Indici di tendenza centrale
Definizione:
- La tendenza centrale o posizione di un insieme di dati indica dove, numericamente, i dati sono posizionati o concentrati.
Una possibile distinzione:
- Medie di posizione (per il loro calcolo non richiedono operazioni algebriche sulle modalità).
- Medie analitiche (sono calcolate con operazioni algebriche sulle modalità, richiedono dei caratteri quantitativi).
La Moda:
- La moda è il valore con la frequenza più alta nel collettivo.
- Si può calcolare quasi per tutti i tipi di dati.
- La moda acquista validità solo se vi è una netta prevalenza di una modalità/intensità.
Tabella
La moda: applicabilità e problemi
La media aritmetica:
Il valore di posizione per eccellenza è la media aritmetica delle osservazioni, spesso definita come “media”, senza altre aggettivazioni e universalmente indicata con μ.
La media aritmetica di un insieme di n valori x1, x2, … xn di un carattere quantitativo X è data da:
Media aritmetica
La media aritmetica:
- La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere con un solo valore.
- La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali).
La media aritmetica come baricentro dei dati
La mediana:
- è il valore dell’osservazione centrale d’una distribuzione ordinata di dati
- è quel valore che si lascia a destra e a sinistra un ugual numero di dati.
Il calcolo della mediana è possibile solo per caratteri quantitativi.
La mediana non è sensibile alla presenza di valori anomali.
Formula
Per il calcolo della mediana bisogna:
- Ordinare le unità in senso crescente
- Individuare la posizione in graduatoria dell’unità centrale:
- se n è dispari, la posizione è (n+1)/2. La mediana sarà la modalità presentata dall’unità centrale;
- se n è pari si hanno due unità centrali con posizione n/2 e n/2 +1. Se il carattere è quantitativo, possiamo considerare come mediana la media aritmetica dei valori delle due unità centrali.
Percentili:
- Definiamo percentili quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità. Il p-esimo percentile di un insieme di dati è il valore per cui una percentuale pari a p delle osservazioni è inferiore o uguale a esso.
- I percentili di uso più frequente sono il 25-esimo e il 75-esimo percentile, detti anche primo (Q1) e terzo quartile (Q3) che insieme alla mediana dividono la distribuzione in quattro parti uguali (la mediana corrisponde al secondo quartile, Q2).
Calcolo indici di centralità per dati grezzi
Calcolo indici di centralità per dati grezzi
Posizione dei quartili e della mediana nella distribuzione
Posizione dei quartili e della mediana nella distribuzione
Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice
Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità xj disgiunte con frequenze assolute nj o frequenze relative fj, allora il calcolo della media aritmetica è come segue:
Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice
Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice
Calcolo indici di centralità per dati in distribuzione di frequenza semplice
- Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza con k modalità xj disgiunte con frequenze assolute cumulate Nj, allora la mediana sarà la xj tale che la Nj corrispondente supera la posizione della mediana e la precedente Nj-1 è inferiore alla posizione della mediana.
- Nel caso di frequenze relative cumulate Fj la mediana sarà la xj tale che la Fj corrispondente supera 0.5 e la precedente Fj-1 è inferiore a 0.5
Calcolo indici di centralità per dati raggruppati in classi
Classe Modale: classe 40-49
Calcolo indici di centralità per dati raggruppati in classi
Calcolo della media
Il calcolo della media aritmetica per un carattere X suddiviso in classi, è possibile solo utilizzando il valore centrale della classe (cj).
Calcolo della media
Posizione della Mediana
Criteri di congruenza dei triangoli e proporzionalità
Posizione della Mediana
Interpolazione lineare
Calcolo del valore della mediana
Calcolo del valore della mediana
Altri Indici di Centralità
- Le medie ponderate
- Le medie troncate
- La media geometrica
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18. ESERCITAZIONE - Calcolo delle probabilità
19. Principali Teoremi del calcolo della Probabilità II - Le Varia...
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21. ESERCITAZIONE - Le probabilità totali, il teorema di Bayes e l...
Le fonti in Rete della lezione
Applet per il confronto fra media e mediana
