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Massimo Brescia » 4.Caratterizzazione dell'atmosfera per le osservazioni - parte terza


Effetti dell’atmosfera sulle osservazioni

In sintesi, l’effetto dell’atmosfera sulle osservazioni si manifesta primariamente con tre fenomeni principali:

  • rifrazione : effetto prismatico dovuto alla variazione dell’indice di rifrazione dell’aria, con spostamento direzione sorgente verso il meridiano locale (posizione apparente);
  • dispersione: conseguenza della rifrazione, con allargamento dimensione immagine;
  • seeing: spostamento e variazione intensità caotici del fascio fotonico sul piano immagine.

Rimedi tecnologoci (misure e correzioni):

  • utilizzo modelli matematici dell’atmosfera e dell’indice di rifrazione dell’aria con statistica del sito osservativo per il calcolo e sottrazione nel calcolo astrometrico delle coordinate oggetto all’atto del pointing;
  • utilizzo di modelli matematici dell’atmosfera con statistica del sito osservativo per il calcolo e correzione mediante ottiche prismatiche per la correzione e collimazione del fascio fotonico;
  • utilizzo di telescopi ad hoc, per la misura in sito attraverso campagne osservative, e correzione mediante ottiche deformabili a frequenze elevate e in controfase con le distorsioni del fronte d’onda (ottica adattiva).

La rifrazione atmosferica

In virtù di:

{{n}_{0}}\sin {{r}_{0}}={{n}_{f}}\sin {{r}_{f}}

{{n}_{f}}\sin z'=\sin z=\sin (z'+R)=\sin z'\cos R+\cos z'\sin R\approx \sin z'+R\cos z'

R=({{n}_{f}}-1)\tan z'

Rifrazione atmosferica

Rifrazione atmosferica


L’indice di rifrazione dell’aria

Esistono diverse funzioni empiriche per ricavare l’indice di rifrazione dell’aria

Equazione empirica di Edlèn (1953)

n\left( \lambda ,760,15 \right)=64.328+\frac{29498.1}{146-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}+\frac{255.4}{41-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}\cdot {{10}^{-6}}

Equazione empirica (approssimazione al modello di Lorenz)

n(\lambda )-1=\frac{77.6\cdot {{10}^{-6}}}{T}\left( 1+7.52\cdot {{10}^{-3}}{{\lambda }^{-2}} \right)\left( p+4810\frac{v}{T} \right)

Journal of Atmospheric and Oceanic Technology

Journal of Atmospheric and Oceanic Technology


L’indice di rifrazione dell’aria (segue)

Calcolo indice di rifrazione aria secca (0.03% di anidride carbonica) e per parametri atmosferici standard: P = 101325 [pascal] (760 mmHg) e T = 15 [°C]
(le costanti sono derivate su base empirica)

\begin{align}& P=101325Pa \\& T=15\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ C} \\\end{align}n\left( \lambda ,760,15 \right)=64.328+\frac{29498.1}{146-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}+\frac{255.4}{41-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}\cdot {{10}^{-6}}

Generalizzando per arbitari valori di pressione e temperatura (ottenuti in sito):

n\left( \lambda ,P,T \right)=n\left( \lambda ,760,15 \right)\frac{P\left[ 1+\left( 1.049-0.0157T \right)P{{10}^{-6}} \right]}{720.883\left( 1+0.003661T \right)}

Nel visibile (λ ≈ 550 nm), per valori standard della temperatura e pressione (T = 15°C, P = 760 mm Hg), il valore dell’indice di rifrazione è: nf 1.00029, e la relativa legge di rifrazione è, ad esempio:

\begin{align}  & R(15{}^\circ )\approx (78.7\times {{10}^{-6}})\times 206265\approx {{16}^{''}} \\  & R(45{}^\circ )\approx (29\times {{10}^{-5}})\times 206265\approx {{60}^{''}} \\\end{align}

Codice MATLAB – rifrazione – 1

calc_disp_atm.m

Script main di calcolo rifrazione e dispersione atmosferica
NOTES & REMARKS
La funzione fornisce rifrazione e dispersione atmosferica in arcosecondi

INPUT :
P = pressione sito in Pascal
T = temperatura sito in °C
lambda_min = estremo inferiore range wavelength in nanometri

lambda_max = estremo superiore range wavelength in nanometri
z_min, z_max = range angolo zenitale telescopio in gradi

who when what
mbrescia 29/10/2004 created for VST ADC model
mbrescia 10/04/2008 adapted for educational
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Codice MATLAB – rifrazione – 2

<br />
n\left( \lambda ,760,15 \right)=64.328+\frac{29498.1}{146-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}+\frac{255.4}{41-\left( \frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)}\cdot {{10}^{-6}}

% calcolo indice di rifrazione aria secca (0.03% di anidride carbonica) e per parametri
% atmosferici standard: P = 101325 [pascal] e T = 15 [°C]
% sono calcolati due indici in funzione dei limiti del range di lunghezza d’onda

term1 = 64.328;
term2_min = 29498.1 / (146 – (1.0/(lambda_min^2)));
term3_min = 255.4 / (41 – (1/(lambda_min^2)));
term4_min = term1 + term2_min + term3_min;
term5_min = term4_min * (10^-6);
n_lambda_min_fix = 1.0 + term5_min;

term2_max = 29498.1 / (146 – (1.0/(lambda_max^2)));
term3_max = 255.4 / (41 – (1/(lambda_max^2)));
term4_max = term1 + term2_max + term3_max;
term5_max = term4_max * (10^-6);
n_lambda_max_fix = 1.0 + term5_max;

Codice MATLAB – rifrazione – 3

R=({{n}_{f}}-1)\tan z'

% calcolo pura rifrazione con parametri standard di pressione e temperatura

for zen = z_min:z_max

% salvo in un array le ascisse per grafico
array_zen_deg(zen) = double(zen);

% trasformo zenith distance in radianti
zen_rad = double(zen * deg2rad);

R_min(zen) = double((n_lambda_min_fix-1.0) * tan(zen_rad));
R_max(zen) = double((n_lambda_max_fix-1.0) * tan(zen_rad));

R_min(zen) = R_min(zen) * rad2arcsec;
R_max(zen) = R_max(zen) * rad2arcsec;

end

Rifrazione dell’aria – P, T standard


Indice rifrazione aria – generalizzazione

METODO 1

n\left( \lambda ,P,T \right)=n\left( \lambda ,760,15 \right)\frac{P\left[ 1+\left( 1.049-0.0157T \right)P{{10}^{-6}} \right]}{720.883\left( 1+0.003661T \right)}

% calcolo indici di rifrazione [rad] per parametri P e T generici

termine2 = double(1 + ((1.049-(0.0157*T))*P * (10^-6)));
termine3 = double(720.883 * (1 + (0.003661*T)));
termine1 = double((P * termine2) / termine3);
n_lambda_min = double(n_lambda_min_fix * termine1);
n_lambda_max = double(n_lambda_max_fix * termine1);

% segue analogo calcolo rifrazione con parametri ambientali del sito…

Rifrazione dell’aria – P, T del sito


Codice MATLAB – dispersione


Rifrazione aria – generalizzazione (2)

METODO 2

n(\lambda )=A\left( 1+\frac{B}{{{\lambda }^{2}}}+\frac{C}{{{\lambda }^{4}}}+\cdots \right)\approx A\left( 1+\frac{B}{{{\lambda }^{2}}} \right)=0.0002879\left( 1+\frac{0.00566}{{{\lambda }^{2}}} \right)

Values obtained by a natural cubic spline interpolation within the range 249.8 nm – 759.4 nm. An extrapolation using the Cauchy equation is used outside that range. The extrapolated value may not be accurate.

% calcolo indici di rifrazione [rad] con approssimazione di Cauchy (funzione solo della lunghezza d’onda)

% Cauchy coefficients
a1 = double(0.0002879);
b1 = double(0.00566);

% formula estrapolata dalla serie di Cauchy
n_lambda_min = double(1.0 + a1*(1.0 + b1 / (lambda_min_micron^2)));
n_lambda_max = double(1.0 + a1*(1.0 + b1 / (lambda_max_micron^2)));
method = 2;

% segue analogo calcolo rifrazione con parametri ambientali del sito…

Rifrazione dell’aria – Cauchy


Codice MATLAB – dispersione – METODO 2


Codice MATLAB – confronto indici rifrazione

figure;

subplot(2,1,1);
plot(n_ascissa, n1_ordinata, ‘b’);
xlabel(‘wavelength [nm]‘);
ylabel(‘air refraction index’);
grid on;
first = ['method 1 (site P,T)'];
legend(first,1);

subplot(2,1,2);
plot(n_ascissa, n2_ordinata, ‘r’);
xlabel(‘wavelength [nm]‘);
ylabel(‘air refraction index’);
grid on;
second = ['method 2 (Cauchy approximation'];
legend(second,1);

title(‘air refraction index methods comparison vs. wavelength’);

Grafico output – confronto indici rifrazione


Legge di rotazione dei prismi – 1

Fissati i parametri

{{\alpha }_{prism}}={{1.03121266}^{o}}=0.017998\text{ }rad → Angolo di orientamento del prisma

{{F}_{ADC}}=14396mm → Lunghezza focale del telescopio

H=\frac{h}{d}=tg\left( {{\alpha }_{prism}} \right)=\text{0}\text{.0003141243} → Base del prisma

La contro-rotazione dei prismi produce una rotazione angolare derivabile mediante semplici considerazioni geometriche:

\alpha {{'}_{prism}}=arctg\left( H\cdot\cos \vartheta\right)

Utilizzabile nell’equazione generale:

\begin{align}& \frac{{{F}_{VST}}\delta }{D}=\alpha {{'}_{prism}}\left( \Delta {{n}_{glass1}}\left(\lambda\right)-\Delta {{n}_{glass2}}\left(\lambda\right) \right)\\&\Delta {{n}_{glass1}}\left(\lambda\right)={{n}_{glass1}}\left( {{\lambda }_{\max }} \right)-{{n}_{glass1}}\left( {{\lambda }_{\min }} \right)\\& \Delta {{n}_{glass2}}\left(\lambda\right) {{n}_{glass2}}\left( {{\lambda}_{\max }} \right)-{{n}_{glass2}}\left( {{\lambda }_{\min }}\right)\\\end{align}

Geometria del prisma

Geometria del prisma


Indice di rifrazione dei vetri – 1

In optics, the Sellmeier equation is an empirical relationship between refractive index n and wavelength λ for a particular transparent medium. The usual form of the equation for glasses is on the box.

where B1,2,3 and C1,2,3 are experimentally determined Sellmeier coefficients. These coefficients are usually quoted for λ in micrometres. Note that this λ is the vacuum wavelength; not that in the material itself, which is λ/n(λ).
The equation is used to determine the dispersion of light in a refracting medium. A different form of the equation is sometimes used for certain types of materials, e.g. crystals.
The equation was deduced in 1871 by W. Sellmeier, and was a development of the work of Augustin Cauchyon Cauchy’s equation for modelling dispersion.


Indice di rifrazione dei vetri – 2

I coefficienti empirici sono calcolati con interferometro e forniti dalla casa costruttrice

function n_vetro1 = psk3(lambda_corrente);

% fattore conversione da nanometri a micron
nm2micron = 10^-3;

lc = lambda_corrente * nm2micron;

a0 = 2.37934497;
a1 = -1.06537572 * (10^-2);
a2 = 1.15134644 * (10^-2);
a3 = 3.21629422 * (10^-4);
a4 = -2.18263808 * (10^-5);
a5 = 1.27672801 * (10^-6);
n_vetro1 = a0+(a1*(lc^2))+(a2*(lc^-2))+(a3*(lc^-4))+(a4*(lc^-6))+(a5*(lc^-8));
n_vetro1 = n_vetro1^0.5;

Indice di rifrazione dei vetri – 3

I coefficienti empirici sono calcolati con interferometro e forniti dalla casa costruttrice

function n_vetro2 = llf1(lambda_corrente);

% fattore conversione da nanometri a micron
nm2micron = 10^-3;

lc = lambda_corrente * nm2micron;

% calcolo indice rifrazione vetro Schott LLF1
a = 1.53552879;
b = 4.79358528 * (10^-3);
c = -7.20688357 * (10^-6);
d = -8.63049326 * (10^-3);
e = 6.81673678 * (10^-3);
f = -2.81597725 * (10^-3);
L = 1 / ((lc^2)-0.028);
n_vetro2 = a+(b*L)+(c*(L^2))+(d*(lc^2))+(e*(lc^4))+(f*(lc^6));

Indice di rifrazione dei vetri – 4

CALCOLO DELTA DEGLI INDICI DI RIFRAZIONE DEI VETRI DEI PRISMI

% calcolo indici rifrazione vetro Schott PSK3-Mealt
n_vetro1_min = psk3(lambda_min);
n_vetro1_max = psk3(lambda_max);

% calcolo indici rifrazione vetro Schott LLF1-Mealt
n_vetro2_min = llf1(lambda_min);
n_vetro2_max = llf1(lambda_max);

% calcolo delta degli indici di rifrazione
delta_n_vetro1 = n_vetro1_max – n_vetro1_min;
delta_n_vetro2 = n_vetro2_max – n_vetro2_min;

Legge di rotazione dei prismi – 2

Combinando le equazioni precedenti si ottiene:
\frac{{{F}_{VST}}\delta }{D}=arctg\left( H\cos \vartheta  \right)\cdot \left( \Delta {{n}_{glass1}}\left( \lambda  \right)-\Delta {{n}_{glass2}}\left( \lambda  \right) \right)x
Essendo D la distanza tra i prismi ed il piano focale fissata, si può derivare l’angolo di rotazione delle coppie di prismi, che deve essere impostata a run-time per correggere l’angolo di dispersione:

\vartheta =\arccos \left( \frac{1}{H}\cdot tg(\frac{{{F}_{VST}}\delta }{D\left( \Delta {{n}_{glass1}}\left( \lambda  \right)-\Delta {{n}_{glass2}}\left( \lambda  \right) \right)}) \right)/

Angoli di correzione dei prismi

CALCOLO ANGOLO THETA PRISMI DI CORREZIONE

% loop su tutto il range di angoli zenitali
for i = z_min:z_max
% risultato di questo calcolo in radianti
termine_tan = (Fvst * delta_disp(i)) / (D * (delta_n_vetro1 – delta_n_vetro2));

calc_1(i) = (1/H) * (tan(termine_tan));
end

% normalizzazione in dominio ammissibile per acos [0,1]
mm = max(calc_1);
calc_1 = calc_1/mm;
theta = acos(calc_1);

% conversione in gradi
theta_deg = theta * rad2deg;
% calcolo contro-rotazione delle 2 coppie di prismi
theta1_deg = theta_deg / 2.0;
theta2_deg = (theta_deg / 2.0) * -1.0;

Angoli di correzione dei prismi – 2


Confrontodispersione-correzione


Angoli di correzione dei prismi – 3


Calcolo del seeing – DIMM – 1

Il principio su cui si basa il DIMM (Differential Image Motion Monitor) è quello differenziale. L’apertura del telescopio viene forzata da due fori circolari del diametro D di 6 cm a 15 cm di distanza d. tra i centri. In condizioni perfette, la luce arriva come un’onda piana formando due immagini in posizione fissa. L’effetto della turbolenza atmosferica provoca un ritardo di arrivo della luce attraverso i due fori, per cui gli spot ottenuti sul detector si muoveranno di moto relativo l’uno rispetto all’altro. Il loro moto medio è proporzionale al seeing astronomico. Questo principio di misura elimina sicuramente gli errori di tracking indotti dal monitorare un’unica stella sul piano focale. Infatti il moto spurio del telescopio viene sottratto (essendo il medesimo su entrambi gli spot) e non si richiede una buona qualità ottica, rendendo il sistema anche poco costoso.

Telescopio del dimm del tng

Telescopio del dimm del tng


Calcolo del seeing – DIMM – 2


Calcolo del seeing – DIMM – 3

Ma come si ottiene il valore di seeing? L’indagine è di tipo statistico, come detto in precedenza, e consiste nel calcolare la covarianza dell’angolo di incidenza del fronte d’onda nelle direzioni parallela e perpendicolare agli assi delle due sub-pupils. Dai valori di covarianza espressi in arcsec si risale al valore di r0 e da questo al valore dell’angolo di FWHM secondo le due direzioni.
La teoria matematica si basa sul calcolo della covarianza di fluttuazione dell’angolo incidente del fronte d’onda misurata rispetto ai due assi x e y rappresentanti rispettivamente l’asse parallelo al tilt, cioè alla variazione differenziale tra i due spot lungo l’asse che unisce i due spot e l’asse ortogonale al tilt. I due valori di covarianza prendono il nome di covarianza longitudinale (direzione parallela al tilt) e covarianza trasversa (direzione perpendicolare al tilt).
La covarianza e’ funzione principalmente della componente α della fluttuazione dell’angolo di arrivo nella direzione del tilt. D’altro canto, poichè i raggi di luce sono normali alla superficie del fronte d’onda, la componente α e’ dipendente dalla lunghezza d’onda λ e dalla variazione in fase della fluttuazione dell’angolo.


Calcolo del seeing – DIMM – 4

Indicando con δx la differenza in ascissa tra la posizione corrente e quella media e con δy la differenza in ordinata tra la posizione corrente e quella media degli spot, otteniamo:

\sigma _{l}^{2}=\frac{1}{d_{media}^{2}}\left( x_{media}^{2}\frac{\sum{\left( \delta _{x}^{2} \right)}}{n}+y_{media}^{2}\frac{\sum{\left( \delta _{y}^{2} \right)}}{n} \right)

(varianza moto trasverso differenziale)

n e’ il numero di campioni acquisiti.

\sigma _{t}^{2}=\frac{1}{d_{media}^{2}}\left( x_{media}^{2}\frac{\sum{\left( \delta _{y}^{2} \right)}}{n}+y_{media}^{2}\frac{\sum{\left( \delta _{x}^{2} \right)}}{n} \right)

(varianza moto longitudinale differenziale)

Calcolo del seeing – DIMM – 5

Le espressioni danno il risultato in pixel. Per convertirli in arcsec, è necessario avere i fattori di conversione, basati sulla risoluzione del telescopio e sulle dimensioni della camera CCD usata per gli esperimenti. Da questi si ottiene la scala del telescopio+CCD espressa in pixel/arcsec (scala sul piano focale). Infine le seguenti formule permettono di ricavare i valori di varianza in arcsec:

\begin{align} & {{\sigma }_{l}}=\sqrt{\sigma _{l}^{2}};{{\sigma }_{t}}=\sqrt{\sigma _{t}^{2}} \\ & \sigma _{l}^{2}={{\left[ \frac{{{\sigma }_{l}}}{\left( xconversione*206265 \right)} \right]}^{2}} \\ & \sigma _{t}^{2}={{\left[ \frac{{{\sigma }_{t}}}{\left( yconversione*206265 \right)} \right]}^{2}} \\ \end{align}

Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

ADC codice matlab

Tecdimm

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