Dimostrazione per induzione
Per illustrare il concetto di ricorsione ricordiamo un metodo matematico per fare dimostrazioni: l’induzione. Mostreremo di seguito alcune dimostrazioni per induzione e i corrispondenti algoritmi ricorsivi.
La dimostrazione per induzione è una tecnica per provare che un asserto S(n) vale per tutti gli interi n maggiori di un certo limite inferiore.
Supposto vero l’asserto la dimostrazione consiste in:
- individuare un caso base, il minimo valore di n, diciamo k, per cui si dimostra l’asserto S(k)
- dimostrare il passo induttivo, cioè che per ogni n ≥ k, dove S(k) è la base induttiva, S(n) implica S(n+1) o equivalentemente supposto vero S(n) dimostrare che è vero S(n+1).
Somma dei primi n interi positivi
Definizione di algoritmo ricorsivo
Diremo che un algoritmo è ricorsivo se risolve un problema a cui è riferito utilizzando la soluzione dello stesso problema ottenuta ad un livello inferiore cioè in un caso più semplice.
Una funzione ricorsiva per risolvere un problema per prima cosa deve essere, quindi, in grado di risolvere i casi più semplici, detti casi-base: in queste situazioni la funzione ricorsiva termina e restituisce una soluzione.
Nelle altre situazioni, la funzione ricorsiva, deve poter dividere il problema in sotto problemi simili a quello di partenza e da esso differenti solo per le dimensioni.
In tal caso la funzione ricorsiva, richiama una copia di se stessa e riprende la computazione.
Questa operazione è detta chiamata ricorsiva della funzione.
Come funziona la ricorsività
Ecco come opera una funzione ricorsiva in presenza di un problema di cui si conosca la soluzione per almeno un caso semplice (caso base) e la sua trasformazione da una rappresentazione semplice ad un'altra di dimensioni maggiori.
Come funziona la ricorsività (segue)
In pseudo codice potremmo dire che:
if i parametri fanno riferimento a un caso base
risolvi il problema
else usa i valori dei parametri per un problema ridotto
CHIAMA LA FUNCTION PER RISOLVERE IL PROBLEMA RIDOTTO
Possiamo dire che in questo modo viene applicato il metodo del
DIVIDE ET IMPERA.
Algoritmi
Un algoritmo iterativo consiste in un unico processo che ripete le stesse identiche operazioni molte volte.
Un algoritmo ricorsivo consiste in un numero finito di processi aperti uno dopo l’altro e posti in uno stack. Non appena si chiude un processo subito si scende nello stack e si chiude il processo immediatemente seguente e così via di seguito.
Algoritmo ricorsivo
Per scrivere un algoritmo ricorsivo bisogna soddisfare le seguenti condizioni:
- Esiste almeno un caso base la cui soluzione è banale;
- Tutti i sottoproblemi devono poter essere risolti in termini di versioni ridotte di uno stesso problema;
- Le azioni applicate per la soluzione di un problema ridotto portano sempre alla soluzione di un problema più grande;
- In funzione di quanto sia grande il problema iniziale deve essere sempre possibile trovare almeno un caso base nel corso della elaborazione del problema originale.
Esempi di ricorsività
Riportiamo di seguito una serie di esempi che illustrano l’uso della ricorsività in maniera adeguata.
Iniziamo con una funzione che calcola la somma dei primi N numeri interi positivi.
A tal fine si ricordi la dimostrazione per induzione introdotta precedentemente.
Sommatoria dei primi N interi positivi
- La somma dei primi 0 interi positivi vale 0.
- La somma dei primi N interi positivi è uguale alla somma dei primi N-1 interi più N.
int Sum(int N)
{
if N=0
Sum =0;
else
Sum =N+ Sum(N-1);
};
Un processo come quello qui descritto si dice per accumulazione.
Sommatoria dei primi N interi positivi (segue)
La rappresentazione nello stack del processo ricorsivo è illustrata di seguito.
Come si può osservare vengo aperti tanti processi fino a quando non si raggiunge il caso base.
A questo punto ogni processo viene chiuso inviando il risultato raggiunto al processo che lo precede nello stack.
int Sum(int N)
{
if N=0
Sum =0;
else
Sum =N+ Sum(N-1);
};
Sommatoria dei primi N interi positivi (segue)
Codice della funzione che calcola la somma dei primi N numeri interi positivi.
// Somma ricorsiva
#include
using namespace std;
// PROTOTIPI
int somma(int ,int);
// MAIN
int main ()
{
int N;
cout<<" A partire da 0 fino a che numero vuoi fare la somma? "; cin>>N;
cout<<"\n La somma dei primi "<<N<<" e' pari a "<<somma(N)<<endl;
system("pause");
}
Sommatoria dei primi N interi positivi (segue)
Un altra versione del calcolo dei primi N interi con stampa dei risultati ogni M passi è mostrato dallo pseudo codice seguente:
Esempio:
Fare la somma dei primi N interi positivi e mostrare le somme parziali ogni M passi.
Pseudo-codice
if N=0
S ← 0
else
Somma(N-1, M, S)
S ← S +N
if N MOD M=0
scrivi N e S
Sommatoria dei primi N interi positivi (segue)
Quando si applica un processo ricorsivo, del tipo di quello per accumulazione, bisogna assicurarsi che i valori accumulati nelle relative variabili siano correttamente passati da un processo all’altro.
Inoltre il valore assunto da una variabile in un processo ricorsivo non deve essere distrutto dal lancio di un altro processo ricorsivo.
Di qui la necessità di passare le variabili utilizzando la chiamata per riferimento.
Nel caso si voglia mostrare il risultato del calcolo della somma parziale dei primi N interi positivi diciamo ogni M passi è necessario introdurre una variabile che tenga conto delle varie somme parziali e che va chiamata per valore.
In figura è mostrato il codice.
Somma di potenze di 2
Un altro esempio di algoritmo ricorsivo è quello che valuta la somma delle potenze di 2 da 0 a N.
Di seguito mostriamo prima la dimostrazione per induzione del calcolo e quindi l’algoritmo ricorsivo che ad esso si ispira.
Vogliamo dimostrare che (fig. 1).
caso base (fig. 2)
Poniamo n=0, è quindi dimostrato vero.
Somma di potenze di 2 (segue)
Somma di potenze di 2 (segue)
Algoritmo ricorsivo per calcolare la somma delle potenze di 2 tra 0 e N.
double SumPot(int N)
{
if (N==0)
return 1;
else
return pow(2,N)+SumPot(N-1);
}
Somma di potenze di 2 (segue)
Algoritmo ricorsivo: Fare la somma delle potenze di 2 tra 0 e N. In fig. è mostrato lo stack dei processi aperti nel caso di N=5
Somme ricorsive
In allegato è mostrato un codice che calcola:
La somma dei numeri interi tra 1 e N
Il valore di 2N
La somma delle potenze di 2i con 0<=i<=N
Il valore del MCD tra un preassegnato s (nell’esempio s=5) e N.
