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Fabio Montagnaro » 19.Scambiatori di calore: applicazioni esercitative

Progetto di uno scambiatore di calore: prodromo

Si consideri benzene come fluido di processo. Esso, di portata W_B=9820 lb h^-1, deve essere riscaldato da t₁=80°F a t₂=120°F. Per questo scopo, è disponibile toluene come fluido di servizio, che può essere raffreddato da T₁=160°F a T₂=100°F.

Lo scambio termico avviene utilizzando hairpin di lunghezza L=20 ft (per lo schema di un hairpin, vedi figura in alto).

Nel tubo interno viene inviato il benzene. Il tubo interno è classificato come IPS diametro nominale 1.25 in, schedula 40. Ciò ne determina il diametro interno (d_i=1.38 in=0.115 ft) e quello esterno (d_e=1.66 in=0.138 ft), come da figura in basso.

Nell’annulus viene inviato il toluene. L’annulus è classificato come IPS diametro nominale 2 in, schedula 40. Ciò ne determina in particolare il diametro interno (D_i=2.067 in=0.172 ft).

Si ricorda che: 1 lb=454 g; °F=(9/5)°C+32; 1 ft=12 in=30.48 cm (ossia, 1 in=25.4 mm).

Schema di un hairpin, vista frontale e dall’alto.

Classificazione secondo la notazione Iron Pipe Size (IPS).

Progetto di uno scambiatore di calore: bilancio di energia

Il bilancio di energia si scrive:

$|q|=W_{B} \bar {C_{B}} \left(t_{2}-t_{1}\right)=W_{T} \bar {C_{T}} \left(T_{1}-T_{2}\right) \hspace{1 cm} \text{(1)}$

Si tratta di due equazioni, nelle due incognite |q| (la potenza termica dello scambiatore) e W_T (la portata di fluido di servizio da assicurare). Il sistema può essere risolto se sono noti il calore specifico medio del benzene e del toluene, $\bar {C_{B}}$ e $\bar {C_{T}}$ , rispettivamente.

Il calore specifico medio del benzene va calcolato ad una temperatura media tra 80°F (circa 27°C) e 120°F (circa 49°C). La temperatura media, portata in gradi K, è usata nelle polinomiali note per il calcolo del calore specifico. Esse restituiscono il calore specifico in [J kmol^-1 K^-1]. Ai fini di questo esercizio, però, esso va espresso in [BTU lb^-1 °F^-1]. Ricordando che è 1 cal g^-1 K^-1=1 BTU lb^-1 °F^-1, basta convertire J in cal (1 cal=4.187 J), e kmol in g, mediante il peso molecolare del benzene. Si verifica che $\bar {C_{B}}$ =0.43 BTU lb^-1 °F^-1.

Analogamente, Il calore specifico medio del toluene va calcolato ad una temperatura media tra 160°F (circa 71°C) e 100°F (circa 38°C). Si verifica che $\bar {C_{T}}$ =0.43 BTU lb^-1 °F^-1.

Pertanto, è |q|=168904 BTU h^-1 e W_T=6547 lb h^-1.

Progetto di uno scambiatore di calore: equazione di progetto

L’equazione di progetto dello scambiatore è la (2), dove la forza spingente media logaritmica (ΔT_ml=28.8°F) si calcola tramite la (3), una volta note le differenze di temperatura alle due estremità, ΔT_A=T₁-t₂=40°F e ΔT_B=T₂-t₁=20°F:

$|q|=U_{e} A_{e} \Delta T_{ml} \hspace{1 cm} \text{(2)}$

$\Delta T_{ml} =\frac {\Delta T_{A}- \Delta T_{B} } {ln \left(\frac{\Delta T_{A}} {\Delta T_{B}}\right) } \hspace{1 cm} \text{(3)}$

Per progettare l’area di scambio necessaria (A_e, riferita alla superficie esterna del tubo interno), bisogna procedere con il calcolo del coefficiente globale di scambio U_e (riferito alla stessa superficie) mediante la (4), dove h_e ed h_i sono i coefficienti locali di scambio lato esterno (annulus) ed interno (tubo), ed R_d rappresenta le assegnate resistenze di sporcamento (0.002 h ft² °F BTU^-1):

$\frac {1 } {U_{e}} = \frac {1 } {h_{e}}+ \frac {1 } {h_{i}\frac {d_{i} } {d_{e} } }+ R_{d} \hspace{1 cm} \text{(4)}$

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio interno (I)

Lato tubo (benzene), per il calcolo del coefficiente locale di scambio ad entrambe le estremità (ingresso ed uscita), si cominci a calcolare Re secondo la (5), dove S_i è l’area di passaggio del fluido nel tubo interno (6):

$Re =\frac {d_{i} W_{B} } {\mu_{B}S_{i}} \hspace{1 cm} \text{(5)}$

$S_{i} = \frac {\pi d_{i}^2 } {4} \hspace{1 cm} \text{(6)}$

Per il calcolo di Re, è necessario conoscere il valore di μ_B, la viscosità del benzene, funzione della temperatura secondo le polinomiali note, in cui si entra con la temperatura in [K] per ottenere μ_B in [Pa s]. Ricordando poi che 1 lb ft^-1 h^-1=4.13×10^-4 Pa s, si ottiene:

@t₁=80°F, μ_B=1.42 lb ft^-1 h^-1 e Re=76469; @t₂=120°F, μ_B=1.09 lb ft^-1 h^-1 e Re=99621.

Ad entrambe le estremità è quindi Re>10000, il che consentirà di usare le relazioni semplificate per il calcolo del coefficiente locale di scambio.

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio interno (II)

A questo punto, si può calcolare Pr:

$Pr =\frac {\mu_{B} C_{B} } {k_{TB}} \hspace{1 cm} \text{(7)}$

dove k_TB è la conducibililtà termica del benzene, funzione della temperatura secondo le polinomiali note, in cui si entra con la temperatura in [K] per ottenere k_TB in [J m^-1 s^-1 K^-1]. Ricordando poi che 1 BTU h^-1 ft^-1 °F^-1=1.73 J m^-1 s^-1 K^-1, si ottiene:

@t₁=80°F, k_TB=0.082 BTU h^-1 ft^-1 °F^-1 e, risultando C_B=0.42 BTU lb^-1 °F^-1, è Pr=7.3; @t₂=120°F, k_TB=0.079 BTU h^-1 ft^-1 °F^-1 e, risultando C_B=0.44 BTU lb^-1 °F^-1, è Pr=6.1.

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio interno (III)

Noti Re e Pr, è possibile calcolare Nu, usando la relazione semplificata valida per fluidi che si riscaldano:

$Nu =0.023 Re^{0.8} Pr^{0.4} \hspace{1 cm} \text{(8)}$

Nu=411 all’estremità di ingresso del benzene (80°F), e Nu=473 all’estremità d’uscita (120°F). Poiché è:

$Nu =\frac {h_{i} d_{i}} {k_ {TB}} \hspace{1 cm} \text{(9)}$

è possibile ricavare infine il coefficiente locale di scambio termico lato tubo interno: h_i=293 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (t₁=80°F) e h_i=325 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (t₂=120°F).

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio esterno (I)

Lato annulus (toluene), per il calcolo del coefficiente locale di scambio ad entrambe le estremità (ingresso ed uscita), si cominci a calcolare Re:

$Re =\frac {\left(D_{i}-d_{e}\right) W_{T} } {\mu_{T}S_{e}} \hspace{1 cm} \text{(10)}$

dove si è inserito il diametro equivalente D_i-d_e, poiché il fluido attraversa l’area anulare S_e:

$S_{e} =\frac {\pi \left(D_{i}^2-d_{e}^2\right) } {4} \hspace{1 cm} \text{(11)}$

Per il calcolo di Re, è necessario conoscere il valore di μ_T, la viscosità del toluene (anche qui, ad entrambe le estremità, è Re>10000, il che consentirà di usare le relazioni semplificate per il calcolo del coefficiente locale di scambio):

@T₁=160°F, μ_T=0.84 lb ft^-1 h^-1 e Re=31927; @T₂=100°F, μ_T=1.17 lb ft^-1 h^-1 e Re=22922.

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio esterno (II)

A questo punto, si può calcolare Pr:

$Pr =\frac {\mu_{T} C_{T} } {k_{TT}} \hspace{1 cm} \text{(12)}$

dove k_TT è la conducibililtà termica del toluene:

@T₁=160°F, k_TT=0.087 BTU h^-1 ft^-1 °F^-1 e, risultando C_T=0.44 BTU lb^-1 °F^-1, è Pr=4.2; @T₂=100°F, k_TT=0.069 BTU h^-1 ft^-1 °F^-1 e, risultando C_T=0.42 BTU lb^-1 °F^-1, è Pr=7.1.

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente locale di scambio esterno (III)

Noti Re e Pr, è possibile calcolare Nu, usando la relazione semplificata valida per fluidi che si raffreddano:

$Nu =0.023 Re^{0.8} Pr^{0.3} \hspace{1 cm} \text{(13)}$

Nu=142 all’estremità di ingresso del toluene (160°F), e Nu=127 all’estremità d’uscita (100°F). Poiché è:

$Nu =\frac {h_{e} \left(D_{i}- d_{e}\right)} {k_ {TT}} \hspace{1 cm} \text{(14)}$

è possibile ricavare infine il coefficiente locale di scambio termico lato annulus esterno: h_e=363 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (T₁=160°F) e h_e=258 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (T₂=100°F).

Progetto di uno scambiatore di calore: calcolo del coefficiente globale di scambio e dimensionamento

Tramite la (4), si ottiene U_e=100 BTU h ft^-2 °F^-1 all’estremità “t₁/T₂“, ed U_e=118 BTU h ft^-2 °F^-1 all’estremità “t₂/T₁“. Si può assumere quindi, come valore medio, U_e=109 BTU h ft^-2 °F^-1.

Mediante l’equazione di progetto (2), si ricava A_e=53.8 ft². Poiché A_e=πL_TOTd_e, la lunghezza totale di scambio necessaria è L_TOT=124.2 ft (circa 38 m).

Visto che ciascun hairpin ha lunghezza L=20 ft (ossia, data la struttura di un hairpin, la sua lunghezza disponibile allo scambio è 2×20=40 ft), serviranno circa 3 hairpin in serie per garantire il valore di L_TOT calcolato.

Progetto di uno scambiatore di calore con vapore condensante (I)

Si consideri la prova esame Febbraio 2007 (figura in alto), che descrive uno scambiatore come rappresentato in figura in basso.

La rielaborazione della traccia consente di osservare:

che la frazione petrolifera, di portata W_P, va riscaldata da t₁=95°F (circa 35°C) a t₂=190°F (circa 88°C);
che il tubo in cui circola tale frazione presenta, per la tabella mostrata precedentemente, d_i=1.049 in=0.087 ft e d_e=1.32 in=0.110 ft;
ricordando che 1 cP=10^-3 Pa s, e il fattore di conversione precedentemente descritto, che la viscosità della frazione petrolifera vale μ_P=6.54 lb ft^-1 h^-1 @95°F, μ_P=2.18 lb ft^-1 h^-1 @190°F.

Testo della prova esame Febbraio 2007.

Schema dello scambiatore.

Progetto di uno scambiatore di calore con vapore condensante (II)

Il fluido caldo è in questo caso rappresentato da vapore condensante, di portata W_S da calcolare, e che quindi conserva la stessa temperatura T durante tutto il processo. Esso viene inviato nella regione anulare, ed è immateriale se lo scambio termico avvenga in equi- o contro-corrente.

Dalle tabelle note che elencano le proprietà del vapore, in particolare la relazione tra pressione e temperatura di passaggio di stato, si ricava che a 1.7 atm il vapore condensa se si trova a T=389 K=116°C=241°F.

Il bilancio di energia si scrive:

$|q|=W_{P} \bar {C_{P}} \left(t_{2}-t_{1}\right)=W_{S} |\lambda_{S}| \hspace{1 cm} \text{(15)}$

dove |λ_S| rappresenta il calore latente di condensazione del vapore acqueo. Dalle tabelle note ed effettuando le opportune conversioni, si ricava quindi che |λ_S|=4×10⁷ J kmol^-1=2222.22 J g^-1=2.11 BTU g^-1 (poiché 1 BTU=1055 J)=956.3 BTU lb^-1.

Si tratta di due equazioni, nelle due incognite |q|=624910 BTU h^-1 e W_S=654 lb h^-1.

Progetto di uno scambiatore di calore con vapore condensante (III)

L’equazione di progetto dello scambiatore è rappresentata dalla già citata (2), dove la forza spingente media logaritmica (ΔT_ml) si calcola, mediante la (3), una volta note le differenze di temperatura alle due estremità, ΔT_A=T-t₂=51°F e ΔT_B=T-t₁=146°F: risulta ΔT_ml=94.6°F.

Per progettare l’area di scambio necessaria (A_e), bisogna procedere con il calcolo del coefficiente globale di scambio (U_e), mediante la (4) e trascurando le resistenze di sporcamento, dove h_e (coefficiente locale di scambio lato annulus) è assegnato, mentre h_i (lato tubo) va calcolato.

Si cominci quindi a calcolare Re mediante la (5) e la (6), dove naturalmente la portata massica e la viscosità sono riferite alla frazione petrolifera. Usando i valori di viscosità assegnati, è Re=32242 @t₁=95°F e Re=96727 @t₂=190°F. Ad entrambe le estremità è quindi Re>10000, il che consentirà di usare la relazione semplificata per il calcolo del coefficiente locale di scambio termico h_i.

Progetto di uno scambiatore di calore con vapore condensante (IV).

A questo punto, si può calcolare Pr mediante la (7), usando i valori delle proprietà per la frazione petrolifera assegnata. Risulta Pr=41.2 @t₁=95°F e Pr=13.7 @t₂=190°F.

Noti Re e Pr, è possibile calcolare Nu, usando la relazione semplificata valida per fluidi che si riscaldano (8). E’ Nu=412 all’estremità di ingresso del fluido di processo (95°F), e Nu=638 all’estremità d’uscita (190°F). Poiché vale la (9), inserendo la conducibilità termica assegnata, è possibile ricavare il coefficiente locale di scambio termico lato tubo interno: h_i=346 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (t₁=95°F) e h_i=535 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 (t₂=190°F).

Tramite la (4), si ottiene U_e=231 BTU h ft^-2 °F^-1 all’estremità “t₁/T“, ed U_e=330 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1 all’estremità “t₂/T“. Si può assumere quindi, come valore medio, U_e=280 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1.

Mediante l’equazione di progetto (2), si ricava A_e=23.6 ft². Poiché A_e=πL_TOTd_e, la lunghezza totale di scambio necessaria è L_TOT=68 ft (circa 21 m).

Progetto di uno scambiatore di calore per tentativi (I)

Si consideri la prova esame Novembre 2012 (figura in alto), che descrive uno scambiatore come rappresentato in figura in basso.

La rielaborazione della traccia consente di osservare:

che il fluido di processo (olio) rappresenta il fluido caldo, è inviato (per esempio) all’annulus, ha portata W_OLIO, e va raffreddato da T₁=150°F a T₂=100°F;
che il fluido di servizio (acqua) rappresenta il fluido freddo, circola nel tubo interno, ha portata W_ACQUA, e si riscalda da t₁=60°F a t₂=90°F;
che l’area di scambio vale A_e=10 ft², assegnata.

Testo della prova esame Novembre 2012.

Schema dello scambiatore.

Progetto di uno scambiatore di calore per tentativi (II)

Si cominci a risolvere lo scambiatore in condizioni normali, ossia prima dell’avvento delle cause accidentali.

Il bilancio di energia si scrive:

$|q|=W_{ACQUA} \bar {C_{ACQUA}} \left(t_{2}-t_{1}\right)=W_{OLIO} \bar {C_{OLIO}} \left(T_{1}-T_{2}\right) \hspace{1 cm} \text{(16)}$

Si tratta di due equazioni, nelle due incognite |q|=20000 BTU h^-1 e W_ACQUA=667 lb h^-1.

L’equazione di progetto dello scambiatore è rappresentata dalla già citata (2), dove la forza spingente media logaritmica (ΔT_ml) si calcola, mediante la (3), una volta note le differenze di temperatura alle due estremità, ΔT_A=T₁-t₂=60°F e ΔT_B=T₂-t₁=40°F: risulta ΔT_ml=49.3°F.

Essendo stato assegnato A_e, si ricava immediatamente il valore di U_e=40.6 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1.

Progetto di uno scambiatore di calore per tentativi (III)

A questo punto, insorgono le cause accidentali peggiorative. t₁ (temperatura di ingresso del fluido freddo di servizio) aumenta da 60°F a 65°F, con conseguenze negative in termini di W_ACQUA, che dovrà aumentare rispetto al funzionamento normale.

Bisogna quindi:

1) tentare su t₂, temperatura di uscita dell’acqua, e risolvere nuovamente il bilancio di energia per ottenere, fissato |q|, il nuovo valore di W_ACQUA; 2) dalle informazioni fornite dalla traccia, ricavare il nuovo valore per U_e; 3) dall’equazione di progetto, inserendo il nuovo valore per ΔT_ml, calcolare U_e. Se il valore del coefficiente globale di scambio calcolato coincide con quello calcolato al punto 2), si può ritenere risolto il problema.

Progetto di uno scambiatore di calore per tentativi (IV)

Si riporta il calcolo per il tentativo a buon fine.

Al punto 1), si assuma t₂=88.5°F. Dal bilancio d’energia (16), si ricava W_ACQUA=851 lb h^-1 (maggiore del valore precedente, ovviamente).

Per affrontare il punto 2), ricordando che in condizioni normali era U_e=40.6 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1, si applica la seguente relazione per calcolare il nuovo valore per il coefficiente globale di scambio termico: U_e=40.6×(851/667)^0.2=42.6 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1.

Al punto 3), si ricordi che ora ΔT_A=T₁-t₂=61.5°F e ΔT_B=T₂-t₁=35°F, quindi ΔT_ml=47.0°F. Dall’equazione di progetto (2), si ottiene U_e=42.6 BTU h^-1 ft^-2 °F^-1.