni esercitative


Generalità

In questa lezione verranno dimostrate le applicazioni dei concetti presentati nella lezione precedente.

In linea generale, data un’equazione differenziale lineare (o linearizzata) in una generica funzione f(t), con condizione iniziale nota, applicare il metodo delle trasformate di Laplace significa trasformare entrambi i membri dell’equazione differenziale, che risulterà quindi un’equazione algebrica avente per incognita L[f(t)].

Trovata l’incognita, basterà antitrasformare per ottenere la soluzione f(t) dell’equazione differenziale di partenza.

 

 

Equazione differenziale generica

In Figura si mostra un esempio che spiega quanto detto precedentemente. Nel trasformare l’equazione differenziale, si è fatto uso della formula della trasformata di Laplace per funzione derivata (dove compare anche la condizione iniziale) e per funzione costante, e si è ricordata la proprietà di linearità dell’operatore.

Nell’equazione algebrica, poi, l’incognita L[f(t)] è stata risolta con il metodo della decomposizione in fratti semplici, che risulta comodo in quanto richiama le formule della trasformata di Laplace per funzione costante e per funzione esponenziale.

Si può quindi agevolmente antitrasformare ed ottenere f(t), la soluzione.

 

 

Risoluzione di un’equazione differenziale lineare mediante Laplace.

Risoluzione di un’equazione differenziale lineare mediante Laplace.


Risoluzione generica del bilancio d’energia

Pertanto, il bilancio di energia (T e T0 sono la temperatura d’uscita e la forzante temperatura d’ingresso, rispettivamente, l’apice indica variabili deviate, e τ è il tempo-spazio):

 

\frac{dT^{'}\left(t\right)} {dt}= \frac {1} {\tau} \left(T^{'}_{0}\left(t\right)-T^{'}\left(t\right)\right) \hspace{1 cm} \text{(1)}

 

avente condizione iniziale T’(0)=0, può essere risolto secondo Laplace:

 

s \mathcal{L}\left[T^{'}\left(t\right)\right]=\frac {1} {\tau} \mathcal{L}\left[T^{'} _{0}\left(t\right)\right]-\frac {1} {\tau} \mathcal{L}\left[T^{'} \left(t\right)\right] \hspace{1 cm} \text{(2)}

 

\mathcal{L}\left[T^{'}\left(t\right)\right]=\frac {\frac{1} {\tau}} {s+\frac{1} {\tau}} \mathcal{L}\left[T^{'} _{0}\left(t\right)\right] \hspace{1 cm} \text{(3)}

 

Si è quindi ottenuta un’espressione per L[T'(t)], che è univocamente legata ad L[T'0(t)]. Pertanto, per ogni forzante nota, è possibile ora trovare l’evoluzione temporale della temperatura in uscita, come mostrato negli esempi seguenti.

 

Risposta dinamica per forzante a gradino (I)

Nel sistema sotto indagine, si assuma una forzante T0 (temperatura in ingresso) che, a partire dal tempo t=0, sia incrementata di un valore A, costante nel tempo. Ciò significa che la temperatura in ingresso deviata è T’0(t)=A, funzione costante, la cui trasformata vale L[T'0(t)]=A/s.

La conoscenza della trasformata di Laplace della forzante deviata consente ora, mediante l’applicazione della (3), di calcolare la trasformata di Laplace della temperatura in uscita deviata.

 

 

Risposta dinamica per forzante a gradino (II)

Quindi, è:

 

\mathcal{L}\left[T^{'}\left(t\right)\right]=\frac {\frac{1} {\tau}} {s+\frac{1} {\tau}} \frac{A} {s}=\frac{C_{1}} {s}+\frac{C_{2}} {s+\frac{1} {\tau}} \hspace{1 cm} \text{(4)}

 

dove si verifica agevolmente che C1=A e C2=-A.

Pertanto, si può calcolare l’evoluzione dinamica della temperatura in uscita deviata, mediante antitrasformata:

 

T^{'}\left(t\right)=A\left[1-exp\left(-\frac{t} {\tau}\right)\right] \hspace{1 cm} \text{(5)}

 

Risposta dinamica per forzante a gradino (III)

In Figura si riporta la soluzione espressa in termini di evoluzione dinamica della temperatura in uscita (TS è il suo valore allo stazionario prima dell’azione della forzante). Si osserva che:

1. la temperatura in uscita, coerentemente alla forzante, aumenta nel tempo, raggiungendo un nuovo stato stazionario (TS+A), che per fini pratici si può considerare effettivo per t≈10τ;

2. il ruolo del tempo di residenza è di farsi vettore dell’informazione, ovvero della variazione avvenuta in ingresso, verso l’uscita. Infatti, maggiore è τ, più lenta è la risposta;

3. la nota precedente può essere corroborata dalla seguente: se τ=0 (reattore differenziale), è T=TS+A per ogni t, ossia la temperatura in uscita si adegua immediatamente alla forzante; di converso se τ→+∞, è T=TS per ogni t, ossia l’informazione indotta dalla forzante non giungerà mai all’uscita.

 

Soluzione per forzante a gradino.

Soluzione per forzante a gradino.


Risposta dinamica per forzante ad impulso (I)

Si assuma ora una forzante T0 che presenti, al tempo t=0, un impulso. Ciò significa che la temperatura in ingresso deviata è T’0(t)=δ(t), funzione Delta di Dirac, avente trasformata unitaria (in questo caso, però, si ricordi che il valore unitario presenta delle dimensioni: temperatura×tempo).

Anche ora, la conoscenza della trasformata di Laplace della forzante deviata consente (equazione (3)) di calcolare la trasformata di Laplace della temperatura in uscita deviata.

 

 

Risposta dinamica per forzante ad impulso (II)

Quindi, è:

 

\mathcal{L}\left[T^{'}\left(t\right)\right]=\frac {\frac{1} {\tau}} {s+\frac{1} {\tau}} \hspace{1 cm} \text{(6)}

 

da cui immediatamente l’antitrasformata:

 

T^{'}\left(t\right)=\frac{1} {\tau} exp\left(-\frac{t} {\tau}\right) \hspace{1 cm} \text{(7)}

 

Si ricordi che la correttezza dimensionale della (7) è fatta salva dall’osservazione sulle dimensioni della trasformata della Delta di Dirac, fatta in precedenza.

 

Risposta dinamica per forzante ad impulso (III)

In Figura si riporta la soluzione espressa in termini di evoluzione dinamica della temperatura in uscita. Qui si osserva che:

1. la temperatura in uscita, coerentemente alla forzante, presenta un picco a t=0, per poi decrescere per ritornare al vecchio stato stazionario, che per fini pratici si può considerare effettivo per t≈10τ. Il picco a t=0 viene diluito dal tempo-spazio, vettore dell’informazione;

2. per tempi di residenza maggiori, pertanto, il picco iniziale è minore, ed il tempo di raggiungimento dello stato stazionario è più lungo: ciò determina l’intersezione tra curve a diverso valore di τ, come mostrato;

3. se τ=0 (reattore differenziale), per t=0 il picco ha altezza infinita, ed il tempo di raggiungimento dello stato stazionario è nullo. In altre parole, la risposta coincide con la forzante (Dirac), così come deve essere per sistema differenziale;

4. viceversa, se τ→+∞, è T=TS per ogni t, ossia l’informazione indotta dalla forzante non giungerà mai all’uscita.

 

 

Soluzione per forzante ad impulso.

Soluzione per forzante ad impulso.


Risposta dinamica per forzante esponenziale decrescente (I)

Si assuma infine una forzante T0 che presenti, a partire dal tempo t=0, un andamento esponenziale decrescente. In altri termini, sia T0(t)=T0S+β exp(-at), dove T0S è il valore di T0 allo stazionario, e β il massimo incremento di temperatura, verificato appunto per t=0.

Ne deriva che che la temperatura in ingresso deviata ha espressione T’0(t)=βexp(-at), funzione esponenziale decrescente, la cui trasformata è L[T'0(t)]=β/(s+a). Si può ora procedere come al solito.

 

 

Risposta dinamica per forzante esponenziale decrescente (II)

Quindi, è:

 

\mathcal{L}\left[T^{'}\left(t\right)\right]=\frac {\frac{1} {\tau}} {s+\frac{1} {\tau}} \frac{\beta} {s+a}=\frac{C_{1}} {s+\frac{1} {\tau}}+\frac{C_{2}} {s+a} \hspace{1 cm} \text{(8)}

 

dove si verifica che C1=β/(-1) e C2=-C1.

Pertanto, si può calcolare l’evoluzione dinamica della temperatura in uscita deviata, mediante antitrasformata:

 

T^{'}\left(t\right)=\frac{\beta} {a \tau -1} \left[exp\left(-\frac{t} {\tau}\right)-exp\left(-at\right)\right] \hspace{1 cm} \text{(9)}

 

Risposta dinamica per forzante esponenziale decrescente (III)

In Figura si riporta la soluzione espressa in termini di evoluzione dinamica della temperatura in uscita. Si osserva che:

1. la temperatura in uscita, coerentemente alla forzante, vale TS sia a t=0 che per tempi lunghi: quindi, essa presenta un massimo, dettato dal tempo-spazio;

2. per tempi di residenza maggiori, si può dimostrare che il massimo ha ampiezza minore e viene raggiunto dopo, e che il tempo di raggiungimento dello stato stazionario è più lungo: ciò determina l’intersezione tra curve a diverso valore di τ, come mostrato;

3. se τ=0 (reattore differenziale), si ricava per T(t) lo stesso andamento assunto dalla forzante, cioè una curva con il massimo più alto possibile e più a sinistra possibile (t=0), e con il raggiungimento più breve possibile dello stato stazionario;

4. viceversa, se τ→+∞, è come al solito T=TS per ogni t.

Soluzione per forzante esponenziale decrescente.

Soluzione per forzante esponenziale decrescente.


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