Roberto Prevete » 21.Modello di Hodgkin-Huxley

Introduzione

Nelle prime lezioni si è data una breve descrizione del neurone biologico, nella presente lezione vedremo un modello del neurone biologico come circuito elettrico:

Il modello di Hodgkin-Huxley (vedi anche)

Tale modello ci permetterà di introdurre nella prossima lezione un particolare tipo di reti neurali dette “Reti neurali ricorrenti a tempo continuo”.

Modello di Hodgkin-Huxley

Abbiamo visto come l’esistenza di una differenza di potenziale tra l’esterno e l’interno della membrana cellulare di un neurone (con l’esterno ad un potenziale più alto) è dovuta, fondamentalmente, alla presenza di una differente concentrazione di ioni sodio e potassio.

Per quanto riguarda gli ioni sodio (Na⁺), la concentrazione di tali ioni è più alta nel fluido extra-cellulare.

Questo gradiente di concentrazione favorisce il passaggio di ioni sodio attraverso la membrana e, fondamentalmente, attraverso i canali ionici dedicati al sodio (la quantità di ioni che passano dipende da “quanto” i canali dedicati al sodio sono aperti) verso l’interno della membrana.

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Ad una determinata d.d.p della membrana, detto potenziale di inversione, l’effetto del gradiente di concentrazione sarà cancellato dal gradiente di potenziale elettrico e così il flusso degli ioni sodio sarà zero.

Una comportamento simile si ha per gli ioni potassio (K⁺) che fluiscono attraverso i canali ionici dedicati al potassio con la differenza che il gradiente di concentrazione è opposto (maggiore concentrazione di K⁺ nel fluido intra-cellulare).

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Osserviamo che la variazione della “capacità” dei canali ionici a farsi attraversare dai rispettivi ioni è dipendente dal voltaggio.

La presenza, allora, di canali con tale comportamento fa sì che il potenziale di membrana dipende da:

• una conduttanza di membrana (passiva) indipendente dal voltaggio, detta conduttanza di perdita (leak conduttanze) gl;

• una conduttanza relativa ai canali ionici dedicati al sodio (attiva) dipendente dal voltaggio, g_Na;

• una conduttanza relativa ai canali ionici dedicati al potassio (attiva) dipendente dal voltaggio, g_K .

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Ricordo che, in generale, la capacità di un condensatore è data da

C=dQ/dV,

Quindi

C=(dQ/dt)/(dV/dt)

cioè

I=C (dV/dt)

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Ritornando all’equazione caratterizzante il modello di Hodgkin-Huxley

C(dV_m/dt)= I(t) -g_l(V_m- E_l) – g_Na(V_m – E_Na)- g_K(V_m +E_K)

Raggruppando i vari termini, possiamo scriverla come

C(dV_m/dt)= I(t) -(g_l + g_Na + g_K )V_m+ g_l E_l +g_NaE_Na+ g_KE_K

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Data allora l’equazione differenziale:

C(dV_m/dt)= I(t) -(g_l + g_Na + g_K )V_m+ g_l E_l +g_NaE_Na+ g_KE_K

Se le conduttanze fossero tutte costanti tale equazione è simile a quella vista nella slide precedente relativa ad un semplice condensatore.

Si avrebbe, allora, in risposta ad un segnale a gradino, una propagazione del segnale in maniera esponenziale con ritardo dipendente da C e (gl + g_Na + g_K ).

Tuttavia anche se gl è costante, g_Na e g_K sono dipendenti dal tempo e dal voltaggio.

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Si ha cioè

g_l= G_l
g_Na= G_Na m(t)³h(t)
g_K= G_K n(t)⁴

dove G_l, G_Na e G_K sono le conduttanze massime,

mentre le variabile m, h e n sono variabili dipendenti dal tempo e dal voltaggio che catturano la variabilità dei canali ionici nel far passare ioni.

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Hodgkin e Huxley riportano dei valori sperimentali per le conduttanze massime.

Tali valori sono:

G_Na= 120 mS/cm²

G_Na= 36 mS/cm²

G_l= 0.3 mS/cm²

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Mentre le variabili m, h e n sono descritte dalle seguenti equazioni differenziali:

dm/dt= [m_∞(V_m)-m]/τ_m(V_m)

dh/dt= [h_∞(V_m)-h]/τ_h(V_m)

dn/dt= [n_∞(V_m)-n]/τ_n(V_m)

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Quindi se indichiamo genericamente con x una delle variabile m, h e n, abbiamo
Che:

x va esponenzialmente verso un valore stabile x_∞ (che dipende dal potenziale V_m) con una costante di tempo τ_x.

Gli stati stabili m_∞, h_∞e n_∞ hanno una dipendenza sigmoidale dal potenziale.

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Si ha, cioè,

lim_Vm→-∞ m_∞, n_∞ = 0

lim V_m→_+∞ m_∞, n_∞ = 1

limV_m→_-∞ h_∞ = 1

lim V_m→_+∞ h_∞ = 0

Quindi per potenziali molto negativi le variabili m e n tendono a chiudere entrambi i canali ionici, mentre un potenziale molto alto tende a chiudere solo il canale dedicato al sodio.

Modello di Hodgkin-Huxley (segue)

Concludendo:

Se risolviamo al calcolatore le equazioni differenziali prima descritte, si osserverà per la variabile V_m un andamento molto simile allo spike dei neuroni biologici.

Tale modello ha rappresentato un primo modello per descrivere nel dettaglio il comportamento del potenziale di membrana di un neurone biologico.

Sulla base di tale modello circuitale è possibile, come vedremo nella prossima lezione, un modello di reti neurali ricorrenti.