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Massimo Brescia » 13.Principi di Ray Tracing - parte prima


Point Spread Function – 2

La PSF, nel caso comune di un telescopio con primario di diametro D e con ostruzione ɛ (secondario in configurazione cassegrain), si può formalizzare genericamente come:
PSF\left( r,\psi  \right)=\frac{I\left( r,\psi  \right)}{{{I}_{0}}}=\frac{1}{{{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{2}}}{{\left[ \frac{2{{J}_{1}}\left( v \right)}{v}-{{\varepsilon }^{2}}\frac{{{J}_{1}}\left( \varepsilon v \right)}{\varepsilon v} \right]}^{2}}

Ove J1 è la funzione di Bessel di ordine 1, mentre v è una variabile adimensionale che vale:
v=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{D}{R}r=\left( \frac{2}{R}=\frac{1}{f} \right)=\frac{\pi }{\lambda }\frac{rD}{f}=\left( \frac{r}{f}=\alpha  \right)=\frac{\pi }{\lambda }D\alpha =\omega \pi

Ove dal raggio lineare r siamo passati al raggio angolare α (che rappresenta l’angolo dell’oggetto in cielo) e introdotto un angolo adimensionale ω. Se l’ostruzione non c’è si ottiene allora la PSF come: PSF\left( r,\psi \right)={{\left[ \frac{2{{J}_{1}}\left( v \right)}{v} \right]}^{2}}

Il primo minimo di questa funzione si ha per ω1=1.22 da cui: {{\alpha }_{1}}=1.22\frac{\lambda }{D}

Point Spread Function

Point Spread Function

Point Spread Function

Point Spread Function


Point Spread Function – 3

Al diminuire della lunghezza d’onda e a parità di prestazioni (FOV e ostruzione), la PSF diviene più sensibile alle aberrazioni, che prevalgono sulla distribuzione di luminosità diffrattiva [confronto fra (1) e (3)]. Se si aumenta invece l’ostruzione, la PSF subisce una diminuzione dell’intensità luminosa [confronto fra (1) e (2)].

Point Spread Function

Point Spread Function


Point Spread Function – 4

Già sappiamo cos’è una variazione di fronte d’onda λW, o variazione di cammino ottico OPD. Esiste un criterio qualitativo per stabilire il limite della massima tolleranza accettabile di OPD (criterio di Rayleigh): uno strumento ottico non si discosta molto dalle prestazioni ideali, se la variazione di cammino ottico di un fronte d’onda non supera ¼ della lunghezza d’onda. Nelle condizioni di Rayleigh, in condizioni di pura diffrazione senza aberrazioni e senza ostruzione, l’84% dell’energia cade dentro il primo minimo (disco di Airy). Effetto di diffrazione per una fenditura circolare di diametro 0.5μm a λ=0.6μm (red-light) a varie distanze dal centro del campo, [da 1mm a 10mm] in step di 1mm (Si noti il movimento dell’immagine, ossia la diffusione verso l’esterno della distribuzione di energia via via che ci si allontana dal centro del campo).

Disco di diffrazione

Disco di diffrazione


Point Spread Function – 5

Quando le distorsioni del fronte d’onda sono locali (è il caso ad esempio di zone di M1 deformate a causa di gradienti termici/gravitazionali) si preferisce usare il valore R.M.S. (Root Mean Square) della variazione di cammino ottico (o di fronte d’onda):

OP{{D}_{rms}}=\sqrt{\frac{\sum{{{\overline{OPD}}^{2}}}}{n}}

ove il numeratore sotto radice rappresenta le differenze “locali” tra il fronte d’onda locale e quello ideale (detto il best fit). Un altro criterio per valutare il fronte d’onda si basa sul criterio di Marechal: Definiamo rapporto di Strehl S come il rapporto tra il picco della PSF reale o aberrata e quella al limite di diffrazione:

S=\frac{PSF_{reale}^{MAX}}{PSF_{diffr}^{MAX}}

Il criterio prevede che S non debba essere inferiore all’80% dell’energia totale della PSF, che corrisponde alla condizione:

OP{{D}_{rms}}\le \lambda /14

Spot Diagram

La distribuzione geometrica dei raggi sul piano immagine prende il nome di spot diagram. Una griglia di raggi uniforme passante per la pupilla d’entrata, si presenta sul piano immagine con diversa forma, dipendente dalle aberrazioni dominanti. Qui sono raffigurati 3 spot diagram relativi ad un telescopio Schmidt-cassegrain di pupilla 50cm, F/#=4 e per λ=550nm, rispettivamente pari ad un FOV di 0°, 0.7° e 1°, in cui fuori asse si notano coma ed astigmatismo. La dimensione RMS dello spot viene confrontata con la dimensione del disco di Airy per verificare che le aberrazioni non dominino sul disco di diffrazione. In pratica la dimensione dello spot nel diagramma fornisce informazioni sulla distribuzione dell’energia, mentre la sua forma indica quali sono le eventuali aberrazioni dominanti sul FOV.

Spot diagram

Spot diagram


Encircled Energy

Per quantificare l’energia raccolta sul piano immagine è utile l’Encircled Energy o EE. Essa è la frazione (percentuale) di energia totale contenuta in un cerchio di raggio r0 centrato intorno al chief ray. Ovviamente la max frazione di energia non può superare quella dovuta alla diffrazione
EE\left( {{r}_{0}} \right)=\frac{1}{{{I}_{0}}}\int\limits_{0}^{2\pi }{\int\limits_{0}^{{{r}_{0}}}{I\left( r,\psi  \right)drd\psi }}

Encircled energy

Encircled energy


Confronto tra PSF e EE rispetto all’ostruzione

EE

EE

PSF

PSF


Modulation Transfer Function – 1

Una caratteristica fondamentale per gli OS è di poter “contrastare” efficientemente gli oggetti. Un oggetto possiamo immaginarlo scomposto in infiniti componenti di Fourier, cioè di chiaro-scuri a frequenza spaziale crescente. Basandosi su quest’approccio, nel 1946 il francese P.M. Duffieux ha introdotto una funzione complessa per descrivere la risposta in frequenze spaziali di un OS: la Optical Transfer function (OTF):

OTF\left( u,v \right)=\frac{\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{PSF\left( x,y \right){{e}^{2\pi i\left( ux+vy \right)}}dxdy}}}{\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{PSF\left( x,y \right)dxdy}}}

Ove x,y sono coordinate spaziali cui sono associate le frequenze u,v. Dunque la OTF è la trasformata normalizzata della PSF, dipendente dalla scelta del piano immagine. Il modulo della OTF è ciò che si chiama la Modulation Transfer Function (MTF), e rappresenta la degradazione del contrasto al variare delle frequenze. Nel caso unidimensionale si ha dunque:
MTF=\sqrt{\left[ OT{{F}_{re}}{{\left( u \right)}^{2}} \right]+\left[ OT{{F}_{im}}{{\left( u \right)}^{2}} \right]}

Modulation Transfer Function – 2

Allo scopo di verificare la capacità di contrasto di un OS, (esempio semplice: la messa a fuoco degli obiettivi di una camera fotografica), si utilizza come oggetto un disegno detto test chart: in questo modo si riesce a capire qual è il potere risolutivo del sistema in termini di max frequenza spaziale distinguibile in righe o linee per mm [l/mm]. Oltre un certo valore le righe B/N si confonderanno in un’unica tonalità di grigio. In genere il contrasto si ritiene accettabile per valori della MTF > 5%.

zemax.com

zemax.com


Modulation Transfer Function – 3

Per conoscere il limite max della MTF (dovuto alla sola diffrazione) riprendiamo l’equazione del minimo della PSF già vista:
PSF\left(r,\psi\right)={{\left[ \frac{2{{J}_{1}}\left(v\right)}{v}\right]}^{2}}
Il primo minimo di questa funzione si ha ω1=1.22 per da cui:
{{r}_{1}}=1.22\lambda F/\#
Sviluppando la MTF per questa PSF, si ottiene una funzione decrescente, il cui massimo si ottiene in corrispondenza della frequenza:
{{u}_{\max }}=\frac{1}{\lambda F/\#}

La curva superiore è il limite diffrattivo, cui corrisponde una frequenza max di circa 339 l/mm

La curva superiore è il limite diffrattivo, cui corrisponde una frequenza max di circa 339 l/mm


Sintesi del ray tracing

Nota la specifica di prestazione dell’OS (ad es. 80% EE in 2 pixel), si innesca un processo iterativo, partendo dalla scelta della funzione di merito (fra quelle già viste). Si tratta in sintesi di minimizzare la funzione di merito normalizzata, che possiamo quindi schematicamente definire come:

Ove con wi si indica il generico peso, ci è il valore calcolato della MF scelta, confrontato con il valore ai atteso (definito dalle specifiche).

PSF: distribuzione di irraggiamento (intensità luminosa) sul piano immagine che scaturisce da una sorgente;

SD: distribuzione geometrica dei raggi sul piano immagine ;

EE: frazione (percentuale) di energia totale contenuta in un cerchio di raggio r centrato intorno al chief ray;

MTF: degradazione del contrasto al variare delle frequenze (modulo della OTF, espansione infinita di chiaro-scuri dell’immagine nel dominio di Fourier).


Software di ray tracing: Zemax

Zemax è uno dei SW di ray tracing più comuni. Consiste in un ambiente integrato in cui è possibile modellare un OS sottoforma di lenti o specchi disposti lungo un cammino ottico, per analizzare la qualità dell’immagine proiettata da una sorgente e ottimizzarne quindi le caratteristiche costruttive. Si compone di una tabella in cui ogni riga è un elemento ottico e le cui colonne ne costituiscono i parametri progettuali e costruttivi. Si parte sempre da una sorgente (OBJ) per arrivare all’immagine (IMA), attraverso una sequenza di stop e breaks che si inseriscono nell’OS. E’ poi possibile graficare le varie funzioni di merito analizzate, per valutarne le prestazioni complessive. Consente quindi di eseguire il processo iterativo menzionato. Ci deve sempre essere almeno uno stop nel cammino ottico (pupilla o obiettivo dell’OS).

Software di ray tracing: Zemax

Software di ray tracing: Zemax


Modello di una lente in Zemax – 1

Partiamo dal caso più semplice: un OS composto da una singola lente. Vogliamo progettare ed ottimizzare una lente singola F/#4 composta dal materiale vetro N-BK7.

Le specifiche di progetto sono le seguenti:

  • f = 100mm
  • FOV (radius) = 5deg
  • λ centrale = 632.8nm
  • spessore centrale (CT) = 2mm < CT < 12mm
  • spessore minimo (ET) = ET > 2mm
  • La lente deve essere ottimizzata in termini di minima spot size RMS, mediata sul FOV alla lunghezza d’onda centrale
  • la sorgente è posta all’infinito
Software di ray tracing: Zemax

Software di ray tracing: Zemax


Modello di una lente in Zemax – 2

Le principali colonne sono:

  • Surf: Type: il tipo di superficie (cliccando sulla colonna si può selezionarne il tipo)
  • Comment: campo opzionale in cui specificare un commento
  • Radius: raggio di curvatura (con segno invertito) espresso in unità di lente
  • Thickness: spessore in unità di lente dal vertice della superficie corrente al vertice della superficie successiva
  • Glass: il tipo di materiale (vetro, aria etc..) della superficie
  • Semi-diameter: il semi-diametro (raggio) della superficie in unità di lente

Una delle prime cose da fare è impostare la status bar con i dati da visualizzare: (Menu “File”, opzione “Preferences”) => qui si possono impostare anche altre opzioni generali.

Software di ray tracing: Zemax

Software di ray tracing: Zemax


Modello di una lente in Zemax – 3

La seguente cosa da fare è stabilire quale deve essere l’unità di misura da usare nel seguito (unità di lente). Inoltre il primo parametro da settare è sempre l’apertura dell’OS. Esso definisce la dimensione del beam (fascio) che Zemax traccerà attraverso l’OS, oltre a definire i coseni direttori iniziali dei raggi dalla sorgente (OBJ). L’apertura può essere definita in vari modi:

  • EPD: Entrance Pupil Diameter (diametro assoluto della pupilla)
  • Image Space: F/#
  • etc…
Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 4

L’EPD si può facilmente ricavare dalle specifiche di progetto:
F/\#=\frac{f}{EPD}=4\Rightarrow EPD=100/4=25mm

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 5

Definiamo ora il campo di vista FOV: si sceglie Angle (Deg) che è l’angolo che il chief ray forma con l’asse ottico Z. Date le specifiche, ci creiamo i due FOV minimi ed uno intermedio, in modo da valutare la qualità dell’immagine finale nelle zone d’interesse (dipende dal progetto).

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 6

Definiamo ora la banda di lunghezza d’onda di nostro interesse: nel nostro caso la lente è puramente monocromatica (una sola λ) riferentesi ad una sorgente laser di Elio-Neon (He-Ne) a 0.6328_m. In generale lo si può fare manualmente o selezionando un tipo pre-impostato nel programma: (vedi foto).

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 7

Ora dobbiamo inserire le superfici del nostro OS e dargli un nome (commento intuitivo).

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 8

Possiamo quindi iniziare a definire i parametri della lente, in base alle specifiche di progetto: Il tipo di vetro si può editare direttamente (Zemax lo riconosce) o cercare dal menu Tools. Circa lo spessore, dai vincoli progettuali, possiamo iniziare a sceglierne uno (sarà poi ottimizzato nel corso della procedura). Un valore di 4mm per una lente di apertura di 25mm. Il raggio di curvatura e lo spessore tra il vertice della lente e l’immagine non devono essere predeterminati, poiché saranno variabili dell’ottimizzazione. Per ora lasciamo il raggio dello STOP a infinito e cambiamo il thickness del retro-lente pari alla nostra focale (100mm). Notare come varia il raggio dell’immagine in base ai parametri inseriti.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 9

Una volta definiti dei parametri, vi sono 2 possibili metodi di ottimizzarne i valori:

  1. Rendere questi parametri variabili e aggiungere manualmente ulteriori vincoli nell’editor della funzione di merito;
  2. Usare speciali funzioni di risoluzione embedded nel programma per forzare i valori dei parametri, eliminandone alcuni ritenuti non necessari (migliore!!!)

Tra i diversi metodi di risoluzione disponibili, uno importante è definire l’F/# per mantenere la desiderata lunghezza focale. Per implementare un metodo si clicca con il destro sulla casella di riferimento e si seleziona il tipo di metodo. Si aggiusta il raggio di curvatura automaticamente.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 10

A questo punto siamo pronti per valutare la qualità dell’OS. In Zemax si possono usare diversi metodi: Layout: mostra la sezione in YZ attraverso la lente. Fornisce una visione d’insieme sempre utile dell’OS nei FOV scelti (3 nel nostro caso).

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 11

Spot Diagram: indica l’immagine. In assenza di aberrazioni si avrà sempre un oggetto perfetto, per ogni FOV e rispetto al chief ray.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 12

OPD Fan: plot della differenza di cammino ottico come funzione delle coordinate della pupilla. In assenza di aberrazioni si avrà un fronte d’onda perfettamente sferico nella pupilla d’uscita.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 13

Ray Fan: plot delle aberrazioni come funzione delle coordinate della pupilla. Un certo raggio del fronte d’onda ha un punto d’intersezione in un punto a distanza non nulla dal chief ray. Di nuovo, in assenza di aberrazioni qualunque raggio dovrebbe incrociare la pupilla nell’origine.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 14

Dalla valutazione dei 4 plot visti, è ovvio che la lente ha un certo numero di aberrazioni, includenti sferica, coma, distorsione, defocus, curvatura di campo e astigmatismo. Un altro plot utile è in questo senso quello relativo alla curvatura di campo e distorsione (Menu “Analysis”, option “Miscellaneous”) Uno degli errori commessi finora è stata la scelta casuale del fuoco. Sicuramente molte delle aberrazioni sono in parte dovute al fatto che il piano immagine non è ancora al suo best focus!

Modello di una lente in Zemax – 15

Il metodo in Zemax per posizionare meglio il piano immagine è noto come quick focus tool. Esso consiste in un tool che permette di aggiustare lo spessore dell’OS prima del piano immagine, in modo da minimizzare le aberrazioni. La posizione di best focus che il tool sceglierà, dipende dal criterio selezionato. Nel nostro caso della lente selezioniamo la dimensione radiale dello spot.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 16

Osserviamo già i miglioramenti in termini di defocus.

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Modello di una lente in Zemax – 17

le dimensioni geometriche e RMS degli spot si sono ridotte di un fattore 2!

Modello di una lente Zemax

Modello di una lente Zemax


Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

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