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Giancarlo Ragozini » 10.Mutua variabilità e Concentrazione


Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • Problemi come la disuguaglianza dei redditi e la ripartizione delle risorse naturali, economiche e finanziarie fra individui, gruppi e nazioni richiedono di misurare la diversità tra le unità statistiche.
  • La mutua variabilità consiste nello studio della diversità tra le singole unità statistiche.
  • Lo studio della mutua variabilità ha senso solo per caratteri trasferibili (es. reddito) in quanto solo per questi ultimi è possibile la determinazione teorica della variabilità minima e massima in una distribuzione.

Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • Per costruire un indice di mutua variabilità consideriamo le differenze a coppie fra le unità statistiche |xi-xj|
  • Tali differenze vanno calcolate per tutte le possibili coppie. Come indice sintetico si può considerare la differenza media (ovvero sommare tutte le differenze e dividere per il numero totale di coppie).

Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • Esistono n2 coppie di cui però n sono sicuramente nulle (quando xi si confronta con se stessa).
  • Quindi i possibili confronti a coppie non nulli sono n2-n=n(n-1)

Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • L’indice che misura la mutua variabilità è, quindi, la differenza semplice media (∆).
  • La differenza semplice media è interpretabile come la distanza media tra le unità statistiche prese a coppie.
Differenza semplice media

Differenza semplice media


Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • Si ha mutua variabilità nulla quando tutte le unità statistiche posseggono la stessa intensità del carattere.
    • x1= x2= … = xn-1= xn= μ
  • In questo caso la differenza semplice media è pari a zero. ∆=0

Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

  • Si ha mutua variabilità massima quando tutte le unità statistiche tranne una, non posseggono nulla per cui l’ammontare totale del carattere è posseduto da una sola unità statistica.
    • x1= x2= … = xn-1= 0
    • xn= nμ
  • In questo caso la differenza semplice media è pari a ∆=2μ

Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

Se i dati a disposizione sono disposti in distribuzioni di frequenza, le possibili differenze |xi-xj| saranno in numero pari a ni nj. Allora, la formula della differenza semplice media (∆) diventa quella in figura.

Differenza semplice media

Differenza semplice media


Mutua variabilità e Concentrazione

La Mutua Variabilità:

Un indice normalizzato in [0, 1] di mutua variabilità si ottiene dividendo ∆ per il suo massimo teorico 2μ. Tale indice si indica con R. R=∆/2μ

Esempio di calcolo

Mutua variabilità e Concentrazione

La Concentrazione:

La concentrazione è un particolare aspetto della variabilità. Il concetto di concentrazione è applicabile solo a caratteri:

  • quantitativi
  • positivi
  • TRASFERIBILI

Un carattere è trasferibile se esso può essere trasferito da una unità statistica ad un’altra.

Mutua variabilità e Concentrazione

La Concentrazione:

  • Un carattere è tanto più concentrato quanto maggiore è l’ammontare del carattere posseduto da una piccola frazione delle unità statistiche.
  • Si parla di concentrazione nulla oppure di equidistribuzione quando l’ammontare complessivo del carattere è suddiviso in parti uguali tra le unità statistiche. Ciò vuol dire che ogni unità statistica possiede un ammontare del carattere pari alla media.
    • x1= x2= … = xn-1= xn= μ

Mutua variabilità e Concentrazione

La Concentrazione:

Si parla di massima concentrazione quando l’ammontare complessivo del carattere è posseduto da una sola unità statistica e le rimanenti unità non ne posseggono affatto.

  • x1= x2= … = xn-1= 0
  • xn= nμ

Mutua variabilità e Concentrazione

La Concentrazione:

Una misura della concentrazione è il rapporto di concentrazione di Gini:

  • R=0, concentrazione nulla
  • R=1, concentrazione massima
  • 0≤R≤1
Rapporto di concentrazione di Gini

Rapporto di concentrazione di Gini


Mutua variabilità e Concentrazione

Il rapporto di concentrazione di Gini:

x1 , x2 , … , xNIndica la distribuzione di un carattere trasferibile (es. reddito)

x(1) , x(2) , … , x(N)

Ordinati i dati in modo crescente è possibile cumularli e pervenendo così al calcolo di qi

Frazione cumulata del carattere posseduto dai  primi i reddittieri

Frazione cumulata del carattere posseduto dai primi i reddittieri


Mutua variabilità e Concentrazione

Il rapporto di concentrazione di Gini:

Mentre pi indica la frazione cumulata dei primi i reddittieri.

  • pi=i/N
  • i=1 , … , N

Esempio di calcolo

Mutua variabilità e Concentrazione

La curva di Lorenz

Mediante le coppie (pi,qi) è possibile realizzare un grafico detto curva di Lorenz.

Curva di Lorenz

Curva di Lorenz


Prossima lezione

Studio della forma della distribuzione

  • L’Asimmetria
  • Sintesi a 5
  • Box Plot

I materiali di supporto della lezione

Esempio di calcolo

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