Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- Problemi come la disuguaglianza dei redditi e la ripartizione delle risorse naturali, economiche e finanziarie fra individui, gruppi e nazioni richiedono di misurare la diversità tra le unità statistiche.
- La mutua variabilità consiste nello studio della diversità tra le singole unità statistiche.
- Lo studio della mutua variabilità ha senso solo per caratteri trasferibili (es. reddito) in quanto solo per questi ultimi è possibile la determinazione teorica della variabilità minima e massima in una distribuzione.
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- Per costruire un indice di mutua variabilità consideriamo le differenze a coppie fra le unità statistiche |xi-xj|
- Tali differenze vanno calcolate per tutte le possibili coppie. Come indice sintetico si può considerare la differenza media (ovvero sommare tutte le differenze e dividere per il numero totale di coppie).
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- Esistono n2 coppie di cui però n sono sicuramente nulle (quando xi si confronta con se stessa).
- Quindi i possibili confronti a coppie non nulli sono n2-n=n(n-1)
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- L’indice che misura la mutua variabilità è, quindi, la differenza semplice media (∆).
- La differenza semplice media è interpretabile come la distanza media tra le unità statistiche prese a coppie.
Differenza semplice media
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- Si ha mutua variabilità nulla quando tutte le unità statistiche posseggono la stessa intensità del carattere.
- x1= x2= … = xn-1= xn= μ
- In questo caso la differenza semplice media è pari a zero. ∆=0
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
- Si ha mutua variabilità massima quando tutte le unità statistiche tranne una, non posseggono nulla per cui l’ammontare totale del carattere è posseduto da una sola unità statistica.
- x1= x2= … = xn-1= 0
- xn= nμ
- x1= x2= … = xn-1= 0
- In questo caso la differenza semplice media è pari a ∆=2μ
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
Se i dati a disposizione sono disposti in distribuzioni di frequenza, le possibili differenze |xi-xj| saranno in numero pari a ni nj. Allora, la formula della differenza semplice media (∆) diventa quella in figura.
Differenza semplice media
Mutua variabilità e Concentrazione
La Mutua Variabilità:
Un indice normalizzato in [0, 1] di mutua variabilità si ottiene dividendo ∆ per il suo massimo teorico 2μ. Tale indice si indica con R. R=∆/2μ
Mutua variabilità e Concentrazione
La Concentrazione:
La concentrazione è un particolare aspetto della variabilità. Il concetto di concentrazione è applicabile solo a caratteri:
- quantitativi
- positivi
- TRASFERIBILI
Un carattere è trasferibile se esso può essere trasferito da una unità statistica ad un’altra.
Mutua variabilità e Concentrazione
La Concentrazione:
- Un carattere è tanto più concentrato quanto maggiore è l’ammontare del carattere posseduto da una piccola frazione delle unità statistiche.
- Si parla di concentrazione nulla oppure di equidistribuzione quando l’ammontare complessivo del carattere è suddiviso in parti uguali tra le unità statistiche. Ciò vuol dire che ogni unità statistica possiede un ammontare del carattere pari alla media.
- x1= x2= … = xn-1= xn= μ
- x1= x2= … = xn-1= xn= μ
Mutua variabilità e Concentrazione
La Concentrazione:
Si parla di massima concentrazione quando l’ammontare complessivo del carattere è posseduto da una sola unità statistica e le rimanenti unità non ne posseggono affatto.
- x1= x2= … = xn-1= 0
- xn= nμ
Mutua variabilità e Concentrazione
La Concentrazione:
Una misura della concentrazione è il rapporto di concentrazione di Gini:
- R=0, concentrazione nulla
- R=1, concentrazione massima
- 0≤R≤1
Rapporto di concentrazione di Gini
Mutua variabilità e Concentrazione
Il rapporto di concentrazione di Gini:
x1 , x2 , … , xNIndica la distribuzione di un carattere trasferibile (es. reddito)
x(1) , x(2) , … , x(N)
Ordinati i dati in modo crescente è possibile cumularli e pervenendo così al calcolo di qi
Frazione cumulata del carattere posseduto dai primi i reddittieri
Mutua variabilità e Concentrazione
Il rapporto di concentrazione di Gini:
Mentre pi indica la frazione cumulata dei primi i reddittieri.
- pi=i/N
- i=1 , … , N
Mutua variabilità e Concentrazione
La curva di Lorenz
Mediante le coppie (pi,qi) è possibile realizzare un grafico detto curva di Lorenz.
Curva di Lorenz
Prossima lezione
Studio della forma della distribuzione
- L’Asimmetria
- Sintesi a 5
- Box Plot
Le lezioni del Corso
1. Un'introduzione alla Statistica
2. Le variabili: sintesi e rappresentazioni grafiche
3. Esercitazione. Le variabili: sintesi e rappresentazioni grafich...
4. Indici di tendenza centrale
5. Proprietà della media aritmetica e altri indici di posizione
6. Esercitazione. Indici di tendenza centrale
8. Ulteriori indici di variabilità
9. ESERCITAZIONE - Indici di variabilità
10. Mutua variabilità e Concentrazione
11. Studio della forma della distribuzione
12. ESERCITAZIONE - Concentrazione e Forma di una distribuzione
13. L'associazione fra due variabili qualitative
14. L'associazione fra variabili quantitative
15. ESERCITAZIONE - L'associazione fra due variabili
16. Elementi di calcolo delle probabilità
17. Principali Teoremi del calcolo della probabilità
18. ESERCITAZIONE - Calcolo delle probabilità
19. Principali Teoremi del calcolo della Probabilità II - Le Varia...
20. Modelli per variabili causali discrete
21. ESERCITAZIONE - Le probabilità totali, il teorema di Bayes e l...
