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Giancarlo Ragozini » 13.L'associazione fra due variabili qualitative

L’associazione fra due variabili qualitative

Premessa:

Finalità frequente di studi statistici è la ricerca di relazioni di causa-effetto e/o associazione allo scopo di:

interpretare;
prevedere;
simulare e controllare i fenomeni reali.

Per conseguire tale obiettivo è necessario enfatizzare il concetto di contemporaneo verificarsi di insiemi di modalità su una data unità statistica.

Distribuzioni multiple

Si ottiene una distribuzione multipla, quando su ogni unità statistica vengono rilevati, congiuntamente, due o più caratteri statistici (qualitativi e/o quantitativi).
Si parla di variabile doppia, tripla, n -pla, a seconda che le variabili rilevate siano, 2, 3 oppure n.

Tabella di contingenza

Una tabella di contingenza è una tabella costituita da righe che rappresentano i possibili valori (o categorie) di una variabile e da colonne che rappresentano i possibili valori (o categorie) di una seconda variabile. I dati nel corpo della tabella sono il numero di volte in cui compare ogni coppia di valori/categorie.
A due vie e a più vie

Tabella di contingenza a due vie: Struttura

Tabella di contingenza

(X,Y)

(x₁,y₁) , (x₂,y₂) , (x_N,y_N) Rilevazione statistica doppia

Le variabili univariate X e Y vengono dette componenti.
La conoscenza della distribuzione doppia permette la conoscenza delle componenti ma non è vero il contrario.

Tabelle di contingenza

Frequenze marginali e frequenze totali

Frequenze relative

Distribuzioni condizionate

Data una distribuzione doppia (X, Y), la distribuzione condizionata Y |x_i, è la distribuzione semplice che si ottiene se si fissa X=x_i e si limita l’analisi della variabile Y ai soli soggetti per cui risulta X = x_i.
Analogamente, si può fissare Y=y_j e studiare la distribuzione, semplice, di X.

Condizionate su Y

Condizionate su X

Indipendenza

Le due componenti X ed Y della distribuzione doppia (X, Y) si dicono indipendenti se non esiste alcun tipo di legame tra X ed Y (e per simmetria tra Y ed X).

Condizione di indipendenza

Qualunque valore di X non deve modificare la distribuzione di Y (e viceversa).
In altri termini, le distribuzioni condizionate Y|X=x_i non variano per ogni i, e quindi le frequenze relative condizionate n_ij/n_i. non variano.
Analogamente, le distribuzioni condizionate X|Y=y_j non variano per ogni j, e quindi le frequenze relative condizionate n_ij/n_j non variano.

Frequenza teoriche sotto l'ipotesi di indipendenza

Connessione tra mutabili doppie

Un indice per lo studio della relazione tra due mutabili è il chi quadro (Χ²), in grado di mettere in evidenza il livello di connessione tra due variabili qualitative.
Esso confronta le frequenze osservate con quelle teoriche sotto l’ipotesi di indipendenza.
Il quadrato serve ad evitare che scarti positivi e negativi si compensino.
La frazione serve per eliminare l’effetto del quadrato e per relativizzare lo scarto rispetto alla grandezza della frequenza.

Formula del chi-quadro

Connessione tra mutabili doppie

L’indice chi quadro (Χ²) dipende dalla numerosità del collettivo, cosicché, a parità di associazione, il suo valore aumenta all’aumentare di N.
Generalmente, nello studio dell’indipendenza tra due mutabili, si preferisce utilizzare degli indici “normalizzati” che diano misure non dipendenti dalla numerosità.

Indici di strettezza della connessione

L’indice di contingenza quadratica media (Χ²) di Pearson Φ² = Χ²/N
In caso di indipendenza assume il suo valore minimo che è zero. Il valore massimo è pari a 1 solo quando il numero di righe o il numero di colonne è uguale a 2, altrimenti risulta maggiore di 1.