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Giancarlo Ragozini » 4.Indici di tendenza centrale


Indici di tendenza centrale

Definizione:

  • La tendenza centrale o posizione di un insieme di dati indica dove, numericamente, i dati sono posizionati o concentrati.

Una possibile distinzione:

  • Medie di posizione (per il loro calcolo non richiedono operazioni algebriche sulle modalità).
  • Medie analitiche (sono calcolate con operazioni algebriche sulle modalità, richiedono dei caratteri quantitativi).

La Moda:

  • La moda è il valore con la frequenza più alta nel collettivo.
  • Si può calcolare quasi per tutti i tipi di dati.
  • La moda acquista validità solo se vi è una netta prevalenza di una modalità/intensità.
Tabella

Tabella

La moda: applicabilità e problemi

La moda: applicabilità e problemi


La media aritmetica:

Il valore di posizione per eccellenza è la media aritmetica delle osservazioni, spesso definita come “media”, senza altre aggettivazioni e universalmente indicata con μ.

La media aritmetica di un insieme di n valori x1, x2, … xn di un carattere quantitativo X è data da:

Media aritmetica

Media aritmetica


La media aritmetica:

  • La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere con un solo valore.
  • La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali).
La media aritmetica come baricentro dei dati

La media aritmetica come baricentro dei dati


La mediana:

  • è il valore dell’osservazione centrale d’una distribuzione ordinata di dati
  • è quel valore che si lascia a destra e a sinistra un ugual numero di dati.

Il calcolo della mediana è possibile solo per caratteri quantitativi.

La mediana non è sensibile alla presenza di valori anomali.

 Formula

Formula


Per il calcolo della mediana bisogna:

  • Ordinare le unità in senso crescente
  • Individuare la posizione in graduatoria dell’unità centrale:
    • se n è dispari, la posizione è (n+1)/2. La mediana sarà la modalità presentata dall’unità centrale;
    • se n è pari si hanno due unità centrali con posizione n/2 e n/2 +1. Se il carattere è quantitativo, possiamo considerare come mediana la media aritmetica dei valori delle due unità centrali.

Confronto tra media e mediana

Percentili:

  • Definiamo percentili quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità. Il p-esimo percentile di un insieme di dati è il valore per cui una percentuale pari a p delle osservazioni è inferiore o uguale a esso.
  • I percentili di uso più frequente sono il 25-esimo e il 75-esimo percentile, detti anche primo (Q1) e terzo quartile (Q3) che insieme alla mediana dividono la distribuzione in quattro parti uguali (la mediana corrisponde al secondo quartile, Q2).

Calcolo indici di centralità per dati grezzi

Applet per il confronto fra media e mediana

Calcolo indici di centralità per dati grezzi

Calcolo indici di centralità per dati grezzi


Posizione dei quartili e della mediana nella distribuzione

Posizione dei quartili e della mediana nella distribuzione

Posizione dei quartili e della mediana nella distribuzione


Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice

Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità xj disgiunte con frequenze assolute nj o frequenze relative fj, allora il calcolo della media aritmetica è come segue:

Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice

Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice

Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice

Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice


Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice

  • Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità xj disgiunte con frequenze assolute cumulate Nj, allora la mediana sarà la xj tale che la Nj corrispondente supera la posizione della mediana e la precedente Nj-1 è inferiore alla posizione della mediana.
  • Nel caso di frequenze relative cumulate Fj la mediana sarà la xj tale che la Fj corrispondente supera 0.5 e la precedente Fj-1 è inferiore a 0.5

Calcolo indici di centralità per dati raggruppati in classi

Classe Modale: classe 40-49

Calcolo indici di centralità per dati raggruppati in classi

Calcolo indici di centralità per dati raggruppati in classi


Calcolo della media

Il calcolo della media aritmetica per un carattere X suddiviso in classi, è possibile solo utilizzando il valore centrale della classe (cj).

Calcolo della media

Calcolo della media


Posizione della Mediana

Criteri di congruenza dei triangoli e proporzionalità

Posizione della Mediana

Posizione della Mediana

Interpolazione lineare

Interpolazione lineare


Calcolo del valore della mediana

Calcolo del valore della mediana

Calcolo del valore della mediana


Altri Indici di Centralità

  • Le medie ponderate
  • Le medie troncate
  • La media geometrica
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